Géométrie du plan. Barycentre. Notions communes. Mesures algébriques. Produits scalaires et mixtes

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1 [ édité le 4 septembre 016 Enoncés 1 Géométrie du plan Notions communes Exercice 1 [ ] [Correction] Montrer que deux droites parallèles sont disjointes ou confondues. Montrer que deux droites non parallèles se coupent en un point unique. Barycentre Exercice 6 [ ] [Correction] Soit n entier naturel non nul, considérons (A 1, A,..., A n ) et (B 1, B,..., B n ) deux familles de n points du plan dont on note respectivement G et H les isobarycentres. Montrer que n A i B i = ngh i=1 Exercice [ ] [Correction] Soient A 1,..., A n des points du plan. Montrer que l existence de B 1,..., B n tels que les A i soient les milieux des segments [B i ; B i+1 ] (avec B n+1 = B 1 ) est équivalente à l existence d un point fixe pour une certaine composée de symétries centrales. Discuter l existence et l unicité des points B i et en donner une construction géométrique. Mesures algébriques Exercice 3 [ ] [Correction] On appelle rapport harmonique de quatre points alignés distincts A, B, C, D le réel Montrer [A, B, C, D] = CA CB : DA DB [A, B, C, D] + [D, B, C, A] = 1 Exercice 4 [ ] [Correction] Trois droites parallèles sont coupées par une droite D en A, B, C. Montrer que le rapport AC ne dépend pas de D. AB Exercice 5 [ ] [Correction] [Théorème de Ménélaüs] Une droite coupe les côtés (BC), (CA) et (AB) d un triangle (ABC) en trois points A, B, C distincts des sommets. Établir A B B C C A A C B A C B = 1 en introduisant B projeté de B sur (AC) parallèlement à. Exercice 7 [ ] [Correction] Soient A, B, C, A, B, C six points du plan. On note G et G les isobarycentres respectifs des familles (A, B, C) et (A, B, C ). (a) Montrer AA + BB + CC = 3. GG (b) Montrer que G et G sont confondus si, et seulement si, il existe un point M tel que les figures (BA CM) et (B AC M) soient des parallélogrammes. Exercice 8 [ ] [Correction] Montrer que l ensemble des barycentres de deux points distincts A et B est la droite (AB). Montrer que si les points A, B, C ne sont pas alignés, tout point du plan est barycentre de ces trois points. Produits scalaires et mixtes Exercice 9 [ ] [Correction] Soient u et v deux vecteurs du plan. Développer u + v u v Comment le résultat obtenu permet-il de calculer u v à l aide d un compas et d une règle graduée? Exercice 10 [ ] [Correction] Soient u et v deux vecteurs du plan. Développer det( u v, u + v) Donner une justification géométrique de ce résultat.

2 [ édité le 4 septembre 016 Enoncés Exercice 11 [ ] [Correction] Soient A, B, C trois points du plan. Établir det( AB, AC) = det( BC, BA) = det( CA, CB) Exercice 1 [ ] [Correction] On suppose le plan muni d un repère orthonormé direct. Déterminer l angle orienté entre les vecteurs u(, 1) et v(3, 4). Lignes de niveau Exercice 13 [ 0191 ] [Correction] Soient A, B des points et u, v des vecteurs distincts. Déterminer les points M tel que AM u = BM v. Exercice 14 [ ] [Correction] Soient A, B deux points et u un vecteur non nul. Déterminer les points M tels que : (a) u AM + u BM = 0 b) det( u, AM) + det( u, BM) = 0. Exercice 15 [ ] [Correction] Soient a, b C distincts, λ > 0 et n N. Montrer que les racines de l équation sont alignés ou cocycliques Coordonnées cartésiennes (z a) n = λ(z b) n Exercice 16 [ ] [Correction] Former une équation cartésienne de la droite définie par le paramétrage : { x = 1 t avec t R y = + t Exercice 17 [ ] [Correction] On note C le cercle de centre O et de rayon 1. Former l équation de la tangente à C au