Séquence 6. Intégration. Sommaire

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1 Séquence 6 Intégrtion Ojectifs de l séquence Introduire une nouvelle notion : l intégrle d une fonction sur un intervlle ;. Après une première pproche géométrique, l introduction de l notion de primitive permet d élrgir l définition et les possiilités de clcul. Quelques eemples d pplictions en Économie sont ensuite donnés. Sommire. Pré-requis. Aire et intégrle d une fonction continue et positive sur un intervlle. Primitives 4. Primitives et intégrle d une fonction continue sur un intervlle 5. Synthèse de l séquence 6. Eercices de synthèse Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

2 Pré-requis A Aires. Aires usuelles On considère des figures dns un pln où une unité de longueur été choisie. On sit clculer les ires déterminées pr différentes figures géométriques : Aire d un tringle : se huteur ; Aire d un rectngle : longueur lrgeur ; ( petite se + grnde se) huteur Aire d un trpèze : Aire d un disque : π ryon. ;. Propriétés des ires Additivité Pour clculer l ire de figures moins simples que les précédentes, on peut décomposer celles-ci en un certin nomre de figures dont on sit clculer l ire. Pr eemple, pour clculer l ire d un polygone, on peut le décomposer en un certin nomre de tringles. L somme des ires des tringles donne lors le résultt souhité. L propriété utilisée s ppelle l dditivité de l ire, elle est énoncée dns l propriété suivnte. Voculire : On l hitude d ppeler «domines» les ensemles de points du pln dont on clcule les ires. Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

3 Propriété Si et sont deu domines du pln dont l intersection une ire nulle lors l ire de est égle à l somme des ires de et : ( ) = Aire Aire Dns l figure ci-contre : ( )+ Aire ( ). ( ) = ( )+ ( ). Aire ABCD Aire ABD Aire BCD A B D C Inclusion Soit et deu domines du pln tels ( ) que lors ire ( ) ire. Trnsltion, symétrie Propriété Invrince pr trnsltion Soit une trnsltion t v et deu domines du pln et tels que soit l imge de pr l trnsltion t v (c est-à-dire que tous les points du domine v sont otenus pr trnsltion de tous les points du domine ). Alors les domines et ont l même ire : ire ( ) = ire ( ). 4 Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

4 Propriété Invrince pr symétrie Soit s une symétrie ile d e et deu domines du pln et tels que soit l imge de pr l symétrie s (c est-à-dire que tous les points du domine sont otenus pr symétrie de tous les points du domine ). Alors les domines et ont l même ire : ire ( ) = ( ). ire. Domines, ires et mesures On confond prfois un domine (une surfce) vec une ire, ou une ire vec une de ses mesures. On précise ici pr un eemple l différence entre ces notions. Un domine est un ensemle de points du pln. Des domines qui sont des ensemles de points différents, sont des domines différents, mis ces domines peuvent voir l même ire comme les trois domines ci-dessous qui ont chcun une ire égle à crreu. Mesurer une ire, c est lui ssocier un nomre en utilisnt une ire de référence, l unité. Prenons l eemple d une ire de m. On peut écrire l églité = m = 0000 cm mis ien sûr les nomres et 0000 ne sont ps égu. Le nomre est l mesure de l ire en m et 0000 est l mesure de l même ire vec une utre unité, le cm. Séquence 6 MA0 5 Cned - Acdémie en ligne

5 Dns cette séquence, les intégrles sont des nomres et ces nomres sont utilisés pour mesurer des ires, l unité étnt souvent ppelée «unité d ire» ce que l on note u.. Il fut fire ttention u unités. Si l unité d ire est donnée pr un repère où l unité est cm sur chque e, on ur u.. = 4 cm. Il rrive que, quelquefois, on confonde une ire vec une de ses mesures. B Dérivtion Comme on le verr, les deu notions de dérivtion et d intégrtion sont très liées, on rppelle donc ici les formules essentielles qui doivent être connues.. Fonctions usuelles Epression de f( ) f dérivle sur l intervlle I Epression de f'( ) f( ) = k, k constnte réelle I = R f'( ) = 0 f( )= I = R f'( ) = f( )= I = R * = 0 ; + ou I = R * = ;0 + ] [ f'( ) = f( )= + I = R * = 0 ; + f'( ) = n f( ) =, n N I = R f'( ) = n n n f( ) = =, n N n + I = R * = 0 ; + ou I = R * = ; 0 n n f'( ) = = n n+ f( )= e I = R f'( ) = f( ) =e f( ) = ln + I = R * = 0 ; + f'( ) = 6 Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

6 . Opértions lgériques Dns le tleu ci-dessous, les fonctions u et v sont définies et dérivles sur le même intervlle I, k est un nomre réel, dns les deu derniers cs l fonction v ne s nnule ps. Ainsi l fonction f est dérivle sur le même intervlle I. Fonction f Fonction dérivée f ' f = u+ v f' = u' + v' f = uv f' = u' v + uv' f = ku f' = ku' f = v ' f ' = v v u f = uv ' uv' f ' = v v. Autres opértions vec une fonction u Dns le tleu suivnt, u est dérivle sur un intervlle I et vérifie éventuellement certines conditions. Alors l fonction f est dérivle sur le même intervlle I. Fonction f Fonction dérivée f ' Remrques éventuelles u u uu ' u ' u u ne s nnule ps sur I e u u'e u Séquence 6 MA0 7 Cned - Acdémie en ligne

7 Aire A et intégrle d une fonction continue et positive sur un intervlle Ojectifs du chpitre Dns ce chpitre, on définit l intégrle d une fonction continue et positive sur un intervlle en utilisnt les ires et on en étudie les propriétés. B Pour déuter Activité Avec les vitesses et les distnces Un ojet se déplce pendnt 0 secondes à l vitesse de m.s. Quelle distnce -t-il prcourue? Un ojet se déplce pendnt 0 secondes. On peut seulement enregistrer les vleurs successives de s vitesse v() t à l instnt t. On otient les vleurs suivntes et on demnde de donner une vleur pprochée de l distnce prcourue notée d. t 0 0,5,5,5,5 4 4,5 5 5, vt () 9 7,6 6, 4,6,7,7,,8,4, 0,7 0,5 0,4 0, 0, 0, v(t) en m.s 5 0 t en secondes Un ojet se déplce pendnt 0 secondes. On peut seulement enregistrer, sur une représenttion grphique, s vitesse v() t à l instnt t. Dns les questions précédentes, des produits d une vitesse pr une durée sont pprus. On interprète ces produits comme des ires de rectngles. En utilisnt cette interpréttion, donner une vleur pprochée de l distnce D prcourue pr l ojet. 8 Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

