IDENTIFICATION d'un SYSTEME par. UTILISATION des METHODES TEMPS- FREQUENCE. (réponse impulsionnelle, produit de convolution, réponse indicielle)

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1 Dep GEII IUT Bordeaux I IDENTIFICATION d'un SYSTEME par UTILISATION des METHODES TEMPS- FREQUENCE (réponse impulsionnelle, produi de convoluion, réponse indicielle) (Vol. 2) G. Couurier Tel : couurier@elec.iua.u-bordeaux.r

2 Sommaire I- Réponse impulsionnelle d'un sysème e produi de convoluion II- Transormée de Fourier e produi de convoluion III- Transormée de Fourier e Laplace III- 1- Réponse harmonique d'un sysème : relaion enre ransormées de Laplace e de Fourier IV- Méhodes pour l'obenion de H() IV- 1- Méhode harmonique IV- 2- Réponse impulsionnelle IV- 3- Réponse indicielle

3 Ideniicaion d'un sysème par uilisaion des méhodes emps-réquence (réponse impulsionnelle, produi de convoluion, réponse indicielle) Dans le premier paragraphe, nous monrons que la connaissance de la réponse impulsionnelle d'un sysème perme d'obenir la réponse à une exciaion quelconque : le signal de sorie es égal au produi de convoluion du signal d'enrée par la réponse impulsionnelle. Dans le deuxième paragraphe nous monrons commen l'inroducion de la ransormée de Fourier perme de ransormer le produi de convoluion en un produi simple. Le roisième paragraphe es concacré à la relaion enre les ransormées de Laplace e de Fourier. Le dernier paragraphe raie de l'obenion de la réponse en réquence d'un sysème par les diérenes méhodes que son : la réponse harmonique, la réponse impulsionnelle e la réponse indicielle. I- Réponse impulsionnelle d'un sysème e produi de convoluion Connaîre un sysème, c'es connaîre sa réponse (ampliude e phase) à oues les exciaions sinusoïdales e ceci quelle que soi la réquence. La réponse impulsionnelle d'un sysème, c'es à dire la réponse à une impulsion de Dirac, perme donc d'ideniier le sysème e de prédire la réponse à une exciaion quelconque. C'es ce que nous monrons ci-dessous. Nous déinissons h() comme éan la réponse à une impulsion de Dirac, voir la Fig. 1. δ() sysème sous éude h() Fig. 1 h() es la réponse impulsionnelle du sysème sous éude Le sysème es mainenan aaqué par un signal e() quelconque, on cherche à écrire la sorie s(). Dans une éape inermédiaire, on découpe le signal e() en recangle de durée e on inrodui la réponse h 1 () du sysème à une impulsion de durée e d'ampliude 1/ comme le monre la Fig.2. 1/ 1/ sysème sous éude h 1 () Fig. 2 h 1 () es la réponse du sysème à une impulsion de durée e d'ampliude 1/

4 Le sysème sous éude es supposé linéaire e invarian dans le emps, c'es à dire que la réponse h 1 () n'évolue pas au cours du emps. D'après le découpage de e(), voir la Fig. 3, le signal s() peu s'écrire : e( m ) e( ) e( 1 ) e( k ) s( ) =... + h1( m ) h1( ) + h1( 1 ) h1( k ) +... ( 1/ ) ( 1/ ) ( 1/ ) ( 1/ ) n s e n h1 n (1) Soi encore : ( ) = ( ( ) ( )) n e() e(m ) e( ) e(k ) m 2 k Fig. 3 découpage de e() en recangle de durée Dans l'expression (1), posons x = n e dx = [n - (n-1)] =, puis aisons endre vers zéro, il s'ensui que h1 ( ) h ( ) : la réponse impulsionnelle. La somme n ( ) ( ) n dx, e le signal s() s'écri : s( ) = e( x) h( x) dx = e( ) h( ) (2) Le signal s() es égal au produi de convoluion de e() par h(), le symbole désigne le produi de convoluion. Par un changemen de variable du ype ( x) = u, on monre que l'expression (2) adme égalemen la orme suivane : s( ) = e( x) h( x) dx = e( ) h( ) (3) La connaissance de la réponse impulsionnelle perme donc de calculer la réponse d'un sysème à une exciaion de orme quelconque. Nous allons voir ci-dessous que l'inroducion des ransormées de Fourier e de Laplace perme de ransormer le produi de convoluion en produi simple. II- Transormée de Fourier e produi de convoluion Soi S() la ransormée de Fourier du signal s(), d'après sa déiniion, elle s'écri :