point M(cos θ, sin θ). Exercice 18 [ ] [Correction] Soient A 1, B 1 et M 3 des points du plan géométrique dont les coordonnées sont 4 exprimées relativement à un repère orthonormé. (a) Calculer la distance du point M à la droite (AB). (b) Former l équation de la perpendiculaire à (AB) passant par M. Exercice 19 [ 0190 ] [Correction] Exprimer les coordonnées du projeté orthogonal du point M de coordonnées (a, b) sur la droite D: x y = 1 Exercice 0 [ 0191 ] [Correction] On suppose le plan muni d un repère orthonormé. Former les équations cartésiennes des bissectrices des droites D 1 : 3x + 4y 7 = 0 et D : 5x 1y + 7 = 0 Exercice 1 [ 019 ] [Correction] Montrer que les droites D m : 8mx + (1 + 4m )y + 4m = 0 sont concourantes. Exercice [ 0193 ] [Correction] (AB): x y + 3 = 0, (AC): x y 3 = 0 et (BC): x + y + 1 = 0. Quelles sont les coordonnées des points A, B et C? Quelles sont les coordonnées de l orthocentre du triangle (ABC)? Exercice 3 [ 0194 ] [Correction] On suppose le plan muni d un repère orthonormé direct. On se donne A 1 et B 3. Déterminer les coordonnées du point C tel que (ABC) soit un 4 triangle équilatéral direct.

3 [ édité le 4 septembre 016 Enoncés 3 Exercice 4 [ 0195 ] [Correction] Soient A, B, C, A, B, C six points deux à deux distincts du plan tels que les triplets A BC, AB C, ABC, A B C soient alignés tandis que A, B, C ne le sont pas. En introduisant le repère cartésien R = (A; AB, AC), montrer que les milieux des segments [A ; A ], [B ; B ] et [C ; C ] sont alignés. Coordonnées polaires Exercice 5 [ ] [Correction] On note C le cercle de centre O et de rayon 1. (a) Former l équation polaire du cercle C. (b) Former l équation polaire de la tangente à C au point M de C déterminé par ( i, OM) = α [π]. Exercice 6 [ ] [Correction] On note C le cercle de centre I(1, 0) et de rayon 1. (a) Former l équation polaire du cercle C. (b) Former l équation polaire de la tangente à C au point M de C déterminé par ( i, IM) = α [π]. Le triangle Exercice 7 [ 0196 ] [Correction] Soit (ABC) un triangle non aplati du plan. On note a = BC, b = CA, c = AB,  = ĈAB ]0 ; π[ Établir la formule d Al-Kachi : a = b + c bc cos Â. Exercice 8 [ 0197 ] [Correction] [Loi des sinus] Soit (ABC) un triangle non aplati. On note a = BC, b = CA, c = AB,  = ĈAB ]0 ; π[, ˆB = ÂBC, Ĉ = BCA. Montrer avec R rayon du cercle circonscrit. a sin  = b sin ˆB = c sin Ĉ = R Exercice 9 [ 0198 ] [Correction] Soit (ABC) un triangle non aplati. Montrer qu il existe une homothétie transformant les sommets du triangle en les milieux des côtés opposés. En déduire que médianes, les médiatrices et les hauteurs sont concourantes et que les points de concours sont alignés. Exercice 30 [ 0199 ] [Correction] [Étude géométrique élémentaire du triangle] Soit ABC un triangle du plan affine euclidien. (a) On note M, N, P les milieux respectifs de [B ; C], [C ; A], [A ; B] et G l isobarycentre de ABC. Déterminer une homothétie h qui transforme M, N, P en respectivement A, B, C. En déduire que les médianes du triangle s interceptent en G. (b) On note 1,, 3 les médiatrices des segments [A ; B], [B ; C], [C ; A]. Montrer que ces trois droites s interceptent en un point O et qu il existe un cercle de centre O passant par A, B, C. Le point O est appelé centre du cercle circonscrit au triangle ABC. (c) On note D 1, D, D 3 les hauteurs du triangles ABC issues de A, B, C. Montrer que D 1, D, D 3 sont respectivement les images par l homothétie h de O des droites 1,, 3. En déduire que D 1, D, D 3 s interceptent en un point H appelé orthocentre du triangle ABC. Justifier que O, G et H