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1 31 3. Fonction de Dirc 1. Fonctions fortement piquées. fonction delt de Dirc 1.1. Exemple en électrosttique ρ n (x n = 8 n = 4 n = 2 n = 1-1/2 O 1/2 x Figure 1 Considérons, sur une droite, une suite de densités de chrges ρ n (x représentées pr (Fig. 1 ρ n (x = nπ(nx, (1.1 où Π(x est l fonction porte, définie pr : Π(x = { 0, x 1/2 1, x < 1/2. (1.2

2 32 Chpitre 3 : Fonction de Dirc intégrle de l fonction ρ n (x, qui représente l chrge totle en électrosttique, est indépendnte de n : ρ n (x dx = 1. (1.3 orsque n tend vers l infini, l chrge totle, qui est restée égle à l unité, est cependnt entièrement concentrée à l origine. On obtenu une chrge unité ponctuelle à l origine. Suivnt Dirc, on peut songer à représenter cette chrge pr une fonction δ(x qui vudrit { 0, x 0 δ(x = (1.4 +, x = 0, et telle que : δ(x dx = 1. (1.5 Une telle fonction est cependnt mthémtiquement ml définie, cr l intégrle d une fonction presque prtout nulle est nulle fonction delt opértion fondmentle à lquelle Dirc voulit soumettre δ(x est l évlution de l intégrle δ(xf(x dx, (1.6 où f est une fonction continue quelconque. Cette intégrle peut être évluée pr l rgument suivnt : puisque δ(x est nulle pour x 0, les bornes d intégrtion peuvent être remplcées pr ɛ et +ɛ, où ɛ est un nombre positif petit. De plus, puisque f est continue en x = 0, ses vleurs dns l intervlle ( ɛ, +ɛ ne diffèrent ps beucoup de f(0. On écrit donc pproximtivement : δ(xf(x dx = ɛ ɛ δ(xf(x dx f(0 δ(x dx. (1.7 pproximtion s méliore u fur et à mesure que ɛ s pproche de 0. ɛ 0, compte tenu de l éqution (1.5, on exctement l églité : À l limite δ(xf(x dx = f(0. (1.8 fonction delt git en quelque sorte comme un filtre ou un tmis sélectionnnt, prmi toutes les vleurs possibles de f(x, s vleur en x = 0.

3 Suites de fonctions possédnt à l limite l propriété de filtrge Suites de fonctions possédnt à l limite l propriété de filtrge formule (1.8 ne permet ps de définir δ(x comme une véritble fonction. Il existe cependnt des suites de fonctions {φ n (x} fortement piquées qui pprochent à l limite l propriété de filtrge, c est-à-dire telles que : lim φ n (xf(x dx = f(0. (2.1 n 2.1. Suite de fonctions porte C est pr exemple le cs de l suite de fonctions porte considérée u prgrphe 1. On en effet, en prennt φ n (x = ρ n (x : φ n (xf(x dx = 1/2n 1/2n nf(x dx. (2.2 En utilisnt le théorème de l moyenne pour les intégrles, on en déduit : n 1/2n 1/2n f(x dx = f(ξ, 1 2n ξ 1 2n. (2.3 orsque n, lors ξ 0. De l continuité de f(x, il s ensuit que f(ξ f(0. On donc le résultt ( Autres exemples On souhite construire d utres suites de fonctions possédnt à l limite l propriété de filtrge, notmment des suites de fonctions qui soient continues et différentibles (ce qui n est ps le cs des fonctions porte. es exemples les plus courmment utilisés sont les suivnts : suite de lorentziennes On pose : suite de gussiennes On pose : φ n (x = n π φ n (x = Toutes ces fonctions sont normlisées à l unité : n 2 x 2. (2.4 n π e n2 x 2. (2.5 φ n (x dx = 1. (2.6 Pr des risonnements nlogues à ceux effectués u prgrphe 2.1 pour les suites de fonction porte, on peut démontrer que les suites de lorentziennes et les suites de gussiennes définies respectivement pr les formules (2.4 et (2.5 possèdent à l limite n l propriété de filtrge (formule (2.1.

4 34 Chpitre 3 : Fonction de Dirc 3. Clculs fisnt intervenir l fonction delt e tritement de δ(x en tnt que fonction u sens ordinire (ce qu elle n est ps est un rccourci commode permettnt d obtenir des résultts qui dépendent de certins processus de pssge à l limite. On peut développer les règles de ce clcul pr des opértions formelles, en prtnt des propriétés suivntes : δ(x = δ(xf(x dx = f(0, (3.1 { 0, x 0 +, x = 0, (3.2 δ(x dx = 1, (3.3 et en ignornt, pour le moment, leur justifiction mthémtique 1. Si l vrible x représente une grndeur physique, c est en générl une quntité dimensionnée. Il en est lors de même de δ(x, dont les dimensions sont inverses de celles de l grndeur x Significtion de δ(x. Peigne de Dirc On considère l intégrle δ(x f(xdx. On pose x = ξ et on écrit f(ξ + = g(ξ. On : fonction δ(x f(x dx = P(x = n= δ(ξg(ξ dξ = g(0 = f(. (3.4 δ(x n (3.5 des propriétés intéressntes. Elle porte le nom de peigne de Dirc. On : P(xf(x dx = n= f(n. ( Chngement d échelle On cherche à démontrer l reltion : δ(x = 1 δ(x, 0. (3.7 1 Elle peut être effectuée de fçon rigoureuse dns le cdre de l théorie des distributions.