5 [ ] S s e j j ( ) = ( ) ω ω d = e( x) h( x) dx e d = e x h x e j ω dxd = e x h x e jω ( ) ( ) ( ) ( ) ddx en aisan le changemen de variable (-x)=u, on obien : S() [ ] = + = jω ( u x) jωx jωu ( ) ( ) ( ) ( ) e x h u e dudx e x e h u e du dx =E()H() avec E() e H() les ransormées de Fourier respecives de e() e h(). L'inroducion de la ransormée de Fourier perme donc de ransormer un produi de convoluion en un produi simple. s()=e() h() S()=E()H() (4) De la même manière, on peu monrer que si une oncion g() es égale au produi de deux aures oncions () e q(), alors la ransormée de Fourier de g() es égale au produi de convoluion des ransormées de Fourier des oncions () e g(). g()=()q() G()=F() Q() (5) III- Transormées de Fourier e Laplace Une des raisons de l'inroducion de la ransormée de Laplace es le manque de convergence de la ransormée de Fourier de ceraines oncions, ceci es dû en parie au domaine d'inégraion qui va de à +. Dans de nombreuses siuaions, en pariculier en physique le signal es appliqué seulemen à parir de l'insan =. On peu donc dans ce cas réduire les bornes d'inégraion de à +, cependan la seule réducion du domaine ai que nombre de oncions n'on pas encore de ransormées. En pariculier des oncions du ype ()=U() n n n'on pas de ransormées, en ee e jω d ne converge pas. On rappelle qu'une j condiion suisane mais non nécessaire pour que ( ) e ω d ai un sens, es que jω ( ) e d = ( ) d converge. Dans le cas de ()=U() n, il es clair que n d ne converge pas, un moyen de rendre cee inégrale convergene consise à remplacer l'argumen puremen imaginaire (-jω) de l'exponenielle par un nombre complexe avec une parie réelle non nulle du ype (-p) avec p = α + jβ. Cee modiicaion condui à l'exisence d'une ransormée pour U() n n, en ee e p n α d = e d converge si α>. La nouvelle ransormée es ainsi appelée ransormée de Laplace, du nom du mahémaicien Pierre Laplace ( ), on noe : p Transormée de Laplace de ( ) = F( p) = ( ) e d (6)

6 Comme précédemmen, l'inroducion de la ransormée de Laplace perme de remplacer le produi de convoluion (2) par un produi simple, c'es ce que nous monrons cidessous. Pour prendre la ransormée de Laplace du signal s() celui-ci doi êre nul pour <, il s'ensui que l'exciaion e() doi êre nulle pour <, mais ceci n'es pas suisan, en ee dans le cas général, la réponse impulsionnelle peu êre diérene de zéro pour <. Pour calculer S(p), il au donc imposer h()= pour <, on resrein alors l'éude à une classe de sysèmes appelés sysèmes causaux. Un sysème causal es donc un sysème don la sorie ne peu précéder l'enrée, cee remarque peu paraîre superlue, elle l'es eecivemen dans le cas des sysèmes réels comme les ilres acis,..., mais dans le cadre général de la héorie du signal on peu imaginer des sysèmes non causaux, irréalisables bien sûr en emps réel. Nous verrons que dans le cas des sysèmes numériques, les raiemens en emps diéré on appel bien souven à des sysèmes numériques non causaux. Compe enu de cee remarque la ransormée de Laplace de s() s'écri : [ ] S p e x h x dx e p p ( ) = ( ) ( ) d = e( x) h( x) e dxd + [ ] [ ] p p ( u x ) x = e( x) h( x) e d dx = e( x) h( u) e du dx compe enu du ai que h(u)= pour u<, il vien : pu [ ] px S( p) = e( x) e h( u) e du dx = E( p) H( p) (7) avec E(p) e H(p) les ransormées de Laplace respecives de e() e h(), H(p) es appelée oncion de ranser du sysème. La ransormée de Laplace comme la ransormée de Fourier ransorme donc un produi de convoluion en un produi simple, c'es ce qui en ai un ouil pariculièremen perorman en auomaique e élecronique. III-1- Réponse harmonique d'un sysème : relaion enre ransormées de Laplace e de Fourier Dans de nombreuses siuaions il es inéressan de connaîre la réponse harmonique d'un sysème, c'es à dire la réponse à une exciaion e() de la orme Ae jω. Cee réponse es obenue à parir du produi de convoluion (3) par exemple, il vien : jω ( x) jω jωx jω s( ) = A h( x) dx = Ae h( x) e dx = Ae H( ) (8) avec H() le gain complexe, on peu écrire : H( ) H( ) e j ϕ( ) =. Le gain complexe es donc égal à la ransormée de Fourier de la réponse impulsionnelle. En élecronique, H() es souven noé H(jω) e es appelé la réponse en réquence. Dans le cas des sysèmes causaux, (h()= pour <), le gain complexe H() s'écri :

