Licence 1-ère année, parcours PC. Math 101 : Initiation à l algèbre et la géométrie

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1 Licence 1-ère année, parcours PC Math 101 : Initiation à l algèbre et la géométrie Septembre

2 Programme (50h). Les nombres complexes (10h). Définitions (partie réelle et imaginaire, module etc...) Les formules de Moivre et Euler. Solutions d une équation du second degré. Racines d un nombre complexe (+ aspects géométriques). Linéarisation des polynomes trigonométriques. Géométrie dans le plan et l espace (20h). Repères. Déterminants 2 2 et 3 3, méthode du pivot de Gauss. Interprétations géométriques. Equations de droites, de plans, intersection, position relative... Produit scalaire, produit vectoriel, le produit mixte. Orientations, angles. Transformations du plan et l espace (12h). Transformations affines : définitions équivalentes, propriétés. Description géométrique, expression analytique des homothéties, translations, projections, symétries Isométries : définitions, propriétés (image d un repère) Classification des isométries du plan. Similitudes dans le plan, expressions analytiques réelle, complexe. Description géométrique à partir de la donnée de l expression analytique. (recherche des points fixes, de l orientation, utilisation du tableau de classification). Changements de repère dans le plan et l espace (4h). Le raisonnement mathématique logique (4h). Langage ensembliste. et ou, négation, lois de Morgan, implication, contraposée, quantificateurs. Raisonnement par l absurde. Raisonnement par récurrence. Cette partie du programme sera intégrée aux autres en fonction des besoins. 2

3 Table des matières 1 Nombres complexes 4 2 Géométrie affine et euclidienne dans le plan 9 3 Déterminants 3 3, méthode du pivot et Géométrie analytique dans l espace 13 4 Transformations affines, Isométries, Similitudes 18 5 Changements de repères 21 6 Annales Novembre Septembre Novembre Janvier Octobre Devoir surveillé de Novembre Septembre Novembre Décembre Janvier Septembre Novembre Examen de Janvier Février Novembre DNS Novembre 2006 DS Décembre DNS Janvier Mars Novembre Janvier Juin

4 1 Nombres complexes Rappels de cours. Généralités. On définit i tel que i 2 = 1. On note C l ensemble des nombres dit complexes : z = a + ib avec (a, b) R 2 La partie réelle de z est a, la partie imaginaire est b. Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelle et imaginaire sont égales. On définit une addition et une multiplication sur C, avec les conventions usuelles. Le conjugué d un nombre complexe z = a + ib est égal à z = a ib. On définit une division sur C par : a+ib c+id = (a+ib)(c id) =... c 2 +d 2 Le module de z, noté z, est défini par z = a 2 + b 2 = z z. Le module de 0 est 0. Soit z = a + ib un nombre complexe non nul, on a : Il existe donc θ R et ρ > 0 tels que : avec la convention e iθ := cos θ + i sin θ. z = ( a 2 + b 2 a a 2 + b + i b ) 2 a 2 + b 2 z = ρ(cos θ + i sin θ) =: ρe iθ, en notation exponentielle, Cette écriture de z est appelée forme trigonométrique de z, l écriture a+ib est appelée forme algébrique de z. Le nombre ρ est le module de z. Un argument de z est θ, noté arg(z). On remarque que si θ est un argument de z alors, pour tout k Z, θ + 2kπ est aussi un argument de z. Les arguments θ de z = a + ib sont donnés par { cos θ = a z sin θ = b z Soient z 1 = ρ 1 e iθ 1 et z 2 = ρ 2 e iθ 2 deux nombres complexes, on a : z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 e i(θ 1+θ 2 ) Racines n-ièmes d un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique : Z 0 = ρ 0 e iθ 0. On appelle racine n-ième de Z 0 une solution de l équation z n = Z 0. En posant z = ρe iθ, on écrit cette équation sous forme trigonométrique, on obtient : ρ n e inθ = ρ 0 e iθ 0, en identifiant les modules et arguments on obtient : ρ n = ρ 0 et nθ = θ 0 + 2kπ. On en conclut que les n racines n-ièmes de Z 0 sont : z k = n ρ 0 e i (θ 0 +2kπ) n, k = 0,..., n 1 4

5 Racines carrées d un nombre complexe écrit sous forme algébrique : Z 0 = a + ib. Par définition z = x + iy est une racine carrée de a + ib si et seulement si (*) z 2 = (x + iy) 2 = a + ib. En développant, on obtient : x 2 +2ixy y 2 = a+ib. En prenant les modules, on obtient z 2 = a+ib. Ainsi, on peut écrire : (*) On en déduit : (1) x 2 + y 2 = a + ib = a 2 + b 2 (2) x 2 y 2 = Re(a + ib) = a (3) 2xy = Im(a + ib) = b (1) (1)+(2) (2) (1) (2) (1) (2) 2x 2 = a 2 + b 2 + a 2y 2 = a 2 + b 2 a (3) 2xy = b. x = ± a 2 + b 2 + a 2 et y = ± a 2 + b 2 a D autre part, l égalité 2xy = b indique les signes relatifs de x et y. Autrement dit, si b > 0 alors x et y ont le même signe et si b < 0 alors x et y ont des signes opposés. Résolution dans C des équations du second degré. On considère dans C l équation : az 2 + bz + c = 0. Etape 1 : calcul du discriminant = b 2 4ac. Etape 2 : recherche d une racine carrée δ de. On utilise le paragraphe précédent. Etape 3 : conclusion. Les solutions de l équation sont z 1 = b+δ 2a et z 1 = b δ 2a. Interprétation géométrique des nombres complexes. Dans le plan cartésien muni du repère orthonomé (O, i, j), le point M dit d affixe z = a + ib = ρe iθ est le point dont les coordonnées dans (O, i, j) sont (a, b). On a donc : OM = ρ et ( i, OM) = θ [2π]. Linéarisation des polynômes trigonométriques. On dispose de la formule de Moivre, pour tout n Z et θ R : (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ). Et des formules d Euler, pour tout θ R : cos θ = eiθ + e iθ 2 sin θ = eiθ e iθ 2i Un polynome trigonométrique est une fonction F (x) de R dans R obtenue en ajoutant un nombre fini de termes de la forme Csin p (x)cos q (x). Linéariser un polynôme trigonométrique, c est l écrire comme une somme finie de termes de la forme Csin(kx) et Dcos(lx) avec C, D réel et k, l entiers. En pratique, pour linéariser un polynome trigonométrique : - on remplace sinx et cosx par des exponentielles à l aide des formules d Euler pour développer les sin p (x) et cos q (x), - on développe les termes sin p (x) et cos q (x) en appliquant la formules du binome de Newton, - on regroupe les termes e ikx et e ikx de manière à faire apparaître sin(kx) ou cos(kx). 2 5

