Chapitre 3. Pourcentages. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. relier évolutions et pourcentages

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1 Chapire 3 Pourcenages Objecifs du chapire : iem références auo évaluaion relier évoluions e pourcenages éudier des évoluions successives calculer le aux d évoluion réciproque 19

2 I lien enre une évoluion e un pourcenage I - 1) définiion : définiion e héorème désigne un nombre sricemen posiif. Une grandeur passe de la valeur posiive à la valeur posiive x On di que cee grandeur a augmené de % si x 1 = + 2. On di que cee grandeur a diminué de % si x 1 = exemples : * Le lire de gasoil es à 1,28 e. Il augmene de 10%. Son prix devien : 1, , 28 = 1, , 128 = 1, 408 e * Un panalon coûai 45 eavan des soldes. Il es soldé à -20%. Il coûe après réducion : = 45 9 = 36 e héorème : désigne un nombre sricemen posiif. 1. En passan de la valeur posiive à la valeur posiive x 1, une grandeur a augmené de %. Alors : x 1 = (1 + ) e = x 1 2. En passan de la valeur posiive à la valeur posiive x 1, une grandeur a diminué de %. Alors : x 1 = (1 ) e = x 1 démonsraion : remarque : L égalié 1. Par définiion, on a : x 1 = +, donc x 1 = (1 + ) Cee relaion donne aussi : x 0 = x 1, c es-à-dire : = x 1 2. Par définiion, on a : x 1 =, donc x 1 = (1 ) Cee relaion donne aussi : x 0 = x 1, c es-à-dire : = x 1 = x 1 perme de calculer quand on connaî e x 1. 20

3 I - 2) a) méhode méhode le principe à reenir es le suivan : Prix de dépar Coefficien muliplicaeur = Prix final Dans les exercices, on donnera soi : * le prix de dépar e l augmenaion/diminuion en pourcenage : prix final à rouver * le prix de dépar e le prix final : augmenaion/ diminuion en pourcenage à rouver * le prix final e l augmenaion/réducion en pourcenage : prix de dépar à rouver b) coefficien muliplicaeur Il fau absolumen êre capable de passer à une augmenaion / diminuion exprimée en pourcenage au coefficien muliplicaeur correspondan, e vice versa : augmenaion ou diminuion (%) coefficien muliplicaeur + 25 % k = % k = 1 2 c es une hausse ; 1, 55 1 = 55% k = 1, 55 = 1, 25 = 0, 98 c es une baisse ; 1 0, 47 = 53 % k = 0, 47 c es une hausse ; 3 1 = 2 = 200% k = 3 21

4 c) exemples exemple n 1 : Prix de dépar : 1,28 e ; prix final : 1,402 e ; quelle évoluion? Il s agi d une hausse. Prix de dépar Coefficien muliplicaeur = Prix final Cela donne : 1, 28 k = 1, 402, (en noan k le coefficien muliplicaeur correspondan à cee hausse) ; ce qui revien à : 1, 402 k = 1, 28 = 1, 1 Rese à faire le lien enre un coefficien muliplicaeur e une évoluion en pourcenage : un coefficien muliplicaeur de 1,1 correspond à une hausse de 1, 1 1 = 0, 1 = 10%. exemple n 2 : Prix final : 36 e ; évoluion : baisse de 20 % ; quel prix iniial? Prix de dépar Coefficien muliplicaeur = Prix final Une baisse de 20 % donne un coefficien muliplicaeur égal à : 1 20 = 0, 8 Cela donne : x 0, 8 = 36, (en noan x le prix de dépar recherché) ; ce qui revien à : x = 36 0, 8 = 45 Le prix avan la baisse éai égal à 45 e. II Évoluions successives II - 1) méhode Dans ce ype de problème, on propose des évoluions exprimées en pourcenage les unes à la suie des aures. On peu schémaiser ainsi : Prix de dépar évoluion n 1 Prix n 1 évoluion n 2 Prix n 2... Il suffira d appliquer la méhode vue dans le paragraphe précéden plusieurs fois de suie. 22

