Signal 4 Les oscillateurs amortis

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1 Signal 4 Les oscillaeurs amoris Lycée Polyvalen de Monbéliard - Physique-Chimie - TSI Conenu du programme officiel : Noions e conenus Circui RLC série e oscillaeur mécanique amori par froemen visqueux. Capaciés exigibles - Mere en évidence la similiude des comporemens des oscillaeurs mécanique e élecronique. - Réaliser l acquisiion d un régime ransioire du deuxième ordre e analyser ses caracérisiques. - Analyser, sur des relevés expérimenaux, l évoluion de la forme des régimes ransioires en foncion des paramères caracérisiques. - Prévoir l évoluion du sysème à parir de considéraions énergéiques. - Prévoir l évoluion du sysème en uilisan un porrai de phase fourni. - Écrire sous forme canonique la relaion différenielle afin d idenifier la pulsaion propre e le faceur de qualié. - Connaîre la naure de la réponse en foncion du faceur de qualié. - Déerminer un ordre de grandeur de la durée du régime ransioire, selon la valeur du faceur de qualié. En gras les poins devan faire l obje d une approche expérimenale. Table des maières 1 Le sysème masse-ressor amori Posiion du problème Équaion différenielle d un oscillaeur amori Régime ransioire e régime permanen Classificaion des régimes ransioires Éude énergéique Évoluion de l énergie mécanique Le porrai de phase Le circui RLC série Mise en équaion élecrique Discussion des réponses Aspecs énergéiques Analogie élecrique e mécanique 9 Dans le chapire précéden, nous avons éudié l équaion de l oscillaeur harmonique. Si cee équaion perme de décrire une large gamme de sysèmes physique, il ne s agi oujours que d une première approximaion. En effe, un sysème décri par un oscillaeur harmonique oscille indéfinimen sans perdre d énergie. Or, il exise oujours une phénomène physique provoquan un pere d énergie, plus ou moins imporane, qui va aénuer le mouvemen. Selon l imporance de cee pere, le mouvemen sera amori plus ou moins rapidemen. C es ce que nous allons éudier dans ce chapire. Les élémens de ce chapire permeen par exemple de discuer les amorisseurs auomobiles, qui ne peuven êre modélisés par se simples ressor sinon ils oscilleraien indéfinimen e n amoriraien rien. 1 Le sysème masse-ressor amori Considérons à nouveau une masse accrochée à un ressor verical. Le ressor es accroché par un exrémié au plafond andis qu une masse m es accrochée à l exrémié libre. Cee fois, nous enons compe du fai que la masse es dans l air qui exerce une force de froemen fluide sur la masse /10

2 1.1 Posiion du problème On éudie le problème dans le référeniel erresre R T supposé galiléen e on se placera en coordonnées carésiennes. Bilan des forces : le poids # p = m # g = mg # e z ; la force de rappel du ressor # F = ±k(l() l 0 ) # e z. Ici l() = d où # F = ±k( l 0 ) # e z. Sur le schéma, la force es dirigée selon # e z alors que es posiive, soi donc # F = k( l 0 ) # e z ; z = 0 # e z l 0 O l la force de froemen fluide de l air sur la masse Ff F # F f = λ # v () p avec λ le coefficien de froemen e # v () le veceur viesse de la masse m. Seconde loi de Newon : En noan # a le veceur accéléraion de la masse, il vien m # a = mg # e z k( l 0 ) # e z λ # v. (1.1) Fig. 1 Schéma du problème du sysème masseressor verical en enan compe de la force de froemens fluide. L origine des z es prise au niveau du plafond. Expression des veceurs cinémaiques : Les veceurs cinémaiques de la masse, qui ne peu bouger que selon l axe # e z, son donc OM = # e z e # v = ż() # e z e # a = # e z. Projecion : Projeons la seconde loi de Newon (1.1) sur l axe # e z en uilisan les veceurs cinémaiques. Il vien m = k λż() + kl 0 + mg. (1.2) Posiion d équilibre Lorsque le ressor es à l équilibre, on a = 0 e v() = 0, dans ce cas, il vien 0 = kz eq + kl 0 + mg, la posiion de la masse à l équilibre es donc z eq = l 0 + mg. Cee posiion d équilibre es supérieure à la k longueur à vide, ce qui es cohéren avec le fai que le poids ire la masse vers le bas. Éablissemen de l équaion différenielle On rouve, en uilisan la posiion d équilibre, e en divisan par la masse pour avoir un coefficien 1 devan la dérivée d ordre supérieur + λ mż() + k m = k m z eq. (1.3) 2/10

