SERIE 8, 9 ET 10 : OSCILLATIONS ELECTRIQUES DANS UN DIPOLE RL DIPOLE RC DIPOLE LC ET DIPOLE RLC

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1 SERIE 8, 9 ET 10 : OSCILLATIONS ELECTRIQUES DANS UN DIPOLE RL DIPOLE RC DIPOLE LC ET DIPOLE RLC BOBINE DIPOLE RL ET DIPOLE LC EXERCICE 1 : DIPOLE RL : ETUDE GRAPHIQUE On considère une bobine assimilable à un solénoïde théorique ayant les caractéristiques suivantes : Rayon moyen des spires : R = 10 cm. Nombre total de spires : N = 500. Longueur de la bobine : L = 1 m. 1) Calculer l inductance de la bobine. 2) Le courant qui circule dans la bobine est caractérisé, successivement, par les valeurs suivantes exprimées en ampères : i 1 = 2 A, i 2 = 5t + 2, I 3 = 2 sin(100πt) (t en s) Calculer la force électromotrice d auto-induction dans la bobine dans chacun des trois cas. 3) Un courant i(t) traverse la bobine (représentation de la figure ci-contre). Tracer la représentation graphique de la tension u = V M - V N aux bornes de la bobine sachant que le sens positif sur le conducteur va de M vers N et que la résistance de la bobine est négligeable. EXERCICE 2 : BOBINE ET DIPOLE RL BAC S Les bobines sont des composants électriques de très grande utilité sur lesquels le fabricant mentionne les caractéristiques (L, N, Imax), pour une utilisation optimale et sécuritaire. L et N représentent respectivement l inductance et le nombre de spires de la bobine tandis que Imax correspond à l intensité maximale du courant électrique qui peut traverser la bobine Un groupe d élèves, sous la supervision de leur professeur, se propose de vérifier quelques caractéristiques d une bobine de leur laboratoire. Cette bobine est assimilée a un solénoïde de longueur l= 0,5 m, comportant N spires de rayon R = 5 cm. Pour ce faire, ils disposent la bobine horizontalement, son axe (Δ) étant orthogonal au plan méridien magnétique. Au centre de cette bobine est placée une petite aiguille aimantée horizontale mobile autour d un axe vertical (Δ ). Le groupe d élèves lance un courant électrique d intensité I dans le solénoïde et constate que l aiguille dévie d un angle α Faire un schéma où seront représentés la bobine en indiquant le sens du courant, le vecteur champ magnétique V créé par le courant, le vecteur H composante horizontale du champ magnétique terrestre, la position finale de l aiguille et l angle α Exprimer tan α en fonction de B H, N, l, l et μ 0 (perméabilité magnétique du vide) 4-2. Le groupe fait varier l intensité I du courant dans le circuit et mesure la valeur de l angle α pour chaque valeur de I. Les résultats obtenus permettent de tracer la courbe tanα = f(i).(figure 1) Déterminer a partir de cette courbe la relation entre tan α et I NB : Il n est pas demandé de rendre la courbe avec la copie En déduire la valeur de N que l on notera No. On donne : μ 0 = 4 π 10-7 SI ; BH = T Déterminer l inductance L du solénoïde (on prendra N = 1195 spires) Afin d étudier le comportement de la bobine dans un circuit, les élèves réalisent avec ce solénoïde le montage ci-après (figure 2). La bobine est branchée en série avec un résistor de résistance Ro = 10 Ω. Ils utilisent un générateur de courant continu G (E = 12 V ; r = 5 Ω). La résistance interne du solénoïde est r = 5 Ω. Le nombre de spires est N = 1195 spires. L interrupteur est dans la position Déterminer l intensité Io du courant dans le circuit en régime permanent En un temps très bref et a t = 0, on bascule l interrupteur de la position (1) a la position (2). a) Etablir l équation différentielle a laquelle obéit l intensité i du courant dans le circuit. Page 1

