COURS DE THERMIQUE. Ecole d Ingénieurs de Genève. Séance N 5. Jean-Bernard Michel

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1 COURS DE THERMIQUE Ecole d Ingénieurs de Genève Séance N 5 Jean-Bernard Michel HES-SO - Energétique ::: convection ::: HES-SO / 64

2 7 séances 1 - Introduction et Généralités 2 - La conduction thermique 3 - L'équation de la chaleur 4 - Le rayonnement thermique 5 - La convection thermique 6 - Les échangeurs de chaleur 7 - Petite Classe d'application HES-SO - Energétique ::: convection ::: 2/ 64

3 Transfert par conduction HES-SO - Energétique ::: convection ::: 3/ 64

4 Transfert radiatif HES-SO - Energétique ::: convection ::: 4/ 64

5 Transfert convectif HES-SO - Energétique ::: convection ::: 5/ 64

6 Chauffage par convection HES-SO - Energétique ::: convection ::: 6/ 64

7 Coefficient d'échange de chaleur par convection d 2 Q : Quantité de chaleur qui traverse ds pendant le temps dt, en Joules d ( ) dt dt ( dq ) Flux de chaleur, en Watt 2 d Q = h p ( T T ) ds dt en W/(m 2.K) HES-SO - Energétique ::: convection ::: 7/ 64

8 Détermination du coefficient h h dépend: de la conduction entre les particules de fluide du mélange de ces particules par suite du mouvement d'ensemble du fluide l'échange de chaleur peut être accompagné d'un changement de phase HES-SO - Energétique ::: convection ::: 8/ 64

9 Différents échanges convectifs échange thermique monophasique en convection forcée échange thermique monophasique en convection naturelle échange thermique accompagné d'ébullition échange thermique accompagné de condensation HES-SO - Energétique ::: convection ::: 9/ 64

10 Convection forcée sans changement d'état Le problème consiste à préciser l'expression du flux thermique Φ échangé entre le fluide extérieur à la température T et une longueur unité de la surface du tuyau à la température T p HES-SO - Energétique ::: convection ::: 10/ 64

11 Flux thermique transféré par l'écoulement autour d'un tube Flux transféré, en Watt Φ = h ( T - T ) p π D en W/(m 2.K) Ecart de température entre paroi extérieure et fluide à l'infini, en K Surface d'échange par m de tuyau, en m 2 HES-SO - Energétique ::: convection ::: 11/ 64

12 Analyse dimensionnelle 8 Grandeurs physiques et 4 dimensions: M, L, T et θ HES-SO - Energétique ::: convection ::: 12/ 64

13 Analyse dimensionnelle Le théorème de VASCHY-BUCKINGHAM permet de prévoir que la forme la plus générale de la loi physique décrivant le phénomène étudié s'écrira: F( π, π, π 1 2 3, π 4 ) = 0 où les π i sont des groupements sans dimension de la forme: ( ) p π a λ b c = D U ρ d µ e f g C h T T i HES-SO - Energétique ::: convection ::: 13/ 64

14 Equations aux dimensions des 8 grandeurs D U ρ µ λ C h T p -T L, Longueur M, Masse T, Temps θ, température HES-SO - Energétique ::: convection ::: 14/ 64

15 Dimension d'un groupement p Définition d'un groupement π ( ) p π a λ b c = D U ρ d µ e f g C h T T i où a, b, c, d, e, f, g, i sont 8 paramètres inconnus HES-SO - Energétique ::: convection ::: 15/ 64

16 ( ) p π a λ b c = D U ρ d µ e f g C h T T i contribution de la Masse à la dimension du groupement π rien rien d e b rien g rien soit: b + d + e + g = 0 HES-SO - Energétique ::: convection ::: 16/ 64

17 ( ) p π a λ b c = D U ρ d µ e f g C h T T i contribution de la Longueur à la dimension du groupement π a c -3d -e b 2f rien rien soit: a + b + c - 3d - e + 2f = 0 HES-SO - Energétique ::: convection ::: 17/ 64

18 ( ) p π a λ b c = D U ρ d µ e f g C h T T i contribution du Temps à la dimension du groupement π rien -c rien -e -3b -2f g rien soit: -3b -c -e -2f -3g = 0 HES-SO - Energétique ::: convection ::: 18/ 64

19 ( ) p π a λ b c = D U ρ d µ e f g C h T T i contribution de la Température à la dimension du groupement π rien rien rien rien -b -f -g i soit: - b - f - g + i = 0 HES-SO - Energétique ::: convection ::: 19/ 64

20 Dimension d'un groupement p π b+d+e+g a+b+c-3d-e+2f -3b-c-e-2f-3g -b-f-g+i = M L T [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] θ Chacun de ces termes en exposant doit être nul HES-SO - Energétique ::: convection ::: 20/ 64

