TD 10 : Oscillateurs amortis en RSF

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1 TD 10 : Oscillateurs amortis en RSF I. Tester ses connaissances et sa compréhension du cours 1) Quels sont les régimes observés lorsqu'on soumet un oscillateur à une excitation sinusoïdale? 2) Pourquoi n'étudie-t-on que le RSF? Rappeler ses caractéristiques. 3) Rappeler les impédances complexes associées à une résistance, un condensateur et une bobine. Rappeler leur comportement en BF et HF. 4) Représenter graphiquement l'amplitude de la réponse du condensateur en fonction de la pulsation. 5) Montrer que la résonance en intensité est toujours présente quelle que soit la valeur de Q. 6) Comment peut-on accéder à la pulsation propre de l'oscillateur? Au facteur de qualité? II. Questions de réflexion Physique pratique 1) Portrait de phase d'un régime sinusoïdale forcé On considère un circuit RLC série ou un oscillateur mécanique amorti en régime sinusoïdale forcé. Quelle est l'allure du portrait de phase (u, u) où u est une tension quelconque du circuit? 2) Repérage de la résonance d'intensité à l'oscilloscope Dans un circuit RLC série, on observe sur un oscilloscope en mode XY la tension e(t) délivrée par le générateur, et celle aux bornes de la résistance u R (t). Expliquer comment trouver la fréquence de résonance en intensité. 3) Tension délivrée par le générateur à la résonance On considère un circuit RLC série en régime sinusoïdale forcé. En faisant varier uniquement la fréquence du générateur, on constate qu'à la résonance d'intensité, la tension délivrée par le générateur possède une amplitude inférieure à celle délivrée aux autres fréquences. Que se passe-t-il? 4) Décalage d'une fréquence de résonance Comment décaler efficacement la fréquence de résonance en élongation des oscillations? 5) Égalité à la résonance d'intensité? On considère un circuit RLC série en régime sinusoïdale forcé. a. Que dire des tensions aux bornes de l'inductance et de la capacité à la résonance? b. On visualise en bicourbe toujours à la résonance d'intensité la tension délivrée par le générateur e(t) et celle aux bornes de la résistance u R (t). On remarque que la tension aux bornes de la résistance est d'amplitude un peu inférieure à celle délivrée par le générateur. Pour quelles valeurs des paramètres peut-on bien mettre ce phénomène en évidence? A quoi est-il dû?

2 III. Exercices d'entraînement 1) Étude d'un portrait de phase On considère un oscillateur harmonique à l équilibre à t < 0. A t = 0, on soumet cet oscillateur à une excitation sinusoïdale X e (t) = X 0 cos(ωt+φ). On note X(t) la réponse de l oscillateur. Interpréter le portrait de phase représenté ci-dessus. 2) Caractérisation de la résonance par étude du déphasage Un circuit RLC est soumis à une tension sinusoïdale e(t) = E cos(2πf t) On mesure le déphasage φ entre la tension u R (t) aux bornes de la résistance et e(t) pour différentes fréquences d excitation f. Les points expérimentaux sont représentés ci-dessous. En exploitant les mesures, déterminer une valeur de la fréquence de résonance f R du circuit ainsi que la largeur de la résonance. φ ( ) R L

3 3) Exploitation d'une courbe de résonance Un circuit RLC série est alimenté par une tension sinusoïdale e(t) = E cos(ωt) avec E = 5 V. 1. Comment procéder à la mesure de l'intensité du courant dans le circuit? 2. La figure ci-dessous est la courbe de résonance en intensité obtenue expérimentalement avec I m l'amplitude du courant en RSF. En exploitant cette courbe, déterminer la valeur de la résistance R du circuit. 3. Déterminer la pulsation de résonance et la largeur de la courbe de résonance. En déduire les valeurs de L, C et du facteur de qualité Q de ce circuit RLC.

4 4) Détermination des caractéristiques d'une bobine Pour étudier une bobine réelle B, on effectue le montage ci-dessous. L oscillogramme (ou copie d écran de l oscilloscope), ainsi que les indications sur l échelle utilisée pour les deux voies, sont reproduites ci-dessous. Un oscilloscope permet d étudier : sur la voie I, la tension u I (t) = V M V B aux bornes de la résistance sur la voie II, la tension u II (t) = V A V B aux bornes du dipôle AB Les calibres sont identiques pour les deux voies : 2 V/Div et 1 ms/div On donne : R = 20 Ω, C =10 μf 1. L oscillogramme permet de calculer les valeurs de la période T, de la pulsation ω, des amplitudes U m et I m et de l impédance réelle Z AB. Déterminer leur valeur numérique. 2. Des deux tensions u I et u II, quelle est celle qui est en avance de phase sur l autre? 3. Calculer le déphasage φ entre la tension u e (t) = U m cos(ωt) et l intensité du courant i(t) = I m cos (ωt φ) 4. Montrer que, dans l hypothèse d une bobine idéale B de résistance r nulle, les valeurs numériques de Z AB, φ et R (donnée de l énoncé) sont incohérentes. 5. Il est donc nécessaire de prendre en compte la résistance r de la bobine. Calculer r. 6. En déduire la valeur numérique de l inductance L.

