ETUDE DES OSCILLATIONS MECANIQUE FORCEES

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1 EXERCICE 1 ETUDE DES OSCILLATIONS MECANIQUE FORCEES A/ Un pendule élastique horizontal est formé d'un ressort (R) à spires non jointives, de masse négligeable, de raideur K=20N.m -1 dont l'une de ses extrémités est fixe et à l'autre est accroché un solide ponctuel (S) de masse m=50g. La position de (S) est repérée par son abscisse OS = x dans le repère (o,i) porté par l axe du ressort et dirigé dans le sens de l allongement,o étant la position d équilibre de (S). Pendant le mouvement le solide n est soumis à aucune force de frottement. A la date t=0, on écarte le solide (S) de sa position d équilibre de x 0 =2,5 cm à partir de O, dans le sens positif Puis on le lance avec une vitesse initiale v 0 = 0,866m.s -1 dans le sens des élongations décroissantes. Le solide S effectue alors des d'oscillations d'amplitude constante, avec une période propre T 0 de l'oscillateur. 1) a- Donner l'analogue électrique de l'oscillateur mécanique libre non amorti considéré. b- Etablir l'équation différentielle des oscillations du solide (S). En déduire par analogie l'équation différentielle régissant les oscillations de la charge q. 2) Déterminer l amplitude et la phase initiale de l élongation x(t). Déduire les expressions de x(t) et de v(t). 3) Montrer que l'énergie mécanique totale E du pendule élastique est constante. Calculer sa valeur. B) On excite le pendule élastique précédent, le solide (S) est soumis à une force de frottement f = - 0,2.v par une force excitatrice F = F m sin t i Le solide (S) est alors animé d'un mouvement rectiligne sinusoïdal de même pulsation = 16 rad.s -1 que la force excitatrice et d'élongation x(t)= 0,04.sin(t+). 1) a- Etablir l équation différentielle du mouvement. b- Etablir, dans ces conditions, les expressions de Xm et tg. c- En déduire l'expression de l'amplitude Vm de la vitesse du solide (S). 2) Rappeler l'expression de l'impédance électrique de l'oscillateur forcé RLC puis exprimer par analogie de l'impédance mécanique Zméc du pendule élastique. 3) Calculer V m ; F m ; Ø ; Z méc. Exercice n 2 un oscillateur mécanique est formé d un solide (S) de masse m = 50g attaché à l extrémité libre d un ressort à spires non jointives de masse négligeable et de raideur K, l autre extrémité est fixe. on suppose que le solide est soumis à une force de F(N) ;x(cm) F(t) x(t) frottement visqueux de la forme f =-hv t(s) ou h est une constante positive. les oscillations de (S) sont entretenues à /35 l aide d une force supplémentaire de valeur F=F m sin(t) exercée à l aide d un dispositif approprié jouant le rôle d excitateur. 1) Montrer qu à tout instant t au cours du mouvement, l élongation x de G, sa vitesse instantanée v = dx dt son accélération a = d2 x x dx + h. dt 2 dt2 msin(t) dont la solution est dt x(t)=x m sin(t+ x ). Les fonctions x(t) et F(t)sont représentées par les diagrammes de la figure ci-dessus. (R) Fig. (S) O i x