21 Groupements p sans dimension b + d + e + g = 0 a + b + c- 3d - e + 2f = 0-3b-c -e -2f-3g = 0 - b - f - g + i = 0 4 conditions pour que qu'un π soit adimensionnel mais 8 paramètres inconnus! HES-SO - Energétique ::: convection ::: 21/ 64

22 ( ) p π a λ b c = D U ρ d µ e f g C h T T 4 des 8 paramètres peuvent être choisis de manière arbitraire i g = 1 c = d = 0 i = 0 Pour obtenir une loi de la forme h = f (...) Le groupement π trouvé ne dépendra pas de l'énergie cinétique du fluide ρu 2 Le groupement π trouvé ne dépendra pas de l'écart de température T p -T HES-SO - Energétique ::: convection ::: 22/ 64

23 Résolution du système déterminant le premier groupement adimensionnel p Avec g = 1 et c = d = i = 0 b + d + e + g = 0 b + e = -1 a + b + c- 3d - e + 2f = 0 a + b + 2f - e = 0-3b-c -e -2f-3g = 0-3b-e -2f = 3 - b - f - g + i = 0 - b - f = 1 a = 1 b = - 1 e = 0 f = 0 HES-SO - Energétique ::: convection ::: 23/ 64

24 Nombre de Nusselt Nu ( ) p π a λ b c = D U ρ d µ e f g C h T T i Avec : g = 1 et : c = d = i = 0 a = 1 b = - 1 e = 0 f = 0 π 1 = N u = h D λ HES-SO - Energétique ::: convection ::: 24/ 64

25 Signification du Nombre de Nusselt Nu N u = Coefficient de convection h mis sous forme adimensionnelle F convecté = h ( T p - T ) ( DL ) Flux de référence = flux de conduction = λ ( DL ) [(T p - T ) / D] N u = F convecté Flux de référence = h ( T p - T ) ( DL ) λ ( DL ) [(T p - T ) / D] = h D λ HES-SO - Energétique ::: convection ::: 25/ 64

26 ( ) p π a λ b c = D U ρ d µ e f g C h T T i 4 des 8 paramètres peuvent être choisis de manière arbitraire b = 0 f = 0 g = 0 i = 0 de manière à ne conserver que les caractéristiques de l'interaction fluide-obstacle créant le transfert de chaleur: ω celles du fluide: ρ, µ ω celles de l'écoulement: U, D HES-SO - Energétique ::: convection ::: 26/ 64

27 Nombre de Reynolds Re ( ) p π a λ b c = D U ρ d µ e f g C h T T i Avec : b = f = g = i = 0 π ρu 2 = R e = µ D HES-SO - Energétique ::: convection ::: 27/ 64

28 Signification du Nombre de Reynolds Re R e = Forces d'inertie Forces de viscosité = ρ U D Re caractérise la forme du profil de vitesse de l'écoulement fluide µ HES-SO - Energétique ::: convection ::: 28/ 64

29 ( ) p π a λ b c = D U ρ d µ e f g C h T T i 4 des 8 paramètres peuvent être choisis de manière arbitraire a = 0 c = 0 g = 0 i = 0 de manière à ne conserver que les caractéristiques du fluide: ρ, µ, λ, C HES-SO - Energétique ::: convection ::: 29/ 64

30 Nombre de Prandtl Pr ( ) p π a λ b c = D U ρ d µ e f g C h T T i Avec : a = c = g = i = 0 π 3 = P r = µ λ C HES-SO - Energétique ::: convection ::: 30/ 64

31 Signification du Nombre de Prandtl Pr P r = Viscosité dynamique Diffusivité thermique = µ / ρ λ /ρc = µ C λ Pr compare les influences respectives: du profil de vitesse du fluide (viscosité) du profil de température (diffusivité) Pour les gaz usuels, Pr est voisin de 0.75 HES-SO - Energétique ::: convection ::: 31/ 64

32 Influence de la diffusivité thermique a 2 x T 2 = 1 a T t avec a = λ ρ c dt proportionnel à a HES-SO - Energétique ::: convection ::: 32/ 64

33 Conclusion de l'analyse dimensionnelle Le transfert de chaleur convectif implique une relation entre 4 nombres sans dimension F( π, π2, π3, 4 1 π ) = 0 F (N u,r e,p r,e c ) = 0 Nu = h D λ Re = ρu D µ P r = µ C λ Le quatrième groupement adimensionnel possible est le Nombre d'eckert. Il n'intervient que dans la description d'écoulements proches de la vitesse du son. HES-SO - Energétique ::: convection ::: 33/ 64

