OSCILLATIONS LIBRES. B } à { X ϕ }, il suffit de développer ( ) I. L OSCILLATEUR HARMONIQUE. l eq. ω =

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1 OSCILLATIONS LIBRES I L OSCILLATEUR HARMONIQUE I Définition d un oscillatur haroniqu à un dgré d librté a) El du ndul élastiqu vrtical On considèr un ass accroché à un rssort dans un lan vrtical On néglig ls forcs d frottnt rcés ar l air On rèr l absciss du oint M ar raort à sa osition d équilibr Systè = Point atéril M d ass Référntil trrstr R= ( Oi,, jk, ) galilén Bilan ds forcs : oids P = g forc rcé ar l rssort F L vctur unitair i st orté vrs l bas La forc F st donc orté ar l vctur i L énoncé n donn as la valur d la longuur à vid du rssort Il faut donc l introduir On vrra cont ll disaraîtra ar la suit On l all l D arès l schéa, on a l = l + On a F =± k q ( l l ) u Sur l schéa, l rssort st étiré, la forc st donc dirigé vrs l haut, il faut donc ttr un sign our avoir un rojction négativ Soit F = k( l + l q ) u a = g k l + l u On rojtt sur i PFD : ( q ) = g k ( l + l q ) (q ) On réécrit très souvnt l PFD à l équilibr ( =, = t = ) q ( ) = g k l l (q ) (q ) (q ) : = k, soit () = cos( ω + ϕ ) t X t + ω = avc Il rst à fair la différnc ntr (q ) t (q ) ω = k C st l équation d un oscillatur haroniqu longuur à vid équilibr instant l k i j l q l F M O P O F M P b) Définition Soit (t) la coordonnés rlativ d un dgré librté L systè st un oscillatur haroniqu si l équation différntill régissant l évolution st d la for : + ω = I Équations horairs Oscillations librs (33-9) Pag sur 3 JN Bury () t = X cos ( ω t+ ϕ ) ou ( t) = Acos( ω t ) + Bsin ( ω t ) Pour assr d { A, B } à { X ϕ }, il suffit d dévlor ( ) A= X cosϕ B A X = A + B,tan ϕ =, cosϕ = B = X sinϕ A A + B, X cos ω t+ ϕ = X cosωtcosϕ X sinωtsinϕ :

2 π ω st la ulsation ror La ériod st noté T, la fréqunc f On a ω = = π f T X st l alitud Ell st toujours ositiv Si on a un tr négatif dvant l sinus, on ut rajoutr π à la has our surir l sign oins ω t + ϕ st la has à un instant t ϕ st la has à t = On a un équation différntill du duiè ordr Il faut donc du conditions initials, ar l ( ) t ( ) On utilisra lutôt la for avc A t B si l énoncé dand d calculr licitnt n utilisant ls conditions initials La for avc X t ϕ st facil à intrrétr hysiqunt : alitud t has à t La ériod T st indéndant ds conditions initials On dit qu on a un isochronis ds oscillations On va voir dans l aragrah III l iortanc ds tits ouvnts sinusoïdau II ÉQUIPARTITION DES FORMES CINÉTIQUES ET POTENTIELLES DE L ÉNERGIE II Bilan énrgétiqu à artir du PFD On considèr un ass accroché à un rssort dans un lan horizontal On néglig ls forcs d frottnt rcés ar l air On rèr l absciss du oint M ar raort à sa osition d équilibr On suos qu l oint M s délac sans frottnt Systè = Point atéril M d ass R= Oi,, jk, galilén Référntil trrstr ( ) Bilan ds forcs : oids P = g équilibr instant t réaction du suort R Co il n y a as d frottnt, R u, donc P t R s consnt forc rcé ar l rssort f L vctur unitair i st orté vrs l bas La forc f st donc orté ar l vctur i L énoncé n donn as la valur d la longuur à vid du rssort Co l rssort st dans un lan horizontal, la longuur à l équilibr st égal à la longuur à vid : l = l D arès l q schéa, on a l = l + On a f =± k q ( l l ) u Sur l schéa, l rssort st étiré, la forc st donc dirigé vrs la gauch, il faut donc ttr un sign our avoir un rojction négativ Soit f = k( l + l ) u PFD : a = P + R ku On rojtt sur O : + k = Pour fair un bilan énrgétiqu, on ultili ar la vitss : + k = d d Or k = k t v vv = d d On n déduit qu : k v + = Soit E = E + E = ct c C st tout à fait noral uisqu il n y as d frottnt Touts ls forcs sont consrvativs II Équiartition ds forcs cinétiqus t otntills d l énrgi On a vu qu : t () = X cos ( ω t+ ϕ ) La vitss vaut : v = = X ω sin ( ω t+ ϕ ) k E = v = ( X ω sin ( ω t+ ϕ )) = X ω sin c ( ω t+ ϕ ) Co ω =, alors E = kx sin ( ω t+ ϕ c ) E = k = kx cos ( ω t+ ϕ ) On ut n déduir la oynn sur un ériod d l énrgi cinétiqu t d l énrgi otntill sachant qu cos ( ω t + ϕ ) = t sin ( ω t + ϕ ) = T + cos( ( ω t + ϕ )) Déonstration : cos ( ω t+ ϕ ) = cos ( ω t+ ϕ ) T Or cos ( ω t + ϕ ) = Oscillations librs (33-9) Pag sur 3 JN Bury l q l O f R M P u