6 Exercices. Exercice 1 Placer dans le plan cartésien, les points d affixes suivantes : z 1 = i, z 2 = 1 + i, z 3 = 2 + 2i, z 4 = e i π 3. Exercice 2 Mettre chacun des nombres complexes suivants sous la forme a + ib, a R et b R. Exercice i 3, 1 (1 + 2i)(3 i), 1 + 2i 1 2i, 2 + 5i 1 i + 2 5i 1 + i. 1. Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants : z 1 = 3 + 3i, z 2 = 1 3i, z3 = 4 3 i, z 4 = 2, z 5 = 1 + e iθ, z 6 = (1 + e iθ ) n. 2. Calculer ( 1+i 3 2 ) Exercice 4 1. Soit θ R. A l aide de la formule de Moivre exprimer en fonction de cos θ et de sin θ : (a) cos(2θ) et sin(2θ). (b) cos(3θ) et sin(3θ). En déduire une équation du troisième degré admettant pour solution cos( π 3 ) et la résoudre. 2. Linéariser les polynomes trigonométriques suivants : 1 + cos 2 x, cos 3 x + 2 sin 2 x. Exercice 5 1. Pour quelles valeurs de z C a-t-on 1 + iz = 1 iz. ( 1+iz 1 iz 2. On considère dans C l équation solutions de cette équation sont réelles. 3. Calculer les racines cubiques de Exercice 6 Résoudre dans C : 1. z 4 = z 5 = 1 i. 3. z 3 = 2 + 2i. 4. z 5 = z. Exercice 7 3+i 3 i. ) n = 1+ia 1 ia, où a R. Montrer, sans les calculer, que les 1. Soit A un point du plan d affixe α = a + ib. Déterminer l ensemble des points M du plan dont l affixe z vérifie z 2 = α z + ᾱz. 2. Quelles conditions doivent vérifier les points M 1 et M 2 d affixes z 1 et z 2 pour que z 1 z 2 soit réel? 6

7 3. Déterminer les nombres complexes z tels que les points du plan complexe d affixes z, iz, i forment un triangle équilatéral. 4. Soit z = a + ib, mettre l expression z 1 z+1 sous forme A + ib,. Déterminer l ensemble des points du plan complexe d affixe z telle que l argument de z 1 z+1 soit π 2. Exercice 8 On note j = e 2iπ Mettre j et j 2 sous forme algébrique. 2. Vérifier que 1 + j + j 2 = Factoriser le polynôme z 3 8i. Exercice 9 1. Calculer les racines carrées de i, i, i, 1+i 3 3+i. 2. Résoudre les équations suivantes : (a) z 2 + z + 1 = 0 (b) z 2 + z 2 = 0 (c) z 2 (5 14i)z 2(5i + 12) = 0 (d) z 2 + 4z + 5 = 0 (e) z 2 (3 + 4i)z 1 + 5i = 0 (f) z 4 (1 i)z 2 i = 0 (g) z 4 + 4z 3 + 6z 2 + 4z 15 = 0 3. Calculer de deux manières différentes les racines carrées de 1 + i et en déduire une expression algébrique avec radicaux de cos π 8. 7

8 Exercices supplémentaires. Exercice 10 Soit x un nombre réel. On note C = 1 + cos x + cos 2x cos nx = n sin x + sin 2x sin nx = n k=0 sin kx. Calculer C et S. Exercice 11 k=0 cos kx, et S = 1. Pour α R, résoudre dans C l équation z 2 2 cos(α)z + 1 = 0. En déduire la forme trigonométrique des solutions de l équation : z 2n 2 cos(α)z n + 1 = 0, où n est un entier naturel non nul. (a) Justifier la factorisation suivante de P α : P α (z) = ( z 2 2 cos ( ) ) ( α n + 1 z 2 2 cos ( α n + 2π n P α (z) = z 2n 2 cos(α)z n + 1. ) + 1 )... ( z 2 2 cos ( ) ) α n + 2(n 1)π n + 1. (b) Prouver, à l aide des nombres complexes par exemple, la formule suivante : ( ) θ 1 cos θ = 2 sin 2, θ R. 2 (c) Calculer P α (1). En déduire ( sin 2 α ) ( sin 2 α 2n 2n + π ) ( ) α... sin 2 (n 1)π ( ) + = sin2 α 2 n 2n n 4 n Pour tout α appartenant à ]0, π[, et pour tout entier naturel n 2, on pose : ( α H n (α) = sin 2n 2n) + π ( α sin 2n + 2π ) ( ) α (n 1)π... sin +. n 2n n (a) Montrer que, pour tout α non nul, on a : 2 n 1 H n (α) = sin(α/2) sin(α/2n). (b) Quelle est la limite de H n (α) lorsque α tend vers 0? (c) En déduire que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a ( ( ) ( ) π 2π (n 1)π sin sin... sin = n) n n n 2 n 1. Exercice 12 Soit β C tel que β 7 = 1 et β 1. Montrer β 1 + β 2 + β2 1 + β 4 + β3 1 + β 6 = 2 8

9 2 Géométrie affine et euclidienne dans le plan Dans les exercices suivant P est un plan muni d un repère R : (O, i, j), les points et les vecteurs sont exprimés par leurs coordonnées dans R. Exercice Donner un vecteur directeur, la pente et des représentations cartésiennes et paramétriques des droites (AB) suivantes : (a) A(2, 3) et B( 1, 4) (b) A( 7, 2) et B( 2, 5) (c) A(3, 3) et B(3, 6). 2. Donner des représentations cartésiennes et paramétriques des droites passant par A et dirigées par u avec : (a) A(2, 1) et u( 3, 1) (b) A(0, 1) et u(1, 2) (c) A( 1, 1) et u(1, 0). 3. Donner des représentations paramétriques et cartésiennes (que l on pourra déduire des paramétriques) des droites définies comme suit : Exercice 14 (a) passant par le point (0, 4) et de pente 3, (b) passant par le point (2, 3) et parallèle à l axe des x, (c) passant par le point ( 2, 5) et parallèle à la droite D : 8x + 4y = 3, (d) passant par le point (1, 0) et parallèle à la droite D : x y + 5 = Les trois points A, B et C de P sont-ils alignés? Si oui donner une équation cartésienne de la droite qui les contient. (a) A( 3, 3), B(5, 2) et C(2, 1), (b) A(1, 1), B( 2, 2) et C(2, 1), (c) A(4, 3), B(0, 1) et C(2, 2), (d) A(2, 1), B(1, 2) et C( 3, 4). 2. Dans les cas suivant, donner un vecteur directeur de D et déterminer si le point C appartient ou non à D (a) (D) : 3x + 5y + 1 = 0, C(3, 2). { x = 3 + t (b) (D) :, C(5, 3). y = 2 t Exercice Déterminer un vecteur directeur et un point pour la droite D dans les cas suivant : (a) D : 3x + 5y 2 = 0 (b) D : x + 10y + 1 = 0 { x = 1 + t (c) D : y = 0 t 9