3 1.2 Équaion différenielle d un oscillaeur amori Définiion. Un oscillaeur amori es un sysème physique décri par la foncion vérifian l équaion différenielle linéaire à coefficien consans du second ordre suivane + ω 0 Q ż() + ω2 0 = ω 2 0z eq (1.4) avec ω 0 la pulsaion propre du sysème, z eq la valeur d équilibre de la foncion e Q le faceur de qualié du sysème, un nombre sans dimension. Remarque : Tou comme l équaion harmonique, cee équaion différenielle es à connaîre sous cee forme par cœur. Pour rouver les coefficiens ω 0 e Q, on procède par idenificaion enre l équaion (1.4) connue par cœur e l équaion physiques (1.3) en commençan par ω 0. k Par idenificaion, on rouve dans nore problème à nouveau ω 0 = m. Pour rouver le faceur de qualié, en connaissan par cœur l équaion (1.4) e en idenifian avec les coefficiens de l équaion (1.3), il vien λ m = ω 0 = Q = ω 0m km = Q =. Q λ λ L expression du faceur de qualié n es pas à connaîre par cœur par conre il fau savoir la rerouver rapidemen. Applicaion 1 : Vérifier, à parir de l équaion (1.4), que le faceur de qualié es bien sans dimension. 1.3 Régime ransioire e régime permanen À l aide de l animaion [1], on consae que, à parir d une condiion iniiale de la masse en viesse e posiion, le mouvemen de la masse au cours du emps varie selon la valeurs des coefficiens. Après un régime plus ou moins long, comporan ou non des oscillaions selon la valeur de Q, la masse arrive à une ceraine posiion d équilibre. Par exemple, son racés figure 2 différens mouvemen de la masse au cours du emps selon la valeur du faceur de qualié Q. À nouveau, comme sur les sysèmes du premier ordre, on observe un régime ransioire, plus complexe qu au premier ordre, enre deux régimes permanens décris par des posiions d équilibres données. Ainsi, pour changer la posiion d un sysème du second ordre, un régime ransioire apparaî qui dépend de la valeur des coefficiens ω 0 e Q. Ainsi, si un sysème physique es décri par une grandeur φ varian en foncion du emps régie par l équaion différenielle d un oscillaeur amori, on aura schémaiquemen le comporemen suivan. ϕ 1 ϕ 2 Éa iniial Régime permanen 1 Régime ransioire d ordre 2 Éa final Régime permanen Classificaion des régimes ransioires Au vu de l animaion [1], on consae deux sores de régime, l un comporan des oscillaions d ampliude de plus en plus faible, e l aure ne comporan aucunes oscillaions. Enre les deux, il exise de façon logique un régime criique. Ces différens régimes son représenés figure 2. 3/10