8 Activité Aire sous l prole Dns un repère orthonormé, soit l prole représentnt l fonction f définie sur 0; pr f( ) =. L coure est représentée sur les trois figures cidessous. On s intéresse à l ire ( ) du domine délimité pr l e des scisses, l prole et l droite d éqution =. Ce domine est colorié sur l figure du milieu et son ire est ppelée «ire sous l coure». C B 5 C B 5 C B 4 y = B 4 B 5 B B B B B B O A 5 A A A 4 A O O A 5 A A A 4 A ( ) On cherche à encdrer cette ire ( ). Pour cel on divise l intervlle 0; en cinq intervlles de même mplitude 5 = 0,. Sur l figure de guche, on construit cinq rectngles dont l se mesure 5 et dont les huteurs sont données pr les ordonnées des points O, B, B, B, et B. 4 On ne voit que qutre rectngles cr le premier, ynt une huteur nulle, est confondu vec le segment OA. On ppelle l ire totle de ces cinq rectngles. Déterminer, l unité d ire (notée u..) étnt l ire du rectngle du repère, c est-à-dire le rectngle OA B C. 5 5 Sur l figure de droite, on construit cinq rectngles dont l se est 0, et dont les huteurs sont données pr les ordonnées des points B, B, B, B4 et B5. Séquence 6 MA0 9 Cned - Acdémie en ligne

9 On ppelle l ire totle de ces cinq rectngles. Déterminer, l ire totle de ces cinq rectngles (en unités d ire). À l ide de et de conjecturer ornes entre lesquelles l ire ( ) vous semle être comprise. C Cours. Définition y On se propose de générliser l notion d ire à des domines du pln liés à des fonctions. f Le pln est muni d un repère J K orthogonl ( O,I,J); l unité d ire qui ser utilisée pour mesurer les ires u I 0 est l ire du rectngle OIKJ tel que I(;0),J(0;)etK(;). On dit qu une fonction f est positive sur un intervlle si, pour tout de l intervlle, f( ) est positif : f( ) 0. Définition Soit f une fonction définie sur l intervlle ;, continue et positive sur ;. On ppelle le domine du pln limité pr l coure f représentnt f, l e des scisses et les droites d éqution = et =. On ppelle intégrle de l fonction f sur ; l mesure de l ire du domine en unités d ire. Ce nomre est noté f ( ) d. 0 Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

10 Remrque L ire du domine s ppelle ussi «ire sous l coure». On donc : ire( ) = f ( ) d u.. Et si sur chque e l unité de longueur est égle à 5cm on ur : ire( ) = f( ) d 5 cm. Eemple L intégrle de l fonction crré sur ; est telle que d = comme on l vu dns le corrigé de l ctivité. Ainsi, pr eemple, 7 d = =. Remrque Le domine peut ussi être défini pr un système d inéglités : M( ; y) y f( ). 0 Le nomre f ( ) d se lit «intégrle de à de f () d» ou «somme de à de f () d». Les réels et sont ppelés les ornes de l intégrle. On dit que est une vrile muette. En effet, l définition de «l intégrle de à de l fonction f» ne fit ps intervenir l vrile et on pourrit s en psser, mis il fudrit lors donner un nom à chcune des fonctions utilisées ce qui serit ien compliqué. On préfère donc donner les fonctions pr leurs epressions, on donne un nom à l vrile mis ce nom n ucune importnce (seuls et qui désignent les ornes ne peuvent ps être utilisés). Ainsi d t t y y = d d =. L nottion «d» pour origine l lrgeur des rectngles qui ont été utilisés dns les premiers clculs d pproimtion, cette lrgeur multiplie les vleurs prises pr l fonction (comme on le voit vec 0, dns l ctivité ). Cette nottion est indispensle qund plusieurs lettres sont utilisées pour définir l epression de l fonction (pr eemple ke ), «d» indique lors nettement quelle est l vrile mis cel n pprîtr ps dns cette séquence. Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

11 Eemple Clculer les intégrles : I= dt et J= d t, et étnt des nomres réels tels que ; K= ( 05, t + ) dt et L = 4 (0,5t + )d t, et étnt des nomres réels tels que ; Reconnître sur l clcultrice l coure représenttive de l fonction f définie pr f( )= sur [ ] ; ; en déduire l vleur de M= d. Solution Remrque Dns chque cs, l ire est mesurée vec l unité d ire donnée pr le repère qui peut être orthonorml ou orthogonl L fonction que l on intègre est une fonction constnte, on mesure donc des ires de rectngles et on otient : I= dt = ( ( )) = et J= d t = ( ). 0,5+ F 0,5+ G C A D E -4-0 B L intégrle K est l mesure de l ire du tringle ABC : ( K= + d = ( (, ) 4)) 05 t t = ; ; 4 Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

12 L intégrle L est l mesure de l ire du trpèze DEFG : L= (, + ) ( 05, ) ( 05, ) ( 05, 05, + 4)( ) 05t dt = ( ) =. L coure semle être un demi-cercle de centre O et de ryon (c est ien le cs). - 0 π D où M= d = π =. Remrque Dns le cs prticulier où l fonction f est une fonction constnte qui prend l vleur λ (cette lettre grecque se prononce «lmd») sur tout l intervlle ;, on f( ) d = ( ) λ d = λ cr le domine est un rectngle dont les côtés mesurent et λ. 0. Propriétés Les ires permettent d otenir les propriétés qui suivent. Propriété Soit f une fonction définie sur l intervlle ;, continue et positive sur ;. c Pour tout réel c de l intervlle ;, f ( ) d = 0. c Démonstrtion Le domine est réduit à un segment donc son ire est de mesure nulle. Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

13 Propriété Positivité Démonstrtion Soit f une fonction définie sur l intervlle ;, continue et positive sur ;. Alors 0 f( )d. L mesure d une ire est un nomre réel positif. Commentire : cette propriété est ppelée «positivité» de l intégrle, et il suffit de rppeler ce mot qund on utilise cette propriété. Propriété Comprison Soit f et g deu fonctions définies sur l intervlle ;, continues et positives sur ;, telles y g que f g, c est-à-dire telles que f( ) g( ) pour tout de ;. Alors f( ) d g( ). d f 0 Démonstrtion Le domine f défini pr M ( ; y) f est inclus dns le 0 y f( ) domine g défini pr ( ) M ; y g 0 y g( ). D où l inéglité des ires : ire( f ) ire( g ) et de leurs mesures : f( )d g( )d. Eemple L comprison des positions des coures des fonctions crré, et y = y = rcine sur [ 0;] permet de trouver : d d d y = 0 4 Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

14 Propriété 4 Reltion de Chsles Soit f une fonction définie sur l intervlle ;, ;. [ ] [ ] Soit c un nomre de l intervlle ;, c lors f( )d + f( )d f( )d. = c [ ] continue et positive sur y f () f (c) f () f(t)dt c c f(t)dt c Démonstrtion L ire coloriée est l somme des deu ires dont elle est l réunion. Commentire : vous vez très prolement remrqué l nlogie vec l reltion vectorielle AC + CB = AB, et vous retiendrez fcilement que cette églité entre des intégrles est ppelée «reltion de Chsles». Définition L vleur moyenne d une fonction f définie sur l intervlle [ ; ] vec, continue et positive sur ;, [ ] est égle u nomre ft ()d. t Séquence 6 MA0 5 Cned - Acdémie en ligne