sont alignés dans cet ordre. (d) On note D 1, D, D 3 les bissectrices intérieures du triangle ABC issues de A, B, C. Montrer que ces trois droites s interceptent en un point I se situant à égale distance des droites (AB), (BC), (CA). Montrer qu il existe un cercle de centre I et tangent aux droites (AB), (BC), (CA). Le point I est appelé centre du cercle inscrit dans ABC. Exercice 31 [ ] [Correction] On suppose le plan muni d un repère orthonormé direct. Soient A, B, C trois points du plan d affixes respectives a, b, c. Établir : (a) (ABC) est un triangle équilatéral direct si, et seulement si, a + b j + c j = 0. (b) (ABC) est un triangle équilatéral si, et seulement si, a + b + c = ab + bc + ca. Exercice 3 [ ] [Correction] Soient (ABC) un triangle équilatéral du plan et M un point à l intérieur de celui-ci. Montrer que la somme des distances de M aux trois côtés de (ABC) ne dépend pas de M. (indice : introduire un repère adapté)

4 [ édité le 4 septembre 016 Enoncés 4 Exercice 33 [ 0193 ] [Correction] Soit (ABC) un triangle non aplati. Sur chacun de ses côtés, on construit un triangle équilatéral extérieur au triangle (ABC). Montrer que les centres de ses triangles équilatéraux sont les sommets d un triangle équilatéral. Exercice 34 [ 0335 ] [Correction] Soient a, b, c trois complexes distincts vérifiant a b c = b a c = c a b Montrer que le triangle dont les sommets ont pour affixes a, b, c est équilatéral. Le cercle Exercice 35 [ ] [Correction] Montrer que l intersection de 3 cercles de centres non alignés contient au plus un point. Exercice 36 [ ] [Correction] Soient C, C deux cercles du plan extérieur l un à l autre, O, O leurs centres respectifs, et R, R leurs rayons respectifs. Les tangentes menées de O à C coupent C en deux points A, B et les tangentes menées de O à C coupent C en deux points A, B. Démontrer AB = A B Exercice 37 [ ] [Correction] Soient C un cercle et M un point en dehors de C. Une droite D passant par M coupe C en deux points A et B. Montrer que le produit MAMB ne dépend pas du choix de D. Exercice 38 [ ] [Correction] Soient C et C deux cercles de centre et de rayon distincts. (a) Montrer qu il existe deux homothéties transformant C en C. (b) En déduire une méthode permettant de construire les quatre tangentes commune à deux cercles extérieurs l un, l autre. Exercice 39 [ ] [Correction] On se donne deux droites sécantes et un point hors de celle-ci. Construire un cercle tangent aux droites passant par le point. Exercice 40 [ ] [Correction] Soit n N, A 1,..., A n P et α 1,..., α n R tels que n i=1 α i 0. Étudier la ligne de niveau n k=1 α kma k = λ en fonction du paramètre λ R. Exercice 41 [ ] [Correction] (a) Soit (ABC) un triangle. La bissectrice intérieure issue de A coupe (BC) en un point I. Montrer BI CI = BA CA (b) Soit A, I, B trois points alignés dans cet ordre. Montrer que les points voyant le segment [A ; I] sous le même angle que le segment [I ; B] sont inclus dans un cercle ou une droite. Exercice 4 [ ] [Correction] Soit A, B deux points distincts et λ ]0 ; 1[ ]1 ; + [. On note U et V les points d intersection de (AB) avec le cercle défini par MA MB = λ Montrer que UA UB = VA VB (on dit que les points A, B, U, V forment une division harmonique). Exercice 43 [ ] [Correction] Soit A, B deux points distincts et λ ]0 ; 1[ ]1 ; + [. Montrer que le cercle défini par MA MB = λ est orthogonal à tout cercle passant par A et B. Exercice 44 [ 0131 ] [Correction] On se place dans le plan R euclidien canonique Soient A( 1, 1) et C le cercle d équation x + y = x. Déterminer les tangentes à C issues de A.