5 Représenttions de Fourier de l fonction delt 35 On pose x = ξ. On, si > 0 : δ(xf(x dx = Si < 0, un clcul nlogue conduit à : δ(xf(x dx = Ceci démontre l formule (3.7. ( ξ 1 δ(ξf dξ = 1 f(0. (3.8 ( ξ 1 δ(ξf dξ = 1 f(0. ( Représenttions de Fourier de l fonction delt Il est essentiel, en vue des pplictions dns de nombreux domines de l physique, de disposer pour l fonction delt d une représenttion de Fourier, notmment d une représenttion en intégrle de Fourier. écriture de cette représenttion intégrle nécessite certins pssges à l limite. C est pourquoi nous commençons pr écrire une représenttion en série de Fourier Représenttion en série de Fourier On prt de l fonction porte (ou impulsion φ (x représentée sur l Figure 2. Cette fonction est normlisée à l unité. Elle pour lrgeur 2. intervlle de définition est choisi comme étnt x. φ (x 1/(2 - - x Figure 2 On répète cette fonction périodiquement, l période choisie étnt 2 > 2. es coefficients de Fourier de l fonction insi périodisée sont b n = 0 (l fonction φ n (x est pire, 0 = 1/ et n = (1/nπ sin(nπ/ pour n 1. On donc : φ (x = nπ sin nπ cos nπx, x. (4.1 n=1

6 36 Chpitre 3 : Fonction de Dirc Après pssge à l limite 0, on obtient une série de Fourier pour δ(x : δ(x = n=1 cos nπx, x. (4.2 série u second membre de l éqution (4.2 est divergente, ce qui n est ps étonnnt, cr, si elle étit convergente, lors δ(x serit une vrie fonction, ce qui n est ps le cs Pssge à une représenttion en intégrle de Fourier On réécrit tout d bord l formule (4.2 sous l forme équivlente suivnte : δ(x = 1 2 n= ( exp i nπx, x. (4.3 orsque, l série u second membre de l éqution (4.3 se trnsforme en intégrle (divergente : δ(x = 1 e ikx dk. (4.4 2π représenttion intégrle (4.4 de l fonction delt est lrgement utilisée en physique 2. On peut écrire ussi δ(x x = 1 e ik(x x dk, (4.5 2π ou : e ik(x x dk = 2πδ(x x. ( Fonction delt et convolution 5.1. Définition du produit de convolution de deux fonctions Rppelons que l on ppelle, lorsqu il existe, produit de convolution de deux fonctions f(x et g(x l fonction h(x définie pr l formule h(x = f(ug(x u du, (5.1 2 Elle peut être étblie de fçon rigoureuse dns le cdre de l théorie des distributions.

7 Fonction delt et convolution 37 et que l on écrit symboliquement : h = f g. (5.2 orsque f et g sont deux fonctions de 1, f g = g f toujours un sens et est ussi une fonction de 1. fonction h(x représente une moyenne de f(u pondérée u voisinge de chque point x pr g(x u. Il s ensuit que, si g(x est suffismment régulière, h(x présente des fluctutions moins rpides que f(x. Ce phénomène intervient toujours dns une mesure physique : f(x représente lors l véritble fonction à mesurer, tndis que g(x représente l effet de l instrument de mesure, qui est incpble de discerner les vritions trop rpides de f(x. fonction h(x est le résultt de l mesure. On peut citer comme exemples : l effet dû à l résolution finie des instruments d optique qui ne peuvent séprer deux points lumineux trop rpprochés, ou d un spectroscope qui ne permet ps de distinguer deux ries trop serrées, l effet dû à l résolution finie dns le temps des ppreils de mesure électrique qui ne peuvent distinguer deux impulsions trop rpprochées dns le temps Convolution pr une fonction porte Un cs prticulier intéressnt est celui où l on g(x = 1 ( x Π, (5.3 l fonction Π(x étnt l fonction porte. Dns ce cs, l formule (5.1 s écrit : h(x = f(x 1 ( x Π = 1 ( x u f(uπ du = 1 x+(/2 f(u du. (5.4 x (/2 fonction h(x représente lors simplement l vleur moyenne de f(x entre x (/2 et x + (/ Pssge à l limite 0 À l limite 0, d près l formule (5.4, on s ttend à voir : f(x δ(x = f(x. (5.5 Ainsi l fonction δ pprît comme l unité du produit de convolution (convoluer une fonction pr l fonction delt ne chnge rien. En physique, cette propriété s écrit souvent de l fçon suivnte : f(uδ(x u du = f(x uδ(u du = f(x. (5.6

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