15 Commentire : Notons µ cette vleur moyenne. On donc µ= ft ()d t et µ( ) f( t) t. = d Le produit µ( ) peut être interprété comme l mesure de l ire d un rectngle ABCD (il est indiqué D µ f C sur l figure). Ce rectngle ABCD donc l même ire que le domine. L vleur moyenne µ de l fonction f sur l intervlle ; est égle à l huteur AD du rectngle qui l A 0 B même se et l même ire que le domine. Propriété 5 Inéglités de l moyenne Soit une fonction f définie sur l intervlle ; vec, continue et positive sur ;, et deu nomres m et M tels que, pour tout de l intervlle ;, on m f( ) M. Alors m µ M, µ étnt l vleur moyenne de l fonction f sur ;. Démonstrtion On pplique l propriété à l fonction constnte m, à l fonction f et à l fonction constnte M. D où : m dt f t dt M dt (), soit m ( ) ft ( ) dt M ( ). Et, en divisnt pr qui est strictement positif, on : m ft t M () d, soit m µ M. F M µ D E C H m G A B 0 f Commentire : On peut retenir visuellement ces résultts ssez fcilement cr les inéglités m ( ) ft ( ) d t M ( ) sont l trduction de ire(abgh) ire(abcd) ire(abef). 6 Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

16 Eemple 4 L vleur moyenne de l fonction crré sur l intervlle I = [ ; ] est égle à µ= = = t d t 4,. Les ires hchurées sont égles. µ = 4, 0 0. Intégrtion et dérivtion Eemple 5 On rppelle que, dns l ctivité, on dmis que t dt = pour, et donc ussi F( )= t dt= pour. On otient lors que l fonction F est dérivle si, et que F'( ) = = f( ). Le théorème qui suit est fondmentl. Il permet de relier l intégrtion et l dérivtion, fcilitnt le clcul de eucoup d intégrles. Ce théorème est dmis. Théorème Soit f une fonction continue et positive sur ;, l fonction définie sur ; pr f()d t t est dérivle sur ; et s fonction dérivée est l fonction f. Séquence 6 MA0 7 Cned - Acdémie en ligne

17 Commentire : On ppeller F l fonction définie sur ; pr f() t dt, insi F ( ) = ft ( ) d tet on F'( ) = f( ). Nottion : on rppelle que dns l écriture F( ) = ft ( ) d t l vrile «t» est muette, on urit pu choisir l nottion F ( )= f où l on voit mieu que l intégrle ne dépend que de f et des ornes et, mis cette nottion n est ps du tout prtique. On utilise donc l nottion F ( ) = ft ( ) d tdns lquelle il est essentiel que l vrile muette soit nommée différemment de l orne qui est l vrile hituelle. Remrque : F( ) = 0. Les fonctions du type de F vont être étudiées dns le chpitre suivnt. D Eercices d pprentissge Eercice Le pln est muni d un repère orthonormé. On utilise le résultt t dt = pour. Clculer t dt et, pr des 0 considértions de symétries et d ires, déterminer t d t. 0 0 y = y = y = Déterminer l mesure de l ire du domine situé entre l coure de l fonction crré et l coure de l fonction rcine. Eercice Déterminer l vleur moyenne de l fonction crré sur 4; 4, puis sur l intervlle ;, étnt un nomre réel strictement positif. Eercice Une voiture se déplce sur une route, elle démrre à l instnt t = 0, puis ccélère de fçon régulière durnt l première heure (on suppose constnte l ccélértion 8 Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

18 qui est l dérivée de l vitesse). Après une heure de route s vitesse est lors 80 km.h. Elle grde cette vitesse durnt les deu heures suivntes puis décélère de fçon régulière pour s rrêter une demi-heure plus trd. Dns un repère orthogonl, représenter l vitesse v du véhicule en fonction du temps. Déterminer l distnce prcourue durnt ce trjet insi que l vitesse moyenne du prcours. Eercice 4 Quelle est l fonction dérivée de l fonction F définie sur 00 ; pr t t + d? Même question pour l fonction G définie sur ; 00 pr d. t Qu oserve-ton? t + Quelle est l reltion eistnt entre F( ) et G( ) pour tout de ; 00 qui permettit de prévoir ce résultt? Eercice 5 Dns cet eercice les trois premières questions sont des Questions à Choi Multiples pour lesquelles trois réponses sont proposées dont une seule est correcte. Dns l qutrième question on doit dire si l proposition qui est énoncée est vrie ou fusse. Toutes les réponses doivent être justifiées. Les fonctions qui sont intégrées sont continues et positives sur les intervlles d intégrtion Si I= f( ) d et J= d 4 f( ), ) + I J ) I + J 4 lors f( ) d est égle à : c) I+ J. Séquence 6 MA0 9 Cned - Acdémie en ligne

19 L vleur moyenne sur 4; 0 de l fonction f représentée sur l figure précédente vut : ) ) c),5. 0 L intégrle I= f( ) d pprtient à l intervlle : ) 7; 9 ) 9; c) ;. L proposition suivnte est-elle vrie ou fusse? Si deu fonctions f et g continues et positives sur ; sont telles que f( ) d = g( ) d, lors f( ) = g( ) pour tout de ;. 0 Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

20 Primitives A Ojectifs du chpitre À l fin du chpitre, pprît une fonction dont on connît l fonction dérivée. Dns ce chpitre, on définit et on étudie ces fonctions définies pr leurs fonctions dérivées. Dns le chpitre qui suivr, on pourr lors clculer des intégrles. B Activité Pour déuter On considère les fonctions F, G et H définies sur R pr : F( ) = + 5, G ( ) = 0, et H( ) = Déterminer leurs fonctions dérivées. Qu oserve-ton? Les fonctions F, G et H sont-elles égles? Mêmes questions, les fonctions F, G et H étnt définies sur ; + pr F ( ) =, G ( )= et H 5 ( ) =. Activité 4 On considère les deu fonctions f et F définies sur 0; + pr f( ) = ln et F ( ) = ln. Montrer que, pour tout de ] + [ 0;, F'( ) = f( ). Trouver deu fonctions G et H différentes de F, telles que G' = H' = F'. Déterminer une fonction K définie sur 0; + telle que K' = f et K () = 0. Activité 5 Trouver une fonction F définie sur R telle que, pour tout réel, F'( ) = f( ) vec f( ) = Même question vec f( )= + sur R. Même question vec f( )= + sur 0; +. Soit f l fonction définie sur R pr f( ) = ( + e ). Déterminer deu nomres réels et tels que l fonction F définie sur R pr F( ) = ( + ) e it pour fonction dérivée l fonction f. Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

21 C Cours. Définition des primitives d une fonction sur un intervlle, eistence Définition F est une primitive de l fonction f, continue sur l intervlle I, si et seulement si f est l fonction dérivée de F sur I. Eemple 6 Soit f l fonction crré définie sur R. L fonction F définie sur R pr F( )= est une primitive de l fonction crré cr, pour tout réel, on F'( ). = L fonction ln est une primitive sur 0; + de l fonction inverse cr, pour tout réel strictement positif : ln'( ) =. Rppel On démontré dns le chpitre que, pour une fonction prticulière f, continue et positive sur un intervlle fermé ;, l fonction définie sur ; pr f()d t t est dérivle sur ; et que s fonction dérivée est l fonction f. On dmis cette propriété pour toutes les fonctions continues et positives sur ;. On otient donc qu une fonction f continue et positive sur un intervlle ; dmet u moins une primitive sur ; définie pr f() t dt. Plus générlement, pour une fonction de signe quelconque, on le théorème qui suit et qui ser dmis. Théorème Toute fonction continue sur un intervlle dmet des primitives sur cet intervlle. Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