2 b) Vérifier que i = A e - t/τ est solution de cette équation différentielle, A et τ étant des constantes a exprimer en fonction des caractéristiques des composants du circuit. Donner l allure de la courbe i = f(t). EXERCICE 3 : BOBINE ET DIPOLE RL (Extrait BAC S1S3 2002) On réalise le circuit comprenant une bobine d'inductance L et de résistance r = 11 Ω, un résistor de résistance R1 = 100 Ω, un interrupteur, un ampèremètre et un générateur de tension continue dont la f.é.m. est Eo et sa résistance interne est négligeable. (figure 4) 5.1- L'interrupteur est fermé, le régime permanent étant établi, l'ampèremètre indique I = 0,50 A. Avec un teslamètre, on mesure l'intensité du champ magnétique à au centre de la bobine. On trouve B = 0,31 mt. La longueur de la bobine est l = 40 cm et son diamètre est d = 5 cm. Ces dimensions permettent de considérer la bobine comme un solénoïde Représenter sur une figure claire le champ magnétique à au centre du solénoïde et préciser la nature de ses faces. (01 point) Calculer le nombre de spires N du solénoïde. (01 point) 5.2- Le circuit précédent étant maintenu, on remplace le générateur de tension continue par un générateur basse fréquence délivrant une tension en créneaux (figure 5). Cette tension périodique varie entre 0 et E 1 = 6 V (voir figure 6).On désire suivre l'évolution de la tension aux bornes du résistor par un oscilloscope à mémoire bicourbe Reproduire la figure 5 et indiquer les branchements à réaliser pour visualiser sur l'écran de l'oscilloscope la tension aux bornes du générateur à la voie A et la tension aux bornes du résistor à la voie B. (01 point) Établir l'équation différentielle régissant la variation de l'intensité du courant i lorsque t [0 ;T 2], T étant la période de la tension délivrée par le générateur. (0,75 point) Vérifier que [1 - exp (-t/τ)] est une solution de cette équation où T est une constante que l'on exprimera en fonction de R 1, r et L a) Que représente r pour le circuit? Déterminer à partir du graphe de la figure 7 sa valeur en explicitant la méthode utilisée. (0,25 point) b) En déduire la valeur de L. (0,25 point) c) A partir de cette valeur, vérifier la valeur du nombre de spires N trouvée à la question Donnée : perméabilité magnétique du vide: μo = 4π.10-7 S.I. Page 2

3 EXERCICE 4 : DIPOLE RL ANALOGIE MECANIQUE -ELECTRICITE BAC S1 S NB : les deux parties de l exercice sont indépendantes. Première partie : circuit LC et Analogie Dans cette partie on se propose de comparer le fonctionnement d un oscillateur électrique avec celui d un oscillateur mécanique pour faire ressortir des analogies. 4.1 On réalise un circuit comprenant une bobine d inductance L dont la résistance est supposée nulle et un condensateur de capacité C ; initialement l interrupteur K est ouvert [figure (a)]. Le condensateur est d abord chargé sous une tension constante U par un dispositif non représenté sur la figure. On ferme ensuite l interrupteur K Etablir l équation différentielle traduisant les oscillations électriques qui se déroulent dans le circuit en prenant comme variable la charge q d une armature du condensateur. [Le circuit est orienté comme indiqué sur la figure (a)] En déduire la période des oscillations. Applications numériques : L = 0,10H ; C =1, F. 4.2 On considère un solide A de masse m pouvant glisser sans frottement sur un support horizontal. Le solide est lié à l une des extrémités d un ressort de masse négligeable et de raideur k ; l autre extrémité du ressort étant fixée en un point E (figure b). On déplace le solide A de façon à provoquer l allongement du ressort et on l abandonne sans vitesse initiale Etablir l équation différentielle du mouvement du solide A en prenant comme variable l élongation x du solide, le mouvement étant rapporté au repère X X dont l origine coïncide avec la position du centre d inertie G du solide à l équilibre [figure (b)] En déduire la période des oscillations. Applications numériques : m = 0,50kg ; k = 25 N/m. 4.3 Recopier puis compléter le tableau ci-dessous pour faire apparaître les analogies entre les grandeurs électriques de la question 4.1 et les grandeurs mécaniques de la question 4.2 Deuxième partie : circuit RL Un générateur BF maintenant entre ses bornes une tension sinusoïdale de fréquence N, alimente un circuit contenant en série une bobine d inductance L = 36 mh et de résistance R 1 et un résistor de résistance R 2= 12,5 Ω. La tension efficace aux bornes du générateur est U = 64 V. On mesure l intensité efficace du courant, on trouve I = 3,2A. Puis l on mesure la tension efficace U 1 aux bornes de la bobine et la tension efficace U 2 aux bornes du résistor, on trouve U 1 = U Montrer que les impédances Z 1 de la bobine et Z 2 du résistor sont égales. Donner la valeur numérique commune. 4.5 Construire le diagramme de Fresnel relatif au circuit. On posera : i = I sin(ω t) et u = U sin(ω t +φ ) respectivement pour l intensité instantanée i du courant et la tension instantanée u aux bornes du générateur. (0,50 point) 4.6 Calculer les valeurs numériques de φ, de R 1 et du produit Lω. Calculer alors la valeur de la fréquence. Page 3

4 EXERCICE 5 : INDUCTANCE L DIPOLE RL BAC S Afin de déterminer la résistance r d une bobine et son inductance L on réalise, comme indique sur le schéma ci-contre, un circuit série comportant cette bobine, un conducteur ohmique de résistance R = 390 Ω, un générateur de résistance négligeable et de force électromotrice E = 4 V et un interrupteur. On ferme l interrupteur a la date t = 0. Un dispositif approprie a permis d enregistrer l évolution de l intensité i du courant qui parcourt le circuit au cours du temps t. Le tableau suivant indique des valeurs de i a différentes dates t. 4.1 Tracer la courbe de variation de l intensité du courant en fonction du temps : i = f(t) [courbe II à rendre avec la copie] ; Echelles : 2 cm pour 0, s : 1 cm pour 10-3 A (0,5 point) 4.2 Quel est le phénomène physique responsable du retard de l établissement du courant dans le circuit? Expliquer brièvement. (0,5 point) 4.3 Déterminer graphiquement l intensité I0 du courant traversant le circuit lorsque le régime permanent est atteint. (0,5 point) 4.4 Etablir l équation différentielle suivante régissant la variation dans le temps de l intensité du courant : 4.5 Déduire de cette équation l expression de I0 en fonction de E, R et r. En déduire la valeur de la résistance r de la bobine. 4.6 Vérifier que i = (1 ) est solution de l équation différentielle ou τ sera exprimé en fonction de L, R et r. (0,5 point) Définir τ et donner sa signification physique. Déterminer graphiquement la valeur de τ En déduire la valeur de l inductance L de la bobine. CONDENSATEUR ET DIPOLE RC EXERCICE 6 : CAPACITE D UN CONDENSATEUR CIR CUIT RC BAC S1-S3 99 On se propose de déterminer la capacité un condensateur non polarisé. On charge le condensateur de capacité C inconnue à travers un conducteur ohmique de résistance R = 330 kω à l'aide d'un générateur délivrant une tension continue constante égale à Uo = 12 V. On relève la valeur de la tension U aux bornes du condensateur pour différentes dates données et on trace la courbe Uc = f(t) : courbe n 2. 1) Quelle est la valeur de la tension Uc lorsque l'intensité du courant dans le circuit s'annule? Justification par un calcul, à l'appui. (0,5 point) 2) On cherche à déterminer la capacité C du condensateur en calculant la constante de temps τ = RC du dipôle (R,C). a) Établir l'équation différentielle d'évolution de la tension Uc lorsque le dipôle (R,C) est soumis à une tension constante Uo. (01 point) b) Montrer que Uc = Uo (1 - e-t/rc) est solution de l'équation différentielle.(01 point) c) Une méthode de détermination de τ fait appel au tracé de la tangente à la courbe Uc = f(t) à l'instant t = 0. Montrer que cette tangente coupe la droite Uc = Uo en un point d'abscisse t = τ. En déduire la valeur numérique de cette constante de temps. (01 point) d) Calculer la capacité du condensateur. (0,5 point) Page 4

