Chapitre n 5 : comparaison et addition des écritures fractionnaires (1 ère partie)

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1 Chapitre n 5 : comparaison et addition des écritures fractionnaires (1 ère partie) I. Sens de l'écriture fractionnaire 1/ Rappels Définition a et b représentent deux nombres non nuls (différents de 0 ). Le quotient de a par b est le résultat de la division de a par b. On note a b. 1 2 est le résultat de la division de 1 par 2. On a 1 2 =0, est le résultat de la division de 1 par 3. On ne peut pas donner la valeur exacte, juste une valeur approchée : 1 3 0,333 (au millième). Conséquence Complète les égalités suivantes : 3 =1 Dans 1 il y 3 fois 1 3 : =1 4 =2 Dans 2 il y 4 fois 0,5 : 4 0,5=2 Propriété a et b sont deux nombres non nuls. La solution de l'équation a x=b (il faut comprendre a?=b ) est x= b a. Quelles sont les solutions des équations suivantes : x 5=7 0,5 x=2 x= 7 5 =1,4 x= 2 0,5 =4 12=2 x x= 12 2 =6 5=x 4 x= 5 4 =1,2

2 Fractions et partages On rappelle qu'une fraction est une écriture fractionnaire où le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers. Comment interpréter la fraction 2 en termes de partage? 7 Par exemple, on peut imaginer un gâteau découpé en 7 parts ; on en mange 2! Multiples et diviseurs d'un nombre entier Par exemple, des multiples de 3 sont 6, 9, 33, 111 On observe que ce sont les résultats de la table de 3. Pour 111, on essaie de voir «3 fois combien» donne 111. Si le résultat est un nombre entier alors c'est bien un multiple : 3 37=111. Donc 111 est un multiplie de 3. Pour les diviseurs d'un nombre : 3 est-il un diviseur de 57? On pose la division de 57 par 3. Si le résultat est entier alors le nombre est un diviseur. 57 3=19, donc 3 est un diviseur de est aussi un diviseur de 57 car 57 19=3. Trouve tous les diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36. Donne des multiples de 36 : 72, 360, Remarque de vocabulaire Si 11 est un diviseur de 99, on dit que 99 est divisible par 11. Critères de divisibilité Critères de divisibilité Par 2 : le chiffre des unités doit être pair. Par 3 : on fait la somme des chiffres qui doit être dans la table de 3. Par 5 : le chiffre des unités est 0 ou 5. Par 4 : le nombre formé par les deux derniers chiffres est dans la table de 4. Par 9 : la somme des chiffres est dans la table de 9.

3 2/ Proportion Explication sur un exemple M. F collectionne les voitures miniatures. Trois cinquièmes de ses voitures sont en plastique, les autres sont en métal. Il possède 30 voitures en tout. Calcule le nombre de voitures en plastique et en métal. Il faut calculer les trois cinquièmes de 30 : On divise 30 par 5 puis on multiplie par 3 : = =6 3=18. Il y a donc 18 voitures en plastique. Il y a deux façons de calculer le nombre de voitures en métal : = = =6 2=12. 3/ fréquence (voir le chapitre «Représentation de traitement de données») II. Écritures fractionnaires égales (rappels) Propriété fondamentale (rappel) On obtient des écritures fractionnaires égales en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre = ; 21 6 =63 18 ; 5 10 =2,5 5 ; 2 9 = 1 4,5 Application Complète : 8 3 = 15. On multiplie par 5 pour aller de 3 à 15 ; il faut donc multiplier 8 par 5. On obtient : 8 3 =

4 III. Comparaisons 1/ Comparaison avec 1 Méthode On considère deux nombres a et b (positifs). Si a b alors a b 1. Si a b alors a b 1. 5,8 0,89 1 ; 5,08 0,9 1 2/ Avec le même dénominateur Exemple Compare 7,08 5 ; 8 5 ; 8,07 5 ; 8,1 5 ; 7,8 5 (ordre décroissant). 8,1 5 8, ,8 5 7,08 5 Méthode Lorsqu'il y a le même dénominateur, il suffit de comparer (ou classer) les numérateurs. 3/ Avec un dénominateur différent a. Avec deux écritures fractionnaires Activité Essayons de comparer 3 4 et 5 8. On compare «à part égale» ces deux fractions : 3 4 = 6 8 est supérieur à 5 8. Donc

5 Méthode sur un exemple 7 On va comparer 10 et ère étape : on transforme une ou plusieurs écritures fractionnaires afin d'avoir le même dénominateur ; on réduit au même dénominateur. 4 5 = = ème étape : on compare à dénominateur commun ème étape : on conclut Définition Réduire au même dénominateur signifie transformer des écritures fractionnaires afin d'obtenir un même dénominateur. Cas où on doit modifier les deux écritures fractionnaires Compare 2 3 et 3 5. On réduit au même dénominateur : 2 3 = = ; 3 5 = = Conclusion :

6 IV. Addition et soustraction 1/ Activité On considère l'expression L'objectif est d'obtenir un résultat sous la forme d'une fraction sans jamais poser de division (on reste en écriture fractionnaire). On ne peut pas additionner si les dénominateurs sont différents (on a des parts de gâteau de tailles différentes). On va donc multiplier 1 3 par 2 afin d'obtenir le même dénominateur que dans 1 6 (réduction au même dénominateur) : 1 3 = = 2 6. Maintenant que l'on a les mêmes dénominateurs (parts égales), on additionne les numérateurs (on compte les parts). Le résultat est donc / Présentation des calculs et exemples A= A= A= B= B= B= C= C= 6 7 A= 3 6 B= / Description de la méthode On recopie le calcul donné dans l'énoncé. On réduit au même dénominateur une ou plusieurs des écritures fractionnaires. On fait le calcul sur les numérateurs en conservant le même dénominateur. On simplifie.

7 4/ de cas particuliers A=1 4 5 A= A= 9 5 B=1 5 7 B= B= 2 7 C=3 8 5 C= C= 23 5 Commentaires Lorsqu'on a un nombre entier dans le calcul, on le transforme en fraction avec le dénominateur qui nous intéresse. Dans le C, 3 est égal à 6 2, 45 mais c'est 15 5 qui va servir dans le calcul car il faut 5 au dénominateur. 15, 27 9 V. Simplification des fractions = 2 3 ; = 61 9 ; = 11 2 Méthodes et présentations possibles = = = 28:4 32 :4 = =7 8 (on décompose puis on simplifie en barrant les mêmes nombres) (on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre) (on fait tout de tête sans écrire le détail)

8 VI. Problèmes Un exemple Lors d'un goûter, Adel mange la moitié d'un gâteau et Guillaume en mange le tiers. Quelle fraction du gâteau reste-t-il? Réponse 1 ère étape : on calcule la portion mangée par Adel et Guillaume = = = 5 6 Ils ont donc mangé les cinq sixièmes du gâteau. 2 ème étape : on calcule la fraction restante = = 1 6 Il reste donc un sixième du gâteau.

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