22 Eemple 7 Les fonctions F, G et H définies sur R pr : F( ) = + 5, G ( ) = 0, et H ( ) = 9999, sont des primitives de l fonction f définie sur R pr f( ) =.. Propriétés des primitives Dns l eemple précédent, on jouté des constntes à une primitive connue, l fonction crré, pour friquer d utres primitives de l fonction. L propriété suivnte montre qu il n y ps d utres formes de primitives. Propriété 6 Soit f une fonction définie et continue sur un intervlle I, et soit F et G deu de ses primitives. Alors l fonction F G est une fonction constnte. Démonstrtion Pour tout de I, on ( F G)'( ) = F'( ) G'( ) = f( ) f( ) =0. L dérivée de l fonction F G est nulle sur l intervlle I donc l fonction F G est une fonction constnte sur I. Propriété 7 Soit f une fonction définie et continue sur un intervlle I, et soit F une de ses primitives. Alors l ensemle des primitives de f sur I est égl à l ensemle des fonctions de l forme F + k, où k est une constnte. Démonstrtion D près l propriété précédente, si G est une utre primitive de f sur I lors F G est une fonction constnte sur I, donc G = F + k. Réciproquement : soit G une fonction telle que G = F + k où k est une constnte. Pour tout de I, F'( ) = f( ) et G( ) = F ( ) + k. Comme k est une constnte, G'( ) = F'( ) + 0 = f( ), donc l fonction G est une primitive de f sur I. Eemple 8 Toutes les primitives de l fonction crré sur R sont les fonctions F de l forme F ( ) = + k, k étnt une constnte. En effet, l fonction est une primitive de l fonction crré. Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

23 Propriété 8 Soit f une fonction définie et continue sur un intervlle I. Soit 0 un élément de I et y 0 un nomre réel. Alors il eiste une et une seule primitive de f sur I qui prend l vleur y 0 en 0. En effet, d près le théorème l fonction f dmet des primitives. Soit F l une d entre elles, on sit, d près l propriété 7, que les utres primitives sont de l forme F + k, où k est une constnte. Svoir que 0 pour imge y 0 détermine de fçon unique l vleur de l constnte k (puisque k doit vérifier F ( ) + k= y ). 0 0 Eemple 9 Solution Trouver l primitive G de l fonction crré f qui prend l vleur pour =. Remrquons d ord l utilistion de l rticle «l» : en effet l propriété 8 ssure qu il n y qu une fonction qui convient. L fonction G que l on cherche est de l forme G( ) = + k, vérifint G( ) =. Comme G( ) k k 8 5 = + = = k =, l primitive G qui convient 5 est définie pr G( ) =. Conséquence Un cs prticulier importnt Soit f une fonction définie et continue sur un intervlle I et soit 0 un élément de I. Alors il eiste une et une seule primitive de f sur I qui s nnule en 0. Il s git de l propriété précédente vec y 0 = 0. Soit F une des primitives de f sur I. L primitive de f sur I qui s nnule en 0 est l fonction G définie sur I pr G ( ) = F ( ) F ( 0 ). Eemple 0 Solution Déterminer l primitive H de l fonction crré qui prend l vleur 0 pour = 5. Une primitive de l fonction crré est l fonction F définie pr F ( ) =, donc l primitive H que l on cherche est telle que 5 5 H ( ) = F ( ) F( 5) = =. 4 Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

24 Remrque On fer ttention à l précision des mots employés : on dit «l» primitive qund on désigne une primitive déterminée de fçon unique, on dit «une» primitive qund il s git d une primitive quelconque. Depuis le déut de cette séquence, pour l étude des primitives et des intégrles, on s est plcé sur un intervlle. C est essentiel en effet pour l démonstrtion de l propriété 6, pour pouvoir dire que l fonction F G est une fonction constnte. Et l propriété 6 est indispensle pour démontrer les propriétés suivntes, en prticulier l propriété 7 qui donne l ensemle des primitives d une fonction sur un intervlle et l propriété 8 qui est une propriété d eistence et d unicité. Montrons sur un eemple ce qui pourrit se psser sur une réunion d intervlles. L fonction H : pour dérivée l fonction h : sur ; 0 0; +. L fonction K définie pr K ( ) = H ( ) sur 0; + et pr K ( ) = H ( ) +8, sur ] [ ] [ ;0 l même fonction dérivée que H sur ;0 0; +. Mis on ne peut ps dire que l fonction K H est une fonction constnte sur ; 0 0 ; +, l constnte n étnt ps l même sur les deu intervlles.. Primitives et intégrles Propriété 9 Soit f une fonction continue sur un intervlle I et et deu nomres réels de I. Soit F une des primitives de l fonction f sur I. L différence F( ) F ( ) ne dépend ps de l primitive choisie. Démonstrtion Pour prouver que l différence ne dépend ps de l primitive choisie, nous llons choisir primitives quelconques et montrer que l différence est l même pour Séquence 6 MA0 5 Cned - Acdémie en ligne

25 ces deu primitives. Soit F et F deu primitives de f sur I, d près l propriété 6 il eiste lors un nomre réel k tel que, pour tout de I, on : F ( ) = F ( ) + k. On otient donc : F ( ) F ( ) = ( F ( ) + k) ( F ( ) + k) = F ( ) F ( ). L différence F( ) F( ) est donc ien l même quelle que soit l primitive F choisie. Eemple Les fonctions G et H des eemples 9 et 0 sont des primitives de l fonction crré sur R. Pour = et =, on 5 ( ) 5 ( ) G ( ) G ( ) = G( ) G( ) = = = 5 ( ) ( ) et H( ) H ( ) = H( ) H( ) = 5 = =. L propriété suivnte fit le lien entre deu nouvelles notions : celle d intégrle et celle de primitive. Propriété 0 Soit f une fonction continue et positive sur ; et F une de ses primitives. On lors : ft () d t= F ( ) F ( ). Démonstrtion À l fin du chpitre on vu que l fonction définie sur ; pr f()d t t est dérivle sur ; et s fonction dérivée est l fonction f. Donc l fonction définie sur ; pr f()d t t est une primitive de l fonction f. Or ft () d t= 0, donc, d près l propriété 8 et s conséquence, l fonction définie sur ; pr f()d t t est l primitive de l fonction f qui s nnule en. Et, on sit que, si F est une des primitives de f sur I, l primitive de f qui s nnule en est l fonction F( ) F( ), donc ft () d t= F ( ) F ( ), en prticulier ft t F F () d = ( ) ( ). Eemple Une primitive de l fonction crré est l fonction F définie sur R pr F( )= donc on l églité t dt = vec. On justifie donc ici ce résultt qui été dmis dns le chpitre. 6 Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