5 EXERCICE 7 : CHARGE ET DECHAR GE D UN CONDENSATEUR BAC S Dans le but de déterminer la capacité d'un condensateur on utilise le montage ci-contre Charge du condensateur On bascule l'interrupteur en position Ecrire la loi des tensions dans le circuit de charge. En déduire l'équation différentielle liant q, R et U 0. (0,5 point) Vérifier que q(t) est de la forme : où A et τ sont des constantes que l'on exprimera en fonction des données. (01 point) 5.2- Décharge du condensateur Le condensateur chargé, on bascule l'interrupteur en position 2. Un dispositif approprié permet d'enregistrer les valeurs de la tension uc aux bornes du condensateur en fonction du temps et donne les résultats suivants : Tracer la courbe représentant ln(uc) en fonction du temps. (0,5 point) Établir l'équation qui donne u(t) en fonction de R, C, Uo et t. (01 point) En déduire l'expression du coefficient directeur de la droite obtenue en (0,5 point) On pose τ = RC. Calculer la valeur de τ et en déduire C sachant que R = 106 Ω. (0,5 point) EXERCICE 8: CHARGE ET DECHARGE D UN CONDENSATEUR BAC S On étudie le comportement d un condensateur de capacité C dans un circuit série (figure 3). Pour cela, on réalise le montage schématisé ci-contre où : Go est un générateur de courant idéal, K est un interrupteur qui permet de charger le condensateur (K en position 1) ou de le décharger (K en position 2) à travers le conducteur ohmique de résistance R = 10 kω. Un dispositif (non représenté) relève à intervalles de temps réguliers, la tension u AB = u C aux bornes du condensateur. 4.1 A la date t = 0, le condensateur étant entièrement déchargé, on place l interrupteur K en position 1, le microampèremètre indique alors une valeur constante I 0 = 10 µa. On a représenté ci-après (graphe 1) la courbe donnant la tension u C en fonction du temps t Etablir la relation qui lie u C, C, I 0 et t. (0,5 point) 4.1.2A l aide du graphe 1, déterminer la capacité C du condensateur. (0,75 point) 4.2Lorsque la tension aux bornes du condensateur égale U 0= 6 V, on bascule K en 2 à l instant t = Etablir l équation différentielle relative à la tension u C aux bornes du condensateur à une date t Cette équation différentielle admet une solution de la forme u C(t) = A, relation où A et τ sont des constantes. Déterminer les valeurs de A et τ. Calculer la valeur de u C à t = 5τ. Quelle remarque peut-on faire? Donner la signification physique de τ. (01 point) A l aide d un logiciel, on a tracé la courbe donnant le logarithme népérien de u C en fonction du temps t, soit ln u C = f(t) (graphe 2). Retrouver la valeur de C à partir d une exploitation de ce graphe. (0,5 point) 4.3 On remplace le conducteur ohmique par une bobine résistive d inductance L = 80 mh. Le condensateur est à nouveau rechargé, puis il se décharge à travers la bobine. Un dispositif permet de suivre, pendant la décharge, l évolution au cours du temps de u C ainsi que l évolution de l intensité i du courant (graphe 3). Page 5

