Analyse de Fourier. Chapitre Espaces de Lebesgue

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1 Chapitre 4 Analyse de Fourier 4.1 Espaces de Lebesgue Dans cette section nous allons introduire brièvement les espaces L p (espaces de Lebesgue) avec certaines de leurs proporiétés qui seront utiles dans la suite. Pour p<+1, lesespacesl p se définissent comme l espace L 1 déjà vu dans le chapitre précédent. Pour cela on commence par définir les espaces des fonctions de puissance p-ème intégrable L p : Définition Soit (X, A,µ) un espace mesuré. Pour p 2 [1, +1[, on définit l espace des fonctions de puissance p-ème intégrable, noté L p (X), comme suit L p (X) = f : X! R : f est mesurable et X f p dµ < +1. Pour définir une norme dans l espace L p (X) nous avons besoin, comme pour l espace L 1, de modifier légèrement cet espace en introduisant la relation d équivalence suivante. On dit que deux fonctions f,g 2 L p (X) sont équivalentes, et on notera f g si f = g presque partout. Il est facile de voir qu il s agit bien d une relation d équivalence sur L p (X). Cela nous permet de définir : Définition On définit l espace vectoriel L p (X) comme étant le quotient de l espace L p (X) par la relation d équivalence introduite ci-dessus, i.e L p (X) =L p (X)/. Dans la suite, chaque élément [f] 2 L p (X) sera identifié avec l un de ses représentants qui est f. LapropositionsuivantenouspermetdedéfnirunenormecomplètesurL p (X) : Proposition Pour tout p 2 [1, +1[, la fonction N : L p (X)! [0, +1[ définie par N p (f) = X 1/p f p dµ est une norme sur L p (X). De plus L p (X) muni de la norme N p est un espace de Banach. 37

2 38 CHAPITRE 4. ANALYSE DE FOURIER Généralement, la norme N p définie ci-dessus est notée par k.k p,i.epourf 2 L p (X) on a 1/p kfk p = f dµ p. Maintenant on définit l espace L p pour p =+1 : X Définition Soit (X, A,µ) un espace mesuré et soit f : X! R mesurable. On dit que f est essentiellement bornée si elle est bornée presque partout, i.e s il existe C 2 [0, +1[ telle que f applec (p.p). On note l ensemble des fonctions essentiellement bornées par L 1 (X). En utilisant la relation d équivalence définie ci-dessus, on définit l espace quotient L 1 (X) =L 1 (X)/ avec la norme : kfk 1 =inf{c 2 [0, +1[ : f applec (p.p)}. On a l équivalent de la proposition ci-dessus : Proposition La fonction f 7! kfk 1 est une norme sur L 1 (X). De plus, lorsqu il est muni de cette norme, L 1 (X) est un espace de Banach. Nous donnons quelques propriétés très utiles des espaces L p.oncommenceparlafameuse inégalité de Hölder : Proposition (Inégalité de Hölder) Soit (X, A,µ) un espace mesuré et soient p, q 2 [1, +1] tels que 1 p + 1 q =1. Alors pour tout f 2 Lp (X) et tout g 2 L q (X), la fonction fg est intégrable et l on a : kfgk 1 applekfk p kgk q. Lorsque µ(x) < +1, lapropositionprécédenteapourconséquencelerésultatsuivant: Proposition Soit (X, A,µ) un espace mesuré tel que µ(x) < +1. Alors pour tout p, q 2 [1, +1] tel que p apple q, on a L q (X) L p (X). Plus précisement, on l inégalité suivante pour tout f 2 L q (X) : kfk p apple [µ(x)] 1 p/q kfk q. Exemple. Soit f : R! R définie par : f(x) = 1 x (1+ x ), avec >0. Montrerquef 2 Lp (R) si et seulement si p apple. En déduire que l hypothèse µ(x) < +1 dans la proposition précédente est nécessaire. 4.2 Convolution Dans la suite l ensemble sera muni de sa tribu et sa mesure de Lebesgue. Pour simplifier la notation l intégrale d une fonction f sur un ensemble A sera noté f(x)dx. A