5 [ édité le 4 septembre 016 Enoncés 5 Théorème de l angle au centre Exercice 45 [ 0194 ] [Correction] On munit le plan d un repère orthonormé direct. Soit A, B, C, D quatre points deux à deux distincts d affixes respectives : a, b, c, d. (a) Montrer que : ( CA, CB) = ( DA, DB) = 0 [π] si, et seulement si, A, B, C, D sont alignés. (b) Montrer que : ( CA, CB) = ( DA, DB) 0 [π] si, et seulement si, A, B, C, D sont cocycliques. (c) En déduire que A, B, C, D sont alignés ou cocycliques si et seulement si : c a d b c b d a R. Exercice 46 [ ] [Correction] Soit C un cercle de centre O et A, B deux points distincts de ce cercle. Soit T un point de la tangente en A au cercle C. Montrer ( OA, OB) = ( AT, AB) [π] Exercice 47 [ ] [Correction] Soit (ABC) un triangle non aplati. Montrer que les symétriques de son orthocentre H par rapport à ses côtés appartiennent au cercle circonscrit au triangle.

6 [ édité le 4 septembre 016 Corrections 6 Corrections Exercice 1 : [énoncé] Soit D et D deux droites parallèles. Si D D = alors les droites sont disjointes. Sinon les deux droites ont un point en commun et même direction : elles sont confondues. Soit D = (A; u) et D = (B; v) deux droites non parallèles. u et v ne sont pas colinéaires donc on peut écrire AB = α. u + β. v. Le point M = A + α. u D et M = B + BA + α. u = B β. v D donc D et D s interceptent en un point. Si D D contient au moins deux points A, B alors D = (AB) = D ce qui est exclu car les droites sont supposées non parallèles. Au final D et D se coupent en un point unique. Exercice : [énoncé] Soit s i la symétrie de centre A i. Si B 1,..., B n est solution du problème posé alors B = s 1 (B 1 ),..., B n = s n 1 (B n 1 ) et B 1 = (s n... s 1 )(B 1 ). Inversement ok. Si n est impair, la composée s n... s 1 est une symétrie centrale et par suite B 1 existe et est unique. En déterminer le milieu d un point et de son image par cette ( composée, on construit B 1. Si n est pair, la composée est une translation de vecteur A 1 A + + A n 1 A n ). Si ce dernier n est pas nul, il n y a pas de solution au problème posé. Si ce vecteur est nul, n importe quel point convient. Exercice 3 : [énoncé] donne [A, B, C, D] + [D, B, C, A] = CADB CBDA + CDAB CBAD (CB + BA)DB + (CB + BD)BA [A, B, C, D] + [D, B, C, A] = = 1 CBDA Exercice 4 : [énoncé] Soit D une droite coupant nos trois droites en A, B, C. Si D est parallèle à D alors AC = A C et AB = A B puis l égalité des rapports. Si D n est pas parallèle à D alors introduisons D la parallèle à D passant par A. D coupe nos trois droites en A = A, B, C avec, de part l étude qui précède, A C = A C. A B A B Par Thalès (ou une homothétie de centre A) : AC = A C et la conclusion. AB A B Exercice 5 : [énoncé] Par Thalès : puis la conclusion. Exercice 6 : [énoncé] Par la relation de Chasles n n A i B i = Ai G + i=1 Exercice 7 : [énoncé] i=1 (a) Par la relation de Chasles puis A B A C = B B B C et C A C B = B A B B n GH + i=1 n HB i = 0 + ngh + 0 = n. GH i=1 AA = AG + GG + G A AA + BB + CC = AG + G A + BG + G B + CG + G C + 3. GG = 3. GG (b) BA CM (resp. B AC M) est un parallélogramme si, et seulement si, si M = C + A B (resp. M = C + AB ). Il existe M tels que BA CM et B AC M sont des parallélogrammes si, et seulement si, C + A B = C + AB soit AA + BB + CC = 3 GG = 0 i.e. G = G Exercice 8 : [énoncé] Si G = bar {(A, 1 λ), (B, λ)} alors AG = λab donc G (AB). Si M (AB) alors AM = λ AB donc M = bar((a, 1 λ), (B, λ)). Si A, B, C non alignés alors pour tout point M du plan on peut écrire AM = λ AB + µ AC donc M = bar {(A, 1 λ µ), (B, λ), (C, µ)}.