6 4.3.1Entre les instants t 1et t 2 (voir graphe 3), le condensateur se charge-t-il ou se décharge-t-il? Justifier la réponse Quel est le sens réel de circulation du courant entre t 1et t 2? Retrouver à partir de ces courbes la valeur de C. (0,75 point) OSCILLATIONS ELECTRIQUES EN CIRCUIT RLC EXERCICE 9 : CIRCUIT RLC SERIE Un dipôle (R, L, C) série est constitué - d un conducteur ohmique de résistance R = 50 Ω, - d une bobine d inductance L = 45 mh et de résistance r = 10 Ω, - d un condensateur de capacité C = 10 μf On alimente ce dipôle par une tension sinusoïdale de tension efficace U = 6 V et de fréquence f = 100 Hz. 1) Faire la représentation de Fresnel relative à ce circuit. 2) Calculer l impédance du circuit. 3) Calculer l intensité efficace I du courant. 4) Calculer la tension efficace aux bornes de chaque composant. 5) Calculer la phase ϕ de la tension par rapport à l intensité. EXERCICE 10 : DIPOLE RLC SERIE : FACTEUR DE QUALITE ET ENERGETIQUE Un dipôle possède les caractéristiques suivantes : R = 20 Ω, L = 500 mh, C = 100 μf. Il est alimenté par un GBF qui délivre une tension alternative sinusoïdale de fréquence f 0, de valeur efficace U = 5,0 V, qui provoque la résonance du dipôle (R, L, C). 1) Calculer f 0. 2) Calculer le facteur de qualité Q. 3) Déterminer l énergie stockée dans le dipôle (R, L, C). 4) Calculer l énergie consommée par le dipôle (R, L, C) pendant une durée t = 25 s. 5) Déterminer le facteur de puissance du circuit. EXERCICE 11 :CIRCUIT RLC SERIE BAC S1-S3 98 Une portion de circuit MN comprenant en série une bobine de résistance r et d'auto-inductance L et un condensateur de capacité C, est soumise à une tension u = 10 cos(2500t). On mesure les valeurs efficaces ci dessous : I = 150 ma ; U MP = 19 V ; U PN = 12 V Faire la construction de Fresnel en prenant l'échelle suivante : 1 cm pour 2 volts. (01,5 point) Déterminer graphiquement l'avance algébrique de phase de u par rapport à l'intensité instantanée i. Donner l'expression de i en fonction du temps. (01 point) Donner les expressions des tensions instantanées U MP et U PN en fonction du temps Calculer la puissance moyenne consommée par le dipôle MN. (0,5 point) Page 6

7 EXERCICE 12 : DIPOLE RL DIPOLE INCONNU BAC S Un dipôle D, comprend, en série, une bobine d'inductance L et de résistance r, un résistor de résistance R = 20 Ω. On applique aux bornes de cette association une tension sinusoïdale u = Um cos ωt. Grâce à un oscillographe on observe les courbes de la figure (1). Le balayage est réglé à 2, s/cm et la sensibilité des voies (1) et (2) est de 1 V/cm A partir des courbes, déterminer la période T, la pulsation ω et la fréquence (N) de la tension sinusoïdale Déterminer l'amplitude (Umax) de la tension aux bornes du dipôle D et l'intensité maximale (Imax) du courant traversant l'association Déterminer la différence de phase entre la tension aux bornes du dipôle D et le courant qui le traverse Déterminer les valeurs de l'impédance Z, du dipôle D, de r et de L de la bobine inductive On insère dans le circuit précédent, et en série, un condensateur de capacité C = 112 μf. On observe sur l'écran de l'oscillographe les courbes de la figure (2). Les réglages du balayage et des sensibilités verticales ne sont pas modifiés Préciser l'état de fonctionnement du nouveau circuit. Quel est le nouveau déphasage entre le courant et la tension aux bornes de ce circuit? L'état de fonctionnement de ce circuit est-il compatible avec la valeur de l'impédance Z trouvée à la question 4.1.4? A partir des grandeurs visualisées, dans la figure 2, retrouver la valeur de la résistance (r) de la bobine. EXERCICE 13 : CIRCUIT RLC SERIE BAC S2 99 Un générateur basse fréquence (GBF) délivrant une tension sinusoïdale de valeur efficace constante U = 10,0 V, est utilisé pour alimenter un conducteur ohmique de résistance R = 100 Ω, un condensateur de capacité C = 0,5 μf et une bobine de résistance Rb = 100 Ω et d'inductance L = 50 mh. Ces trois dipôles étant montés en série : 4.1- Pour la fréquence f = f 1 = 318 Hz du GBF, calculer : L impédance Z du montage. (0,5 point) La valeur efficace I 1 du