LES OSCILLATEURS R L C. I(t) Les analogies électriques et mécaniques sont indiquées dans le tableau suivant : 1/LC K/m

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1 LES OSCILLATEURS Rappels théoriques Quelques domaines concernés... Electromagnétisme, électronique Acoustique Microscope à force atomique, vibrations intramoléculaires Sismographie Marées : résonances selon configuration locale des côtes et des fonds Mouvements planétaires: libration; précession; résonances orbitales. Exemples d'oscillateurs illustrés dans les TPs: circuits électriques RLC oscillateurs harmoniques classiques : pendule élastique (masse + ressort) oscillateurs électrodynamiques : haut parleur électrodynamique oscillateur de relaxation 1 - Oscillations libres Les analogies existant entre les oscillateurs simples reposent sur le fait qu'ils obéissent, au moins en première approximation, à des équations du type : d u du + σ + u où u(t) est la variable oscillante la pulsation propre du circuit σ le terme d'amortissement Exemple : Pour un circuit R L C série : C d V R dvc L LC V C I(t) R L C V C (t) Exemple : Pour un oscillateur mécanique : d x dx K + + x m m α k m k Pour ce cas : K k Les analogies électriques et mécaniques sont indiquées dans le tableau suivant : variable q(t) x(t) σ R/L α /m 1/LC K/m L R m α (frottement visqueux) les oscillateurs : rappels théoriques- 1

2 I dq v dx V C q C V L L di Félas Kx F m d x Les solutions de l'équation différentielle : d u du + σ + u σ sont : 1) si > régime apériodique (ou sur-amorti): u( t) u1 exp( r1t ) + u exp( r t) avec r 1,r -σ ± < ) si régime critique : u( t) ( A + Bt)exp( σ t) 3) si < régime pseudopériodique (ou sous-amorti): u( t) u exp( σ t) cos( Ωt + ϕ) avec Ω σ Chacune de ces 3 solutions tend asymptotiquement vers : elles correspondent toutes à un régime transitoire. Dans le régime pseudopériodique (dit oscillatoire), on définit : - la pseudopériode T : l'intervalle de temps entre maximums successif de u(t) avec Ω σ T π Ω - le décrément logarithmique δ : le logarithme népérien du rapport de maximums consécutifs de u(t) e [ σ( + )] [ Ω + + ϕ] u( t + T) u exp t T cos ( t T) u( t) u exp( σ t)cos( Ωt + ϕ) -δ -σt d'où sa relation avec l'amortissement σ : δ σ T avec σ R/L ou σ α /m e - la constante de temps des oscillations libres τ : l'intervalle de temps au bout duquel l'amplitude des oscillations est réduite d'un facteur 1/e : τ 1/σ. Comme l'amplitude des oscillations est nulle après quelques valeurs de τ, on dit qu'il caractérise la durée de vie de ces oscillations amorties. les oscillateurs : rappels théoriques-

3 - Oscillations forcées Le système est soumis à une excitation sinusoïdale Acos t : d u du + σ + u A t cos a) Régime stationnaire La solution stationnaire (ou de régime permanent) décrit le comportement de l'oscillateur longtemps (t>>τ) après l'application de l'excitation sinusoïdale, une fois que le régime transitoire est complètement éteint. Dans ce cas la fréquence d'oscillations est celle de l'excitation externe et l'amplitude u est directement proportionnelle à l'amplitude A de l'excitation externe: u(t) u cos ( t - φ ) u A ( ) + 4σ et tgφ σ φ étant le déphasage de la grandeur par rapport à l'excitation. Ci-dessous on présente la dépendance u() et φ() pour différentes valeurs de l'amortissement σ. (u ) max σ /1 σ /5 σ /.5 σ φ 18 9 u () σ On remarque que pour un fort amortissement (σ ) l'amplitude de l'oscillation u ne cesse de diminuer avec la fréquence d'excitation (f / π). Par contre, lorsque l'amortissement est faible (σ <<, voir la courbe σ /1), pour une valeur proche de l'amplitude est maximale et grande: c'est la résonance. Pour l'oscillateur mécanique, l'amplitude du mouvement est amplifiée, parfois dangereusement. Pour le circuit RLC, ce sont les tensions V L et V C qui prennent des valeurs importantes. D'autre part, à la variable oscillante u(t) est toujours en quadrature de phase (φ 9 ) avec l'excitation. Pour caractériser cette résonance on utilise une grandeur appelée facteur de qualité Q (ou de surtension) définie comme: Q π énergie moyenne stockée dans le système énergie moyenne dé pensée Pour un faible amortissement (σ << ) on obtient : Q En particulier pour un circuit RLC, cela se traduit par: C ( ) Q max ou L Q 1. R RC V V générateur u ( ) u ( ) σ les oscillateurs : rappels théoriques- 3.

