S14 - Oscillateurs mécaniques amortis. Signaux physiques. Chapitre 14 : Oscillateurs mécaniques amortis

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1 Signaux physiques Chapitre 14 : Oscillateurs mécaniques amortis Sommaire 1 Etude du régime libre de l oscillateur harmonique amorti Définition d un OH amorti Résolution de l équation différentielle : 3 types de régimes Réponse d un oscillateur à une excitation sinusoïdale Equation différentielle du mouvement Régime transitoire et régime sinusoïdal forcé Détermination du régime forcé Étude des résonances Résonance en élongation Résonance en vitesse Analogie électromécanique 6 Page Ce chapitre fait suqu à l étude de l oscillateur harmonique en considérant cette fois-ci un terme d amortissement dû aux frottement exercés sur l oscillateur. Après avoir présenté le régime libre, on étudiera l oscillateur harmonique amorti en régime sinusoïdal forcé. Comme en électrocinétique, on introduira la notation complexe afin de transformer une équation différentielle en équation algébrique, facilitant ainsi la résolution du problème. La présente étude est donc similaire à celle faite en électrocinétique. On reviendra à cette occasion sur les analogies entre grandeurs électriques et mécaniques. 1 Etude du régime libre de l oscillateur harmonique amorti 1.1 Définition d un OH amorti Un oscillateur harmonique soumis à une force de frottement fluide : f = αv (1) où α est une constante positive caractéristique du fluide et v la vitesse du système étudié, devient un oscillateur harmonique amorti. Dans toute la suqu de cette section, on étudie l exemple d un point matériel lié à un ressort et se déplaçant sur un support horizontal. Seuls les frottements avec l air interviennent, le point matériel évoluant librement à la surface du support. En considérant le référentiel d étude comme galiléen, établissons l équation différentielle du mouvement : 2013/2014 1/6

2 Par analogie avec l écriture canonique introduqu en électrocinétique, donnons l expression du facteur de qualité Q et de la pulsation ω 0 : Remarque : Attention à ne pas se méprendre sur le sens de l appellation «oscillateur harmonique amorti»! Il est clair qu un OH amorti n est plus un oscillateur harmonique : ses oscillations ne sont plus sinusoïdales, à cause des frottements. 1.2 Résolution de l équation différentielle : 3 types de régimes Résolvons l équation différentielle en distinguant les trois types de régimes en fonction des valeurs du facteur de qualité : 2 Réponse d un oscillateur à une excitation sinusoïdale 2.1 Equation différentielle du mouvement Un solide, de masse m, est fixé en un point S d un support par l intermédiaire d un ressort de longueur à vide l 0 et de raideur k. L ensemble est placé dans l air ou un milieu de type visqueux, à l origine d une force de frottements fluides de coefficient α. Le support est soumis à des oscillations verticales sinusoïdales, d amplitude A et de pulsation ω. Le solide est initialement au repos. On notera u z le vecteur unitaire vertical, dirigé vers le bas. Système étudié : le solide, qui sera en translation, pourra être assimilé à un point matériel M de masse m. Référentiel d étude : référentiel terrestre local, supposé galiléen, noté R g. 2013/2014 2/6

3 Bilan des forces appliquées au système : Appliquons le principe fondamental de la dynamique : En considérant le système soumis à aucune excitation et à l équilibre (z M = z Me ), il est possible d exprimer l 0 : En considérant l écart à l équilibre z = z M z Me, on obtient l équation différentielle suivante : En notant que z S = A cos(ωt), l équation différentielle du mouvement s écrit sous forme canonique : z + ω 0 Q ż + ω2 0z = ω 2 0A cos(ωt) avec { ω 2 0 = k m ω 0 =» k m pulsation propre ω 0 Q = α m Q = mω0 α = km α facteur de qualité (2) 2.2 Régime transitoire et régime sinusoïdal forcé L équation du mouvement est une équation différentielle linéaire du 2 e ordre à coefficients constants, avec un second membre variant de façon sinusoïdale dans le temps. La solution générale z(t) peut s écrire comme la somme de la solution de l équation différentielle homogène z h (t) et d une solution particulière zp(t) : z(t) = z h (t) + z p (t) (3) La solution de l équation différentielle homogène z h (t) peut prendre différentes formes suivant la valeur du facteur de qualité, mais dans tous les cas z h (t) corresond au régime transitoire, caractérisé par le temps de relaxation τ. Au bout de quelques τ, on peut considérer que z h (t) est quasiment nulle. Le régime transitoire est alors terminé, et on entre dans le régime sinusoïdal forcé (RSF).τ étant en général très court, on ne s intéressera qu au régime sinusoïdal forcé z(t) = z p (t). 2013/2014 3/6

