La fonction exponentielle

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1 La fonction eponentielle I) Définition de la fonction eponentielle : propriété : Si est une fonction définie et dérivable sur telle que ' = et (0) = alors ne s'annule pas sur Soit une fonction dérivable sur telle que ' = et (0) =. Désignons par g la fonction définie sur par g() = () ( ) g est dérivable sur et on a g'() = '() ( ) (( ))' () = () ( ) ( ) () = 0 donc g est une fonction constante sur. Or, g(0) = (0) (0) = Par suite, pour tout nombre réel, g() = () ( ) = donc ne s'annule pas sur. nous allons nous intéresser à cette fonction pour montrer que ne peut pas s'annuler! propriété : Il eiste une unique fonction dérivable sur telle que ' = et (0) = - eigible - L'eistence de la fonction est admise conformément au programme! Démontrons l'unicité de (raisonnement par l'absurde) Supposons qu'il eiste deu fonctions et g dérivables sur et telles que ' = ; g' = g ; (0) = et g(0) =. Considérons la fonction h définie sur par h() = () g() h est bien définie puisque g ne s'annule pas (voir propriété ). De plus, h est dérivable sur étant donné qu'il est le quotient de deu fonctions dérivables sur. Pour tout réel, on a h'() = '()g() - g'()() (g()) Donc h est constante sur. Or h(0) = (0) g(0) = = = ()g() - g()() (g()) = 0 Par suite, pour tout réel, h() = () = donc () = g(). Il eiste donc une unique g() fonction dérivable sur telle que ' = et (0) =. définition : L'unique fonction dérivable sur telle que ' = et (0) = est la fonction eponentielle. On la note = ep. conséquences : Soit ep'() = ep() ep (0) = (voir définition) ep() 0 ep( ) = ep() (voir propriété )

2 II) Propriétés de la fonction eponentielle : propriété : Pour tous réels et y, ep( y) = ep() ep(y) Soit un réel a donné et la fonction h a telle que pour tout réel, h a () = ep( a)ep( ). h a est dérivable sur et on a : h a '() = ep'( a)ep( ) ep'( ) ep( a) la fonction eponentielle transforme les sommes en produit! cette propriété est appelée relation fonctionnelle de l'eponentielle! = ep( a)ep( ) ep( )ep( a) = 0 donc h a est une constante. Or, h a (0) = ep(a). Par suite, pour tout réel, ep( a)ep( ) =ep(a) Donc, ep( a) = ep(a) ep( ) or = ep() donc ep( a) = ep()ep(a) ep( ) propriété : Pour tous réels et y, ep( y) = ep() ep(y) conséquence de la définition précédente! Pour tous réels et y, ep( y) = ep( ( y)) donc, d'après la propriété précédente, ep( y) = ep()ep( y) = ep() ep(y) = ep() ep(y) propriété 3 : Pour tout réel et tout entier relatif p, ep(p) = [ ep() ] p Démontrons préalablement par récurrence que, pour n ep(n) = [ ] Soit la propriété Pn : «ep(n) = [ ep() ] n», avec n. Initialisation : Pour n=0, pour tout réel, on a ep(0) = ep(0) = = [ ep(0) ] 0 (ep(0) 0) donc P0 est vraie. Hérédité : Soit n un entier naturel quelconque fié. Supposons que Pn est vraie. Montrons que P n est vraie. D'après l' hypothèse de récurrence, ep(n) = [ ep() ] n, ep() n donc ep(n)ep() = [ ep() ] n ep(). Or, ep(n)ep() = ep(n ) (propriété ) donc ep(n ) = [ ep() ] n, soit ep[ (n ) ] = [ ep() ] n. Par suite, P n est vraie. Conclusion : La propriété Pn étant vraie au rang 0 et étant héréditaire, elle est vraie pour tout entier naturel n. Démontrons à présent l'égalité pour un entier relatif négatif m. Il eiste un entier naturel n tel que m= n. On a donc, pour tout réel, ep(m) = ep( n) = ep(n) = ep() n = [ ep() ] m. [ ep() ] n = [ ] on se ite d'abord au entiers relatifs positifs! On a donc démontré la propriété 3. n appartient à!