34 Nombres dérivés Nombre de Peclet: papport des flux thermiques par convection et par conduction Pe = Re.Pr U. D Pe = a = ρ. U. D µ µ. C. λ avec a, diffusivité thermique = λ ρ.c p Il existe aussi les nombres de Stanton, Grashof, Froude, Weber, Rayleigh p HES-SO - Energétique ::: convection ::: 34/ 64

35 Loi de la convection forcée F (N u,r e,p r ) = 0 ou N u = f (R e,p r ) hd λ = f ρ U µ D, µ λ C HES-SO - Energétique ::: convection ::: 35/ 64

36 Écoulement dans un tube Régime permanent dans une conduite cylindrique circulaire de diamètre intérieur D. Flux de chaleur dφ échangé à travers l aire latérale de paroi ds comprise entre les abscisses x et x + dx: dφ = h ( T - T ) π D dx m p HES-SO - Energétique ::: convection ::: 36/ 64

37 Coefficient d échange en régime turbulent Pour les nombres de Reynolds : 10 4 < Re < 1, Formule de Colburn corrélation expérimentale: N u = P r 1 3 R 0,8 e Conditions d application: Le régime d écoulement doit être parfaitement établi x/d > 60 0,7 < Pr < 100. HES-SO - Energétique ::: convection ::: 37/ 64

38 Régime turbulent non établi x/d < 60 N u = P r 1 3 R 0.8 e 1+ D x 0.7 HES-SO - Energétique ::: convection ::: 38/ 64

39 Régime laminaire Re < 2000, corrélations expérimentales de Lévêque, avec: A = R 1 P e avecα = r x D λ ρ. C p = V. D α N N u u = 3.66 =1.06 A pour A > 0.05 pour A < 0.05 HES-SO - Energétique ::: convection ::: 39/ 64

40 Exemple d application Tuyau de diamètre D = 20 mm Débit Q = 0,5 l/s d eau à 50 C. Déterminer le flux thermique transmis par convection du fluide vers la paroi, par mètre linéaire de conduite, dans le cadre des hypothèses suivantes: Température d entrée de l eau constante; Paroi du tube assez mince - on néglige la conduction; Température extérieure = 15 C; Ecoulement parfaitement établi Propriétés physiques de l eau: Masse volumique à 50 C: ρ = 988 kg/m3 Viscosité dynamique à 50 C: µ = Pa.s Conductivité thermique à 50 C: λ = W/(m. C) Capacité thermique massique à 50 C: Cp = J/(kg. C) HES-SO - Energétique ::: convection ::: 40/ 64

41 Résolution d'un problème de convection forcée 1 une géométrie 2 une dimension caractéristique L 3 L'écart T p - T entre paroi et fluide 4 La vitesse U du fluide 5 ρ, µ, C et λ du fluide HES-SO - Energétique ::: convection ::: 41/ 64

42 1 une géométrie Exemple: Un tuyau à section circulaire transportant de l'eau chaude. HES-SO - Energétique ::: convection ::: 42/ 64

43 2 une dimension caractéristique L Exemple: un tuyau de diamètre D = 20 mm HES-SO - Energétique ::: convection ::: 43/ 64

44 3 L'écart T p - T entre paroi et fluide Ecoulement Flux de chaleur Exemple: Le tuyau transporte de l'eau à la température moyenne: T m = 50 C alors que la paroi est à la température: T p = 15 C HES-SO - Energétique ::: convection ::: 44/ 64

45 4 La vitesse U du fluide Exemple: Le tuyau transporte un débit: Q = 0,5 l/s La vitesse moyenne de l'écoulement est alors: 1,6 m/s Um = Q/S = 1,6 m/s HES-SO - Energétique ::: convection ::: 45/ 64

46 5 ρ, µ, C et λ du fluide Pour de l'eau: Masse volumique à 50 C: ρ = 988 kg/m3 Viscosité dynamique à 50 C: µ = Pa.s Conductivité thermique à 50 C: λ = W/(m. C) Capacité thermique massique à 50 C: C = 4184 J/(kg. C) HES-SO - Energétique ::: convection ::: 46/ 64

47 Calcul du coefficient de transfert convectif h hd λ = f ρ U µ D, µ λ C 4 h HES-SO - Energétique ::: convection ::: 47/ 64

48 1 - Calcul du Nombre de Prandtl du fluide µ C P r = λ = = 3.60 HES-SO - Energétique ::: convection ::: 48/ 64

49 2 - Calcul du Nombre de Reynolds du fluide ρ UmD R e = = = µ HES-SO - Energétique ::: convection ::: 49/ 64

