Oscillateurs mécaniques

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1 Oscillateurs mécaniques I. Mouvement Harmonique Simple (MHS) + + =. Projection sur [ ) : = + = Equation différentielle régissant le mouvement du dispositif {solide-ressort} Les solutions sont de la forme : ou : ( ) =. sin ( + ) ( ) =. ( + ) avec : ( ), é é h 1

2 (. ) : ( ) (. ) = é ( ): = é ( ) : = Remarques : La vitesse ( ) = ( ) =.. sin( + ) =. L accélération = ( ) =.. cos( + ) = -.[. ( + )] ( ) =. ( ) caractéristique d un oscillateur libre non-amorti (appelé aussi : Mouvement Harmonique Simple MHS) on peut noter également : =. x et φ dépendent uniquement des conditions initiales le mouvement est rectiligne sinusoïdal on parle de pulsation, période, et fréquence propres car, une fois le système lâché, plus aucun agent extérieur ne vient le modifier, dissiper ou lui apporter de l énergie Phase à l origine des dates : "décalage entre le phénomène réel et la courbe enregistrée" II. Aspect énergétique : Energie potentielle élastique : = ² 2

3 Energie mécanique pour un dispositif {solide-ressort} horizontal : = Donc = est un système conservatif Diagramme d évolution des énergies en fonction du temps t Au cours d une oscillation, il y a conversion réciproque de l énergie cinétique en énergie potentielle élastique, et réciproquement. III. Oscillateur mécanique libre amorti : En présence de frottements, il n y a plus conservation de l E m, celle-ci se dissipe sous forme de chaleur. a) Régime pseudo-périodique : Dans le cas où les frottements sont faibles ( = ), la période reste sensiblement la même que celle de l oscillateur libre amorti, l amortissement influe uniquement sur l amplitude. Plus les frottements augmentent, plus les oscillations sont amorties : on observe alors également une influence sur la période, elle devient légèrement supérieure à 3

4 Modélisation : Projection sur [ ) : =. + + = en posant le coefficient d amortissement tel que = et avec = + + = Les solutions sont de la forme : ( ) =. ( + ) avec la pulsation amortie : = Faibles amortissements petit : < L amplitude décroît de façon exponentielle 4

5 Aspect énergétique : L Energie Mécanique n est plus conservée au cours des oscillations, elle est dissipée par les frottements sous forme de chaleur. b) Régime critique et apériodique : En cas de frottements très importants (forte viscosité du fluide), le solide revient à sa position d équilibre sans même osciller une fois. L amortissement critique correspond à la durée la plus courte pour que le système revienne à l équilibre sans osciller. amortissement critique : = L amortissement critique est une phase intermédiaire entre le régime pseudo-périodique et le régime apériodique. ( régime intermédiaire entre «encore une oscillation» et «plus aucune oscillation»). 5

6 Régime apériodique : le système n effectue plus aucune oscillation, selon l intensité des frottements, il met plus ou moins de temps pour revenir à l équilibre (système au-dessus des lourdes portes des bâtiments publics pour éviter qu elles ne claquent) amortissements plus élevés : >2 IV. Oscillations forcées ; régime entretenu On part d un oscillateur amorti. Si on le laisse libre d osciller, progressivement il va perdre de l énergie et les oscillations vont diminuer jusqu à devenir nulles. Pour compenser les pertes d Energie Mécanique occasionnées par les frottements, on peut entretenir les oscillations par un agent extérieur composé d un moteur de fréquence réglable : celui-ci applique une force motrice périodique de la forme ( ) =. ( t) + + =. L amplitude des oscillations du système appelé résonateur dépend alors de la fréquence de rotation de l excitateur. 6

7 Lorsque la fréquence de l excitateur est voisine de la fréquence propre du résonateur, celui-ci oscille avec une amplitude maximale : on dit que le système se trouve à la résonance Pour un faible amortissement, c-à-d petit, la courbe de résonance est aigüe : pic de résonance Plus s accroît, plus la résonance s élargit et plus la pulsation de résonance est faible (décalée vers la gauche par rapport à la fréquence propre. Pour un fort amortissement, la courbe est même aplatie, la résonance est dite «floue» Pour des amortissements très élevés, il devient impossible à l excitateur de faire entrer le résonateur en résonance. 7

8 Chapitre 5 : Ondes Mécaniques I. Ondes mécaniques progressives : Mécanique de Newton : mécanique du point matériel, il y a transport de matière et d énergie, et cela, même dans le vide (cf chute libre) Mécanique des Ondes : il n y a pas de transport de matière, seul un signal est, momentanément, transmis à travers un milieu ; seule de l énergie (l énergie de la source) et de la quantité de mouvement sont transportées (mais pas forcément conservée) «mécanique» : car présence d un milieu matériel ( vide : ondes électromagnétiques laser -) «progressives» : une onde se propage à partir de la source, de proche en proche, dans toutes les directions qui lui sont offertes : ð sur la corde : unidirectionnelle ð à la surface de l eau : bidirectionnelle ð pour le son : tridimensionnelle ( Dans les milieux à deux ou trois dimensions, l énergie se répartit sur des cercles ou des sphères de plus en plus grands : il se produit une atténuation du signal, «il se dilue» ; pour les ondes sonores, les aigüs sont plus absorbés que les graves. ) Amplitude A : position maximale par rapport à la position de repos Ondes longitudinales : la déformation du milieu se fait parallèlement à la direction de propagation de l onde Ondes transversales : la déformation du milieu se fait perpendiculairement à la direction de propagation de l onde Vitesse de propagation, ou célérité : vitesse à laquelle progresse l onde dans milieu Newton vitesse Onde célérité ð pour une corde vibrante : = avec F (en N) : force transversale nette, ou force de rappel, ou tension de la corde ; : masse linéique (en kg/m) «Plus la corde est tendue, plus l onde se propage rapidement» 8

9 La célérité dépend: ð De l inertie du milieu (épaisseur d une corde, profondeur d eau, raideur d un ressort, masse d un corps, etc ) : plus l inertie est grande, moins la célérité est élevée (en effet, les points du milieu sont de plus en plus difficile à mettre en mouvement) ð De la rigidité du milieu élastique : plus le milieu est rigide, plus la célérité est élevée (une corde tendue transmet plus vite un signal qu une corde moins tendue) ð De l état de la matière : < < ð De la température : plus la température est élevée, plus la célérité est élevée En revanche, la célérité est indépendante de l amplitude de la déformation. II. Fonction d onde : : Une onde présente une double périodicité : Période temporelle T de l onde : durée au bout de laquelle un point du milieu se retrouve dans le même état (remarque : la période est la même que celle du vibreur par exemple) Variations de l amplitude u d UN POINT en fonction du temps t Période spatiale, ou longueur d onde l : plus courte distance séparant deux point vibrant en phase l n est pas caractéristique d une onde, elle dépend du milieu de propagation Seule la fréquence f (et donc aussi T) est caractéristique d une onde ; elle est constante quelque soit le milieu traversé Lien entre périodicité spatiale et périodicité temporelle (T) : = 9

10 Photo de toute la corde à UN INSTANT t La fonction d onde permet de connaître l amplitude u de n importe quel point x de la corde, à n importe quelle date t : (, ) = ( ± + ) «+» si l onde est régressive, si l onde est progressive Avec le nombre d onde (ou pulsation spatiale) k en rad.m -1 (ou m -1 ) : = = La fonction d onde est solution de l équation générale des ondes (équation aux dérivées partielles) : ² ² = ² ² ² Energie moyenne transportée par un petit segment de corde : = ² 10

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