7 [ édité le 4 septembre 016 Corrections 7 Exercice 9 : [énoncé] u + v u v = 4 u v. En construisant les vecteurs u + v et u v (à la règle et au compas) et en mesurant leur longueur on peut évaluer u. v via la formule ci-dessus. Exercice 10 : [énoncé] Par bilinéarité et antisymétrie det( u v, u + v) = det( u, u) det( v, u) + det( u, v) det( v, v) = det( u, v) Une construction géométrique permet de constater que le parallélogramme construit sur u + v et u v a même orientation et une aire double du parallélogramme construit sur u et v. Exercice 11 : [énoncé] donc det( AB, AC) = det( BA, AB + BC) det( AB, AC) = det( BA, AB) det( BA, BC) = 0 + det( BC, BA) De même pour l autre égalité. (b) det( u, AM) + det( u, BM) = det( u, IM) = 0 M appartient à la droite passant par I et dirigée par u. Exercice 15 : [énoncé] Une racine z de l équation étudiée vérifie avec µ = n λ. On reconnaît ici une ligne de niveau du type z a = µ z b MA = µmb avec µ > 0 et A, B distincts. Cette ligne de niveau est la médiatrice du segment [A ; B] quand µ = 1 ou un cercle quand µ 1. On en déduit que les racines de l équation étudiée sont alignées ou cocycliques. Exercice 16 : [énoncé] Cette droite passe par A 1 et est dirigée par u, x + y = 5 en est une équation. 1 Exercice 1 : [énoncé] u = 5, v = 5, u v = et det( u v) = 11 > 0 donc ( u, v) = arccos 5 [π] 5 Exercice 17 : [énoncé] Cette tangente a le vecteur OM pour vecteur normal. cos θ.x + sin θ.y = 1 en est une équation. Exercice 13 : [énoncé] AM u = BM v AM ( u v) = BA v. Posons λ = BA v. Le lieu des points M est une droite orthogonale à u v. Exercice 18 : [énoncé] (a) (AB): x + 3y = 5 donc d(m, (AB)) = = 10 Exercice 14 : [énoncé] Introduisons I = m[a ; B]. (a) u AM + u BM = u IM = 0 M appartient à la droite passant par I dont u est vecteur normal. (b) AB est vecteur normal à la perpendiculaire cherchée, 3x + y = 5 en est une équation.

8 [ édité le 4 septembre 016 Corrections 8 Exercice 19 : [énoncé] La droite D passe par A 1 et est dirigée par u 0 1. Les points de D sont les N 1 + t avec t R. t donc Le projeté de M sur D est donc MN u = (1 + t a) + (t b) = 5t a b + MN u = 0 t = a + b 5 N (4a + b + 1)/5 (a + b )/5 Exercice 0 : [énoncé] Notons B = {M P d(m, D 1 ) = d(m, D )}. Soit M x y B. M B 3x+4y 7 5 = 5x 1y x + 11y 16 = 0 ou 64x 8y 56 = 0, B est la réunion des droites : 1 : 7x + 56y 63 et : 8x y 7 = 0 appelées bissectrices de D 1 et D. Exercice 3 : [énoncé] I 3 est milieu du segment (AB), AB, AB =, IC = IC 3, C n avec n 1/ 1/. Exercice 4 : [énoncé] Dans le repère considéré : A 0 0, B 1 0, C 0 1, A 1 a 0, B a b, C c 0. Puisque A, B, C sont alignés, il existe α R tel que A C = α { A B i.e. c = (α 1)(a 1) b = α 1 α a. En notant I, J, K les milieux des segments [A ; A ], [B ; B ], [C ; C ] on a : I (1 a)/, a/ J 1/ b/, K c/ 1/. a/ IJ b a avec = a α et IK (c + a 1)/ avec (b a)/ c+a 1 = α(a 1) donc IK = α a 1 a IJ. (1 a)/ Exercice 5 : [énoncé] (a) ρ = 1. b) ρ = 1 cos(θ α). Exercice 1 : [énoncé] Les droites D 1 et D 1 se coupent le point de coordonnées x = 1/ et y = 0 dont on vérifie l appartenance à toutes les droites D m. Exercice : [énoncé] On résout les systèmes formés par l intersection de deux droites. On parvient à A(3, 3), B(, 1/), C(1, 