10 { x = 2t (d) D : y = 2 3t 2. Dans les cas suivants répondre aux questions : - Le point C appartient t-il à la droite D? - Le vecteur u est-il un vecteur directeur de la droite D? (a) D : x y 1 = 0, A(2, 1) et u(1, 1) (b) D : x y 1 = 0, A(0, 0) et u(1, 1) { x = 1 + 2t (c) D :, A( 1, 1) et u(1, 0). y = 1 3. Dans cette partie, on considère des couples de deux droites D 1 et D 2 : on doit déterminer si elles sont sécantes, parallèles ou confondues. Si elles sont sécantes, on déterminera les coordonnées du point d intersection, et si elles sont parallèles ou confondues on déterminera un vecteur directeur. (a) (D 1 ) : 3x + 5y 2 = 0 et (D 2 ) : x 2y + 3 = 0 (b) (D 1 ) : 2x 4y + 1 = 0 et (D 2 ) : 5x + 10y + 3 = 0 { { x = 3 + 4t x = 5 s (c) (D 1 ) : et (D y = 2 t 2 ) : y = 2 + 3s { { x = 1 + 2t x = 3 4s (d) (D 1 ) : et (D y = 2 3t 2 ) : y = 1 + 6s { x = 2 + t (e) (D 1 ) : x 2y + 3 = 0 et D 2 : y = 3 2t { x = 1 4t (f) (D 1 ) : 3x 2y + 1 = 0 et (D 2 ) : y = 2 6t Exercice 16 On considère les deux droites du plan D : 2x 3y + 4 = 0 et D : x + 3y + 1 = 0. On considère le point A, intersection des deux droites et le point B de coordonnées (3, 8). Donner une équation de (AB). Exercice 17 On considère le triangle ABC dont les côtés ont pour équations (AB) : x + 2y = 3, (AC) : x + y = 2, (BC) : 2x + 3y = Donner les coordonnées des points A, B, C. 2. Donner les coordonnées des milieux A, B, C de (BC), (AC) et (AB) respectivement. 3. Donner une équation de chaque médiane et vérifier qu elles sont concourantes. De l utilité d un bon choix de repère affine (Ex 19,20,21,22). Exercice 18 (Médianes) On considère dans P trois points A, B et C. 1. Déterminer dans le repère (A, AB, AC) des équations pour les médianes du triangle ABC. 2. En déduire que les médianes d un triangle sont concourantes. 10

11 Exercice 19 (Théorème de Menelaüs) Dans le triangle ABC, on considère trois points P, Q, R, sur les côtés (BC), (AC) et (AB) respectivement, ces points n étant pas les points A, B ou C. Montrer que P, Q et R sont alignés si et seulement si P B P C QC QA RA RB = 1 Exercice 20 (Théorème de Ceva) Dans le triangle ABC, on considère trois points P, Q, R, sur les droites (BC), (AC) et (AB) respectivement, ces points n étant pas les points A, B ou C. Montrer que les droites (AP ), (BQ) et (CR) sont concourantes ou parallèles si et seulement si P B P C.QC QA. RA RB = 1 Exercice 21 (Théorème de Pappus affine) Soient D et D deux droites concourantes en 0, soient (A, B, C) trois points de D et (A, B, C ) trois points de D tous distincts. On suppose de plus que : - les droites AB et BC sont parallèles, - les droites A B et B C sont parallèles. Montrer alors que les droites AA et CC sont parallèles. Notions Euclidiennes. Dans toute la suite le repère (0, i, j ) est orthonormé direct. Exercice 22 On considère les droites D : x + 2y = 5 et D : 3x y = 1 et on note A l intersection des deux droites et B le point de coordonnées (5, 2). 1. Donner une équation cartésienne de la droite (AB). 2. Donner une équation cartésienne de la perpendiculaire à D passant par B. 3. Donner une équation cartésienne de la parallèle à D passant par B. 4. Soit C le point de coordonnées (2, 7)). Donner une équation cartésienne de la médiatrice du segment [B, C]. est-elle parallèle à D? Et à D? Exercice On considère la famille des droites D λ : x + λy + 1 = 0, où λ R. (a) Vérifier que ces droites passent toutes par un même point A dont on donnera les coordonnées. (b) Parmi toutes ces droites, y en a-t-il une qui est verticale? Si oui donner une équation de cette droite. (c) Parmi toutes ces droites, y en a-t-il une qui est horizontale? Si oui donner une équation de cette droite. (d) Parmi toutes ces droites, y en a-t-il qui sont parallèles, confondues ou perpendiculaires à la droite d équation 2x 3y + 1 = 0? Si oui donner des équations de ces droites. 2. On considère la famille de droites D m : (2m 1)x + (3 m)y + m + 1 = 0, m R. Parmi toutes ces droites y en a-t-il une perpendiculaire à ( ) : x + y 1 = 0? Si oui, laquelle? 11

12 Exercice 24 On considère les trois points de P : A(2, 3), B(0, 1) et C( 2, 5). 1. Dessiner le triangle ABC puis calculer son aire. 2. Calculer les coordonnées de l orthocentre H, du centre du cercle circonscrit Ω et du centre de gravité G de ABC. 3. Vérifier que H, Ω et G sont alignés et qu en particulier ΩG = 1 3ΩH. Exercice Calculer les angles : (a) entre les vecteurs u 1 ( 3, 2) et v 1 (1, 3 3), (b) entre les vecteurs u 2 (1, 2) et v 2 ( 2 2, 2 + 2), (c) du triangle de sommets A( 1, 0), B( 1 2, 3 2 ) et C( 1 2, 3 2 ). 2. Calculer la distance du point A à la droite D : (a) A(1, 1) et D : 2x + y 1 = 0 (b) A(2, 1) et D : 3x 2y + 4 = 0 (c) A(3, 3) et D : x + 3y + 2 = Trouver les bissectrices de : (a) D : 5x 12y + 7 = 0 et D : 3x + 4y 7 = 0, (b) D : x 3y + 5 = 0 et D : 3x y 1 = 0. 12

13 3 Déterminants 3 3, méthode du pivot et Géométrie analytique dans l espace Exercice Calculer les déterminants suivants D 1 = , D = , D 3 = 2. Résoudre les systèmes suivants D 4 = D 5 = (a) (b) 2x + y + z = 3 3x y 2z = 0 x + y z = 2 x + 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 6 2x + 3y z = 4 3x + y + 2z = 6 Exercice 27 Les quatre points A, B, C et D de l espace sont-ils coplanaires? Si oui, donner une équation cartésienne du plan qui les contient : 1. A(1, 2, 2), B( 1, 2, 1), C(3, 4, 4) et D( 2, 3, 1). 2. A(0, 1, 3), B(1, 2, 1), C(1, 1, 1) et D(1, 2, 2). 3. A( 1, 2, 4), B(3, 3, 0), C(1, 3, 4) et D(5, 1, 6). 4. A(2, 1, 0), B(0, 4, 5), C(4, 13, 13) et D( 4, 5, 3). Exercice 28 Trouver une équation cartésienne du plan (P ) défini par les éléments suivants. 1. A, B et C sont des points de (P ) (a) A(0, 0, 1), B(1, 0, 0) et C(0, 1, 0). (b) A(1, 1, 1), B(2, 0, 1) et C( 1, 2, 4). (c) A(5, 0, 1), B(1, 3, 2) et C( 2, 4, 5). 2. A est un point de (P ), u et v sont des vecteurs directeurs de (P ) Exercice 29 (a) A(1, 2, 1), u(4, 0, 3) et v(1, 3, 1). (b) A(1, 0, 2), u(2, 1, 3) et v( 1, 4, 5). 1. Trouver une représentation paramétrique de la droite (D) définie par les éléments suivants. (a) A et B sont des points de (D) i. A(1, 0, 1), B(1, 1, 0). ii. A(1, 1, 1), B(2, 0, 1). 13