3 ( ω t ϕ) E ( ( ω ϕ )) t ( ω ϕ ) ( ) T + cos t+ sin t+ + = = + = + car sin st π ériodiqu cos T T 4ω On a donc : E = kx t E = kx c 4 4 On a donc équiartition ds forcs cinétiqus t otntills d l énrgi III PETITS MOUVEMENTS AUTOUR D UNE POSITION D ÉQUILIBRE STABLE III Forul d Taylor Lorsqu b st voisin d a, on ut écrir sous crtains conditions (voir cours d ath) la forul d Taylor avc rst n b a ( b a) ( b a) ( n d Young : ( ) ( ) '( ) "( ) ) n f b = f a + f a + f a + + f ( a) + ε ( b a)( b a)!! n! ε ( b a) st un fonction tll qu li ε ( b a) = b a En hysiqu, on n écrira as l rst d Young b a ( b a) El : forul d Taylor à l ordr : f ( b) f ( a) + f '( a) + f "( a)!! III Parabolisation d l énrgi otntill On considèr un ouvnt à un dinsion (absciss ) dont la résultant ds forcs f otntill On rrésnt grahiqunt l énrgi otntill n fonction d T dériv d un énrgi On chrch à étudir ls tits ouvnts autour d la osition d équilibr Pour cla, on aliqu la forul d Taylor à l ordr our l énrgi otntill de ( ) d Si st voisin d : E( ) E ( ) + +! d! d de Co st un osition d équilibr, on a : d = Il rst E ( ) E ( ) ( ) d +! d E On dit qu on a ffctué un arabolisation d l énrgi otntill On a un rssion silifié d l énrgi otntill au voisinag d Oscillations librs (33-9) Pag 3 sur 3 JN Bury

4 III3 Stabilité d un osition d équilibr t énrgi otntill On a vu dans l chaitr sur l énrgi qu d l équilibr st stabl si l énrgi otntill ass ar un iniu, soit d d l équilibr st instabl si l énrgi otntill ass ar un aiu, soit d > < III4 Ptits ouvnts autour d un osition d équilibr stabl ( ) d Au voisinag d un osition d équilibr stabl, on a E( ) E( ) +! d On os d k = d, soit E ( ) k( ) + ct C st l énrgi otntill d un rssort Tout s ass co si la résultant ds forcs était équivalnt à un rssort!!! On ut n déduir la forc silifié au voisinag d t l équation différntill du ouvnt : de f = grad E = u = k ( ) u d k PFD au oint atéril M : a = u = f = k ( ) u, soit + ( ) = Rarqu : On ut obtnir l équation différntill avc la éthod énrgétiqu n écrivant qu d = de d Si = t d d =, il faut alors oussr l dévlont liité à l ordr 3 our trouvr un tr non nul L tr constant n st as intérssant hysiqunt uisqu l énrgi otntill st défini à un constant additiv rès Au voisinag d un osition d équilibr stabl our un ouvnt à un dinsion, on ut assiilr ls forcs d qui s rcnt sur la articul à la forc rcé ar un rssort d constant d raidur k = d IV ANALOGIES ÉLECTROMÉCANIQUES El d analogi élctroécaniqu : Pndul élastiqu horizontal : + k = Oscillatur LC : Lq + q = C La éthod consist à idntifir tr à tr ls du équations différntills our n déduir l analogi rchrché E Pndul élastiqu horizontal Circuit LC q = v q = i L k /C k ω = ω = LC Dans d autrs roblès, on ut donnr ds analogis différnts Oscillations librs (33-9) Pag 4 sur 3 JN Bury