1). La hauteur issue de A a pour équation x y = 3. La hauteur issue de B a pour équation x + y = 1. (celle issue de C a pour équation x + y = 1). L orthocentre est H(1, 1) c est-à-dire le point C (le triangle est rectangle en C) Exercice 6 : [énoncé] (a) ρ = cos θ. (b) Si α = π [π] alors θ = π est l équation de la tangente en M. Si α π [π] : Introduisons H le projeté de O sur la tangente. ( i, OH) = α [π] car les droites (OH) et (IM) sont parallèles. Par le théorème de l angle au centre : ( i, OM) = α [π] et par suite ( OM, OH) = α [π] La distance du point O à la tangente est d = OM cos α = cos α. Finalement la tangente a pour équation polaire ρ = cos α cos(θ α)

9 [ édité le 4 septembre 016 Corrections 9 Exercice 7 : [énoncé] a = BC = AB + AC = AB + AC AB. AC = b + c bc cos Â. Exercice 8 : [énoncé] Notons O le centre du cercle circonscrit et I le milieu du segment [B ; C]. Par le théorème de l angle au centre Par suite BI = R sin  puis BOI =  a = BC = R sin  Les autres relations s obtiennent par permutation. Exercice 9 : [énoncé] L homothétie de centre G, centre de gravité du triangle et de rapport 1/ est solution. Les médianes concourent en G. Les médiatrices sont bien entendu concourantes. Les hauteurs sont transformées en les médiatrices par l homothétie introduite d où la conclusion. Exercice 30 : [énoncé] (a) Par l associativité du barycentre, l homothétie h de centre G et de rapport convient. Par suite G appartient aux droites (AM), (BN) et (CP). (b) 1 et s interceptent en un point O tel que OA = OB et OB = OC. On a alors OA = OC i.e. O 3. Le cercle de centre O et de rayon R = OA = OB = OC convient. (c) La droite h( 1 ) passe par h(m) = A et est parallèle à 1. Comme 1 et (BC) sont perpendiculaires il en est de même de h( 1 ) et (BC). Par suite h( 1 ) = D 1. De même : h( ) = D et h( 3 ) = D 3. Comme 1,, 3 s interceptent en O, D 1, D, D 3 s interceptent en H = h(o). Comme h est une homothétie de rapport négatif, O, G et H sont alignés dans cet ordre. (d) D 1 et D s interceptent en un point I tel que d(i, (AB)) = d(i, (AC)) et d(i, (BA)) = d(i, (BC)). On a alors d(i, (CA)) = d(i, (CB)), ainsi I évolue sur l une des deux bissectrices de l angle en C. Comme I est un point de D 1 distincts de A et que D 1 est la bissectrice intérieure du triangle ABC en A, I est point tel que B et C soient de part et d autre de la droite (AI). De même A et C sont de part et d autre de (BI). Mais alors A et B sont de part et d autre de (IC) et donc (IC) est la bissectrice intérieure de l angle en C. Ainsi D 1, D, D 3 s interceptent en I. Le cercle de centre I et de rayon r = d(i, (AB)) = d(i, (BC)) = d(i, (CA)) est tangent aux droites (AB), (BC), (CA). Exercice 31 : [énoncé] (a) (ABC) est un triangle équilatéral direct si et seulement si la rotation de centre C et d angle π/3 envoie le point B sur le point A ce qui en terme d affixe se relie : a = c + ( j)(b c) soit a + j.b + j.c = 0 (b) Comme ci-dessus (ABC) est un triangle équilatéral indirect si, et seulement si, a + j.b + j.c = 0 Par suite (ABC) est un triangle équilatéral si, et seulement si, soit (a + j.b + j.c)(a + j.b + j.c) = 0 a + b + c = ab + bc + ca Exercice 3 : [énoncé] Notons O le projeté orthogonal de A sur (BC). Soit R = (O, i, j) le repère orthonormé défini avec i = Notons a la demi arête du triangle ABC. Dans le repère R, on a les coordonnées et les équations de droite BC BC, OA j = OA A(0, 3a), B( a, 0), C(a, 0) (AB): 3x + y = 3a, (BC): y = 0, (CA): 3x + y = 3a