3 4.2. CONVOLUTION 39 Définition Soient f,g :! R deux fonctions mesurables. On appelle produit de convolution de f et g la fonction notée f g définie formellement par f g(x) = f(x y)g(y)dy, x 2. Remarque On ne peut pas toujours définir le produit de convolution de deux fonctions. Il est nécessaire pour cela que l intégrale qui définit un tel produit existe. Il en résulte (comme on peut le vérifier facilement en utilisant le théorème de changement de variable) que lorsque le produit de convolution est bien défini, alors il est commutatif. La proposition suivante nous dit que le produit de convolution de deux fonctions intégrables est bien défini : Proposition Soient f,g 2 L 1 ( ). Alors pour presque tout x 2, on a f(x y)g(y) dy = f(y)g(x y) dy < +1. En particulier, le produit de convolution f g est bien défini presque partout sur et l on a avec f g = g f 2 L 1 ( ) kf gk L 1 ( ) applekfk L 1 ( )kgk L 1 ( ). Ainsi la convolution est une loi interne dans L 1 ( ) qui en fait une algèrre de Banach. Le résultat précédent est un cas particulier du résultat plus général suivant : Proposition (Inéglaité de Young) soient p, q, r 2 [1, +1] tels que 1 r = 1 p + 1 q 1. Alors pour tout f 2 L p ( ) et tout g 2 L q ( ), la produit de convolution f g est bien défini presque partout et l on a f g 2 L r ( ) avec l inégalité : kf gk r applekfk p kgk q. Exemple. Soit a, b 2 R avec a<bet soit f =1 [a,b]. Calculer f f. Qu observe-t-onencequi concerne la continuité f f? Parmi les utilisations importantes du produit de convolution est la régularisation des fonctions (les rendre plus lisses). Pour cela nous avons besoin de rappeler tout d abord quelques définitions : Définition Soit f :! R une fonction mesurable. On appelle support de f le plus petit fermé en dehors duquel f est nulle presque partout. Il est noté par supp(f). Lorsque supp(f) est compact on dit que f est à support compact. Lorsque f est une fonction continue sur,ilestfaciledevérifierquelesupportdef est donné par supp(f) ={x 2 : f(x) 6= 0}. Nous rappelons aussi quelques espaces connus de fonctions :

4 40 CHAPITRE 4. ANALYSE DE FOURIER Définition Si est un ouvert de et k 2 N, on note par C k ( ) l espace vectoriel des fonctions admettant des dérivées partielles continues sur jusqu à l ordre k (avec la convention qu une dérivée d ordre zéro d une fonction est la fonction elle même). On note par C 1 ( ) l espace des fonctions admettant des dérivées partielles continues de tout ordre sur. Nous avons une famille très utile de sous-espaces des espaces ci-dessus : Définition Pour tout k 2 N [ {1}, on note par C k c ( ) le sous-espace de C k ( ) constitué des fonctions à support compact. Plus précisément, C k c ( )={ f 2 C k ( ) : f est à support compact }. Exemple. Soit f : R! R définie par f(x) = ( e Vérifier que f 2 C 1 c ( ) et que supp(f) =[ 1, 1]. 1 1 x 2 si x < 1 0 si x 1. Nous avons le premier résultat de régularisation par des fonctions dans C k c ( ) : Proposition (Régularisation) Soit f 2 L p ( ) pour p 2 [1, +1], et soit g 2 C k c ( ) pour k 2 N [ {1}. Alors f g est bien défini sur et vérifie f g 2 C k ( ) \ L q ( ) pour tout q 2 [1, +1]. La proposition précédente est une première étape permettant d approcher des fonction peu régulière par des fonctions régulières. Pour cela nous avons besoin de la notion suivante : Définition On appelle approximation de l unité (ou de l identité ) dans toute suite de fonction ( j ) j dans L 1 ( ) vérifiant les conditions suivantes : i) j (x)dx =1 pour tout j 2 N. ii) sup j (x) dx < +1. j2n iii) Pour tout ">0, lim j (x) dx =0. j!+1 x >" Exemple. Les suites de fonctions suivantes sont des approximation de l unité dans : j n 1+j 2 x 2. 1) j (x) = 1 2) j (x) =j n '(jx), où ' 2 Cc 1 ( ) telle que '(x)dx =1. Comme le montre la proposition suivante, l appelation Approximation de l unité n est pas fortuite :