5 V OSCILLATEUR HARMONIQUE AMORTI PAR FROTTEMENT FLUIDE EN RÉGIME LIBRE V El On considèr un ass accroché à un rssort dans un lan horizontal Ctt ass st souis au oids, à la réaction du suort, à la forc rcé ar l rssort f = k( l l ) u = k u t à un forc d frottnt fluid f = λv L oids t la réaction du suort s consnt : P + R = L PFD n rojction sur O s écrit : = k λ () V Définition Soit (t) la coordonnés rlativ d un dgré librté L systè st un oscillatur haroniqu aorti ar frottnt ω fluid si l équation différntill régissant l évolution st d la for : + + ω = Q On rncontr trois fors canoniqus : èr for avc l factur d qualité (la lus utilisé n hysiqu) : Q : factur d qualité ; ω : ulsation ror (ω > ) d ω d Q è for canoniqu avc l cofficint d aortissnt (utilisé n SI) : σ : cofficint d aortissnt On a Q = σ 3 è d d for canoniqu avc l ts d rlaation : + + ω = τ τ : ts d rlaation En divisant l équation () ar, on obtint : V3 Divrs régis L équation différntill st : d ω d Q d λ d k + + = + + ω = + + ω = L équation caractéristiqu st : L discriinant vaut : = 4ω Il y a trois cas slon l sign du discriinant : a) Q < ½ ; > : régi aériodiqu r = ω Q On a du racins rélls t négativs : r ω = + Q Ls racins sont bin négativs uisqu < t < = Q On a donc : ( ) ( ) ( ) t = A rt + B rt d d + σω + ω = r ω + r+ = li On a un régi aériodiqu, ass au lus un fois ar t t () = b) Q = ½ ; = : régi critiqu ω On a un racin doubl : r = = ω (uisqu Q Q = ) ( ) = ( + ) ( ω ) t A Bt t t Q ω Oscillations librs (33-9) Pag 5 sur 3 JN Bury

6 On a un régi critiqu, Q = ½ t l rtour à l équilibr st l lus raid c) Q > ½ ; < : régi sudo ériodiqu aorti ω ω On a racins cols : r = ± jω = ± jω Q Q ω On a donc un tr rél t un tr col ω = ω Q La solution st donc : ( t) = ( tr rél t) Q cos( tr iaginair t+ ϕ ) ω t () = t X cos ( t+ ) Q ω ϕ ou ω () t = t Acos( ωt) + Bsin ( ωt) Q Ls calculs sont lus sils avc la duiè rssion si on connaît ls conditions initials : ( t ) ( ) d d) Rrésntation grahiqu d (t) () qt Q Q =, Courbs tracés avc T = s () = X t d/ () = Q =,5 Q = t - T = écart ntr du aia succssifs T T ici car Q >> (n ratiqu Q 5) Si Q >,5 : On a un nvlo n ω t t = Q τ τ jou bin l rôl d un ts d rlaation uisqu au bout d qulqus τ, l régi libr dvint négligabl t on aboutit à l état d équilibr (ici ( ) = ) Si la forc d frottnt st faibl, Q t τ sont grands On a un régi sudo ériodiqu aorti d sudo ériod T : ω = ω Si Q >> (n ratiqu Q 5), alors ω ω T T (voir courb) Cla rvint à fair un dévlont liité Si Q 5, on a néglig /(4 Q )=/ dvant Oscillations librs (33-9) Pag 6 sur 3 JN Bury

7 On ut avoir un ordr d grandur du factur d qualité n cotant l nobr d aia d alitud non négligabl La courb rrésnté ci-dssus a nviron 6 aia La détrination érintal du factur d qualité s fait à artir du décrént logarithiqu () t L décrént logarithiqu vaut : ln SG δ = avc n ntir n ( t+ nt) SG ωt ωnt SG () t = X cos( ωt+ ϕ) Q SG t+ nt = SG t Q ω T π π π δ = = ω ω Q Q ω = = Q ω Q, d où ( ) () π Si Q (n ratiqu Q 5 ), on a δ = Ctt rlation sra utilisé n TP Q On n déduit qu : L décrént logarithiqu rt un détrination érintal du factur d qualité Il suffit d rérr ls aia rlatifs t d n déduir δ On ut alors rontr au factur d qualité ATTENTION : l décrént logarithiqu st défini our l régi libr V4 Étud énrgétiqu du régi libr d l oscillatur aorti On rrnd l l d la ass accroché à un rssort L équation différntill st : = k λ On ultili ar v = our fair un bilan énrgétiqu On obtint : = k λ d d Or k = k t v vv = On n déduit qu : d d d k t v + = λ v d E = λv < L énrgi écaniqu diinu au cours du ts D l énrgi st dissié ar la forc d frottnt sous for d chalur t évacué dans l iliu tériur V5Stabilité Si ls cofficints d l équation différntill hoogèn ont l ê sign (Q > ici), alors l régi libr dvint négligabl au bout d qulqusτ Il faut rtnir qu la stabilité d un systè du rir ou scond ordr st assuré dès qu ls cofficints d l équation différntill hoogèn ont tous l ê sign, sinon on a un régi divrgnt Oscillations librs (33-9) Pag 7 sur 3 JN Bury