10 [ édité le 4 septembre 016 Corrections 10 Pour tout point M(x, y), d(m, (AB)) = 3x + y 3a, d(m, (BC)) = y, d(m, (CA)) = 3x + y 3a Comme M est a l intérieur de ABC : puis 3x + y 3a 0, y 0, 3x + y 3a 0 d(m, (AB)) + d(m, (BC)) + d(m, (CA)) =... = 3a Une autre démonstration possible : calculer l aire du triangle (ABC) comme somme des aires des triangles (ABM), (AMC) et (MBC). Exercice 33 : [énoncé] On introduit les notations standard du triangle : a, b, c, Â, ˆB, Ĉ. Par Al-Kachi : a = b + c bc cos Â. a La distance de B et C au centre du triangle équilatéral construit sur [BC] est 3. L arête du côté de A du triangle joignant les centres des triangles équilatéraux a pour longueur d avec en vertu d Al-Kachi (dans le triangle de sommet A) : d = b 3 + c 3 3 bc cos(â + π 3 ). bc cos(â + π 3 ) = bc cos  Par suite d = a +b +c 6 + abc 3 b bc sin  = 4 + c 4 a 4 3 4R (R rayon du cercle circonscrit). 3R abc via la loi des sinus. L expression obtenue est symétrique en a, b et c, les deux autres arêtes du triangle étudié seront donc égales à la première. Finalement le triangle obtenu est équilatéral. Exercice 34 : [énoncé] Posons ω = a + b + c 3 l affixe du barycentre des sommets du triangle. L hypothèse posée donne a ω = b ω = c ω donc le barycentre est aussi centre du cercle circonscrit au sommet du triangle (qui est nécessairement non aplati). Puisque le barycentre est aussi le centre du cercle circonscrit, le triangle est équilatéral (on le montre par exemple en affirmant que médianes et médiatrices issues d un côté sur lequel ne figure pas le point désigné par ω sont confondues). Exercice 35 : [énoncé] Par l absurde, si l intersection contient au moins points, les centres des cercles figurent sur la médiatrice de ces deux points et sont donc alignés. Exercice 36 : [énoncé] Notons H et H les projetés orthogonaux de A et A sur la droite (OO ). Notons α et α les angles ĤOA et H O A. D une part AH = R sin α et R = OO sin α D autre part Par suite A H = R sin α et R = OO sin α AB = AH = RR OO = A H = A B Exercice 37 : [énoncé] Introduisons I milieu du segment [A ; B]. I est le projeté orthogonal de O sur D. MAMB = MI IA = (MI + IO ) (IA + IO ) = OM R en vertu de Pythagore. Exercice 38 : [énoncé] (a) Soit h une homothétie solution, O son centre et λ son rapport. Par conservation des distance λ = R /R ou λ = R /R. Puisque Ω est transformé en Ω, O (ΩΩ ) et OΩ = λoω ce qui définit O de manière unique une fois λ connu. Inversement : ok. (b) Deux droites parallèles passant par Ω et Ω définissent des diamètres qui permettent de construire les centres des homothéties. Les tangentes issues de ses centres sont tangentes communes. Exercice 39 : [énoncé] On introduit un cercle tangent aux deux droites (centré sur une bissectrice des deux droites dans le secteur contenant le point considéré) puis on considère une homothétie de centre le point de concours des droites transformant le cercle en un cercle passant par le point voulu.