4 Régime pseudo-périodique (Q = 3) Régime criique (Q = 1/2) Régime apériodique (Q = 0.1) z eq z 0 Fig. 2 Différenes soluions de l équaion de l oscillaeur amori (1.4) en foncion du faceur de qualié Q pour des condiions iniiales correspondan à une viesse iniiale nulle e à une compression du ressor. Dans le programme de physique de TSI, il n es pas exigible de savoir résoudre expliciemen l équaion (1.4). Touefois, dans le programme de mahémaique, la résoluion exace de l équaion es exigible. Ainsi, l explicaion rigoureuse la discussion es réalisée en mahémaique e sera discuée précisémen en séance d AP. Le régime pseudo-périodique Prenons Q 1, dans ce cas, dans l équaion (1.4), on a ω 0 /Q qui end vers 0. L équaion de vien celle de l oscillaeur harmonique, on observera donc des oscillaions. Ce phénomène se rerouve en consaan que Q es inversemen proporionnel à λ, la consane de la force de froemen. E donc plus Q es grand, plus les froemens son négligeables. Touefois, les froemens, même faibles, exisen e raduisen une dissipaion d énergie son présens, l oscillaion es donc nécessairemen décroissane. Définiion. Le régime pseudo-périodique s observe lorsque Q > 1. Dans ce cas, le régime ransioire 2 es un régime oscillan à une pulsaion différene de ω 0 don l ampliude décroî exponeniellemen. z eq z 0 Fig. 3 Le régime pseudo-périodique pour Q = 10. L enveloppe exponenielle es racée en poinillée. Le premier régime permanen correspond à z( < 0) = z 0 puis le second régime permanen correspond à z( + ) = z eq. Remarque : Aenion, la pulsaion des oscillaions vau ω = ω 0 Q 2 4, qui n exise que pour Q supérieur à 1/2 e qui n es pas ω 0, elle dépend de Q. Pour Q 1, les deux pulsaions son rès proches par conre pour Q proche de 1/2, les pulsaions diffèren significaivemen. 4/10

5 Nombre de pseudo-oscillaions : Deux courbes pour deux faceurs de qualié différens son racés figure 4a. Propriéé. On adme que le nombre N de pseudo-oscillaions observables es donné par N 1.5 Q. Durée du régime ransioire : Le régime ransioire peu êre défini comme le emps nécessaire à ce que l ampliude des pseudo-oscillaions devienne inférieur à 1% de z eq z 0. Dans ce cas, les oscillaions deviennen négligeables cas non mesurables. Propriéé. On adme que la durée du régime ransioire τ pp du régime pseudo-périodique es donnée par τ pp Q ω 0. On peu se souvenir de cee ordre de grandeur à parir de l équaion (1.4). En effe, le erme d amorissemen dans cee équaion es ω 0 ż(). En faisan un parallèle avec les sysèmes du premier ordre, on Q idenifie le emps caracérisique d amorissemen comme éan l inverse du coefficien devan ż(), soi τ pp Q. ω 0 Q = 10 Q = 3 Régime pseudo-périodique Q = 10 Q = 3 Q = 1 z eq z 0 z 0 (a) Influence du faceur de qualié Q sur le nombre N pour une même pulsaion ω 0 : N 1.5 Q. (b) Durée du régime ransioire en foncion du faceur de qualié Q pour une même pulsaion ω 0 : τ pp Q ω 0. Fig. 4 Le nombre de pseudo-oscillaions e la durée du régime ransioire du régime pseudo-périodique en foncion de faceur de qualié Q pour une même pulsaion ω 0. Le régime apériodique (ou sur-amori) Prenons cee fois Q 1, dans ce cas, dans l équaion (1.4), on a ω 0 /Q qui end vers l infini. Comme Q es inversemen proporionnel à λ, la consane de la force de froemen, cela signifie que celle-ci es rès imporane. Ce phénomène correspond par exemple à lâcher le ressor dans un fluide rès visqueux, comme de l huile. Il n y aura donc naurellemen aucune oscillaions. Définiion. Le régime apériodique s observe lorsque Q < 1. Dans ce cas, le régime ransioire es un 2 reour à l équilibre proche d une exponenielle. Plusieurs courbes son racés figure 5. 5/10