8 VI PORTRAIT DE PHASE VI Définition Soit un systè dont l évolution st décrit au cours du ts ar la fonction (t) On all trajctoir d has d un systè à un dgré d librté un diagra caractéristiqu ds évolutions du systè rrésnté dans l lan (, ) Un trajctoir d has st décrit à artir du oint rrésntatif ds conditions initials L nsbl ds trajctoirs décrits ar l systè à artir d touts ls conditions initials st l ortrait d has VI Portrait d has d l oscillatur haroniqu L équation différntill qui régit un oscillatur haroniqu (ndul élastiqu (k, ), circuit L, C) d + ω = La solution s écrit alors : d t () = X cos( ωt+ ϕ ) t = ωx sin ( ωt+ ϕ) () t = cos ( ωt + ϕ) () X On a alors : d = sin ( ωt + ϕ) () ω X Pour éliinr t, il suffit d écrir () + () On obtint : X + ω X = La trajctoir d has st donc un llis cntré sur O Souvnt, on rrésnt (t) n absciss t h = n ordonnés ω On a alors + y = X La trajctoir d has st un crcl cntré sur O Oscillations librs (33-9) Pag 8 sur 3 JN Bury

9 O VI3 Portrait d has du ndul sil y a) Étud théoriqu Soit un ass accroché à un tig d ass négligabl l Systè = Point atéril d ass θ Référntil R= ( Oi,, jk, ) trrstr suosé galilén T M u Bilan ds forcs : T st un forc consrvativ car δ W d θ T = T l = u P st un forc consrvativ qui dériv d un énrgi otntill : r E ( cos ) P = gl θ L systè st donc consrvatif L énrgi écaniqu s consrv On calcul la constant n utilisant ls conditions initials E = v + gl ( cosθ ) Dans la bas ds coordonnés olairs, on a v = l θu θ On a donc : E = ( l θ) + gl ( cosθ) = ct On a trois éthods our obtnir l équation différntill : Méthod : Il suffit d écrir d E = our avoir l équation différntill : l θθ + gl θ sinθ =, d où g g θ + sinθ = On os ω = On a alors l l θ + ω sinθ = Rarqu : on st obligé d divisr ar θ qui st un solution arasit C st noral d obtnir ctt solution arasit car on obtint l théorè d l énrgi cinétiqu n artant du PFD t n ultiliant ar la vitss Méthod : Écrir l PFD t rojtr dans la bas ( ur, u θ ) Méthod 3 : Écrir l théorè du ont cinétiqu Rarqu iortant : our un ndul sant (balancir d un horlog), écrir l théorè du ont cinétiqu ou la consrvation d l énrgi écaniqu, on obtint : E = J θ + ga( cosθ) = ct avc a distanc ntr O t G l barycntr du solid n rotation Portrait d has Il faut trouvr un rlation ntrθ t θ On n sait as résoudr dans l cas général l équation différntill récédnt Il faut utilisr la consrvation d l énrgi écaniqu qui donn dirctnt un rlation ntr θ t θ E = ( l θ) + gl( cosθ) = ct En divisant ar l, on obtint : g θ + ( cosθ) =, soit l θ + ω cosθ = Pour détrinr la constant, il faut utilisr ls conditions initials ( ) En divisant ar ω, on a : ( θ ) θ + cos = ct ω b) Utilisation d Mal θ Pour tracr avc Mal ls ortraits d has, on rrésnt h = n fonction d θ L équation différntill ω θ + ω sinθ = θ s écrit : ω sinθ ω + =, soit h + ω sinθ = θ h = Avc Mal, on résout nuériqunt l systè à du équations différntills : ω h + ω sin θ = On chrch ls conditions initials θ = t θ rttant au ndul d attindr l oint l lus haut θ = π t θ = + ω ( cosπ) = θ + ω ( cos), soit θ = 4ω t θ θ = ω t h = = ω Avc Mal, rndr h =,98 uis uis, Oscillations librs (33-9) Pag 9 sur 3 JN Bury

