MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

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1 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Deuxième cours Rappel: Intérêt Rappel: Intérêt Fonction de capitalisation 1

2 Rappel: Intérêt Fonction de capitalisation Fonction d accumulation Rappel: Intérêt Fonction de capitalisation Fonction d accumulation Taux effectif de l intérêt Rappel: Intérêt Fonction de capitalisation Fonction d accumulation Taux effectif de l intérêt Intérêt simple 2

3 Rappel: Intérêt Fonction de capitalisation Fonction d accumulation Taux effectif de l intérêt Intérêt simple Intérêt composé Rappel: Pour l intérêt simple, la fonction de capitalisation est et la fonction d accumulation est Rappel: Pour l intérêt composé, la fonction de capitalisation est et la fonction d accumulation est 3

4 Considérons maintenant quelques exemples pour illustrer les concepts d intérêt simple et d intérêt composé Exemple 1: La valeur accumulée par un capital de 7500$ investi pendant 3 mois au taux d intérêt simple de 6% par année est égale à Notons que la période de 3 mois correspond à la valeur t = 3/12 = 0.25 Exemple 2: Anasthasia a placé 10000$ dans un investissement rapportant 7% par année d intérêt composé pour 4 ans. Après ces 4 années, elle réinvestit entièrement le montant accumulé dans un placement rapportant 5.75% par année d intérêt composé pour 5 ans. Déterminons maintenant le montant accumulé à la fin de la 9 e année 4

5 Exemple 2: Anasthasia a placé 10000$ dans un investissement rapportant 7% par année d intérêt composé pour 4 ans. Après ces 4 années, elle réinvestit entièrement le montant accumulé dans un placement rapportant 5.75% par année d intérêt composé pour 5 ans. Déterminons maintenant le montant accumulé à la fin de la 9 e année le montant d intérêt gagné pendant la 7 e année Calcul du montant accumulé Le montant accumulé après 4 ans sera Calcul du montant accumulé Le montant accumulé après 4 ans sera Le montant accumulé après 9 ans sera 5

6 Calcul du montant d intérêt Le montant accumulé après 7 ans sera Calcul du montant d intérêt Le montant accumulé après 7 ans sera Le montant accumulé après 6 ans sera Calcul du montant d intérêt Le montant accumulé après 7 ans sera Le montant accumulé après 6 ans sera Le montant d intérêt gagné pendant la 7 e année sera 6

7 Comparaison: Si nous comparons les fonctions de capitalisation dans les cas de l intérêt simple et de l intérêt composé pour le même taux i, nous obtenons le graphique suivant Nous avons 7

8 Nous avons et Jusqu à maintenant nous avons considéré la valeur accumulée d un placement, mais il est aussi important de considérer la valeur actuelle d un capital futur. On dit aussi la valeur présente ou encore la valeur escomptée. Exemple 3: Bobby veut investir un capital dans un compte d épargne rémunéré au taux d intérêt composé de 4% par année pour 6 ans et au terme de la sixième année avoir 15000$. Quel est le capital qu il doit investir? 8

9 Solution: Notons ce capital par k. Nous avons maintenant l équation k (1.04) 6 = Solution: Notons ce capital par k. Nous avons maintenant l équation k (1.04) 6 = Donc k = (1.04) -6 = $ Notation: Le facteur d accumulation est (1 + i) 9

10 Notation: Le facteur d accumulation est Le facteur d escompte est (1 + i) Définition de la fonction d actualisation Cette fonction correspond à la valeur actuelle d un capital de 1$ payable au temps t Remarque: Si nous voulons connaitre la valeur actuelle d un capital de k dollars après une période de temps t, il suffit de multiplier cette fonction d actualisation par k. Formule: Si nous connaissons la fonction de capitalisation a(t), alors la fonction d actualisation a -1 (t) est obtenue en divisant par la fonction de capitalisation: 10

11 Exemple 4: Dans le cas de l intérêt simple, la fonction d actualisation est Exemple 4 (suite): Dans le cas de l intérêt composé, la fonction d actualisation est Propriétés anticipées de la fonction d actualisation: Décroissance par rapport au temps. Si nous avons plus de temps, il faut moins de capital pour obtenir à terme 1 dollar 11

12 Propriétés anticipées de la fonction d actualisation: Décroissance par rapport au temps. Si nous avons plus de temps, il faut moins de capital pour obtenir à terme 1 dollar Décroissance par rapport au taux d intérêt. Si le taux d intérêt augmente, il nous faut moins de principal à investir pour obtenir à terme 1 dollar Exemple 5: (Obligation sans coupon) Si le taux effectif d intérêt est de 5% par année, quel est le prix d obligation sans coupon dont la valeur à l échéance est de 25000$ et l échéance est dans 7 ans? Solution: Nous voulons calculer la valeur actuelle de 25000$ payable dans 7 ans au taux effectif d intérêt de 5% par année. Nous obtenons (1.05) -7 = $ 12