5 II - 2) exemple n 1 : exemples De janvier à juin 2010, le prix d un produi a augmené de 20%, de juille à décembre 2010, il a subi une nouvelle hausse de 30%. Ainsi, ce produi a subi deux hausses successives. Le coefficien muliplicaeur associé à la première hausse es égal à = 1, 2 Le coefficien muliplicaeur associé à la deuxième hausse es égal à = 1, 3 Si on noe P 0 le prix en janvier 2010, P 1 le prix en juin 2010 e P 3 le prix en décembre 2010, on a : P 0 1, 2 = P 1 e P 1 1, 3 = P 2 Ainsi, on obien : P 0 1, 2 1, 3 = P 2, c es-à-dire P 0 1, 56 = P 2 Pour passer du prix de janvier 2010 au prix de décembre 2010, on a un coefficien muliplicaeur égal à 1,56, ce qui correspond à une hausse de 56%. On peu résumer par le schéma suivan : La conclusion de ce exercice es qu une hausse de 20% suivie d une hausse de 30% revien à une hausse de 56%. exemple n 2 : Une grandeur augmene de 50% puis baisse de 50%. Le coefficien muliplicaeur associé à la hausse es égal à = 1, 5 Le coefficien muliplicaeur associé à la baisse es égal à 1 50 = 0, 5 Le coefficien muliplicaeur associé à la hausse suivie de la baisse es égal à : 1, 5 0, 5 = 0, 75. Ce coefficien muliplicaeur correspond à une baisse de 25%. Reenir : le coefficien muliplicaeur 1 + ou 1 es un ouil efficace de résoluion de problèmes de siuaions d évoluions successives. 23

6 III Évoluion réciproque définiion : Une grandeur de valeur iniiale non nulle augmene de %, noons x 1 sa nouvelle valeur. Le pourcenage de baisse de x 1, pour que cee grandeur rerouve sa valeur iniiale es appelé pourcenage d évoluion réciproque. remarque : on défini de manière analogue le pourcenage d évoluion réciproque dans le cas d une baisse de %. exemple : Une grandeur de valeur iniiale non nulle subi une hausse de 50%. Noons x 1 sa nouvelle valeur e cherchons le pourcenage de baisse réciproque : * pour passer de à x 1, on muliplie par = 1, 5 * pour passer de x 1 à, on divise donc par 1,5 * chercher à rouver l évoluion de x 1 à, c es chercher par combien on doi muliplier x 1 pour obenir * or, diviser par 1,5 revien à muliplier par son inverse, c es-à-dire par 1 1, 5 = 2 3 0, 67 * on a rouvé le coefficien muliplicaif permean de passer de x 1 à : environ 0,67, ce qui correspond à une baisse de 1 0, 67 = 0, 33 = 33% Conclusion : l évoluion réciproque d une hausse de 50% es une baisse d environ 33%. hausse de 50% 1, 5 x 1 x 1 1, 5 ce qui revien à 0, 67 baisse d environ 33% 24

7 IV Pourcenages d évoluion e indices Le ableau ci-dessous donne le cours annuel d un produi à New-York (en dollars par onne) de janvier 2010 à mars Mois Janvier Février Mars Cours Nous allons dresser un ableau permean d avoir rapidemen le pourcenage d évoluion pour chaque mois par rappor au premier mois, c es-à-dire janvier. Noion d indice : On choisi comme mois de référence le mois de janvier e on ramène à le cours de ce mois. Rese à compléer ce ableau en respecan les proporions. Mois Janvier Février Mars Cours Indice D après ce ableau, l évoluion enre Janvier e Février es une baisse de 4%. L évoluion enre Janvier e Mars es une hausse de 4%. remarques : * Il n es pas indispensable de mere en place des indices pour déerminer des pourcenages d évoluion. * L uilisaion d un indice (presque oujours un indice fixé à un momen donné) perme une lecure plus aisée du ableau, en donnan noammen par simple lecure cerains pourcenages d évoluion. 25