5 4.3. TRANSFORMÉE DE FOURIER 41 Proposition Soit ( j ) j une approximation de l unité dans et soit f 2 L p ( ) pour p 2 [1, +1[. Alors on a j f! j!+1 f dans Lp ( ). Remarque La conclusion de la proposition précédente est fausse si p =+1. Pour qu elle soit vraie on a besoin d hypothèses supplémentaires sur f. En combinant les résultats précédents on peut démontrer le théorème de densité suivant : Théorème Pour tout p 2 [1, +1[ et tout f 2 L p ( ), il existe une suite de fonctions f j 2 C 1 c ( ) qui converge vers f dans L p ( ). En d autres termes, l espace C 1 c ( ) est dense dans L p ( ) pour tout p 2 [1, +1[. 4.3 Transformée de Fourier Dans cette section nous allons introduire la transformée de Fourier et en donner quelques propriétés classiques. Comme la transformée de Fourier utilise des fontions à valeurs complexes, nous avons besoin de préciser quelques points sur les chapitres précédents. Toutes les notions vues précédemment (fonctions mesurables, fonctions intégrables, intégrale de Lebesgue... ) se généralisent facilement au cas des fonctions à valeurs complexes. En effet, il faut que chacune de ces propriétés soit vérifiée par la partie rélle et imaginaire si la fonction considérée est complexe, et l intégrale sera définie d une façon naturelle en considérant l intégrale de la partie réelle et celle de la partie imaginaire. De même, en tenant compte de ces remarques, les espaces de fonctions vus dans ce chapitre ainsi que les propriétés les concernant se généralisent d une façon naturelle au cas des fonctions complexes. Dans la suite, le produit scalaire de deux vecteurs x et y dans sera noté par x y, i.esi x =(x 1,,x n ) et y =(y 1,,y n ),ona x y = x 1 y x n y n. Définition Soit f 2 L 1 ( ). On définit la tranformée de Fourier de f, notée f, b par : bf( ) = e ix f(x)dx, 8 2. Dans la définition précédente l intégrale e ix f(x)dx est bien définie car la fonction x 7! e ix f(x) est intégrable sur puisque e ix f(x) = f(x) et f 2 L 1 ( ). Avant d énoncer la toute première propriété fondamentale de la transformée de Fourier, on introduit l espace C 0 ( ) des fonctions continues sur ayant une limite nulle à l infini. Plus précisément : C 0 ( )= f 2 C 0 ( ) : f(x)! 0. x!+1 Proposition (Lemme de Riemann-Lebesgue) Soit f 2 L 1 ( ). Alors b f 2 C 0 ( ) et vérifie l ingégalité k b fk 1 applekfk 1.

6 42 CHAPITRE 4. ANALYSE DE FOURIER D après la proposition précédente on peut définir un opérateur : F : L 1 ( )! C 0 ( ) en posant F (f) = b f. Il découle directement de la définition que F est linéaire, et en utilisant encore une fois la proposition précédente on voit que F est continu. Exemple. Calculer la transformée de Fourier de chacune des fonctions suivantes : 1) f : R! R définie par f =1 [a,b], où a, b 2 R avec a<b. 2) f : R! R définie par f(x) =e x. 3) f : R! R définie par f(x) =e 1 2 x2. Nous avons aussi quelques propriétés élémentaires découlant directement de la définition : Proposition Si f 2 L 1 ( ) est paire (respectivement impaire), alors b f est paire (respectivement impaire). Plus généralement, si L :! est une transformation orthogonale, alors : [f L = b f L. Nous donnons maintenant une proposition qui montre le bon comportement de la transformée de Fourier avec la convolution : Proposition Si f,g 2 L 1 ( ), alors : [f g = b f bg. Ce qui suit illustre une propriété caractéristique de la transformé de Fourier : celle-ci échange la dérivabilité avec la décroissance à l infini : Proposition Soit f 2 L 1 ( ). 1) Si f 2 C 1 ( ) alors d@ k f( ) =i k b f( ), 8k =1,...,n. 2) Si x f 2 L 1 ( ), alors b f 2 C 1 ( ) k b f( ) = d ixk f( ), 8k =1,...,n. Nous avons la formule d inversion qui permet de retrouver une fonction à partir de sa transformée de Fourier : Proposition Si f 2 L 1 ( ) et f b 2 L 1 ( ), alors on a pour presque tout x 2 : f(x) = 1 f( )e b ix (2 ) n d. En particulier, la transformée de Fourier F : L 1 ( )! C 0 ( ) est injective.