26 Remrque D une prt, on vu qu une fonction continue et positive sur un intervlle ; possède des primitives en utilisnt une fonction définie pr une intégrle. D utre prt, l propriété 0 montre qu il est possile de clculer une intégrle si on connît une primitive de l fonction qui est intégrée. Ces deu notions sont donc très liées. Dns ce chpitre, on étudie surtout les primitives, l notion d intégrle ser ensuite pprofondie dns le chpitre Primitives des fonctions usuelles, opértions et composition Fonctions usuelles «Déterminer une primitive» est l opértion inverse de «dériver une fonction» : si f est l fonction dérivée de F sur un intervlle I lors F est une primitive de f. Le tleu des dérivées usuelles nous permet lors de dresser le tleu des primitives des fonctions usuelles. Dns ce tleu, k désigne un nomre réel constnt. Epression de f( ) sur I I Epression de F( ) sur I f( )= 0 I = R F ( ) = k, k constnte réelle f( )= I = R F( )= + k f( )= + I = R * = 0 ; + ou I = R * = ;0 F ( )= +k f( )= I = R * = + 0 ; F ( )= + k n f( ) =, n N I = R F n I = R * = + f( ) = =, n N, n 0 ; n ou I = R * = ;0 + + n+ ( )= + k n + F ( ) = n ( n ) f( )= e I = R F ( )= e + k n+ + k = + k n + f( )= I = R * = 0 ; + + F ( ) = ln+ k Séquence 6 MA0 7 Cned - Acdémie en ligne

27 Avec une ou deu fonctions Dns ce tleu f, g, u, sont des fonctions continues sur un intervlle I, les fonctions F et G sont des primitives des fonctions f et g sur I. Les nottions αβ,,,, désignent des nomres réels. Ce tleu est otenu à prtir des propriétés de l dérivtion. Fonction définie sur I Les primitives sur I Remrque f + g F + G+ k αf αf + k αf + βg αf + βg+ k uu ' u u' u + k + k u ne s nnule ps sur I u ue ' u u e + k u ' u ln(u) u > 0 sur I Remrque Mlheureusement il eiste des fonctions pour lesquelles on ne peut ps trouver une formule eplicite pour les primitives, pr eemple l fonction définie sur R pr e. On en rencontrer en proilité, mis, illeurs, on évite ces cs en Terminle. Pour chercher des primitives, on dispose donc de tous ces résultts, issus de ce qui est connu sur l dérivtion, et des indictions données pr les énoncés des eercices (comme dns l question de l ctivité 5). 5. Eemples de recherche de primitives Remrques préliminires Pour trouver les primitives, il fut ien connître les formules sur les dérivées. Qund on trouvé une primitive, il est prudent de vérifier le résultt en dérivnt l primitive otenue. Qund on demnde une primitive (et non les primitives), on prend souvent k = 0. On ne trouver ps toujours une formule du cours qui s dpte ectement : il fudr souvent choisir une ou plusieurs constntes multiplictives. 8 Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

28 Eemple On considère l fonction f définie sur R pr f( ) = + +. Trouver une primitive de f sur R. Solution f( ) = ( ) + ( ) +, demnde qu une primitive). d où F( )= + + sur R (ici, on ne Commentire : On dit que et sont des constntes multiplictives. Eemple 4 On considère l fonction f définie pr f( )= + Donner toutes les primitives de f sur I. 5 sur I = 0; +. Solution Eemple 5 Solution f( ) =, + 5 donc les primitives de f sur I sont les fonctions F telles que F( ) = k, + 5 ( )+ k étnt une constnte (ici on demnde toutes les primitives). + + On considère l fonction f définie sur R pr f( ) = e e. Donner toutes les primitives de f sur I. On reconnît ou on met en évidence l forme u'e u + + : f( ) e e. = ( ) Donc les primitives de f sur R sont les fonctions F telles que F ( ) = + e e + + k. D Eercices d pprentissge Eercice 6 Dns chque cs, déterminer une primitive F de l fonction f sur l intervlle I. 4 f( )= sur I = R f( )= 5 sur I = 0; + f( )= sur I = ] ;0[ f( )= + sur I = 0; + f( )= + + sur I = + 0;. Séquence 6 MA0 9 Cned - Acdémie en ligne

29 Eercice 7 Dns chque cs, sur l intervlle I, déterminer l primitive F de l fonction f telle que F( ) = y. 0 0 f( )= + I = R 0 = y 0 = 0 f( )= e I = R 0 = 0 y 0 = 4 f( )= I = + 0; 0 = y 0 =. Eercice 8 Les fonctions suivntes sont toutes définies sur R. Pour chcune d elles, donner toutes ses primitives sur R. f( )= e + e + e f( )= 4e f( ) = e ( ) f( )= e ( ) f( )= e e + 4 f( ) = e + 5e e. Eercice 9 Soit f l fonction définie sur R pr f( ) = ( + ) e. Déterminer deu nomres réels et tels que l fonction F définie sur R pr F ( ) = ( + ) e soit une primitive de f. Eercice 0 Soit f l fonction définie sur R pr f( ) = ( ) 00. On veut déterminer une primitive F de f sur R. En écrivnt = ( ) + donner une utre écriture de f( ). En déduire une primitive F de f sur R. Eercice Voici les coures représenttives de qutre fonctions f, f, f et f 4, définies sur R. 0 Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

30 O O 4 O O Des primitives de chcune des fonctions f, f, f et f 4, sont représentées ci-dessous. Indiquer pour chcune des fonctions f, f, f et f 4, quelle est l coure de s primitive. O O c d O O Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

31 4 Primitives et intégrle d une fonction continue sur un intervlle A Ojectifs du chpitre Dns le chpitre, on défini l intégrle d une fonction continue et positive sur un intervlle ; en utilisnt les ires. L notion de primitive vue u chpitre permet de générliser l définition de l intégrle u fonctions continues de signe quelconque sur un intervlle en conservnt les propriétés déjà rencontrées. B Pour déuter Activité 6 On rppelle l propriété 0 : soit f une fonction continue et positive sur ; et F une de ses primitives, on lors : ft () d t= F ( ) F ( ). Clculer les intégrles I = t d t et J = t t d. 5 5 Clculer l intégrle K = t + t t d, puis comprer K et I + J. 5 Clculer L = 6 t d, t puis comprer L et 6I. On considère ici deu fonctions f et g continues et positives sur un intervlle ;. Soit F une primitive de f sur ; et G une primitive de g sur ;. ( ) = + Démontrer que f + g () t dt f t t g t t () d () d. Soit α un nomre réel, montrer que αf () t dt α f t t () d. 5 ( ) = Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

32 C Cours. Intégrle d une fonction continue de signe quelconque Dns le chpitre précédent, on vu que si f est une fonction continue et positive sur ;, ft () d t= F ( ) F ( ). Cette églité v nous servir pour générliser l notion d intégrle à des fonctions qui ne sont ps positives sur I. Définition 4 Soit f une fonction continue sur un intervlle I et et deu nomres réels de I. Soit F une des primitives de l fonction f sur I. On ppelle «intégrle de à de l fonction f» le nomre F( ) F ( ) et on note ft () d t= F ( ) F ( ). Remrque On rppelle que l fonction f possède une infinité de primitives sur I, mis que l différence F( ) F ( ) ne dépend ps de l primitive choisie. Il n y ps ici de condition sur le signe de f() t ni sur l ordre de et. Bien sûr, dns le cs des fonctions positives sur un intervlle ; (donc ) les définitions et 4 coïncident grâce à l propriété 0. L différence F( ) F ( ) est souvent notée Ft (), ce qui se lit «F() t pris entre et». Eemple 6 Clculer les intégrles suivntes : 4t d t + d. ( ) Solution L fonction f définie sur R pr f()= 4 t t est continue sur R et une de ses primitives est l fonction F définie pr F()= t t 4 (remrque : l fonction Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