7 j j H( ) = h( ) e ω ω d = h( ) e d = H( p) p= jω (9) Cee dernière relaion jusiie le ai que la réponse en réquence H() d'un sysème es obenue en remplaçan p par jω dans H(p). Exemple : Prenons comme exemple un simple circui RC de ype inégraeur, nous éablissons pour ce circui : / τ e - la réponse impulsionnelle : h( ) = U( ) (voir en TD pour le calcul) τ 1 - la ransormée de Laplace H( p) = de la réponse impulsionnelle, on 1 + τp / τ p e p vériie bien que H( p) = h( ) e d = e d τ 1 - la ransormée de Fourier H( ) = 1 + j2πτ de la réponse impulsionnelle IV- Méhodes pour l'obenion de H() Expérimenalemen, H() es accessible par diérenes méhodes : méhode harmonique, réponse impulsionnelle e réponse indicielle. La mise en œuvre des deux dernières méhodes sera abordée après l'éude de l'échanillonnage e des converisseurs analogiquenumérique. IV-1- Méhode harmonique le sysème es excié par une onde sinusoïdale e on mesure en sorie pour chaque valeur de la réquence du signal d'enrée le module H( ) e la phase ϕ() de H(). IV-2- Réponse impulsionnelle Le sysème es excié par une impulsion de Dirac δ(), on enregisre la réponse impulsionnelle h() e on calcule la ransormée de Fourier de h(), on obien direcemen H(). En praique l'impulsion appliquée e() es de largeur θ inie, il s'ensui donc que le signal de sorie s() ne représene pas exacemen la réponse impulsionnelle h(). D'après les relaions (3) e (4), on a : s( ) = e( ) h( ) e S()=E()H() La ransormée de Fourier S() du signal s() es donc égale au produi de H() par E() comme le monre la Fig. 4. Il es clair qu'il es impossible d'obenir exacemen H() q.q.s. la réquence, cependan on peu obenir une rès bonne approximaion de H() pour une gamme de réquence [, F max ] pourvu que la largeur de l'impulsion θ vériie 1/θ >> F max, en ee la ransormée de Fourier E() d'une impulsion de largeur θ e d'ampliude A s'écri : sin( πθ) E( ) = Aθ Aθ πθ si << 1/ θ (1)

8 En conséquence, si 1/θ >> F max, alors S() H()Aθ, on obien donc H() à une consane près dans la gamme de réquence inéressane [, F max ]. s() A e() θ sysème sous éude réponse impulsionnelle h() calcul de la ransormée de Fourier S() K H() A θ E() ΚΑθ 1/θ 2/ θ S() = E()H() F max 1/θ Fig. 4 Obenion de H() par la méhode de la réponse impulsionnelle IV-3- Réponse indicielle Le sysème es excié par un échelon de ension e() = AU(), on enregisre la réponse indicielle : s( ) = AU ( x) h( x) dx, la quanié H() es obenue en prenan la ransormée de Fourier de la dérivée du signal s(), calculons donc : TF ds( ) d, il vien : TF ds ( ) ds( ) j d j e d A U ( x) h( x) dx e d d = d = ω d ω ou encore d'après la relaion (3) : d = = jω d jω A d U ( x) h( x) dx e d A U ( x) h( x) dx e d d [ δ ] = A x h x dx e jω d = A h e jω ( ) ( ) ( ) d = AH() (11) ceci es obenu en uilisan l'égalié : δ ( a) ( ) d = ( a). En praique on ne sai pas réaliser un emps de monée nulle, il s'ensui que la ransormée de Fourier de la dérivée de s() es diérene de H() pour les haues réquences.

9 Grosso modo, le résula obenu es saisaisan dans une gamme de réquence [, F max ] pourvu que 1/τ >> F max, avec τ le emps de monée de l'échelon. En praique cee méhode présene des inconvéniens, car l'opéraion dérivaion revien à muliplier par jω, il s'ensui que si le signal s() es bruié, on obien une remonée de brui imporane dans les haues réquences ce qui empêche praiquemen d'accéder à H(). s() A e() τ sysème sous éude réponse impulsionnelle h() dérivaion calcul de la ransormée de Fourier K H() ΚΑ τ = τ = TF[ds()/d] Fig. 5 Obenion de H() par la méhode de la réponse indicielle