courant i (t) débité par le GBF. (0,5 point) La puissance P 1 consommée par le montage. (0,5 point) La phase ϕ de la tension u (t) délivrée par le GBF par rapport au courant i(t) qu'il débite. Préciser laquelle de ces deux grandeurs (tension ou courant) est en avance sur l'autre (0,5 point) 4.2- Pour la fréquence f 1, tracer à l'échelle le diagramme de Fresnel du montage en utilisant les résultats des questions précédentes. (01 point) 4.3- Calculer la valeur f 0 de la fréquence propre du montage. Que deviennent les différentes valeurs calculées à la question (4. 1) si on alimente le montage avec la fréquence f? Comment s'appelle le phénomène particulier qui se produit quand f = f 0? (01 point) Page 7

8 EXERCICE 14 : CIRCUIT RLC SERIE BAC S Soit un dipôle R, L, C série formé d'un résistor de résistance R, d'une bobine d'inductance L et de résistance r = 17,65 Ω et d'un condensateur de capacité C. Il est relié aux bornes d'un générateur qui délivre une tension sinusoïdale de valeur efficace constante U = 1 V. La fréquence f de cette tension est réglable. Le dipôle est parcouru par un courant d'intensité efficace I. (Figure 2) 4.1- Établir l'équation différentielle qui fournit la valeur instantanée u(t) aux bornes du dipôle en fonction de R, r, L, C et de la fréquence. En déduire l'expression de l'intensité efficace I en fonction de f. (01 point) 4.2- L'expérience donne le tableau de mesure de l'intensité efficace en fonction de la fréquence, soit : Tracer la courbe I = g (f). Échelles : 2 cm 1mA ; 1 cm 20 Hz Indiquer la fréquence de résonance fo et l'intensité Io correspondante. En déduire R. (01,5 point) 4.3- A la résonance d'intensité la tension efficace Uc aux bornes du condensateur est donnée par Uc = Q.U où Q est le facteur de qualité du circuit et U la tension efficace aux bornes du circuit. En déduire les deux expressions de Q, l'une en fonction de L, l'autre en fonction de C. Pourquoi l'appelle-t-on facteur de surtension? (0,75 point) 4.4- Déduire de la courbe les valeurs f 1 et f 2 des fréquences qui limitent la bande passante usuelle En admettant que ǀf 2 f 1ǀ= fo/q. Calculer L et C pour ce circuit. (0,75 point) EXERCICE 15 : CIRCUIT RLC SERIE DIPOLE INCONNU BAC S1S On considère un dipôle D pouvant être un conducteur ohmique, une bobine de résistance r et d'inductance L ou un condensateur. Pour déterminer sa nature, on réalise le montage ci-contre. - le générateur B.F délivre une tension alternative sinusoïdale u(t) de fréquence N. - La résistance du conducteur ohmique est R = 205 Ω. - L'oscilloscope bicourbe, branché comme indiqué sur le schéma, possède les réglages suivants : balayage horizontal : 3 ms.cm -1 sensibilité verticale de la voie Y 1 : 20 V.cm -1 sensibilité verticale de la voie Y 2 : 10 V.cm On observe sur l'écran de l'oscilloscope les courbes ci-dessus Montrer que le dipôle D est une bobine résistive, Déterminer ses caractéristiques r et L Établir les expressions de 'l'intensité instantanée i(t) du courant et de la tension instantanée u(t) délivrée par le générateur. (02 points) La bobine précédente est montée en série avec un conducteur ohmique de résistance R' = 340 Ω et un condensateur de capacité C. L'ensemble est soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace U' = 220 V délivrée par un générateur basse fréquence réglée à la fréquence N' = 50,5 Hz Quelle doit être la valeur de la capacité C pour que le courant i'(t) parcourant le circuit soit en avance de phase deπ/6 sur la tension u'(t) délivrée par le générateur? (01,25 point) Établir les expressions de l'intensité instantanée P(t) du courant et de la tension instantanée u'(t) délivrée par le générateur. (02 points) Page 8