33 f est une fonction à vleurs négtives sur l intervlle d intégrtion). On : ( ) ( ) = = 4 4 = 4 4 t d t t 5. ( + ) d = + = = 0. Remrque Le premier clcul est ici très détillé. Dns l prtique on rédige plutôt comme le deuième clcul, mis, ttention, il est toujours conseillé de trviller vec eucoup de prenthèses pour éviter les erreurs dues u signes.. Propriétés Dns les propriétés suivntes, les fonctions sont continues sur un intervlle I, les nomres réels, et c sont dns I, les nomres α et β sont deu réels quelconques. Propriété ft () dt= ft () dt. Démonstrtion Il suffit d ppliquer l définition : ft () dt= F ( ) F ( ) = ft () dt. Remrque Propriété ( αf + βg) () t dt = α f t t + β g t t () d () d. Cette propriété s ppelle l linérité de l intégrle. Démonstrtion On procède comme dns l ctivité 6. Dns le chpitre, l définition de l intégrle de à d une fonction positive permis d étlir plusieurs propriétés en utilisnt les propriétés des ires. Nous llons ici retrouver ces propriétés dns le cs générl, le cs prticulier des fonctions positives vous permettnt d en voir une imge géométrique. 4 Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

34 Propriété ft () d t= 0. Démonstrtion ft ( ) d t= F ( ) F ( ) =0. Propriété 4 c Reltion de Chsles : f( ) d + f( ) f( ). d = c d Démonstrtion Soit F une primitive de l fonction f sur I. c c f( )d + f( )d F( ) F( ) = [ ] + c [ ] c = Fc ( ) F ( ) + F ( ) Fc ( ) ( ) ( ) = F ( ) F ( ) = f( )d. Remrque Avec cette définition générle utilisnt une primitive, il n est plus nécessire de fire une supposition sur l ordre des nomres, et c, on suppose simplement que les trois ornes sont dns I. Propriété 5 Positivité Soit f une fonction continue et positive sur l intervlle I. Pour tous nomres et de l intervlle I tels que, on lors : 0 f ( ) d. Démonstrtion L démonstrtion déjà été fite dns le chpitre, puisqu on se retrouve dns le cs d une fonction positive. Remrque Pour ller plus loin, nous vous proposons ici une deuième démonstrtion pour montrer qu une utre L condition est essentielle. méthode est possile vec l nouvelle définition : comme ft () d t= F ( ) F ( ) où F est une fonction dont l dérivée F' = f est à vleurs positives, lors l fonction F est croissnte sur I, donc implique F( ) F( ), c est-à-dire F( ) F( ) 0. Séquence 6 MA0 5 Cned - Acdémie en ligne

35 Propriété 6 Comprison Soit f et g deu fonctions continues sur un intervlle I et telles que f g, c est-à-dire telles que f( ) g( ) pour tout de I. Soit et dns I tels que, lors f( ) d g( ). d Démonstrtion Méthode : on se rmène u cs précédent éd et on pplique l propriété de linérité. ité Comme f( ) g( ) pour tout de I, on ussi 0 g ( ) f ( ) et on pplique l propriété de positivité à l fonction g f, les nomres et vérifint. Remrque Dns cette propriété ussi l condition est essentielle. ( ) Donc 0 g ( ) f ( ) d. D où, d près l linérité, 0 soit f( ) d g( ). d g ( ) d f ( ) d, Remrque Cette propriété ser très utile pour trouver des vleurs pprochées d intégrles de fonctions qu on ne sit ps intégrer mis qu on peut encdrer. Définition 5 L vleur moyenne d une fonction f continue sur un intervlle ;, vec, est égle u nomre ft t () d. Propriété 7 Inéglités de l moyenne Soit une fonction f continue sur l intervlle ; vec, et deu nomres m et M tels que, pour tout de l intervlle ;, on m f( ) M. Alors m µ M, µ étnt l vleur moyenne de l fonction f sur ;. Démonstrtion Elle est nlogue à celle fite pour une fonction f positive dns le chpitre. 6 Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

36 . Clculer l vleur pprochée d une intégrle vec une clcultrice ou un logiciel de clcul formel ) Avec une clcultrice TI-8-stts.fr On utilise l touche MATH puis l instruction 9 : fonctintégr. L synte est fonctintégr(epression de l fonction, nom de l vrile, orne inférieure, orne supérieure). Voici, pr eemple, le clcul de d : 0 ) Avec une clcultrice Csio 5+Pro On utilise successivement OPTN CALC d. L synte est ( epression de l fonction, orne inférieure, orne supérieure, tolérnce). Les clculs se font de fçon pprochée et l «tolérnce» permet de choisir une précision plus ou moins grnde. Il est possile de ne ps indiquer l vleur de l tolérnce (l clcultrice utiliser lors 0 5 ) et de ne ps fermer l prenthèse. 0 Voici, pr eemple, le clcul de d : c) Avec un logiciel de clcul formel Voici un écrn otenu vec le logiciel Xcs. L première instruction int(^,) permet d otenir à l deuième ligne une primitive de l fonction donnée pr l epression ^ où l vrile est, il s git donc de l fonction crré. (Avec l instruction int(k*^,k) on otiendrit *k cr l vrile serit k.) L deuième instruction correspond à l intégrle d dont le logiciel donne l vleur : Séquence 6 MA0 7 Cned - Acdémie en ligne

37 4. Utiliser le clcul intégrl pour déterminer une ire ) Aire d un domine limité pr l e des scisses et l coure représenttive d une fonction positive Eemple 7 Solution 0 Pr définition, l ire du domine sous l coure d une fonction positive définie sur un intervlle ; pour mesure f ( ) d en unités d ire. Le pln est muni d un repère orthogonl, l unité étnt cm en scisse et cm en ordonnée. L fonction f est définie sur 0; pr f( ) = e. Déterminer en cm l «ire sous l coure représenttive de f» que l on nommer. En unités d ire, l «ire sous l coure» mesure : e d = e e e = = ( ). Ici on 0 0 ( ) = ( ) u.. = cm, donc = e u.. e cm. Remrque Il fut fire ttention u unités. ) Aire entre deu coures représenttives de fonctions positives Propriété 8 Soit f et g deu fonctions définies, continues et positives sur l intervlle ;, telles que, pour tout t de ;, ft () gt (). L ire du domine limité pr l coure représenttive de f, celle de g et les droites d éqution = et =, mesure ( gt () ft ()) dt en unités d ire. y g f 0 f 8 Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