4 2.3 Détermination du régime forcé La solution particulière étant sinusoïdale, de même pulsation que l excitation, on recherche la solution sous la forme : La notation complexe nous permet de résoudre simplement l équation différentielle et de déterminer l amplitude complexe Z de l allongement (on introduit la variable adimensionnée x = ω ω 0 ) : On en déduit l amplitude réelle Z de la position ainsi que le déphasage ϕ entre l excitation et l allongement : 3 Étude des résonances 3.1 Résonance en élongation Il y a résonance en élongation lorsque l amplitude Z(ω) des oscillations admet un maximum pour une certaine valeur ω r (resp. x r ) de ω (resp. x) non nulle. Pour cela, il faut que le dénominateur de Z(ω) admette un minimum : Conclusion x r = 1 1 2Q 2 ou ω r = ω Q 2 (4) La résonance en élongation n existe que si Q > /2014 4/6

5 Constatations : Si ω = 0, on trouve Z = A = Cte. Ce cas correspond à un support immobile. Le solide M est alors immobile lui aussi. Le déphasage entre l excitation et le mouvement de M est nul. Si ω, on trouve Z 0. Le support oscille très rapidement, l inertie du solide l empêche de «suivre» le mouvement. L amplitude de ses oscillations est alors très faible. Le mouvement se fait en opposition de phase avec le mouvement de S. Si ω = ω r et Q > 1 2, alors Z max vaut : On remarque que l amplitude des oscillations peut devenir très grande si l amortissement est faible (donc pour de grands facteurs de qualité). La longueur du ressort étant limitée, une résonance aiguë peut conduire à la destruction du système. 2013/2014 5/6

6 3.2 Résonance en vitesse En notation complexe, la vitesse du système est donnée par v(t) = jωz(t). On en déduit : On constate que l amplitude de la vitesse admet toujours un maximum : Conclusion La résonance en vitesse existe quelle que soit la valeur de Q x r = 1 ou ω r = ω 0 (5) 4 Analogie électromécanique L équation du mouvement du solide est identique à celle qui régit l évolution temporelle de la charge q du condensateur inséré dans un montage RLC série alimenté par une tension sinusoïdale d amplitude A et de pulsation ω. En conséquence ces deux systèmes, bien qu appartenant à des domaines physiques différents, ont des comportements tout à fait analogues : Tout comme la charge du condensateur appartenant au circuit RLC série, l élongation du ressort entre en résonance pour une pulsation plus faible que la pulsation de l excitation, et uniquement si le facteur de qualité est supérieur à une certaine valeur. Tout comme l intensité circulant dans le circuit RLC série, la vitesse du solide entre en résonance à la pulsation de l excitation, quelle que soit la valeur du facteur de qualité. A partir de ces analogies expérimentales, on peut proposer une analogie entre les grandeurs physiques des deux domaines (électrocinétique et mécanique) : Electrocinétique Charge du condensateur : q(t) Intensité du courant : i(t) Fém excitatrice : e(t) Inductance : L 1 Capacité : 1 C Résistance : R Mécanique Allongement du ressort : z(t) Vitesse du solide : v(t) Force excitatrice : f(t) Masse : m Raideur du ressort : k Coefficient de frottement : α 2013/2014 6/6

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