14 iii. A(5, 0, 1), B(1, 3, 2). (b) A est un point de (D), u est un vecteur directeur de (D) i. A(1, 2, 1) et u(4, 0, 3). ii. A(1, 0, 2) et u(2, 1, 3). Exercice 30. Les plans suivants sont-ils parallèles ou sécants? Dans ce dernier cas, donner un vecteur directeur et un point de la droite (D) = (P ) (P ). 1. (P ) : 5x y 1 = 0 et (P ) : z = (P ) : x + y + z + 1 = 0 et (P ) : 2x y + 3z + 2 = (P ) : 2x z + 1 = 0 et (P ) : 4x 3y + 2z + 5 = (P ) : 4x 6y + 8z 1 = 0 et (P ) : 6x + 9y 12z + 11 = 0. Ecrire une représentation cartésienne puis une représentation paramétrique de la première droite. Exercice 31. Quelle est la nature de l intersection des trois plans suivants? Si c est un point en donner les coordonnées, si c est une droite en donner un vecteur directeur. 1. (P ) : z = 1, (P ) : x y 2 = 0 et (P ) : 4x 2y + z + 2 = (P ) : 4x 2y + 3z + 5 = 0, (P ) : 3x + y z + 2 = 0 et (P ) : x y + z + 1 = (P ) : 4x 2y + 10z 4 = 0, (P ) : 10x + 5y 25z + 13 = 0 et (P ) : x + y z + 1 = (P ) : 3x y + 2z 5 = 0, (P ) : x y + 3z 7 = 0 et (P ) : 4x + 2y z + 1 = (P ) : x y + 2z 1 = 0, (P ) : 2x + y + z + 3 = 0 et (P ) : x 4y + 5z 6 = (P ) : x y + 2z 1 = 0, (P ) : 2x + y z + 1 = 0 et (P ) : x + 5y 8z + 2 = 0. Exercice Trouver une équation cartésienne du plan (P ) défini par les éléments suivants. (a) A est un point de (P ), D est une droite contenue dans (P ) { x + y z + 3 = 0 i. A(4, 1, 3) et (D) : 4x y + 2z = 0 x = t ii. A(1, 1, 0) et (D) : y = 1 + 2t z = 1 3t (b) D est contenue dans (P ) et V est un vecteur directeur de (P ). { x + y z = 0 i. (D) : x + y + z = 0 et V = (1, 0, 1) x = 1 + t ii. (D) : y = 2t et V = (1, 0, 1) z = 1 t D est perpendiculaire à (P ) et A appartient à (P ) { x + y z = 0 (c) i. (D) : et A = (1, 1, 1) x + y + z = 0 x = 1 + t ii. (D) : y = 2t et A = (0, 0, 1). z = 1 t 14

15 2. Trouver une représentation cartésienne de la droite (D) définie par les éléments de l exercice [29]. Exercice 33 Vérifier que les droites D et D sont coplanaires puis donner une équation cartésienne du plan (P ) qui les contient. { { x + y z + 3 = 0 3x y z + 5 = 0 1. (D) : et (D x y 2 = 0 ) : x + y z + 1 = 0 { { x + 2y z + 1 = 0 2x + y 3z + 7 = 0 2. (D) : x + 3y + z 4 = 0 et (D ) : 3x + 2y + z 1 = 0 Exercice 34 Montrer que les représentations paramétriques suivantes définissent le même plan : x = 2 + s + 2t x = 1 + 3u v y = 2 + 2s + t et y = 3 + 3u + v z = 1 s t z = 1 2u Exercice 35 Les droites suivantes sont-elles sécantes, parallèles ou non coplanaires? Si elles sont sécantes donner leur point d intersection et si elles sont parallèles donner un vecteur directeur. { { x + y z + 2 = 0 3x y + 2z 7 = 0 1. (D) : x = 1 2t 2. (D) : y = t + 2 z = 3t + 1 x + y + z + 1 = 0 et (D ) : et (D ) : x = 3t 1 y = t + 2 z = 2t x y = 0 Exercice 36 Dans chacun des cas suivants, dire si la droite (D) est contenue dans le plan ou disjointe de (P ) ou si (D) et (P ) sont sécants. Donner alors leur point d intersection. { 5x 3y + 2z 5 = 0 1. (D) : et (P ) : 4x 3y + 7z 7 = 0. 2x y z 1 = 0 x = 3 + 2t 2. (D) : y = 5 3t z = 2 2t et (P ) : 3x + 2y + 3z 5 = 0. Exercice 37 On considère les quatre points suivants : A(2, 0, 0), B( 1, 3, 0), C( 1, 3, 0), D(0, 0, 4). 1. Ces quatre points sont-ils coplanaires? 2. Déterminer la nature du triangle ABC. Les points A, B et C sont-ils alignés, si non donner une équation catésienne du plan P qui les contient. 3. Déterminer les coordonnées du barycentre G des points A, B, C et D. 4. Montrer que O, D et G sont alignés et que la droite OD est perpendiculaire à P. Exercice 38 On considère les cinq points suivants : A(1, 2, 1), B(3, 2, 0), C(2, 1, 1), D(1, 0, 4) et E( 1, 1, 1). Déterminer un vecteur directeur de la droite (ABC) (ADE). Exercice 39 (**) Donner une condition sur m pour que les trois plans suivants se coupent en une même droite. (P ) : x + my z + 1 = 0, (P ) : (m + 1)x + 3y + 4z 2 = 0 et (P ) : y + (2m + 4)z (2m + 2) = 0. 15

16 Exercice 40 On considère la famille de plans (P m ) m R définis par les équations cartésiennes : m 2 x + (2m 1)y + mz = 3 1. Déterminer les plans P m dans chacun des cas suivants : (a) A(1, 1, 1) P m (b) B( 1, 2, 6) P m (c) C( 1, 0, 1) P m (d) v(1, 1, 1) est un vecteur directeur de P (e) n(0, 1, 0) est un vecteur normal à P. (f) la droite D est perpendiculaire à P. 2. Montrer qu il existe un unique point R appartenant à tous les plans P m. Exercice 41 On considère les deux droites (D) : 1. Donner un vecteur directeur de D et de. 2. Donner une équation paramétrique de. { y z = 3 x y + 2 = 0 et ( ) : { x + 3z = 1 x 3y = Soit α un paramètre réel fixé, on note M α le point de d abscisse α. Donner une équation du plan P α passant par M α et contenant D. 4. Pour quelles valeurs de α le plan P α est-t-il perpendiculaire à? Pour chacune des valeurs de α trouvée, donner une équation de ce plan ainsi que les coordonnées du point M α. Exercice Déterminer la distance du point A au plan (P ) (a) A(1, 1, 1) et (P ) : x + y + z 1 = 0 (b) A(1, 0, 2) et (P ) : 2x + y + z + 4 = 0. (c) A(3, 2, 1) et (P ) : x + 5y 4z + 2 = 0. (d) A(4, 5, 2) et (P ) : 2x y + z = Calculer la distance du point A(1, 1, 1) à la droite (D) : { x + y + z = 1 x y + z = 1 Exercice 43 Donner des équations cartésiennes pour la perpendiculaire commune aux droites D 1 et D 2 et calculer la distance entre ces deux droites dans les cas suivants : { { x y z + 4 = 0 x + 2y + z + 2 = 0 1. (D 1 ) : x 2y 3z + 9 = 0 et (D 2) : 2x + 4y z + 1 = 0 { { x + y z + 2 = 0 3x y + 2z 7 = 0 2. (D 1 ) : x + y + z + 1 = 0 et (D 2) : x y = 0 x = 1 2t x = 3t 1 3. (D 1 ) : y = t + 2 et (D 2 ) : y = t + 2 z = 3t + 1 z = 2t 16

17 { { x y z 2 = 0 x + y + 2z 1 = 0 4. (D 1 ) : x 2y 3z + 1 = 0 et (D 2) : 2x + y + z + 2 = 0 Exercice Déterminer les plans bissecteurs de : P : x + y + z + 3 = 0 et P : 2x + y + 2z = 1 Q : 5x + 3y 4z = 8 et Q : 4x 5y 3z = Déterminer l ensemble des points de l espace équidistants des trois axes de coordonnées. x = 3t 1 3. On considère la droite D d équation paramétrique y = 1 z = t 1 Donner une équation des deux plans P et P contenant D à une distance de 1 de l origine. 17