7 4.3. TRANSFORMÉE DE FOURIER 43 Transformée de Fourier sur L 2 Dans ce qui précéde nous avons défini la transformée de Fourier sur L 1 ( ).Cependant,cette définition ne s applique pas aux fonctions qui sont dans L 2 ( ) car la fonction x 7! e ix f(x) n est pas nécessairement intégrable sur lorsque f 2 L 2 (R). Nousdevonsdonctrouverun autre moyen pour définir une telle transformée tout en respectant la définition ci-dessus lorsque f 2 L 1 ( ) \ L 2 ( ). L espace L 2 (R 2 ) auneparticularitétrèsimportante:sanorme(voirsection1ci-dessus) provient d un produit scalaire (ou produit scalaire hermitien). En effet, la forme bilinéaire définie sur L 2 ( ) par hf,gi = f(x)g(x)dx, f, g 2 L 2 ( ) est un produitt scalaire sur L 2 ( ).Lorsqu ons intéresseàdesfonctionsàvaleurscomplexes, on doit modifier légèrement la formule précédente, en remplaçant g par g (conjuguée de g), c est àdireonpose hf,gi = f(x)g(x)dx, f, g 2 L 2 ( ) et l on obtient ainsi un produit scalaire hermitien sur L 2 ( ).Nousavonslerésultattrèsimportant suivant : Théorème L espace L 2 ( ) muni du produit scalaire (ou du produit scalaire hermitien) défini ci-dessus est un espace de Hilbert. Revenons à la transformée de Fourier définie précédemment sur L 1 ( ).Nousavonslethéorème suivant : Théorème (Plancherel-Parseval) Si f 2 L 1 ( ) \ L 2 ( ), alors f b 2 L 1 ( ) \ L 2 ( ) et l on a kfk b 2 2 =(2 ) n kfk 2 2 (formule de P lancherel). Plus généralement, on a pour tout f,g 2 L 1 ( ) \ L 2 ( ) : h b f,bgi =(2 ) n hf,gi (formule de P arseval). Le théorème précédent permet d étendre la transformée de Fourier définie sur L 1 ( ) à L 2 ( ) grâce à un résultat d analyse fonctionnelle qui permet d étendre des fonctions uniformément continues sur un ensemble dense d un espace métrique, à valeurs dans un espace métrique complet, en une fonction uniformément continue sur l espace tout entier. Plus précisément, nous utiliserons le résultat suivant : Proposition Soient (E,d) et (F, ) deux espace métriques tels que (F, ) soit complet et soit E 0 une partie dense de E. Soit T : E 0! F une application lipschitzienne de rapport k, i.e vérifiant pour une constante k 0 : (T (f),t(g)) apple kd(f,g), 8f,g 2 E 0. Alors T se prolonge en une unique application e T : E! F qui est lipschitzienne de rapport k, i.e vérifiant ( e T (f), e T (g)) apple kd(f,g), 8f,g 2 E. Plus généralement, si T : E 0! F est uniformément continue, alors T se prolonge en une unique application e T : E! F qui est uniformément continue.

8 44 CHAPITRE 4. ANALYSE DE FOURIER Nous allons appliquer la proposition précédente à T = F (la transformé de Fourier définie prédémment sur L 1 ( ))enprenante = L 2 ( ), E 0 = L 1 ( )\L 2 ( ) et F = L 2 ( ).Eneffet, en utilisant la formule de Plancherel ci-dessus, il nous reste juste à vérifier que L 1 ( ) \ L 2 ( ) est dense dans L 2 ( ).Maisceladécouledirectementduthéorème4.2.1commeonpeutlevérifier facilement. Théorème La transformée de Fourier définie précédemment F : L 1 ( )! C 0 ( ) se prolonge en une unique application linéaire, notée toujours F, de L 2 ( )! L 2 ( ) qui est bijective et vérifiant la formule de Parseval : hf (f), F (g)i =(2 ) n hf,gi, 8f,g 2 L 2 ( ), qui donne en particulier la formule de Plancherel : kf (f)k 2 2 =(2 ) n kfk 2 2, 8f 2 L 2 ( ). De plus, pour tout f 2 L 2 ( ) et R>0, si on pose F R (f)( ) = F (f) = lim F R(f) dans L 2 ( ). R!+1 x appler e ix f(x)dx, on a