9 EXERCICE 16 : CIRCUIT RL BAC S Avec une bobine B, on réalise les expériences décrites ci-après Première expérience : on réalise le circuit correspondant à la figure 1. La bobine B est connectée à un générateur G de courant continu, de résistance négligeable, maintenant une tension constante U 1 = 6,7 V entre ses bornes. Un dispositif approprié, non représenté sur la figure permet de suivre l évolution de l intensité i du courant traversant le circuit. A l instant où l interrupteur K est fermé on déclenche le dispositif d enregistrement. L évolution de l intensité au cours du temps est donnée par la figure 2 jointe en annexe (page 5). a) Expliquer pourquoi durant cette expérience l intensité du courant ne prend pas instantanément une valeur constante (figure 2). D après l examen de la figure 2, au bout de combien de temps peut-on considérer que le régime permanent est atteint? (0,5 point) b) Etablir la relation entre la valeur I 0 de l intensité du courant en régime permanent, la tension U1 et la résistance R de la bobine. Vérifier que cette résistance vaut R = 10 Ω. (0,5 point) Deuxième expérience : Le générateur G est remplacé par un autre qui établit aux bornes de B une tension alternative sinusoïdale de fréquence f = 50 Hz et de valeur efficace U 2 = 6,0 V ; l intensité du courant traversant B a pour valeur efficace I 2 = 0,32 A. Déterminer l inductance L de la bobine B. (0,5 point) 5.2 La bobine B est associée en série avec un condensateur de capacité C = 2 μf. L ensemble est alimenté par un générateur délivrant une tension alternative sinusoïdale de valeur efficace U = 6,0 V et de fréquence réglable Pour quelle valeur de la fréquence fo y a-t-il résonance d intensité?. (0,25 point) Définir le facteur de qualité Q du circuit, puis établir son expression en fonction de U et de Uc tension efficace aux bornes du condensateur. Justifier l appellation de «facteur de surtension» que l on donne parfois à Q. (0,5 point) 5.3 On fait varier lentement f autour de la valeur fo précédente. On pose f = fo (1+E) avec E<< Montrer que l impédance Z du circuit est : Z = R E On admettra l approximation E 1- E Montrer que la puissance P transférée au circuit est donnée par P = E Pour quelle valeur de E cette puissance est maximale? Que vaut la puissance maximale? (0,75 point) L allure de la courbe donnant la puissance P transférée en fonction de f pour E ϵ ]-10-1 ; [ lorsque R = 10 Ω est donnée sur la figure 3 jointe en annexe (page 5). Tracer sur le même graphe (à rendre avec la copie) l allure de la courbe donnant la puissance transférée dans le cas où la résistance de la bobine est R 2 = 1 Ω puis dans le cas où R 3 = 100 Ω. Conclure. EXERCICE 17 : CIRCUIT RLC SERIE BAC S1S On donne : μ 0 = 4 π.10-7 S.I. On applique aux bornes d'une bobine de résistance r et d'inductance L une tension u(t) = 220 cos (2πft) de fréquence f variable. On mesure à l'aide d'un ampèremètre à aiguille, l'intensité Page 9

10 efficace I du courant électrique qui traverse la bobine pour différentes valeurs de f. On obtient les résultats groupés dans le tableau ci dessous : Z désigne l'impédance de la bobine Compléter le tableau et tracer le graphe Z 2 = g(f 2 ) (01 point) 3.2- Donner sans démonstration l expression de l'impédance Z d'une bobine de résistance r et de coefficient d'auto-inductance L. (0,25 point) 3.3- Déduire du graphe les caractéristiques r et L de la bobine. (01 point) 3.4- Rappeler la définition du coefficient d'auto-inductance L La bobine de longueur L = 30 cm comporte N = 1743 spires. Le diamètre d une spire est D = 10 cm. Établir l expression de L en fonction de L, N, et D. Calculer L La bobine de résistance r = 100 Ω, de coefficient d auto inductance L = 0, 1 H est branchée en série avec un conducteur ohmique de résistance R = 65,6 Ω et un