18 4 Transformations affines, Isométries, Similitudes Exercice 45 Soit P un plan muni d un repère (O, i, j ) quelconque. 1. On considère D une droite d équation cartésienne 2x y + 3 = 0 et u(3, 2). (a) Soit A(4, 2). Donner une équation paramétrique de D A droite passant par A de direction u. En déduire les coordonnées de A = D A D projeté de A sur D selon u. (b) Définir plus généralement analytiquement la projection sur D selon u en exprimant les coordonnées x, y de M projeté de M(x, y) en fonction de x et y. 2. Définir analytiquement les projections sur D selon dans les cas suivants : (a) d équation x 2y + 1 = 0. (b) d équation 3x + 2y + 2 = 0. (c) d équation x + y 1 = 0. (d) d équation 2x 2y + 4 = 0. Exercice 46 Soit P un plan muni d un repère (O, i, j ) quelconque. 1. Donner l expression analytique de la translation t 1 de vecteur (1, 2). 2. Donner l expression analytique de la translation t 2 de vecteur ( 1, 2). 3. Donner l expression analytique de l homothétie h 1 de centre l origine du repère et de rapport 2 et de l homothétie h 2 de centre A(2, 1) de rapport Donner l expression analytique de t 1 h 1, t 2 h 2, h 1 t 1, h 2 t Soit M(x, y) un point de P. Donner les coordonnées du symétrique de M par rapport à la droite d équation y = ax + b. Exercice On considère S 1 la transformation du plan définie par le système d équations suivant : x = 3 2 x y 1, y = 1 2 x y + 2. Reconnaître cette transformation. 2. De même avec la transformation S 2 définie par x = 5 2x + 5 2y, y = 5 2x + 5 2y. 3. On compose S 1 avec S 2. Donner l expression de S 1 S 2, et trouver la nature de cette transformation. Exercice Soit f la transformation de l espace définie analytiquement par x = 3x + 2y 2z + 4 y = 8x + 5y 4z + 8 z = 4x + 2y z + 4 (a) Déterminer l ensemble P des points invariants par f. (b) Montrer que pour M d image M, le milieu de [MM ] est dans P, (MM ) est parallèle à une direction fixe. 18

19 (c) En déduire une description simple de f. 2. Soit f la transformation de l espace définie analytiquement par x = 1 3 ( 2x y z + 1) y = 1 3 ( x + 2y z + 1) z = 1 3 ( x y + 2z + 1) (a) Déterminer l ensemble P des points invariants par f. (b) Montrer que pour M d image M le vecteur MM est colinéaire à un vecteur fixe. (c) En déduire une description simple de f. Exercice Définir analytiquement les projections orthogonales suivantes : (a) sur le plan d équation 2x + 2y z = 1. (b) sur le plan d équation 2x 3y + z = 6. { x + y + z = 1 (c) sur la droite d équation 2x z = Donner l expression analytique de la projection sur le plan (P ) contenant le point C(2, 1, 1) et ayant pour vecteurs directeurs u(0, 1, 1) et u ( 2, 0, 1), selon la droite AB, où A(1, 1, 0) et B(0, 1, 3). Exercice 50 Dans le plan muni d un repère orthonormé direct (O, OI, OJ). 1. Soit f la transformation du plan définie analytiquement par { x = 1 5 (x + 2y 1) y = 1 5 ( 2x + y + 2) (a) Calculer les coordonnées de O, I, J les images par f des points O, I, J. (b) Montrer que le repère (O, O I, O J ) est orthonormé, est-il direct? (c) En déduire que f est une isométrie, est-elle directe? (d) Déterminer l ensemble des points invariants par f et reconnaître f. (e) Donner l expression analytique de la transformation inverse de f. (f) Calculer l image par f la droite d équation 2x y 1 = Donner l expression analytique de la rotation de centre A(1, 1) et d angle π 3, calculer l image de 0 par cette transformation. 3. Même question pour la symétrie d axe la droite d équation x + y + 1 = Donner l expression analytique de la composée des deux applications précédentes. Exercice 51 Dans le plan cartésien identifié à C, un point M est représenté par son affixe z. 1. Dessiner les ensembles suivants puis les exprimer en fonction de (x, y) où z = x + iy : (i) z + z = 1 (ii) z z = i (iii) iz iz = 1 2. Donner l expression analytique en complexe des transformations suivantes, puis calculer l image de i par ces transformations : 19

20 (a) la rotation de centre 1 + i et d angle π 3, (b) la symétrie d axe la droite d équation iz iz = 1, (c) la composée des deux applications précédentes. 3. Soit f la transformation du plan définie analytiquement par z = (1 + i)z + 1. (a) Déterminer l ensemble des points invariants par f. (b) Donner l expression analytique de la transformation inverse de f. (c) Calculer l image par f de l ensemble z + z = 1. (d) Ecrire f comme la composée d une homothétie et d une isométrie. (e) Préciser la nature géométrique de f. 20

21 5 Changements de repères Exercice 52 On considère les 4 points A, B, C, D donnés. (A, AB, AC, AD) définit-il bien un nouveau repère? Dans ce cas, trouver les formules de changements de repère exprimant les coordonnées (x, y, z) dans (O, i, j, k) en fonction de celles (x, y, z ) dans (A, AB, AC, AD). 1. A(2, 1, 0), B(7, 1, 1), C( 3, 0, 2), D(3, 6, 3) 2. A(4, 1, 4), B(7, 3, 1), C(9, 0, 0), D(5, 2, 3) 3. A(0, 1, 3), B(5, 6, 4), C( 4, 1, 2), D( 3, 3, 6) 4. A(1, 1, 0), B(1, 5, 2), C(0, 1, 1), D(3, 4, 1) 5. A(2, 1, 4), B(0, 0, 1), C(3, 2, 1), D(1, 3, 4) 6. A(4, 4, 2), B(5, 3, 2), C(4, 3, 3), D(3, 5, 2) 7. A(1, 3, 1),B(1, 2, 2),C(2, 1, 4), D(0, 8, 6) Exercice 53 Les formules suivantes définissent-elles bien un changement de repère? Dans ce cas, donner le changement de repère inverse. x = y z + 1 y = x 4y + 5z + 2 z = x 5y + 5z + 1 x = 5x + 4y + 3z 2 y = 2x + 3y + z + 2 z = 4x y + 3z + 2 x = 2x 4y + 2z 2 y = x + y 5z + 1 z = 3x 4y + 4z 2 x = 3x 5y + z + 2 y = 2x y + z 1 z = 3x 4y z 5 x = 2x z + 1 y = 2x + 2y + 2z 2 z = 2x + y z x = x 2y 3z + 5 y = 3x + 4y + z 2 z = 2x y + 6z + 3 Exercice 54 On considère les droites et les plans suivants dont les équations sont données dans le repère (O, i, j, k ). Donner leurs équations dans le nouveau repère (A, AB, AC, AD), sachant que dans (O, i, j, k ) les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives A(4, 1, 2), B(2, 5, 4), C(5, 0, 3), D(1, 5, 6). 1. P : x + y = 1 2. P : 2x 3y + 4z 1 = 0 3. P : x y + z + 3 = 0 21

