IMN359. Chapitre 5 Convolution. Olivier Godin. 15 novembre Université de Sherbrooke. Convolution 1 / 28

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1 IMN359 Chapitre 5 Convolution Olivier Godin Université de Sherbrooke 15 novembre 2016 Convolution 1 / 28

2 Plan du chapitre 1 Définition 2 Propriétés 3 Convolution et transformée de Fourier 4 Théorème d échantillonnage 5 Filtrage 6 Références Convolution 2 / 28

3 Définition Définition 1 Définition 2 Propriétés 3 Convolution et transformée de Fourier 4 Théorème d échantillonnage 5 Filtrage 6 Références Convolution 3 / 28

4 Définition Définition La convolution de deux fonctions f (t) et g(t) définies sur R est donnée par (f g)(t) = f (s)g(t s)ds. Techniquement, la convolution de deux fonctions f (t) et g(t) existe si on a f et g sont deux fonctions carré intégrables, ou bien f est intégrable et g est bornée Convolution 4 / 28

5 Définition Définition La corrélation entre deux fonctions f (t) et g(t) est quant à elle donnée par (f g)(t) = = = = (f + g)(t), f (s)g(s + t)ds f ( s)g(t s)ds f + (s)g(t s)ds où avec t R. f + (t) = f ( t), Convolution 5 / 28

6 Propriétés Propriétés 1 Définition 2 Propriétés 3 Convolution et transformée de Fourier 4 Théorème d échantillonnage 5 Filtrage 6 Références Convolution 6 / 28

7 Propriétés Propriétés Commutativité : (f g)(t) = (g f )(t) Associativité : ((f g) h)(t) = (f (g h))(t) Distributivité : (f (g + h)(t) = (f g)(t) + (f h)(t) Changement d échelle : (f (at) g(at))(t) = 1 (f g)(at) a Convolution 7 / 28

8 Convolution et transformée de Fourier Convolution et transformée de Fourier 1 Définition 2 Propriétés 3 Convolution et transformée de Fourier 4 Théorème d échantillonnage 5 Filtrage 6 Références Convolution 8 / 28

9 Convolution et transformée de Fourier Convolution et transformée de Fourier Soient f (t) F(ω) et g(t) G(ω). On a alors que f g F(ω)G(ω) et f (t)g(t) 1 F(ω) G(ω). 2π En résumé... À une convolution dans le domaine temporel, on associe une multiplication dans le domaine fréquentiel ; À une convolution dans le domaine fréquentiel, on associe une multiplication dans le domaine temporel. Convolution 9 / 28

10 Convolution et transformée de Fourier Convolution et transformée de Fourier Nous allons établir les deux résultats suivants : f (t)δ(t t 0 ) = f (t 0 )δ(t t 0 ) (f (t) δ(t t 0 ))(t) = f (t t 0 ) Ces deux égalités peuvent être démontrées à l aide de la transformée de Fourier, en vérifiant que les deux éléments possèdent la même TF. Convolution 10 / 28

11 Convolution et transformée de Fourier Convolution et transformée de Fourier De plus, soient f et g deux fonctions carré intégrables, avec f F et g G. On sait que g( t) G( ω) g( t) G(ω) On a alors que f (t) g( t) F (ω)g(ω). En combinant la transformée inverse de Fourier de l expression de droite et la définition de la convolution, nous obtenons f (s)g( (t s))ds = 1 2π F(ω)G(ω)e iωt dω. Convolution 11 / 28

12 Convolution et transformée de Fourier Convolution et transformée de Fourier En prenant t = 0, on obtient l identité de Parseval : f (s)g(s)ds = 1 2π F(ω)G(ω)dω. De plus, en posant g = f, on trouve que f (s) 2 ds = 1 2π Cette dernière égalité est l identité de Plancherel. F(ω) 2 dω. Convolution 12 / 28

13 Théorème d échantillonnage Théorème d échantillonnage 1 Définition 2 Propriétés 3 Convolution et transformée de Fourier 4 Théorème d échantillonnage 5 Filtrage 6 Références Convolution 13 / 28

14 Théorème d échantillonnage Théorème d échantillonnage Une fonction analytique et continue peut être représentée par des échantillons en vue d un traitement numérique. Les échantillons devraient bien représenter la fonction analytique de départ, c est-à-dire qu à partir des échantillons, on doit être en mesure de retrouver la fonction. Soit f (t) une signal continu à bande limitée, c est-à-dire que F(ω) = 0 pour ω > ω B. On échantillonne ce signal à l aide d un peigne de Dirac pour obtenir f s (t) = f (t)x T (t) = f (t) n Z δ(t nt ) = f (t)δ(t nt ) n Z = f (nt)δ(t nt ) n Z Convolution 14 / 28

15 Théorème d échantillonnage Théorème d échantillonnage La période d échantillonnage étant T, on a que la fréquence d échantillonnage est ω s = 2π T. En prenant la TF de f s (t), on obtient F s (ω) = 1 2π (F(ω) F [X T (t)](ω)) (ω) ( ) = 1 F(ω) ω s δ(ω kω s ) (ω) 2π k Z = ω s (F(ω) δ(ω kω s )) (ω) 2π = 1 T k Z F(ω kω s ) k Z Convolution 15 / 28