11 [ édité le 4 septembre 016 Corrections 11 Exercice 40 : [énoncé] Soit G le barycentre de la famille des points A 1,..., A n affectés des masses α 1,..., α n. n k=1 α ka k M = n k=1 α k(a k G + Ak G. GM + GM ) = α.gm + µ avec α = n k=1 α k et µ = n k=1 α ka k G. Par suite S λ = { } M P GM = λ µ α. En fonction du signe de λ µ α, S λ est soit vide, soit un cercle de centre G. Exercice 41 : [énoncé] (a) Soit B et C les symétriques de B et C par rapport à la bissectrice. Par Thalès BI CI = BB CC et BB = BA sin θ et CC = CA sin θ d où la conclusion. (b) Si M est un point solution alors la droite (MI) est bissectrice intérieur issue de M du triangle (ABM). Le point M appartient donc à la ligne de niveau AM BM = IA IB qui est un cercle ou une droite (dans le cas IA = IB) Exercice 4 : [énoncé] Quitte à échanger U et V, UA + λub = 0 donne De même puis la conclusion. U = bar((a, 1), (B, λ)) et V = bar((a, 1), (B, λ)) UA UB = λ VA VB = λ Exercice 43 : [énoncé] Deux cercles de centres O et O et de rayons R et R sont orthogonaux si, et seulement si, OO = R + R. Introduisons I = m[a ; B], O le centre du cercle défini par MA MB = λ, R son rayon et O le centre d un cercle passant pas A et B, R son rayon. R = O A = IO + IA, OO = OI + IO Notons U = bar((a, 1), (B, λ)) et V = bar((a, 1), (B, λ)) UA + λub = 0 donne UI = 1 λ 1 + λ IA De même VI = 1 + λ 1 λ IA Puisque O = m[u ; V], De plus et donc R + R = Exercice 44 : [énoncé] Réduisons l équation du cercle C OI = 1 + λ 1 λ IA λ R = 1 λ IA 4λ (1 λ ) IA + OO (1 + λ ) (1 λ ) IA + IA = OO x + y = x (x 1) + y = 1 C est le cercle de centre Ω(1, 0) et de rayon 1. Le point A est extérieur au cercle C, il existe donc deux tangentes à C issues de A. La droite horizontale 1 : y = 1 est immédiatement tangente au cercle C au point I 1 (1, 1) et elle passe par A. La seconde tangente est la symétrique de 1 par rapport à la droite (AΩ). La droite (AΩ) est dirigée par le vecteur i j et la droite 1 est dirigée par i. Pour symétriser le vecteur i, il suffit de le décomposer en un vecteur colinéaire à i j auquel on ajoute un vecteur orthogonal On obtient pour symétrique le vecteur i = 5 ( i j) ( i + j) 5 ( i j) 1 5 ( i + j) = 1 5 (3 i 4 j)

12 [ édité le 4 septembre 016 Corrections 1 On en déduit une équation de la droite : 4x + 3y + 1 = 0 Exercice 45 : [énoncé] (a) ok (b) Supposons ( CA, CB) = ( DA, DB) 0 [π]. A, B, C ne sont pas alignés. Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle (ABC). Par le théorème de l angle inscrit, D appartient à ce cercle. La réciproque est immédiate. (c) ( ( ) CA, CB) = ( DA, DB) [π] arg c b c a = arg( d b d a ) c a [π] c b. d b d a R. Exercice 46 : [énoncé] On introduit A diamétralement opposé à A. ( AT, AB) = π ( AB, AA ) = π ( OB, OA ) = ( OA, OB) [π] Exercice 47 : [énoncé] Considérons H le symétrique de H par rapport à (BC). ( H B, H C) + ( AC, AB) = ( H B, H H) + ( H H, H C) + ( AC, AH) + ( AH, AB) = π + π = 0 [π] donc ( H B, H C) = ( AB, AC) cercle circonscrit. Par suite H appartient à ce cercle. [π] puis ( H B, H C) = ( OA, OB) [π] avec O centre du