22 x = 2t + 3s P : y = t s + 2 z = 4t 2s 3 { x + y + z = 1 5. (D) : 2x y + 4z = 3 { 3x y z = 1 6. (D) : 4x 3y z = 2 Exercice 55 On considère la droite (D) : { y z = 3 x y + 2 = On considère le point A( 2, 4, 1), les vecteurs u(1, 1, 1), v (2, 2, 4), w(3, 1, 1) et le repère (A, u, v, w). On note x, y et z les coordonnées dans ce repère. Donner les formules analytiques du changement de repère exprimant x, y, z en fonction de x, y, z. 2. Utiliser ce changement de repère pour donner dans le repère (A, u, v, w) une équation de D. 3. Donner les formules analytiques du changement de repère inverse. 22

23 6 Annales 6.1 Novembre 1999 Exercice 56 On définit une fonction f de C {i} dans C {1} en posant 1. On suppose z réel. Quel est le module de f(z)? f(z) = z + i z i. 2. Trouver les nombres complexes z tels que f(z) = z. Exercice 57 L espace est rapporté à un repère orthonormé direct (0, ı, j, k). On définit les points et le plan A : (1, 2, 3) ; B : (2, 3, 1) ; C : (3, 1, 2) ; D : (1, 1, 1) Π : 2x 3y + 4z = Montrer que les points A, B, C ne sont pas alignés. 2. Montrer que les points A, B, C, D ne sont pas coplanaires. 3. Donner une équation cartésienne du plan P passant par A, B, C. 4. Calculer la distance de D au plan P. 5. Donner une représentation paramétrique de la droite d = P Π. Exercice 58 On donne l application f(z) = 2e i π 3 z i de C dans C. Donner, le plus précisément possible, la nature de f. Exercice 59 Montrer que la transformation de l espace définie par les formules x = x + y + 2 y = x y 3 z = 2z + 1 est une similitude. - Est-elle directe ou indirecte? - Quels sont ses points fixes? Quel est son rapport? Exercice 60 Soit D une droite de l espace passant par A, de vecteur directeur v. Soit de même D une droite passant par A, de vecteur directeur v. On suppose v et v non-colinéaires. 1. Montrer que si M D et M D, les produits mixtes ( AA, v, v ) et ( MM, v, v ) sont égaux. 23

24 On admet qu il existe deux points B D, B D tels que la droite BB est à la fois orthogonale à D et à D ; la distance entre D et D est alors égale à BB. 2. Montrer que ( BB, v, v ) = BB. v v. En déduire que la distance de D à D est égale à ( AA, v, v ) v v. 3. Calculer la distance entre D et D lorsque A = (1, 1, 1), A = (1, 1, 1), v = (0, 1, 1), v = (1, 1, 0). Exercice 61 On donne un repère orthonormé (0, ı, j, k) et à tout point M, on associe le point M tel que OM = ( OM. ı) ı + ( OM, k, ı) j + (( OM ı) k) j. Calculer les images du point O et des points A, B, C, respectivement extrémités des vecteurs ı, j, k. En déduire une description plus simple de f(m) = M. 6.2 Septembre 2000 Exercice 62 Soit la fonction f de C dans C définie par f(z) = 1. Donner le domaine de définition de f. z 1 z = z. 2. Lorsque z est défini, donner z en fonction de z. Quelle est l image de f? 3. Quelle est l image par f du cercle x 2 + y 2 = 1? 4. Quelle est l image par f du cercle x 2 + y 2 + 2y = 0? Exercice 63 Soit la transformation de l espace f(m) = M avec M(x, y, z), M (x, y, z ), x = x + y + z y = x + 2y z = x + 3z. 1. Est-ce que f préserve : (a) le volume, (b) les angles, (c) l orientation? 2. Donner une équation affine de l image par f du plan x + 3y z = Quels sont les points dont l image par f appartient au plan x = 2y? 24

25 6.3 Novembre 2000 Exercice 64 Tout ce problème se situe dans l espace euclidien tridimensionnel muni d un repère orthonormé direct R = (0, i, j, k ). 1. On considère les deux droites d et D données par les systèmes d équations cartésiennes suivant : { { x + y 3z = 0 x 1 = 0 d et D y + z = 0 y z 1 = 0 (a) i. Donner un point et un vecteur directeur de d. Donner un point et un vecteur directeur de D. (b) ii. Dire si les droites d et D sont parallèles, sécantes ou non coplanaires. iii. Justifier l existence de deux plans parallèles (en donnant pour chacun de ces deux plans un point et deux vecteurs directeurs) tels que d est contenue dans l un et D est contenue dans l autre. i. Soient u le vecteur de coordonnées (4, 1, 1) dans R, v le vecteur de coordonnées (0, 1, 1) dans R et Ω le point de coordonnées (1, 1, 0) dans R. Déterminer une équation cartésienne pour le plan P de repère cartésien (O, u, v ), en déduire une équation cartésienne pour le plan Q de repère cartésien (Ω, u, v ). ii. Donner des équations paramétriques pour la droite normale à P passant par O. Déterminer les deux points P et Q puis calculer la distance entre eux. Interpréter cette distance. 2. On considère les vecteurs de l espace a = ( 1 3, 2 3, 2 3 ), b = ( 2 3, 1 3, 2 3 ), c = ( 2 3, 2 3, 1 3 ). (a) Montrer que (0, a, b, c ) est un repère orthonormé. Est-il direct? (b) Ecrire les formules de changement de repères de R à (0, a, b, c ). (c) Quelle est l équation dans le repère (0, a, b, c ) du plan d équation x + 2y 2z = 0 dans R? Même question avec le plan d équation x + 2y 2z = 3 dans R. 6.4 Janvier 2001 Exercice 65 Questions de cours. 1. Soit P un plan de l espace d équation ax + by + cz + d = 0 dans le repère de référence. Donner un vecteur normal de P. Celui-ci est-il unique? Précisez. 2. Soient u, v, w trois vecteurs de l espace. (1) Rappeler la définition du produit mixte ( u, v, w). (2) Que signifient les conditions : (a) ( u, v, w) = 0, (b) ( u, v, w) > 0, (c) ( u, v, w) < 0? (3) Que vaut ( w, v, u) en fonction de ( u, v, w)? Exercice 66 Le plan est ramené à un repère orthonormé (O, ı, j). A tout point M on associe son affixe z = x + iy dans ce repère. On rappelle que cos(π/4) = sin(π/4) = 2/2. 1. Donner l expression analytique complexe z = az +b de la similitude s de centre Ω(1 i), de rapport 2 et d angle π/4. 2. Soit M un point d affixe z, M son image par s. Que peut-on dire du triangle ΩMM? Justifiez. 25