10 Prndr d autrs conditions our rtrouvr ls courbs ci-dssous Analys d quatr trajctoirs d has : () : On a un crcl On a donc ds oscillations sinusoïdals Caractèr haroniqu d l oscillatur () :, fort alitud ds oscillations Trajctoir non sinusoïdal ; caractèr non haroniqu d < 4ω l oscillatur On n a as un crcl ( ) (3) θ a un sign constant (ici θ > ), on a un ouvnt révolutif On l obtint n cas liit avc θ = 8 t θ =, soit = = 4ω critiqu (4) trajctoir critiqu ntr ouvnts oscillatoirs t révolutifs ( 4ω ) > On a un infinité d attracturs d has : ( nπ,) Oscillations librs (33-9) Pag sur 3 JN Bury

11 () VI4 Portrait d has d l oscillatur haroniqu aorti d ω L équation différntill s écrit : + + ω = Q Si Q >, on a trois régis (régi sudo ériodiqu aorti, critiqu, aériodiqu) slon l factur d qualité : Q > /, Q =/ t Q </ Avc Mal, tracr lusiurs trajctoirs d has : Q = 6 uis, uis,5 t Q=6 4 Q= -3 - Q= t (s) Courbs tracés avc T = s, () = t ( ) = T = écart ntr du aia succssif T T car Q (n ratiqu Q 5 ) h (s - ) 6 4 Q= -3 - Q=6-4 Q= Si Q >,5 : On a un nvlo n () ω - t t Q τ = τ jou bin l rôl d un ts d rlaation uisqu au bout d qulqus τ, l = ) régi libr dvint négligabl t on aboutit à l état d équilibr (ici ( ) Si la résistanc R st faibl, Q t τ sont grands, l circuit RLC st u aorti Intrrétation hysiqu : il y a u d rts ar fft Joul On a un régi sudo ériodiqu aorti d sudo ériod T : ω = ω Oscillations librs (33-9) Pag sur 3 JN Bury

12 Si Q >>, alors ω~ ω T~ T (voir courb) On ut avoir un ordr d grandur du factur d qualité n cotant l nobr d aia d alitud non négligabl La courb rrésnté ci-dssus a nviron 6 aia La détrination érintal du factur d qualité s fait à artir du décrént logarithiqu VI5 Portrait d has du ndul sil aorti d ω L équation différntill s écrit : + + ω sin = Q On obsrv un ouvnt oscillatoir aorti (siral) récédé d un has révolutiv ndant n tours si l attractur st nπ, d rang n ( ) VI6 Intrrétation hysiqu a) Intrrétation ds ortraits d has Intrrétr l sns d arcours ds trajctoirs d has : à artir d M sur l grah suivant, on art nécssairnt vrs l bas uisqu θ diinu t donc θ < Un trajctoir d has fré traduit un systè oscillatoir Un trajctoir d has circulair (ou llitiqu si θ n fonction d θ ) traduit ds oscillations sinusoïdals : oscillatur haroniqu Un trajctoir d has tl qu θ > traduit un ouvnt révolutif L oint O st un attractur ds trajctoirs d has Ls trajctoirs d has n s count as C st un conséqunc du détrinis n écaniqu classiqu En fft, du trajctoirs issus d un oint d intrsction M corrsondrait à du évolutions différnts à artir ds ês conditions initials b) Révrsibilité Un critèr sil d révrsibilité : un fil rojté à l nvrs st-il réalist? On nvisag un rnvrsnt du ts n osant t = -t b) Pndul sil aorti d ω d L équation différntill st : + + ω sin = Q Suosons qu à un instant t, l systè soit n M( θ, θ) On rlanc l systè à artir du oint ( θ, θ) qui corrsond au oint M syétriqu d M ar raort à l a θ = On obtint un nouvll trajctoir d has L systè n ront as l ts ais oursuit son aortissnt Cla rvint à fair un dévlont liité Si Q 5, on a négligé /(4 Q )=/ dvant Oscillations librs (33-9) Pag sur 3 JN Bury

13 Si on os t' = t d d d d d d d d d d = t = d t' = = = d t' d t' d t' d t' d ω d L équation différntill s écrit : + ω sin = d' t Q d' t Caus d l irrévrsibilité : la dérivé d ordr traduit l caractèr dissiatif du systè à caus d la forc d frottnt b) Pndul sil non aorti d L équation différntill st : + ω sin = Si on os t' L systè st révrsibl = t, l équation différntill s écrit : d + ω sin = C st la ê équation différntill d' t Suosons qu à un instant t, l systè soit n M( θ, θ) On rlanc l systè à artir du oint ( θ, θ) qui corrsond au oint M syétriqu d M ar raort à l a θ = On rst sur la ê trajctoir d has L systè ut rontr l ts n rassant ar la suit ds ss états antériurs La trajctoir d has st syétriqu ar raort à l a θ = Oscillations librs (33-9) Pag 3 sur 3 JN Bury