4 I max I max / σ /1 σ /5 σ /.5 σ σ Si l'on prend comme grandeur résonnante le courant dans le circuit, on détermine le facteur de qualité à partir de la courbe I() comme : Q où correspond à la pulsation pour laquelle I() est maximal (I max )et la différence entre les pulsations pour lesquelles : I( ) I max /. En résumé, le facteur de qualité est d'autant plus grand que l'amortissement est faible. Ordre de grandeur : pour un bon oscillateur mécanique (tels que ceux que l'on utilise en sismographie) Q dépasse la valeur de 1. Certains oscillateurs mécaniques tel que les quartz ont des facteurs de qualité qui atteignent 1 5. b) Régime transitoire Le régime transitoire s'intéresse aux premiers instants après l'application de l'excitation. La solution générale comprendra en dehors du terme de régime permanent, un terme qui s'annulera aux temps longs. Ce éme terme dépend des conditions initiales (position et vitesse). Si l'oscillateur est au repos à t (u() et u ( ) ) et pour un faible amortissement on obtient : u( t) u cos( t ) exp( t) cos( t ) φ σ Ω θ Ω stationnaire transitoire avec Ω la pulsation de l'oscillation libre Ω σ les oscillateurs : rappels théoriques- 4 et σ( + ) θ. Ω( ) Deux cas particuliers nous intéressent : - si la fréquence d'excitation est exactement égale à la fréquence propre _ (donc à la résonance) A urésonance ( t) [ 1 exp( σ t) ] sin t σ Dans ce cas l'amplitude croit continuellement de jusqu'à sa valeur finale, de régime stationnaire. - si la fréquence d'excitation est proche de la fréquence propre ( ) << et si l'on regarde peu après l'application du signal t << τ (donc exp(-σ t) 1 ) on observe un phénomène de "battements" : une oscillation d'une fréquence moyenne "rapide" + m ayant l'amplitude modulée à la fréquence "lente". b

5 u battements A ( t) + sin t sin t φ + σ ( ) Intuitivement on peut considérer les battements comme dues à une compétition entre la fréquence propre de l'oscillateur et la fréquence imposée de l'excitation : l'oscillateur "préférerait" osciller à sa fréquence propre mais il est obligé de se déplacer à la fréquence. Pour cela la force externe agit à certains moments avec une phase relative qui permet d'augmenter l'amplitude d'oscillation et à d'autres moments avec une phase opposée diminuant les oscillations. A cause de l'amortissement l'oscillateur ajuste progressivement sa phase par rapport à l'excitation, pour arriver après un temps suffisamment long (t>>τ) en régime stationnaire à osciller à la fréquence. u résonance (t) u battements (t) t t 3 - Oscillations couplées - Système à oscillateurs Le mouvement ordinaire d'un système à degrés de libertés n'est pas une oscillation harmonique, cependant on peut montrer que le plus compliqué de ces mouvements est simplement une superposition des mouvements harmoniques simples et indépendants que l'on appelle des modes normaux. Si le système est soumis à une excitation sinusoïdale, on obtient une résonance à chaque fois que la fréquence d'excitation est proche de la fréquence d'un mode. Pour obtenir les fréquences correspondantes aux modes normaux (appelées aussi fréquences propres), il suffit d'écrire les équations décrivant le système en mouvement libre et de poser la condition que toutes les éléments du système oscillent à la même fréquence (ceci est vrai si et seulement si le système est sur un mode normal). Dans les TP, on étudiera 3 types d'oscillateurs couplés et pour ceci on détaille les équations. Oscillations mécaniques k m k' m k x 1 x k m 1 d x k' m x k' ( ) m x d x k' m x k' ( ) m x Oscillations électriques couplées par capacité les oscillateurs : rappels théoriques- 5

6 L C C L On applique fois la loi des mailles : I 1 V 1 V Γ I 1 - I I j L + I I C 1 Γ jγ I1 + j L + I j C Γ Γ Oscillations électriques couplées par mutuelle inductance C M C On applique fois la loi des mailles : 1 j L1 C I 1 + j MI I 1 (t) L 1 L I (t) 1 j MI1 + j L C I En cherchant des solutions de la forme : x ( ou I ) A exp( j t) et x ( ou I ) A exp( j t) on trouve deux solutions : a) 1 k m ou 1 1 LC Les déplacements des deux masses (pour l'oscillateur mécanique) et les tensions V 1 et V (pour l'oscillateur électrique) sont de même amplitude et en phase. b) 1+ k ' ou 1+ C' k Γ Les déplacements des deux masses (pour l'oscillateur mécanique) et les tensions V 1 et V (pour l'oscillateur électrique) sont de même amplitude mais en opposition de phase. On peut généraliser pour un système de N oscillateurs couplés : on aura N modes normaux, la fréquence d'un mode n étant donnée par: nπ n sin ( N + 1 ) les oscillateurs : rappels théoriques- 6

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