26 Exercice 67 Montrer que la transformation T de l espace définie par les formules x = y + 1 y = z + 2 z = x + 3 est une isométrie. - Est-elle directe ou indirecte? Justifiez. - Quel est son ensemble de points fixes? - Soit O l origine, soit O l image de O. Déterminer si la droite OO est invariante (on pourra comparer un vecteur directeur de cette droite à son image par l application linéaire associée à T ). Exercice 68 Dans cet exercice, les questions 3 et 4 peuvent être traitées soit par le calcul soit par le raisonnement, au choix du candidat. L espace est rapporté à un repère de référence orthonormé direct (O, ı, j, k). Soient d et d les droites données dans ce repère par les systèmes paramétriques suivants, x = t x = 3t + 1 d : y = 2t, d : y = 2t. z = 3t z = t 1. Donner un vecteur directeur u de d et un vecteur directeur u de d, puis calculer leur produit vectoriel n = u u. 2. Les droites d et d sont-elles : (a) sécantes, (b) parallèles? 3. Montrer : - que le plan Π engendré par d et n coupe d en un point P, - que toute droite de Π de vecteur directeur n est normale à d. 4. En déduire qu il existe une unique droite δ qui est normale à la fois à d et à d (on choisira d en déterminer une équation ou de la caractériser géométriquement). 6.5 Octobre 2001 Exercice 69 On donne deux droites d et d de l espace par des systèmes d équations paramétriques dans un repère orthonormé : d : (x = t + 1, y = 2t + 1, z = t 3) et d : (x = 2t, y = t 4, z = 3t + 2). 1. Position relative de d et d. (a). Est-ce que d et d sont parallèles? (b). Est-ce que d et d sont concourantes? 2. Construction d une perpendiculaire commune. On souhaite construire une droite d qui est orthogonale à la fois à d et d. (1). Déterminer des équations affines : (a). du plan P contenant d et normal à d ; (b). du plan P contenant d et normal à d. (2). Déterminer une équation paramétrique de la droite d intersection de P et P. 26

27 (3). Vérifier par le calcul que d rencontre d et d en des points dont on précisera les coordonnées. 3. Justification de la construction. (a). Montrer sans aucun calcul que d est perpendiculaire à d et d. (b). Peut-il exister une autre perpendiculaire commune à ces deux droites? Exercice 70 Dans l espace, on donne deux plans P et P par leurs équations affines dans un repère orthonormé : P : x y + z = 2 et P : x + 2y + 3z = 4. Donner un système d équations paramétriques de la droite d intersection de P et P. Exercice 71 Calculer le déterminant suivant : m 0 2m 1 m 0 0 2m m 0 m Calculer alors, suivant la valeur du paramètre m, l indépendance linéaire des 3 vecteurs. Exercice Montrer que les vecteurs x 1 = (0, 1, 1), x 2 = (1, 0, 1) et x 3 = (1, 1, 0) forment une base de R 3. Trouver dans cette base les composantes du vecteur x = (1, 1, 1).. 2. Donner, dans R 3, un exemple de famille libre, qui n est pas génératrice. 3. Donner, dans R 3, un exemple de famille génératrice, mais qui n est pas libre. 6.6 Devoir surveillé de Novembre 2000 Exercice 73 Soit f la fonction de C dans C définie par f(z) = 1+z 1 z. 1. Calculer les points fixes de la fonction f, c est à dire les nombres complexes z tels que f(z) = z. 2. Déterminer les nombres complexes z pour lesquels f(z) est réel. Exercice 74 Soient A, B et C trois points distincts et non alignés de l espace affine tridimensionnel E. On note P le plan qui contient A, B et C. Soit O un point de E n appartenant pas à P. (a) 1. Expliquer rapidement pourquoi R = (O, OA, OB, OC) est un repère cartésien de E. (b) Dans ce repère R, écrire les coordonnées des points O, A, B et C, et déterminer une équation cartésienne du plan P. 2. Soit A le point de la droite (OA) tel que OA = 2 OA. On note P le plan parallèle à P passant par A. P coupe (OB) en B et (OC) en C. Dans R, écrire les coordonnées des points A, B et C et déterminer des équations paramétriques pour les droites (BC ) et (B C), en déduire des équations cartésiennes de ces droites. Calculer les coordonnées des points I = (BC ) (B C), J = (AC ) (A C) et K = (AB ) (A B). 3. Soit A le point de la droite (OA) tel que OA = 2 3OA. On note P le plan parallèle à P passant par A. P coupe (OB) en B et (OC) en C. Montrer que les droites (IA ), (JB ), (KC ) sont parallèles. 27

28 6.7 Septembre 2002 Exercice 75 Tout ce problème se situe dans l espace euclidien tridimensionnel muni d un repère orthonormé direct R = (O, i, j, k ). On définit les trois points : A = (3, 6, 3), B = (3, 6, 3) et C = (4, 0, 0). (a) 1. Montrer que les points O, A et B ne sont pas alignés et donner une équation cartésienne du plan P contenant O, A et B. (b) Calculer les distances OA, OB et AB. En déduire la nature du triangle OAB. (c) Les points O, A, B et C sont-ils coplanaires? 2. Soit G le barycentre des points O, A, B et C, c est à dire, par définition l unique point G de l espace tel que : GO + GA + GB + GC = 0. (a) Montrer que OG = 1 4 ( OA + OB + OC). (b) En déduire les coordonnées de G dans R. (a) 3. Montrer que la droite (GC) est perpendiculaire au plan P. (b) Calculer les coordonnées du point d intersection de la droite (GC) avec le plan P. 4. Montrer que la transformation de l espace définie par les formules : (x = x, y = y, z = z) est une isométrie. Quels sont ses points fixes? Déterminer les images des points O, A, B, C par cette isométrie. Que remarque-t-on? 6.8 Novembre 2002 Exercice 76 Questions de cours. 1. Combien faut-il d équations affines pour définir une droite du plan? de l espace? 2. Rappeler la définition du produit mixte ( u, v, w) des trois vecteurs u, v, w de l espace et les formules qui donnent ( v, u, w) et ( w, v, u) en fonction de ( u, v, w). 3. Dans le plan affine rapporté à un repère orthonormé, on considère l équation ax + by + c = 0 avec (a, b) (0, 0). Donner la nature de l ensemble X qu elle définit, et dire quels rôles jouent les vecteurs (a, b) et ( b, a) par rapport à X. Exercice 77 Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on utilise les coordonnées complexes z = x + iy. On considère la transformation qui, au point M d affixe z, associe le point M d affixe z tel que zz z 4z i = 0. (a). Donner la formule z = f(z) donnant z en fonction de z ainsi que la formule inverse z = g(z ). (b). Soient a et b deux nombres réels satisfaisant aux conditions (a + ib) 2 = 3 4i et a > 0. Déterminer les valeurs de a et b. (c). En déduire la solution de l équation f(z) = z. Si la question (c) n a pas été résolue, on est autorisé à faire figurer les nombres a et b dans la réponse. 28

29 Exercice 78 Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère le triangle formé par les points A(1, 3), B(2, 1) et C(3, 5). On note C le cercle circonscrit au triangle ABC. (a). Déterminer une équation paramétrique des médiatrices respectives d, d des segments [AB] et [AC]. (b). En déduire les coordonnées du centre Ω de C et calculer le rayon de ce cercle. Exercice 79 On donne, dans le plan, les droites suivantes : d d équation affine x 2y = 1, d d équation affine x + y = 5 et δ dont un système d équations paramétriques est x = t + 2, y = 2t + 4. (a). Montrer que d, d, δ sont concourantes en un point dont on précisera les coordonnées. (b). Parmi ces trois droites, lesquelles sont-elles orthogonales? (c). Dans un repère orthonormé d unité graphique 1cm (que vous tracerez sur votre copie), représentez les trois droites. 6.9 Décembre 2002 Exercice 80 Dans l espace rapporté à un repère orthonormé (0, ı, j, k) on considère le point A de coordonnées (1, 2, 2) et la droite d dont un système d équations paramétriques est x = t + 1, y = 2t, z = t + 3. (a). Déterminer une équation affine du plan P passant par A et orthogonal à d. (b). Déterminer les coordonnées du point B intersection de P et d. (c). En déduire la distance entre A et d Janvier 2003 Exercice 81 Dans l espace, on donne deux plans P et P par leurs équations affines dans un repère orthonormé, soit respectivement P : x y + z = 2 et P : x + 2y + 3z = Vérifier que P et P ne sont pas parallèles, puis donner un système d équations paramétriques de la droite d intersection de P et P. 2. Donner une équation affine du plan P perpendiculaire à d et passant par le point A de coordonnées (1, 0, 1). 3. Montrer sans aucun calcul que les trois plans P, P, P sont concourants. 4. Préciser les coordonnées du point B commun à P, P et P Septembre 2003 Questions de cours. 1. L espace est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère également trois vecteurs u, v, w et leur produit mixte ( u, v, w). a. Que signifie la condition ( u, v, w) < 0? 29

