OSCILLATEURS MECANIQUES

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1 OSCILLATEURS MECANIQUES 1 1. GENERALITES : 1.1.Définition : un oscillateur mécanique est un système matériel animé d un mouvement périodique. On appelle oscillateur harmonique, un oscillateur pour lequel la variable position est une fonction sinusoïdale du temps : TRANSLATION : x = a cos ( ω t + ϕ ) 1.2.Particularités de l oscillateur harmonique : Position : en [ m ] x = a cos ( ω t + ϕ ) Vitesse : en [ m. s 1 ] v = dx dt = x = a ω sin ( ω t + ϕ ) x et v sont deux fonctions en quadrature : si x est au maximum (ou au minimum), alors v s annule et vice-versa. Accélération : en [ m. s 2 ] γ = dv dt = d2 x dt 2 = x = a ω² cos ( ω t + ϕ ) 1.3. Equation différentielle du mouvement : x = a cos ( ω t + ϕ ) et x = a ω² cos ( ω t + ϕ ) Donc x = ω² x ce qui donne l équation x + ω² x = 0 Une fonction sinus ou cosinus vérifie l équation différentielle précédente. Inversement, on admettra que si l étude d un système mécanique, soumis à un ensemble de forces, conduit à une équation différentielle du type : x + ω² x = 0 alors la solution est sinusoïdale x = a cos ( ω t + ϕ ) a et ϕ sont déterminés par le problème physique 1.4. Résolution d un problème : * système étudié * bilan des forces extérieures * Principe fondamental de la Dynamique : Σ r F = m r γ * Projection sur un axe X X : Σ F = m γ = m x

2 si Σ F = x (force de rappel), alors x = m x x + m x = 0 C est une équation du type : x + ω² x = 0 La solution de l équation est une fonction sinusoïdale : x = a cos ( ω t + ϕ ) avec ω² = m 2 La période du mouvement vaut T = 2 π ω 1.5. Energies mises en jeu dans l oscillateur harmonique : x = m x m x + x = 0 En multipliant les deux membres de l équation par v, on obtient : m. v. x +. x. v = 0 m. v. dv +. x. dx = 0 dt dt En multipliant par dt, on obtient : m. v. dv +. x. dx = 0 En intégrant par rapport à chaque variable, on trouve : 1 2 m v x2 = Cte Ce qui n est rien d autre que la conservation de l énergie mécanique : Em = Ec + Ep = Cte Si x = a v = 0 et alors Em = a2 Sachant que ω² = m = m ω² Donc Em = 1 2 m ω² a2 2. OSCILLATIONS AMORTIES Amortissement par frottement visqueux : c est le frottement lors du déplacement d un solide dans un fluide (gaz ou liquide) Diminution d énergie : Force de frottement : r F = b. r v * diminution d énergie pendant le temps dt : de = r F. r v. dt c est le travail de la force de fottement pendant le temps dt de = b. v 2 de. dt < 0 l énergie diminue quand le temps s écoule dt * pour une oscillation complète : ( de dt ) 2 moy = b. v moy

3 Sachant que v = x = a ω sin ( ω t + ϕ ), on démontre que pour une période complète : v moy 2 = 1 2 ω² a2 * Expression de l énergie : Donc de dt de dt = b. v moy 2 = b. 1 2 ω² a2 = b m. 1 2 m ω² a2 = b m. E En séparant les variables : de E = b m. dt 3 Ce qui donne en intégrant : E = Eo exp ( b m. t ) L énergie diminue de façon exponentielle et l amplitude diminuera donc aussi de façon exponentielle a = a o exp ( b 2 m. t ) x = a o exp ( b 2 m. t ). cos 2 π Τ. t 2.3. Equation différentielle et résolution : Σ F = m x ce qui donne avec la force de rappel du ressort ( F r = x ) et la force de frottement visqueux ( Ff = b v ) x b x = m x x + b m x + m x = 0