6 Remarque : La différence fondamenale avec un reour à l équilibre exponenielle vien de la pene à l origine. En effe, dans une dynamique d ordre 1, elle dépend uniquemen de la consane de emps τ. Dans une dynamique d ordre 2, la viesse à l origine es fixée par les condiions iniiales. Dans nore exemple, elle es vraisemblablemen nulle don la courbe a une pene nulle au emps = 0, ce qui es difficile à voir sur les graphiques à cause de l échelle de emps. Durée du régime ransioire : Dans ce cas, on peu considérer que la masse bouge ellemen lenemen que nous pouvons négliger l accéléraion dans l équaion (1.4), e nous sommes alors ramenés à une équaion 1 différenielle d ordre 1 à coefficien consan de consane de emps. Ce résula es illusré figure 5. Qω 0 Le régime ransioire es erminée lorsque la foncion a aein une fracion arbirairemen fixée de la valeur finale, généralemen de l ordre de 99%. Propriéé. On adme que la durée du régime ransioire τ du régime apériodique es donnée par τ a 1 Qω 0. z eq Régime apériodique Q = 0.3 Q = 0.2 Q = 0.1 z 0 Fig. 5 Durée du régime ransioire du régime criique en foncion du faceur de qualié Q pour ω 0 fixé : τ a 1 Qω 0. Le régime criique Définiion. Le régime criique es le régime inermédiaire enre le régime pseudo-périodique e le régime apériodique. Il s observe pour rigoureusemen Q = 1. Il s agi du régime ransioire le plus cour e qui 2 se rapproche le plus rapidemen possible du régime permanen. Il es racé figure 2. C es un régime idéal car, dû aux inceriudes expérimenales, il es impossible d avoir rigoureusemen la condiion Q = 1/2 sur un sysème réel. On peu ouefois s en rapprocher suffisammen pour ne plus voir les oscillaions ou en resan le plus cour possible. 2 Éude énergéique 2.1 Évoluion de l énergie mécanique Nous souhaions éudier l évoluion de l énergie mécanique. Comme pour oues les éudes mécaniques, parons de l équaion de la seconde loi de Newon (1.2) que nous muliplions par la viesse ż(), il vien mż() = k( l 0 )ż() λż 2 () + mgż(). (2.1) 6/10

7 On reconnaî la dérivée de l énergie cinéique de c () = d ( ) 1 2 mż2 () = mż() ; la dérivée de l énergie poenielle d élongaion du ressor de p,r () = d ( ) 1 2 k( l 0) 2 () = k( l 0 )ż(). Par ailleurs, comme nous le verrons par la suie, l énergie poenielle de pesaneur d une masse m s exprime E p,p () = mg. Ainsi, l équaion (2.1) se réécri d (E c() + E p,r () + E p,p ()) = de m() = λż 2 () (2.2) où l on noe E m () l énergie mécanique oale en foncion du emps, soi la somme de l énergie cinéique e de oues les énergies poenielles. On noe P f () = λż 2 () la puissance dissipée par les froemens. Cee puissance es équivalene à l énergie dissipée par effe Joule en élecricié. Plus les froemens son fors, e donc plus λ es grand, plus la pere d énergie sera imporane. On a donc la relaion énergéique de m () = P f () < 0. La dérivée de l énergie mécanique es négaive, la masse perd donc de l énergie au cours du emps à cause des froemens. C es cohéren avec la naure physique des froemens. Cee énergie dissipée es converie, comme la majorié des peres d énergie en physique, sous forme de chaleur. Pour observer la diminuion d énergie en foncion du emps selon les régimes, on peu se rapporer à l animaion [2]. Remarque : La discussion précise sur les relaions énergéiques e les puissances sera menée, en ce qui concerne la mécanique, dans le chapire M5 plus ard dans l année. 2.2 Le porrai de phase Sur la figure 6 es racé le porrai de phase enre v = ż() e Z = z eq. On race en foncion de cee variable pour cenrer le porrai de phase auour de 0. Les courbes son cee fois ouveres e paren de la condiion iniiale vers le poin d équilibre (v = 0, Z = 0). Cee convergence vers le poin d équilibre radui la dissipaion de l énergie. En ce qui concerne le régime pseudo-périodique, un our dans le porrai de phase correspond à une oscillaion. En compan le nombre de our, on obien N e en uilisan Q N/(1.5), on esime Q. Sur la figure 6,Ici, Q 2. 7/10