38 Démonstrtion En notnt f (respectivement g ) le domine situé sous l coure représentnt f, on : f = g. D près les propriétés des ires, on otient ( ) ( ) = ( ) ire f + ire ire g, d où ire( ) = ire( g ) ire ( f ) = g ( ) d f ( ) d u.. Et l linérité de l intégrle donne : ire ( )= ( gt ( ) ft ( )) d t u.. Eemple 8 Soit f et g les deu fonctions définies sur R pr f( )= + et g ( ) = +, leurs coures représenttives sont données cicontre. D près le grphique, comprer f( ) et g ( ) lorsque pprtient à l intervlle ;. Clculer, en unités d ire, l ire du domine situé entre les deu coures (ire coloriée). O Solution Grphiquement on lit que f( ) g( ) cr l fonction g est ffine, donc l droite représente l fonction g. En unités d ire, l ire du domine colorié mesure donc : ( ) ( ) I = g( ) f( ) d = + + d = + + d = + + ( ( )) ( ) 8 ( ) ( ) I = + + ( ) = +, 5 = 4, 5. Séquence 6 MA0 9 Cned - Acdémie en ligne

39 Remrque Si l différence g() t f() t n est ps de signe constnt, on décompose l intervlle ; en une union d intervlles sur chcun desquels le signe est constnt et on utilise l reltion de Chsles. Eemple 9 Dns un repère orthonormé, l fonction f définie sur R pr f( )= + 4 est représentée pr l coure. Déterminer, en unités d ire, l ire du domine situé entre l coure et l droite d éqution y = +. J 0 I Solution On oserve grphiquement que l coure est u-dessus de l droite lorsque et que l droite est u-dessus de lorsque. On clcule donc (( f ) ( + )d + ( f( ))d + ( ) ( ) = + d+ + + d 4 = = 8 4 L ire coloriée est donc égle à 8 u.. 40 Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

40 5. Une ire en économie : coure de Lorenz et coefficient de Gini Pour étudier l réprtition des slires dns une popultion on peut utiliser une coure ppelée coure de Lorenz. Les slires sont rngés pr ordre croissnt et regroupés en clsses. On v fire un grphique où l on porter : en scisse les fréquences cumulées des effectifs, en ordonnée les fréquences cumulées de l msse slrile. Pr eemple, le point de coordonnées ( 0, 50; 0, 9) indique que 50% des slriés les moins riches reçoivent 9% de l msse slrile. L coure otenue est ppelée coure de Lorenz. Si l réprtition de l msse slrile étit églitire cel voudrit dire que n % des slriés se prtgerient n % de l msse slrile, quel que soit n. Tous les points du grphique se trouverient sur l droite d éqution y =, plus ( ) précisément sur le segment OA en ppelnt A le point de coordonnées ;. Ce segment OA représente une réprtition églitire de l msse slrile. L indice de Gini donne un moyen de mesurer l écrt entre l réprtition étudiée et l réprtition églitire. (M. O. Lorenz (880/96) économiste méricin, C. Gini un économiste itlien ( )). Eemple 0 Prenons l eemple des slires mensuels versés u 00 slriés d une entreprise. Slires (en centines d euros) [0 ;4[ [4 ;8[ [8 ;[ [ ;6[ [6 ;0] Nomre de slriés Remplir un tleu indiqunt les fréquences des effectifs et les fréquences des msses slriles insi que les fréquences cumulées croissntes des effectifs et des msses slriles (notées f ci et F ci ). Le pln étnt muni d un repère où l unité est 0 cm sur chque e, plcer les points de coordonnées fci ; Fci. Lorenz (qui psse ussi pr l origine O). ( ) Joindre ces points pour otenir l coure de Séquence 6 MA0 4 Cned - Acdémie en ligne

41 L ire du domine compris entre l première issectrice et l coure de Lorenz s ppelle l ire de concentrtion. On considère les points A( ; ) et B( ; 0). On ire de concentrtion définit l indice de Gini pr : I G = ire du tringle OAB. Clculer pproimtivement I G en utilisnt le ppier millimétré (unité : 0 cm sur chque e). Solution Voici le tleu rempli : Slires Effectifs n i Fréquences f i Fréquences cumulées croissntes f ci Centres des clsses C i Msses slriles n i C Fréquences F i i rrondies Fréquences cumulées croissntes F ci [0 ;4[ 0 0,0 0,0 40 0, 0, [4 ;8[ 0 0,0 0, ,6 0,9 [8 ;[ 5 0,5 0, ,7 0,66 [ ;6[ 5 0,5 0, ,9 0,85 [6 ;0] 0 0, , F ci A 0,85 ire de concentrtion 0,66 0,9 coure de Lorenz 0, B f ci 0 0,0 0,50 0,75 0,90 4 Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

42 On peut évluer grphiquement l ire de l prtie coloriée à 8cm environ. L ire du tringle OAB est égle à 50 cm. Ainsi : ire de concentrtion I G = = ire du tringle OAB ire coloriée 50 Remrque 8, soit I 50 G 06,. On toujours 0 I G. Si on utilise l unité d ire donnée pr le repère, l ire du tringle OAB mesure ire de concentrtion 0,5 et on otient I G = = ire de concentrtion. 0,5 Si l coure de Lorenz est confondue vec le segment [OA], l réprtition est prfitement églitire, l ire de concentrtion est nulle, l indice de Gini est nul. Si l coure de Lorenz est confondue vec l ligne OBA (une seule personne reçoit le totl de l msse slrile), l inéglité est totle, l ire de concentrtion est égle à celle du tringle OAB, l indice de Gini vut. Ainsi, si l indice de Gini est voisin de zéro l réprtition est ssez équitle. Pr contre s il est voisin de lors l réprtition est très inégle. Dns l eemple précédent, comme I G 06,, on peut dire que l réprtition slrile n est ps trop inégle (en effet, pr eemple, 50% des slriés possèdent 9% de l msse slrile, lors que 75% des slriés possèdent 66% de l msse slrile). Dns l prtique il n est ps toujours simple de clculer vec précision l ire de concentrtion. Si l coure de Lorenz est modélisée comme étnt l coure représenttive d une fonction, on pourr clculer une intégrle (de fçon ecte ou pprochée). 6. Un eemple de moyenne en économie Eemple Cet eemple est un etrit d un eercice proposé u cclurét en 0. Certins scientifiques estiment que les futures découvertes de pétrole dns le monde peuvent être modélisées, à prtir de l nnée 0, grâce à l fonction f définie sur l intervlle ; +, pr f( ) = 780e 0 04 de sorte que f () représente, en illions de rils (millions de millions de rils), l estimtion de l quntité de pétrole qui ser découverte u cours de l nnée Déterminer une primitive F de l fonction f sur ; +. Séquence 6 MA0 4 Cned - Acdémie en ligne