4 C est une équation du type : Avec ω ο x + 2 λ x + ω ο ² x = 0 2 λ = b et ω ο ² = m m ω ο = représente la pulsation propre (en l absence de frottements) Résolution : on cherche des solutions du type : x = e r. t * équation caractéristique : r λ r + ω ο ² = 0 * discriminant réduit : = λ² ω ο ² m 4 * les solutions seront : r 1 = λ λ² ω ο ² r 2 = λ + λ² ω ο ² 3 CAS à envisager : REGIME APERIODIQUE * > 0 <==> λ > ω o : amortissement fort r 1 et r 2 : 2 solutions réelles la solution sera de la forme : REGIME CRITIQUE * = 0 <==> λ = ω o : amortissement moyen r 1 et r 2 : 2 solutions confondues la solution sera de la forme : REGIME PSEUDO-PERIODIQUE * < 0 <==> λ < ω o : amortissement faible r 1 et r 2 : 2 solutions complexes conjuguées La solution sera de la forme : x = a o e λ t. cos (ω t + ϕ)

5 * PSEUDO-PERIODE : T = 2 π ω étant la pseudo-pulsation ω ω 2 = ω 2 ο - λ 2 * si l amortissement est très faible, alors λ est très petit donc λ² sera négligeable devant ω ο : ω = ω ο ==> To (période propre) = T (pseudo-période) * si l amortissement n est pas trop faible, alors λ n est pas très petit, donc λ² ne sera plus négligeable devant ω ο : ω < ω ο ==> T (pseudo-période) > To (période propre) Par le frottement, le mouvement est légèrement ralenti. 3. OSCILLATIONS FORCEES 3.1. Situation du problème : on raisonne sur un oscillateur de translation : l amortissement est FAIBLE l oscillateur (appelé aussi RESONATEUR) subit de la part d un EXCITATEUR une force r F qui varie de façon sinusoïdale dans le temps : F = Fo e i ω t Comment va osciller le RESONATEUR? 3.2. Etude expérimentale : L expérience sera faite avec un pendule simple : Une masse suspendue à un fil de longueur L. L avantage de ce dispositif, c est qu on peut faire varier facilement la période d oscillation en modifiant simplement la longueur L du fil. On L démontre que : T = 2 π g Pour l excitateur, on prend une masse importante Pour le résonateur, on prend une balle en mousse ou une balle de ping-pong. Dispositif : 5 L o L 1 L 2

6 6 CONSTATATIONS : si T res < T exc alors après quelques oscillations et arrêts successifs, le résonateur oscille avec la même période que l excitateur EN PHASE, mais avec une AMPLITUDE PLUS FAIBLE si T res > T exc alors après quelques oscillations et arrêts successifs, le résonateur oscille avec la même période que l excitateur EN OPPOSITION DE PHASE, mais avec une AMPLITUDE TRES FAIBLE si T res = T exc au début le résonateur oscille de façon décalée (déphasage de π au démarrage)avec une AMPLITUDE DE PLUS EN PLUS GRANDE : 2 c est LA RESONANCE 3.3. Equation différentielle et solutions (calcul pour la résonance) * équation différentielle : x b x + F o e i ω t = m x x + b x + m m x = F o m e i ω t C est une équation du type : x + 2 λ x + ω ο ² x = F o m e i ω t * D après l expérience, on constate que le résonateur oscille avec la m^me période que l excitateur : on cherche donc des solutions du type : x = a e i ( ω t + ϕ) * On démontre que l amplitude est MAXIMALE lorsque ω = ω ο RESONANCE 3.4. Applications de la résonance : elles nombreuses en particulier en acoustique EXERCICE : Soit une voiture avec sa suspension ( M = 1000 g et = N.m 1 ). Cette voiture arrive sur une série de bosses équidistantes d une distance d = 20 m. 1.) Quel est le rôle des amortisseurs? 2.) Calculer la vitesse V qu il serait préférable d éviter. Pourquoi? 1.) Les amortisseurs ont pour but d éviter les oscillations de la suspension : bonne tenue de route. Un bon amortisseur fonctionne en régime dit CRITIQUE : λ = ω o 2.) Il vaut mieux éviter la résonance : RESONANCE : ω = ω ο c'est à dire ω bosse = ω voiture Avec ω bosse = 2 π et Tb = d Tb V ω voiture = m Donc m = 2 π V d V = d 2 π m = 20,1 m.s 1 = 72,5 m/h

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