8 v Pseudo-périodique Apériodique Criique = 0 z 0 z eq Z = + Fig. 6 Visualisaion des différenes soluions dans le porrai de phases avec Z = z eq. 3 Le circui RLC série Nous éudions mainenan le couran dans le circui élecrique de la figure 7. Pour cela, nous allons réuiliser exacemen la méhode décrie au chapire E3 pour obenir l équaion différenielle du premier ordre dans les circuis élecriques. E i() R L C u R() u L() u C() Fig. 7 Circui RLC série. À < 0, le condensaeur es déchargé. 3.1 Mise en équaion élecrique Toues les noaions de ension e de couran son indiquées sur le schéma. Relaions des dipôles : loi d Ohm bobine condensaeur Loi des mailles : u R () = Ri() ; (3.1) u L () = L di() q() = Cu C () i() = dq() ; (3.2) = C du C(). (3.3) E = u R () + u C () + u L (). (3.4) Équaion élecrique : Uilisons (3.1) e (3.2) pour remplacer les ensions dans (3.4). Il vien E = Ri() + u C () + L di() Dérivons cee relaion pour pouvoir uiliser la relaion (3.3), il vien donc 0 = R di(). + 1 C i() + Ld2 i() 2 (3.5) 8/10

9 que l on peu mere sous la forme canonique d une équaion différenielle du second ordre 3.2 Discussion des réponses 0 = d2 i() 2 + R L di() + 1 i(). (3.6) LC Comme nous l avons vu précédemmen, les coefficiens de l équaion différenielles doiven êre rouvés 1 par idenificaion. Il vien d abord ω 0 = puis nous devons résoudre LC ω 0 Q = R L Q = ω 0L R Q = 1 R L C. Pour racer l allure du couran, nous avons besoin des condiions iniiales : le couran raversan une bobine éan une foncion coninue du emps, on a i( = 0 ) = i( = 0 + ) = i(0) = 0. la ension aux bornes d un condensaeur es une foncion coninue du emps, donc u C ( = 0 ) = u C ( = 0 + ) = u C (0) = 0. En écrivan la loi des mailles (3.4) à = 0 e en uilisan ces deux condiions, il vien u L (0) = E e en prenan la définiion (3.2), il vien di(0) = E L. À = 0, le couran es nul e sa dérivée es posiive. En uilisan ces condiions iniiales, deux courbes de courans, une dans le régime pseudo-périodique e l aure dans le régime criique, son racées figure 8. i() Régime pseudo-périodique (Q = 3) Régime apériodique (Q = 0.1) 0 Fig. 8 Visualisaion du couran dans un circui RLC en foncion du emps pour deux valeurs de Q. Comme discué précédemmen, pour Q > 1/2, le régime es pseudo-périodique e pour Q < 1/2, le régime es apériodique. Les deux courbes on la même pene à l origine mais c es peu visible à cause de l échelle des emps choisie. Expérience 1 : TP 17 - Éude d un circui RLC 3.3 Aspecs énergéiques Applicaion 2 : Réaliser un bilan énergéique. 4 Analogie élecrique e mécanique On consae que les éudes du ressor amorie e du RLC séries son rès similaires. Plus généralemen, on consae une analogie enre les sysèmes élecriques e mécaniques. La comparaison des équaions (1.3) e (3.6) perme d affirmer les équivalences suivanes. 9/10

10 Mécanique Élecricié Capacié 1/C Raideur du ressor k Résisance R Coefficien de froemen λ Inducance L Masse m Inensié i Viesse v = ẋ Tension du condensaeur u C Posiion x Énergie magnéique Li 2 /2 Énergie cinéique mv 2 /2 Énergie élecrosaique Cu 2 /2 Énergie poenielle kx 2 /2 À l aide de cee équivalence, on peu consruire des sysèmes élecriques pour eser des modèles mécaniques. Les sysèmes élecriques son beaucoup plus simples à réaliser en praique. Références [1] hp:// php [2] hp:// oscillaeur_horizonal.php 10/10

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