43 Clculer l vleur ecte, puis donner l vleur rrondie à l unité près, de l intégrle I suivnte : I = f( ) d. En déduire le nomre moyen de rils, en illions, que l on peut espérer découvrir pr n d près ce modèle, entre les nnées 0 et 0. Solution ( ) 0, , 04 En écrivnt f( ) = 780e = 0, 04e on otient 0, , une primitive F définie pr : F( ) = 0 04 e. 0, 04, I = f( ) d = F( ) = e , 780 0, 04 0, , 504 0, 64 = ( e + e 0, 04 ) = ( e + e 004, ). I 798. Il s est écoulé 0 ns entre 0 et 0, donc le nomre moyen de rils, en illions, que l on peut espérer découvrir pr n est égl à I, soit environ illions. On remrque que I = f 0 ( ) d, le nomre moyen de rils est donc donné pr l vleur moyenne de l fonction f sur l intervlle ;. D Eercices d pprentissge Eercice Eercice Clculer les intégrles suivntes : A= d q B= e d q C= d 0 t t e D= + d 4 e E= e d F= d ln t t. t Déterminer l vleur moyenne de l fonction f sur l intervlle 0; schnt que f( ) = e. Eercice 4 Soit f l fonction définie sur 0; + pr f( ) = ln +. Vérifier que l fonction F définie sur 0; + pr F( ) = ln+ est 44 Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

44 Eercice 5 une primitive de f sur 0; +. e Clculer l intégrle A= ( ln + ) d. Soit f l fonction définie sur R pr f( )= représenttive dns un repère orthogonl. y e et soit s coure π 0, 0 Dire pourquoi l coure est symétrique pr rpport à l e des ordonnées. On ppelle I( ) l intégrle définie pr I( ) = f( ) d où est un réel 0 positif ou nul. Sur l figure, l ire colorée mesure I( ) en unités d ire. On ne sit ps clculer ectement l intégrle I( ). On donne dns le tleu suivnt des vleurs pprochées de I ( ) pour quelques vleurs de : 0,5,5,5,5 4 I ( ) 0,9 46 0,4 4 0,4 0 0, , , , , En déduire des vleurs pprochées des intégrles suivntes : 0 A= fd ( ) ; B= fd ( ) ; C= fd ( ) ; 4 D = f( ) d ; E = f( ) d. 4 4,5,5 Clculer G = f( ) d et commenter le résultt otenu. Eercice 6 Soit f l fonction définie sur R pr f( ) = ( + e ) et représentée pr l coure dns un repère orthonormé. Etudier le sens de vrition de f. Séquence 6 MA0 45 Cned - Acdémie en ligne

45 Déterminer les réels et pour que l fonction F définie sur R pr F ( ) = ( + ) e soit une primitive de f. Clculer, en unités d ire, l vleur ecte puis une vleur pprochée à 0 près pr défut de l ire A du domine du pln limité pr l coure, l e des scisses et les droites d éqution = et = 4. Clculer f ( ). En déduire que f( ) e pour tout réel. Clculer, en unités d ire, l vleur ecte puis une vleur pprochée à 0 près pr défut de l ire A du domine du pln limité pr l coure, l droite d éqution y = e et les droites d éqution = et = 4. Eercice 7 On considère l fonction f définie sur 0; + pr f( ) = +. On ppelle l coure représenttive de l fonction f dns un repère orthonormé. Etudier le sens de vrition de f sur 0; +. Soit l droite d éqution y = +. Etudier les positions reltives de et de. Représenter et dns le repère orthonormé (unité : cm). Colorier le domine déterminé pr,, les droites d éqution = et = e. Clculer, en cm, l ire du domine. Eercice 8 Voici un tleu indiqunt l réprtition des revenus des ménges d un pys. Lecture du tleu : les 0 % de ménges les moins fvorisés détiennent seulement,8 % du revenu ntionl. On veut clculer l indice de Gini, noté I G, de cette réprtition. L coure de Lorenz correspondnte est trcée sur l figure. Unités grphiques : cm pour 0 unités en scisse, cm pour 0 unités en ordonnée. Déciles Proportion des ménges Revenu cumulé (en %) 0%,8 0% 6,0 0% 0, % 6, % 4,7 6 60%, % 4,5 8 80% 56,5 9 90% 7,8 46 Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

46 00 Revenu cumulé (en %) B coure de Lorenz A Proportion des ménges en % Méthode grphique D près l figure, évluer l ire du domine compris entre le segment [OB] et l coure de Lorenz. En déduire une vleur pprochée du coefficient I G. Méthode utilisnt une intégrle. On dmet que l coure de Lorenz peut être pprochée pr l coure C d éqution y = 0, , 0 et que cette coure est située sous l droite (OB). Donner une éqution de l droite (OB). En utilisnt une intégrle, donner une vleur pprochée du coefficient I G. Que peut-on penser de l réprtition des revenus des ménges dns ce pys? Quel pourcentge du revenu ntionl est détenu pr les 0 % des ménges les plus riches? Séquence 6 MA0 47 Cned - Acdémie en ligne

47 Eercice 9 Une mldie contgieuse s est développée dns une ville. On constté que le nomre f() t de personnes tteintes pr cette mldie t jours près l pprition de celle-ci est tel que f()= t 0t t pour 0 t 0. Clculer le nomre moyen de personnes mldes durnt les di premiers jours. Quel est le jour t 0 où il y le plus de mldes? Quel est le nomre mimum de mldes? Clculer le nomre moyen de personnes mldes durnt l intervlle t 4; t Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne

48 5 Synthèse de l séquence. Aire et intégrle d une fonction continue et positive sur un intervlle Définition L intégrle de à d une fonction f continue et positive sur ; est l mesure de l «ire sous l coure» en unités d ire. ire( ) = f( ) d u.. Théorème y Soit f une fonction continue et positive sur ;, l fonction définie sur ; pr f()d t t est dérivle sur ; et s fonction dérivée est l fonction f. J 0 u K I f. Primitives Définition F est une primitive de l fonction f, continue sur I, si et seulement si f est l fonction dérivée de F sur I. Théorème Toute fonction continue sur un intervlle dmet des primitives sur cet intervlle. Séquence 6 MA0 49 Cned - Acdémie en ligne

49 Propriété 8 Soit f une fonction définie et continue sur un intervlle I. Soit 0 un élément de I et y 0 un nomre réel. Alors il eiste une primitive et une seule de f sur I qui prend l vleur y 0 en 0. On détermine les primitives des fonctions usuelles pr lecture inverse du tleu des dérivées. En prticulier une fonction de l forme u'e u pour primitive l fonction e u. Propriété 0 Primitive et intégrle Soit f une fonction continue et positive sur ; et F une de ses primitives. On lors : ft () d t= F ( ) F ( ).. Primitives et intégrle d une fonction continue On définit l intégrle de à d une fonction f continue de signe quelconque en générlisnt l églité précédente qui sert lors de définition de l intégrle à prtir d une primitive. Définition 4 Soit f une fonction continue sur un intervlle I et F une de ses primitives sur I, les nomres et sont dns I. L intégrle de à de l fonction f est définie pr : ft () d t= F ( ) F ( ). Dns les propriétés suivntes, les fonctions sont continues sur un intervlle I, les nomres réels, et c sont dns I, les nomres α et β sont deu réels quelconques. Pour l reltion de Chsles, l positivité, les comprisons et les inéglités de l moyenne, il est utile d voir une vision géométrique en pensnt u «ires sous les coures». 50 Séquence 6 MA0 Cned - Acdémie en ligne