13 Voyons maintenant une autre mesure de l intérêt: taux effectif d escompte Taux effectif d escompte pour la 1 e période: Ce taux est le rapport du montant d intérêt gagné pendant la première période sur le montant accumulé à la fin de la période. Taux effectif d escompte pour la 1 e période: Ce taux est le rapport du montant d intérêt gagné pendant la première période sur le montant accumulé à la fin de la période. En formule, nous obtenons 13

14 Taux effectif d escompte pour la n e période: Ce taux est le rapport du montant d intérêt gagné pendant la n e période sur le montant accumulé à la fin de la n e période. En formule, nous obtenons Si nous connaissons les taux effectifs d escompte pour toutes les périodes, de la 1 e à la n e, et le capital initial, alors nous pouvons calculer le montant accumulé à la fin de la n e période, i.e. A(n) En effet, 14

15 En effet, et ainsi de suite. Finalement nous obtenons la valeur accumulée: Finalement nous obtenons la valeur accumulée: ainsi que la valeur actuelle 15

16 Exemple 6: Dans un placement, le taux effectif d escompte est de 5% pour la première année, 5.5% pour la deuxième année, 6% pour la troisième année, 5.75% pour la quatrième année et 5.25% pour la cinquième année. (a) Si le principal investi est 8000$, quel est le montant accumulé après 5 ans? Exemple 6: Dans un placement, le taux effectif d escompte est de 5% pour la première année, 5.5% pour la deuxième année, 6% pour la troisième année, 5.75% pour la quatrième année et 5.25% pour la cinquième année. (a) Si le principal investi est 8000$, quel est le montant accumulé après 5 ans? (b) Quel est le principal à investir si nous voulons accumuler 10000$ après 4 ans? Solution: (a) Nous voulons calculer la valeur accumulée après 5 ans. Par ce que nous avons vu, celle-ci sera 8000(0.95) -1 (0.945) -1 (0.94) -1 (0.9425) -1 (0.9475) -1 = $ 16

17 Solution: (b) Nous voulons calculer la valeur actuelle de payable à la fin de la 4 e année. Par ce que nous avons vu, celle-ci sera 10000(0.95)(0.945)(0.94)(0.9425) = $ Équivalence de taux: Deux taux d intérêt ou d escompte sont dits équivalents si les valeurs accumulées d'un même principal investi pendant une période à ces deux taux sont égales. Équivalence de taux: (approche équivalente) Deux taux d intérêt ou d escompte sont dits équivalents si les valeurs actuelles d'un même capital à la fin d une période à ces deux taux sont égales. 17

18 Équivalence des taux d intérêt et d escompte Étant donné le taux d escompte d, alors le taux d intérêt i équivalent est Explication de la formule: Considérons un capital de 1 dollar à la fin de la période. Dans ce cas, sa valeur actuelle est (1 - d) Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: (1 - d) 18

19 Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: (1 - d) Capital accumulé à la fin de la période: 1 Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: (1 - d) Capital accumulé à la fin de la période: 1 Intérêt: d Explication de la formule (suite) : Donc 19

20 Équivalence des taux d intérêt et d escompte Étant donné le taux d intérêt i, alors le taux d escompte d équivalent est Explication de la formule: Considérons un capital de 1 dollar investi au début de la période. Dans ce cas, sa valeur accumulée est (1 + i) à la fin de la période Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: 1 20

21 Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: 1 Capital accumulé à la fin de la période: (1 + i) Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: 1 Capital accumulé à la fin de la période: (1 + i) Intérêt: i Explication de la formule (suite) : Donc 21

22 Exemple 7: Si le taux effectif d escompte est de 2.25% par année, alors le taux effectif d intérêt équivalent est soit %. Exemple 8: Si le taux effectif d intérêt est de 5% par année, alors le taux effectif d escompte équivalent est soit %. Exemple 9: Nous allons illustrer la formule au moyen d un exemple numérique. 22

23 Supposons que nous voulons prêter 10000$ au taux effectif d escompte de 6% par année et qu il y a autant d emprunteurs que nous le désirons. Le premier emprunteur recevra 10000(1-0.06) = 9400$ au début de l année et remboursera 10000$ à la fin de l année. Du 10000$, il nous reste = 600$ à prêter. Le second emprunteur recevra 600(1-0.06) = 564$ au début de l année et remboursera 600$ à la fin de l année Du 600$, il nous reste = 36$ à prêter. Le troisième emprunteur recevra 36(1-0.06) = 33.84$ et remboursera 36$ à la fin de l année. Ainsi de suite à l infini En résumé, nous avons Emprunteur 1 er 2 e 3 e. Montant reçu au début de l année Montant remboursé à la fin de l année

24 À la fin de l année, nous recevrons Cette somme est égale à Nous pouvons calculer cette dernière somme. Nous avons si - 1 < x < 1. Donc Finalement nous obtenons que l intérêt est et le taux d intérêt est c est-à-dire %. 24

25 Plus généralement, nous avons que l intérêt est égal à si le capital prêté est k et et le taux d escompte est d. Donc le taux d intérêt est 25

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