50 3 - Choix de la corrélation expérimentale Nu = f(re, Pr) Pour: 10 4 <R e < 1.2 x10 5 et: 0,7 < Pr < 100 on applique la corrélation de COLBURN: N u = P r 1 3 R 0,8 e HES-SO - Energétique ::: convection ::: 50/ 64

51 Calcul du Nombre de Nusselt (Formule de Colburn) 1 N = 0,023 P 3 R 0,8 u r e P r = 10 Nu = 224 P r = 3,6 P r = 1 N R = HES-SO - Energétique ::: convection ::: 51/ 64

52 4 - Calcul de h N = 224 = h D u λ h = λ N u = = 7156 W/(m. C) D 0.02 HES-SO - Energétique ::: convection ::: 52/ 64

53 Calcul du Flux thermique transmis par convection dφ ( T - T ) Ddx = h p π W = dφ dx = h ( T - T ) π D =15.7 kw/m m p HES-SO - Energétique ::: convection ::: 53/ 64

54 Ecoulement autour d un tube Pour un gaz : Nu = A Re m Pour un liquide : Nu = 1.11 A Re m 0.31 Pr R e A m 1 < R e < < R e < < R e < < R e < < R e < HES-SO - Energétique ::: convection ::: 54/ 64

55 Cas des échangeurs à tubes N u = B ( R ) ( P ) e 0.6 r 0.33 Faisceau aligné : B = 0.26 Faisceau en quinconce : B = 0.33 HES-SO - Energétique ::: convection ::: 55/ 64

56 Exercice d application Calculer la longueur de tube nécessaire à un échangeur aireau Températures Air in = 800 C Air out = 40 C Eau in = 15 C Eau out = 40 C Puissance moyenne fournie = 10 kw Diametre du tube= 10 mm HES-SO - Energétique ::: convection ::: 56/ 64

57 Ecoulement le long d une plaque Dans la sous - couche laminaire: dφ ds d 2 h = - = Q = h T p 2 d Q ds dt ( T - T ) p λ - T m T = - λ n m T n ds dt n=0 [ W n= 0 / m 2. K] HES-SO - Energétique ::: convection ::: 57/ 64

58 Cas d une paroi plane Régime laminaire Régime laminaire Re < Nu Nu L L = Régime ( Re ) ( Pr) L turbulent = 0,036 : ρ Um L µ h L λ HES-SO - Energétique ::: convection ::: 58/ 64 Re L N u ( Re ) 0.8 ( Pr) L 2000 : 0.33 = L =

59 HES-SO - Energétique ::: convection ::: 59/ 64 Convection naturelle: nombres de Grashof et de Froude 2 3 p = cte 2 3. T 1 Pour un fluide parfait T v v 1 = coefficient de dilatation volumique isobare du fluide avec... γ α α α γ α D g T T Gr T D g Gr = = = = Rapport entre forces de poussée ascensionnelle dues à une différence de température et forces de viscosité

60 Nombre de Froude Fr = U 2 g. L Rapport entre forces de viscosité, de gravité et d inertie. HES-SO - Energétique ::: convection ::: 60/ 64

61 Couche limite de convection naturelle G r = α g T µ 2 ρ 2 L 3 Forces de gravité Par unité de volume G = r α g T µ ρ 2 1 L 3 Forces de frottement visqueux par unité de volume HES-SO - Energétique ::: convection ::: 61/ 64

62 Convection naturelle laminaire et turbulente N u = C calculés à ( G. P ) la température moyenne, fluide - paroi Laminaire : n = 1/4 Turbulent : n = 1/3 r r n HES-SO - Energétique ::: convection ::: 62/ 64

63 Facteur de forme C Géométrie et orientation de la paroi Dimension caractéristique L C en convection laminaire Plaque verticale Hauteur 0,59 (10 4 < G r.p r < 10 9 ) C en convection turbulente 0,13 (10 9 < G r.p r < ) Cylindre horizontal Diamètre extérieur 0,53 (10 3 < G r.p r < 10 9 ) 0,10 (10 9 < G r.p r < ) Plaque horizontale chauffant vers le haut Plaque horizontale chauffant vers le bas Largeur 0,54 (10 5 < G r.p r < ) Largeur 0,27 ( < G r.p r < ) 0,14 ( < G r.p r < ) 0,07 ( < G r.p r < ) HES-SO - Energétique ::: convection ::: 63/ 64

64 Exemple d application: mur ensoleillé H=6 m L=10 m Pr = 0.72 Gr = Ra = Nu Nu. λ h = = L 11 = Ra W/m = K Tp = 313 K Ta = 293 K Tm = 303 K ρ = 1,149 kg/m3 λ = W/(m.K) µ = Pa.s Cp = 1006 J/(kg.K) HES-SO - Energétique ::: convection ::: 64/ 64

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