condensateur de capacité C = 10 μf Calculer le déphasage φ de l'intensité i du courant par rapport à la tension aux bornes de l'association dans le cas où u(t) = 220 cos(100πt). Faire le diagramme de Fresnel. (0,75 point) Donner l'expression de la tension aux bornes de la bobine en fonction du temps. (01 point) EXERCICE 18 :OSCILLATIONS ELECTRIQUES CIRCUIT LC 1) Un condensateur de capacité C1 est chargé sous une tension constante U 1 (fig. 1). Calculer la charge Q 1 portée par l armature A ainsi que l'énergie emmagasinée E 1. A.N. : C 1 = 10-6 F, U 1 = 40 V. 2) Le condensateur C1, chargé dans les conditions précédentes, est isolé, puis relié à une bobine d'autoinductance L. la résistance du circuit est négligeable (fig. 2). A la date t = 0 on ferme l'interrupteur K. Un oscillographe permet de visualiser la tension u(t) aux bornes de la bobine. On obtient la courbe représentée (fig. 3). 2) Soit q(t) la charge portée par l'armature A à la date t. L'intensité i(t) est comptée positivement quand le courant circule dans le sens indiqué sur le schéma. a)etablir l'équation différentielle vérifiée par la charge q(t). b)en déduire l'expression littérale de la tension u(t). c)déterminer les valeurs de la tension maximale et de la pulsation. d) Calculer la valeur de l'auto-inductance L de la bobine. e) Quelles sont les expressions littérales en fonction du temps de l'énergie emmagasinée dans le condensateur, dans la bobine et de l'énergie totale emmagasinée dans le circuit. Comparer à la valeur E 1 Conclure. Page 10

11 EXERCICE 19 : CHARGE DE CONDENSATEUR EN SERIE ET CIRCUIT RLC On réalise le montage schématisé par la figure ci-contre. Le générateur a une f.é.m. E = 6 V, les condensateurs ont respectivement pour capacité C 1 et C 2 telles que C 1 = 3 μf, C 2 = 6 μf, la bobine a une résistance nulle et une inductance L = H. On note R la résistance du rhéostat. 1) Initialement les deux condensateurs sont déchargés. Que se passe-t-il quand l'interrupteur K est mis en position 1? Déterminer la charge et l'énergie acquises par chaque condensateur. 2) À l'instant t = 0 l'interrupteur est mis en position 2. 2.a- Après avoir expliqué, en quelques mots, le phénomène physique qui a lieu, établir l'équation d'évolution de la charge q du condensateur C 2 en précisant le sens positif choisi pour le courant i passant dans l'inductance. 2.b- Montrer que dans le cas où R = 0 l'équation différentielle obtenue a une solution de la forme : q = Qcos (ωt + ϕ). Préciser la valeur de ϕ, calculer les valeurs de Q et ω. Exprimer l'intensité i = f(t) du courant. Comment est répartie l'énergie dans le circuit à la date t = 2,2 ms? EXERCICE 20 : DIPOLE RLC : ETUDE A L OSCILLOSCOPE Un GBF délivre une tension sinusoïdale de fréquence f aux bornes d un dipôle comprenant en série : Une inductance pure L = 1,0 H et de résistance r = 8,5 ohm, Un condensateur de capacité C, Un conducteur ohmique de résistance R 0 = 100 ohm. La figure ci-dessus représente ce qu on observe sur l écran de l oscilloscope avec les réglages suivants : - Sensibilités verticales sur les deux voies : 2,0 V/division, - Balayage horizontal : 2 ms/division. 1) Déterminer la période T de la tension sinusoïdale u(t) délivrée par le G.B.F. En déduire la fréquence f et la pulsation ω correspondantes. 2) Déterminer les valeurs maximales Um de la tension aux bornes du dipôle et de l intensité Im du courant. 3) On pose i(t) = Imcos(ωt) et u(t) = Umcos(ωt+ϕ). Déterminer le déphasage ϕ entre u(t) et i(t). Quel est son signe? 4) A l aide de la construction de Fresnel, déterminer la relation donnant tanϕ en fonction des paramètres du circuit. En déduire la valeur de la capacité C du condensateur. Page 11

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