2 2) A partir des digrammes de la figure ci-dessus. a- Déterminer les expressions de x(t) et F(t). Préciser, en le justifiant, s il existe des valeurs de la pulsation de la force excitatrice pour lesquelles le déphasage de x(t) par rapport à F(t) change de signe. b- Faire la construction de Fresnel, et en déduire les valeurs de h et de K. Ech : 1N 1cm 3) a- Donner l expression de l amplitude X m en fonction de F m, h,, K et m. Déduire l expression de l amplitude de Vm de la vitesse instantanée en fonction des mêmes données. b- Déterminer le rapport Fm V m en fonction de h,, K, et m. Déduire à l aide de l analogie mécanique électrique, l expression correspondant à ce rapport en électricité et en donner signification physique. 4) Les frottements sont négligeables, donner les valeurs possibles du déphasage de F(t) par rapport à x(t). Exercice n 3 Un solide (S) de centre d inertie G, de masse M =200g et pouvant glisser sur un plan horizontal, est relié à l extrémité d un ressort horizontal (R) de masse négligeable, de raideur k et dont l autre extrémité est fixe. Lorsque (S) est dans sa position d équilibre, G occupe l origine du repère (O, i ) d axe Ox horizontal (figure 1). Un excitateur approprié exerce sur le solide (S) une force F i =F m sin t i où l amplitude F m est constante et la pulsation est réglable. (S) est introduit dans un liquide amortisseur où il subit une force de frottement visqueux f hv avec h est un coefficient positif et v est la vitesse de G. En régime permanent l équation horaire du mouvement de G est de la forme x(t) = X m sin ( t ). 2 1) Donner l unité internationale du coefficient de frottement h. 2) a- Etablir l équation différentielle vérifiée par l élongation x de G. b- Faire la construction de Fresnel relative à l équation différentielle du mouvement de G. c- Déduire que l oscillateur est en résonance qu on précisera la nature. d- Montrer que, dans ces conditions, la force de frottement f est opposée à la force excitatrice F. e- Prouver que, dans ces conditions, l énergie mécanique du système {(S),(R)}se conserve. 3) A l aide d un dispositif approprié on mesure pour différentes valeurs de, l amplitude X m des oscillations de G et l amplitude V m de la vitesse de passage de ce point par la position O. Les résultats des mesures ont permis de tracer les courbes X m () et V m () de la figure 2. a- Identifier en le justifiant, la courbe qui correspond à X m (). b- Lire la valeur 1 de la pulsation propre du résonateur et déduire la valeur de k. c- Lire la valeur 2 de la pulsation à la résonance d élongation et déduire la valeur de h. d - Déterminer la valeur de F m. e- Montrer que dans le cas où = 1, la puissance moyenne consommée par le résonateur est maximale. 4) On change le liquide amortisseur ; on constate qu on n obtient plus le phénomène de résonance d élongation. Interpréter ce résultat. (R) Fig.1 (S) O i F(t) x 0,4 0,2 0,046 0, (rad.s -1 ) Fig (rad.s -1 )

3 Exercice n 4 Un oscillateur mécanique est constitué d un solide S de masse m = 0,2 Kg suspendu à l extrémité inférieure d un ressort de raideur K = 20 N.m -1. Le ressort est disposé verticalement. Le solide S est soumis à une force de frottement visqueux f = -hv et une force excitatrice verticale de valeur F = Fm.sin(ωt). On admet que la loi horaire du mouvement du solide est x(t) = Xm.sin(t + ). 1) On règle la pulsation à une valeur 1. a- Etablir l équation différentielle relative à l abscisse x. b- La construction de Fresnel associée à l équation différentielle est donnée par la figure ci- contre : En exploitant la construction fournie. Déterminer les valeurs de Xm, 1, h et. Déterminer l expression de Fm en fonction de Xm, h, 1, k et m. La calculer. 2) On règle la pulsation à une valeur 2 de façon que Xm prend sa valeur maximale. a- Qu appelle-t-on ce phénomène? b- Déterminer l expression de la pulsation 2 correspondante et calculer sa valeur. c- Tracer l allure des variations de Xm= f() ; on notera approximativement sur le tracé, la position de 2 par rapport à. Justifier. d- Quel est l effet d une augmentation des frottements sur l allure de cette courbe? 3) On règle la pulsation à une valeur 3 de sorte que l amplitude de la vitesse prend sa valeur maximale. a- Etablir l équation différentielle du mouvement relative à la vitesse. b- Faire la construction de Fresnel relative à 3 et déduire les valeurs de Vm et le déphasage de la vitesse par rapport à la force excitatrice. c- Le ressort perd son élasticité une fois que la puissance moyenne absorbée par cet oscillateur dépasse une valeur limite P L = 1 W. Dire si dans ces conditions le ressort fonctionne normalement. Justifie. Exercice n 5 Un pendule élastique est formé par un aimant (solide) (S) de masse m = 0,25 Kg, et un ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de raideur K. Ce pendule peut coulisser le long d une tige horizontale. Une large plaque, de masse négligeable, attachée au solide permet à l air d exercer sur (S) une force de frottement visqueux f = -hv (h étant le coefficient de frottement). A l instant t> 0,on désignera par x et v respectivement l abscisse et la vitesse du centre d inertie du solide dans le repère (O,i ) d origine O, la position d équilibre du solide et d axe porté par la tige et orienté de gauche à droite.une bobine à noyau en fer doux, parcouru par un courant alternatif sinusoïdal de fréquence N, exerce sur le solide, une force excitatrice: F = Fm sin (t+ F ) i avec : (= 2 N ) 1) a- Etablir clairement l équation différentielle du mouvement du solide b- Déduire la nature du mouvement du centre d inertie G. 2) Pour une pulsation = 1 : - La construction de Fresnel correspondante est donnée sur la figure 1 - Les représentations, sur le même système d axes, de la force excitatrice F(t) et de la tension du ressort T(t) sont données sur la figure - 2.