5 5) Équation différentielle et régime sinusoïdal forcé On considère le circuit ci-contre dans lequel le générateur impose la tension e(t) = E cos(ωt). 1. Déterminer directement l'équation différentielle vérifiée par i R en utilisant la loi des mailles et la loi des nœuds. 2. Déterminer la solution de cette équation en régime établi, en utilisant la méthode complexe. Préciser les expressions de l'amplitude I Rm et de la phase φ de i R Pour quelle valeur de la pulsation i R est-elle indépendante de R? Que valent alors I Rm et φ? 6) Anti-résonance en tension d'un circuit RLC On considère le circuit suivant avec e(t) = E cos(ωt). 1. Établir l'équation différentielle vérifiée par u(t). On pose : 2λ= 1 RC, ω 0 2 = 1 LC et Q= ω 0 2λ le facteur de qualité. 2. En déduire l'amplitude complexe U m ( x) de l'amplitude de u(t) en posant x= ω la pulsation réduite Étudier et tracer le module de U m ( x) en fonction de x. Montrer qu'il existe une pulsation pour laquelle on a une anti-résonance (amplitude de u(t) nulle).

6 7) Modélisation d'un quartz Un quartz piézoélectrique, destiné à servir d'étalon de fréquence dans une horloge, est modélisé par un dipôle AB composé de deux branches en parallèle : dans l'une se trouve une bobine d'inductance L, en série avec un condensateur de capacité C, dans l'autre, un condensateur de capacité C 0. On posera a= C C 0, et on gardera les variables L, C 0, ω et a. 1. Le dipôle AB étant alimenté par une tension sinusoïdale de pulsation ω, calculer son impédance complexe Z AB =Z 2. Calculer son module Z =Z 3. Déterminer son argument φ (sans chercher à déterminer son signe). 4. On étudie maintenant en fonction de la pulsation l'impédance Z : pour cela, on appellera ω 1 et ω 2, les valeurs finies non nulles de la pulsation pour lesquelles Z est respectivement nulle et infinie. Donner Z = f (C 0, ω, ω 1, ω 2 ). 5. Donner l'allure du graphe Z(ω). On précisera tout particulièrement les limites de Z quand ω tend vers zéro ou l'infini. 6. Quel est le comportement électrique simple de AB pour ω = ω 1 et ω = ω 2? On utilise en électricité des cristaux de quartz piézoélectriques permettant de réaliser des oscillateurs de fréquence précise. Lorsqu'un corps piézoélectrique est soumis à une contrainte mécanique (compression) il apparaît une différence de potentiel entre ses faces, et réciproquement, il se déforme mécaniquement s'il est soumis à une différence de potentiel.

7 8) Pourquoi le ciel est-il bleu? La couleur bleue du ciel résulte de l interaction des électrons des atomes et molécules atmosphériques avec la lumière émise par le Soleil. Un modèle d atome est celui proposé par Thomson au début du XX ème siècle. Il consiste en l association d un noyau chargé positivement à l intérieur duquel se déplace les électrons de charge e et de masse m. Le proton O exerce alors une force de rappel F sur chaque l électron M. Les pertes d énergie de l électron, par rayonnement, dues à son mouvement sont modélisées par une force de frottement fluide f. La lumière est, elle, une onde électromagnétique essentiellement caractérisée par un champ électrique oscillant qui s écrit au niveau de l atome E=E 0 cos(ω t) e z. On rappelle qu une charge q plongée dans un champ électrique E est soumis à une force q E et que l interaction gravitationnelle est négligeable à l échelle atomique. Enfin, pour simplifier, on supposera le noyau atomique fixe dans le référentiel Terrestre, lui même supposé galiléen. Après un régime transitoire d une courte durée, l électron oscille suivant la direction du champ électrique de l onde. La force de rappel s écrit alors F = k z e z et la force de frottement fluide s écrit f = h ż e z. 1. Écrire l équation du mouvement de l électron. On posera 2α= h m, ω 2 0 = k m. 2. Exprimer alors l amplitude du mouvement de l électron en fonction de ω en régime établi. 3. En déduire l accélération a(ω) et la représenter en fonction de ω sachant que ω 0 >> α 4. La couleur du ciel!! La lumière visible correspond au spectre [ω 1, ω 2 ] avec ω 1 et ω 2 << ω 0. Une charge en accélération émet dans toute les directions un rayonnement électromagnétique de puissance P(ω) = μ a 2 (ω) Déterminer l expression de l accélération a(ω) de l électron dans le référentiel du proton Donner une expression approchée de la puissance rayonnée par l électron lorsqu il est excité par de la lumière visible Expliquer alors qualitativement la couleur du ciel en plein jour en considérant les molécules atmosphériques éclairées par la lumière du Soleil.

8 9) Modélisation d'un haut parleur On modélise la partie mécanique d un haut-parleur à l aide d une masse m, se déplaçant horizontalement sans frottement le long de l axe (O, e x ). Cette masse m, assimilée à un point matériel M, est reliée à un ressort de longueur à vide l 0 et de raideur k, ainsi qu à un amortisseur fluide de constante f. Elle est soumise à une force F (t), imposée par le courant i(t) entrant dans le haut-parleur. On donne : F (t)=k i (t) e x avec K une constante. On travaille dans le référentiel terrestre considéré galiléen R g (O, e x, e y ) On suppose que le courant i(t) est sinusoïdal : i(t)=i m cos(ω t) Données : m = 10 kg ; k = N.m -1 ; K = 200 N.A -1 et I m = 1 A 1. Écrire l équation différentielle vérifiée par la position de la masse m. 2. La normaliser. On veut Q= 1, calculer alors la valeur du coefficient f Déterminer l expression de la réponse forcée x(t) et la mettre sous la forme X m cos(ωt+φ) Donnée : ω = rad.s Tracer l allure de la courbe donnant l'allure de X m (ω). En déduire la bande passante du système.

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