16 Théorème d échantillonnage Théorème d échantillonnage Prenons un filtre passe-bas ayant une fonction de transfert H(ω) définie par ( ) { ω T si ω < ωs H(ω) = T rect = 2 ω s 0 sinon. On a donc que h(t) = sinc ( ω s 2 t). On obtient aussi que lorsque ω s > 2ω B, c est-à-dire T < π ω B. F(ω) = F s (ω)h(ω) Convolution 16 / 28

17 Théorème d échantillonnage Théorème d échantillonnage Cela signifie que f (t) = (f s (t) h(t))(t) (( ) ) = f (nt )δ(t nt ) h(t) (t) n Z = ( ( ωs )) f (nt ) δ(t nt ) sinc 2 t (t) n Z = ( ωs ) f (nt ) sinc 2 (t nt ) n Z = ( f n 2π ) ( ωs ) sinc ω s 2 t nπ n Z Convolution 17 / 28

18 Théorème d échantillonnage Théorème d échantillonnage Dans cette expression, la plus petite valeur de ω s est 2ω B, et dans ce cas, f (t) = n Z f (n πωb ) sinc (ω B t nπ). π ω B. On a alors La fréquence V = ω B 2π est appelée la fréquence de Nyquist et 2V = ω B π taux de Nyquist. est appelé le Convolution 18 / 28

19 Filtrage Filtrage 1 Définition 2 Propriétés 3 Convolution et transformée de Fourier 4 Théorème d échantillonnage 5 Filtrage 6 Références Convolution 19 / 28

20 Filtrage Filtrage Un système est une boîte noire qui transforme un signal d entrée en un signal de sortie. Si on note le signal d entrée par f : R C et L pour le système, on a schématiquement la situation suivante : Un système est linéaire s il a les deux propriétés suivantes : Additivité : L(f + g) = L(f ) + L(g) Homogénéité : L(cf ) = cl(f ) Convolution 20 / 28

21 Filtrage Filtrage Soit un signal f : R C et a R. Notons f (t a) = f a (t), une translation dans le temps d une valeur a du signal f. On dit que le système L est invariant si L(f a ) = (L(f )) a, c est à dire que le résultat d un décalage de l entrée est un décalage équivalent de la sortie. Convolution 21 / 28

22 Filtrage Filtrage Si L est un système linéaire invariant, il existe une fonction intégrable h telle que pour tout signal d entrée f. L(f ) = f h Notons finalement que si on prend f = δ, nous obtenons L(δ) = δ h = h. On dira que h(t) est la réponse impulsionnelle de L et que H(ω) = F [h](ω) est la fonction de transfert de L. Convolution 22 / 28

23 Filtrage Filtrage Un filtre est un système linéaire invariant qui permet d amplifier une partie de l information du signal d entrée et d atténuer une autre partie de ce même signal. On peut caractériser entièrement le comportement d un filtre en départeminant sa réponse impulsionnelle h(t). On illustre ce fait en construisant un filtre passe-bas L, c est-à-dire un filtre qui atténue les fréquences élevées d un signal d entrée f. On part de la transformée de Fourier de L(f ) et on tire que LF (ω) = F [L(f )](ω) = F [f h](ω) = F(ω)H(ω). Convolution 23 / 28

24 Filtrage Filtrage Supposons que l on désire éliminer les fréquences supérieures à une fréquence seuil ω c du signal f. On peut utiliser un filtre L avec une réponse impulsionnelle correspondant à la fonction de transfert H(ω) suivante : { 1 si ω ω c H(ω) = 0 si ω > ω c Ainsi, LF (ω) = 0 pour ω > ω c. Le filtre a donc le comportement attendu, c est à dire de supprimer les fréquences élevées du signal d entrée. La réponse impulsionnelle devient alors h(t) = sin(ω ct) πt = ω c π sinc(ω ct). Convolution 24 / 28

25 Filtrage Filtrage Considérons le signal d entrée f (t) = { 1 si 0 t t c 0 sinon qui est un signal non nul uniquement sur l intervalle [0, t c ]. Prenons ω c = 1 = t c et traçons le graphe de L(f ) : Convolution 25 / 28

26 Filtrage Filtrage On a donc que L(f ) 0 pour t < 0, ce qui signifie que le résultat de l application du filtre sur f (t) devra donner une réponse non nulle avant même qu il ne reçoive de l information différente de 0 du signal f (t). C est impossible!. On dira donc que ce filtre est non réalisable. On dira qu un filtre est causal si le signal de sortie se manifeste seulement après que le signal d entrée lui soit appliqué. Pour qu un filtre soit réalisable, il doit être causal. Convolution 26 / 28

27 Références Références 1 Définition 2 Propriétés 3 Convolution et transformée de Fourier 4 Théorème d échantillonnage 5 Filtrage 6 Références Convolution 27 / 28

28 Références Références M. Descoteaux. Outils mathématiques du traitement d images. Université de Sherbrooke, F. Dubeau. Outils mathématiques du traitement d images. Université de Sherbrooke, Convolution 28 / 28