4 a- Déterminer pour chaque force : - L amplitude. - La phase initiale. b- En déduire les expressions instantanées des forces F(t) et T(t). 3) En s appuyant sur la construction de Fresnel précédente et sur les courbes, déterminer : a- La valeur de la raideur K du ressort puis de la pulsation propre 0 du pendule. b- La valeur du coefficient de frottement h. c- La valeur de l amplitude Xm et celle de la phase initiale x de l élongation x(t). 4) Dire, si pour la pulsation 1, le pendule est en résonance d amplitude ou non? Justifier la réponse. 5) Comment doit on varier la pulsation excitatrice pour atteindre cette résonance? 6) Pour quelle valeur r a t on résonance d amplitude? En déduire la valeur de l amplitude Xm dans ce cas. Exercice n 6 I - Un oscillateur mécanique est constitué d un ressort (R) de raideur K = 20 Nm-1 et d un solide (S) de masse m, pouvant coulisser sur une tige horizontale. Les oscillations du solide (S) sont amorties par des forces de frottements de type visqueux, équivalents à une force f = -hv avec h une constante positive. Un excitateur exerce sur (S) une force excitatrice F = ( Fm sin t ) i ou i est un vecteur unitaire horizontal. 1) Préciser le rôle énergétique de l excitateur. 2) Etablir l équation différentielle en x ; relative au mouvement de (S). 3) a- La pulsation du mouvement est ω = 15 rad.s 1, et l élongation de (S) s écrit x(t) = Xm sin(ωt + φ). La figure de la page suivante représente la construction de Fresnel incomplète à l échelle 1 cm 0,2 N. Compléter cette représentation en précisant les expressions du module et de la phase initiale de chaque vecteur de Fresnel. b- En déduire les valeurs Xm, Fm, h et m. 4)- a- Etablir à partir de la représentation de Fresnel précédente l expression :

5 b- En déduire l expression de la pulsation ωr à la résonance d élongation en fonction de h, k,et m. c- Calculer les valeurs de ωr et de Xmr à la résonance d élongation. 5 ) a- Montrer qu il existe une valeur limite du coefficient de frottement h a partir de la quelle le phénomène de résonance d élongation ne se manifeste plus. b Pour différentes valeurs de h ; on donne l allure de la courbe Xm = f ( ). Les valeurs suivantes 5 ; 0 ; 1,2 ; 1 (exprimées en N.s.m-1) représentent celles de h1, h2, h3 et h4 mais non ordonnées. Les valeurs suivantes 21,3; 14,08; 9,08 (exprimées en rad. s-1) représentent celles de ω1, ω2 et ω3 non ordonnées. Compléter le tableau suivant en faisant correspondre à chaque expérience la valeur de h et celle de. II - En utilisant une analogie mécanique électrique. 1) Faire le schéma du circuit électrique équivalent à l oscillateur mécanique étudié précédemment. 2) Ecrire l équation différentielle qui régit les variations de la charge q du condensateur. 3) Donner l expression de Qm en fonction de RT ; ; L et C avec : RT : résistance totale du circuit. L : L impédance de la bobine ; C : Capacité du condensateur. 4) Déterminer l indication d un voltmètre branché aux bornes du condensateur à la résonance d intensité; si les grandeurs caractéristiques du circuit équivalent sont les suivantes ; L = 0,1 H ; C=2F ; R = 100 ; r = 10, ; et ce circuit est alimenté par une tension sinusoïdale de valeur maximale Um =12 V

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