30 b. Que signifie la condition ( u, v, w) = 0? c. Sachant que v = u w et que v est non-nul, déterminer si ( u, v, w) est > 0, = 0 ou < 0 (une réponse juste ne sera prise en compte que si elle est convenablement justifiée). Exercice 2. Pour t C, soit l homographie complexe f t (z) = z tz Etant donnés deux nombres complexes a et b, comparer f a f b à f b f a. 2. Prouver qu il existe une unique valeur de t, que l on déterminera, telle que f t (1) = 3. Déterminer l image, pour cette valeur de t, de la droite {z R} par f t. 3. Déterminer l image par f 2 du cercle z = 1. 30

31 6.12 Novembre 2005 Exercice 1. (8 points) 1.( 5 points). Résoudre dans C l équation : Devoir surveillé du 12 Novembre 2005 Durée 1h30 heure Documents et calculatrice interdits z 2 + (1 i)z + (i 2) = 0 2. Donner l expression analytique en complexe de la rotation de centre i et d angle π 4. Calculer l image du point 1 + i par cette transformation. (3 points) Exercice 2. (12 points) Ā Dans le plan cartésien P muni du repère cartésien (0, i, j ), on considère les trois points suivants : A = (1, 0), B = (0, 3) et C = (3, 2). Le but de cet exercice est de montrer que le triangle ABC est le triangle des milieux d un triangle B C. 1. Faire une figure avec A, B et C. (1 point) 2. Donner des équations cartésiennes pour les droites suivantes : D A la parallèle à (BC) passant par A, (1 point) D B la parallèle à (AC) passant par B, (1 point) D C la parallèle à (AB) passant par C. (1 point) Dessiner ces droites sur la figure. (0,5 points) 3. Déterminer les coordonnées des points d intersections : Ā = D B D C, (1,5 points) B = D A D C, (1,5 points) C = D A D B. (1,5 points) 4. Vérifier que A est le milieu de [ B, C]. (0,5 points) Vérifier que B est le milieu de [Ā, C]. (0,5 points) Vérifier que C est le milieu de [Ā, B]. (0,5 points) 5. Montrer que la droite (ĀA) coupe le segment [B, C] en son milieu. (1,5 points) 6. Question Bonus (2 points) : Montrer en vous inspirant du cas particulier étudié, que tout triangle est le triangle des milieux d un autre. 31

32 6.13 Examen de Janvier 2006 Exercice 1. Transformations affines. Documents et calculatrice interdits Durée 2 heures 1. Dans le plan complexe, on considère la transformation affine donnée par son expression analytique en complexe : z = (3 i 3)z + (1 i) (a) Décrire le plus précisément possible la nature géométrique de cette transformation. (b) Donner l expression analytique réelle de cette transformation. 2. Dans l espace E muni du repère orthonormé direct (0, i, j, k ), on considère la transformation affine donnée par son expression analytique dans ce repère : x = 2x + y + 2z 2 y = 2x + z 1 z = 3x 2y + 3z (a) i. Calculer f(o) et f(i) où O = (0, 0, 0) et I = (1, 0, 0). ii. f est-elle bijective? f est-elle une isométrie? f est-elle directe? iii. Déterminer les points fixes de f. Exercice 2. Dans l espace E muni du repère orthonormé direct (0, i, j, k ), on considère : - les points A = (1, 0, 1), B=(2, 1, 1), A = (1, 1, 0), B = (0, 1, 1), D=(1, 2, 1), E=( 1, 1, 0) ; - le plan P d équation cartésienne y + z = 0. 1 a. Montrer que les points A, B, A et B ne sont pas coplanaires. b. Donner une représentation paramétrique de la droite (AB). c. Donner une représentation cartésienne de la droite (A B ). 2. Montrer que les plans OBD et OAE se coupent en une droite qui est orthogonale à P. x = t + 1 { x z = 1 3. On considère les deux droites : y = t et : y = 1 z = 2t + 1 a. Les droites et sont elles coplanaires? b. Calculer l intersection de P et. 4 a. Déterminer une équation cartésienne du plan P contenant la droite (AA ) et ayant BB comme vecteur directeur. b. Montrer que P et P sont parallèles. c. Calculer d(a, P ) et d(a, P ). Que vaut d(m, P ) pour M un point quelconque de la droite (AA )? Justifier votre réponse. 5. Soit M α le point de d ordonnée (seconde coordonnée) α. a. Déterminer les coordonnées de M α. b. Expliquer pourquoi et P α le plan parallèle à P passant par M α se coupent en un point et déterminer les coordonnées de I α leur point d intersection. c. Montrer que d(a,mα) d(a,i = d(a,b) α) d(a,b ). d. Déterminer les valeurs de α pour lesquelles les points OAM α I α sont coplanaires. 32

33 6.14 Février 2006 Seconde session, 22 Février 2006 Durée 2 heures Documents et calculatrice interdits Exercice 1. (6 points) 1. a. Déterminer les racines carrées du nombre complexe z 0 = 2i. b. Résoudre dans C l équation : z 2 + (1 + i)z + i = Résoudre dans C l équation z 3 = 4 2(1 + i). Exercice 2. (6 points) Dans le plan cartésien muni du repère orthonormé direct (0, i, j ), on considère les trois points A = ( 1, 2), B = (2, 1) et C = (5, 2). 1. Faire une figure avec A, B et C. 2. Donner des équations cartésiennes pour les droites suivantes : a. la médiatrice de [A, B], b. la médiatrice de [A, C]. 3. Calculer les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle ABC et donner le rayon de ce cercle. 4. Décrire géométriquement l ensemble des points M du plan tels que la distance de M à la droite (AC) est égale à la distance de M au point D = (0, 2). Exercice 3. (8 points) Dans l espace E muni du repère orthonormé direct (0, i, j, k ), on considère : les points A = (1, 1, 0), B=(0, 0, 1), C=(3, 0, 0) et D=(4, 1, 1) et les plans P et Q d équations cartésiennes P : x + 2y 3z = 3 et Q : x + 2y + z = 0 1. Les points A, B, C et D sont-ils coplanaires? Si oui, donner une équation du plan qui les contient. 2. a. Donner une représentation paramétrique de la droite orthogonale à P et passant par O = (0, 0, 0) puis une représentation cartésienne de cette droite. b. Déterminer une équation cartésienne du plan Q contenant et admettant u = (1, 0, 1) comme vecteur directeur. 3. Déterminer l intersection des plans P et Q. Si c est une droite, on précisera un vecteur directeur ainsi qu un point de cette droite. 4. Déterminer l intersection du plan Q et de la droite donnée par une représentation cartésienne { x + y + z = 1 : x + 2y = 3 33