3 III) Une nouvelle notation de la fonction eponentielle : définition : On note e l'image de par la fonction eponentielle. On a donc ep() = e e,78 Pour tout réel et tout entier relatif p, ep(p) = [ ep() ] p (voir paragraphe précédent) donc, pour =, ep(p) = ep(p ) = [ ep() ] p = e p. Étendons cette égalité à tous les réels! convention : Pour tout réel, ep() = e «eponentielle de» ou «e eposant» Les propriétés s'écrivent alors plus simplement : Pour tous réels et y, pour tout entier relatif p, e 0 = e = e e = e e y = e e y e y = e e ( ) y e p =e p IV) Etude de la fonction eponentielle : a) sens de variation : propriété : Pour tout nombre réel, e > 0 Pour tout réel, e = e = e Par suite, e > 0 (e est non nul) donc e est positif. propriété : La fonction eponentielle est strictement croissante sur. Pour tout réel, ep'() = ep() = e. Or, e > 0 (voir propriété précédente), donc, la fonction eponentielle est strictement croissante sur. Donc, pour tous réels a, b : a < b si et seulement si e a < e b (on peut adapter l'équivalence pour >,, ) a = b si et seulement si e a = e b Très utile pour la résolution d'équations et d'inéquations! E : Résolvons l' équation : e = e 5 e = e 5 équivaut à e =e -5 équivaut à = 5 Résolvons l' inéquation : e e > 0 e e > 0 équivaut à e > e équivaut à e < e équivaut à < b) ites de la fonction eponentielle : 3

4 propriété 3 : e = e = 0 - eigible - Démontrons que e = : Nous allons utiliser un théorème de comparaison (voir "ites de fonctions") Considérons les deu fonctions définies sur : e et g : Pour les comparer, nous allons étudier la fonction h = g h est dérivable pour tout réel et on a h'() = (e )' = e, donc h'() 0 équivaut à e 0 équivaut à e équivaut à e e 0 équivaut à 0 On obtient donc le tableau de variations suivant : On constate que la fonction h admet sur un minimum : le nombre. Donc, pour tout réel, e > 0 soit e > Or, =, par suite (théorème de comparaison) Démontrons que e =. e = 0 : On pose X =. On a donc e = e X Or, X = donc e = e X = h'() h() or, d'après la propriété de la ite de la composée de deu fonctions, On peut donc conclure que e = 0. e X 0 0 e X = 0 b) tableau de variation et courbe représentative de la fonction eponentielle : y y = e 0 ep'() ep() 0 e = 0 donc l'ae des abscisses est asymptote horizontale à la courbe de la fonction eponentielle en la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 a pour équation y = ep'(0) ( 0) ep(0) donc y = La tangente à la courbe de en un point d'abscisse a est y= '(a)( a) (a) 3 e 0 y = 4

5 IV) Compléments sur la fonction eponentielle : a) ites à connaître : propriété : e = e = e = Nous allons utiliser un théorème de comparaison (voir "ites de fonctions") Considérons les deu fonctions définies sur [0 ; [ par : e et g : Pour les comparer, nous allons étudier la fonction h = g h est dérivable pour tout réel et on a h'() = e ' = e = e Or, pour tout réel, e > (voir propriété 3 du paragraphe précédent) donc h'() > 0 On obtient donc le tableau de variations suivant : La fonction h est strictement croissante et pour tout réel strictement positif, on a donc h() > > 0. Par suite, e >0 soit e > e donc Or, = Donc, (théorème de comparaison) e =. >. h'() h() 0 h(0) = e 0 0 =! Démontrons que e = 0 On pose X =. On a donc e = Xe X = X e X e X Or, X = et = (voir précédemment), X X donc X e X = e X X or, d'après la propriété de la ite de la composée de deu fonctions, e X = 0, X On peut donc conclure que 3 Démontrons que e = 0. e 0 = e est l'epression du nombre dérivé de la fonction eponentielle en 0, 0 c'est à dire ep'(0). Or ep'(0) = e 0 = donc 0 e = 0 e e =, ite du tau d'ac- 0 0 croissement de la fonction eponentielle entre 0 et 0 quand tend vers 0. 5

6 b) fonctions e u : propriété (admise) : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction e u est dérivable sur I et ( e u )' = u'e u E : Soit la fonction définie sur par () = e 3 () est bien de la forme e u() avec u() = 3 (donc u dérivable sur ) Par suite, est dérivable sur et '() = 3e 3 6