Chapitre 10 : La mécanique ondulatoire

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1 Capitre : a mécaniue ondulatoire Eercice E. On peut aocier le epreion claiue du module de la uantité de mouvement et de l énergie cinétiue au moyen de l epreion p m. Puiue la longueur d onde de Broglie aociée à une particule eprime par λ p, on trouve la longueur d onde aociée à un électron en fonction de on énergie cinétiue en combinant le deu epreion : λ p m (6,66 34 ) 4,9 9 m J / (9, 3 ) Si on veut pouvoir inérer une valeur de l énergie cinétiue en électronvolt, on doit multiplier ce réultat par le facteur adéuat. Aini λ 4,9 9 m J /,6 9 J λ,3 CQFD Dan ce réultat, eprime en électronvolt et λ en nanomètre. E. énergie cinétiue de l électron et donnée par e V, Grâce à l eercice, on ait donc ue la longueur d onde aociée et donnée par : λ m me V 6,66 34 (9, 3 )(,6 9 ),6 9 m V λ,5 V CQFD Dan ce réultat, V eprime en volt et λ en nanomètre. E3. On utilie le réultat de l eercice et on obtient,5 λ, nm E4. (a) On utilie le réultat de l eercice et on obtient V λ,3 nm ev/ ev,87 nm (b) a longueur d onde du proton et donnée par l epreion uivante, obtenue par un raionnement imilaire à celui ui a conduit à la olution de l eercice : λ m 6,66 34 J µ,6 (,67 7 kg)( ev) 9 J E5. (a) On utilie l éuation. et on obtient,3 nm λ p mv 6,66 34,397 nm (,67 7 )( 3 ) (b) λ mv 6,66 34,397 pm (,67 7 )( 6 ) E6. a longueur d onde du proton et donnée par l epreion uivante, obtenue par un raionnement imilaire à celui ui a conduit à la olution de l eercice : v3 Onde, optiue et pyiue moderne, Capitre : a mécaniue ondulatoire

2 λ m 6,66 34 J µ,6 (,67 7 kg)(,4 ev) 9 J,43 nm E7. Pour trouver la largeur de la fente, on doit d abord trouver la longueur d onde aociée àlaparticule,oit λ p mv 6,66 34 ( 3 )( ) 6,66 3 m a largeur de la fente et donnée par l éuation 7., dan lauelle M : a λ in θ 6,66 3 in(,5 ) 7,59 3 m Non, cette epérience n et pa réaliable. Il n eite pa, même elon le téorie connue de la matière, de ituation offrant une fente de cette largeur et le moyen d oberver la diffraction ui y produirait. E8. énergie du poton, ui peut être aimilée à de l énergie cinétiue, et donnée par l éuation 9.8 : poton f c λ (6,66 34 )(3 8 ) 5 9,6 9 J poton 48 ev En utiliant le réultat de l eercice, on obtient l énergie cinétiue de l électron : λ,3 électron électron,3 nm ev /,3 nm ev / électron 6,5 ev λ 5 nm E9. (a) On utilie l éuation 9.8 et on obtient, pour λ m E f c λ (6,66 34 )(3 8 ),4 kev,6 9 J (b) Pour λ 5 m, on trouve E c λ (6,66 34 )(3 8 ) 5,6 9 J,4 GeV E. On utilie l éuation. et on obtient λ p mv v mλ E. On utilie l éuation.4 et on obtient λ me V V me 6,66 34, km/ (9, 3 )(6 9 ) λ (,67 7 )(,6 9 ) E. On utilie l éuation.4 et on obtient la longueur d onde de électron : λ me V 6,66 34,53 nm (9, 3 )(,6 9 )(65) 6,66 34, 8, kv Diffracté par une cible de Nickel, le électron créeront ur un écran une figure de diffraction dont le premier maimum (n )a une poition angulaire donnée par l éuation.5 : φ arcin λ D arcin,53,5 45, E3. (a) On utilie le réultat de l eercice et on obtient, pour i 8eV Onde, optiue et pyiue moderne, Capitre : a mécaniue ondulatoire v3

3 ,3 nm ev/ λ 8 ev,38 nm (b) Pour f (8eV)+(eV), on trouve λ,3 nm ev/,3 nm E4. On utilie l éuation. et on obtient λ p mv v mλ E5. (a) On utilie l éuation. et on obtient λ p mv v mλ 6,66 34 (9, 3 )(, 9 ) 7,6 6 m/ 6,66 34 (9, 3 )(,53 9 ),37 7 m/ (b) a valeur trouvée à l eercice 4 du capitre 9 et de v Bor,9 6 m/, et le rapport de ce deu uantité éuivaut à v (a) v Bor,377,9 6 v (a) v Bor π E6. Par le principe de conervation d énergie, on ait ue le gain d énergie cinétiue de l électron égale la perte d énergie potentielle électriue. Aini, on peut eprimer a vitee ke comme v mr. À une ditance r, nm du proton, la longueur d onde de l électron et alor de λ mv mp mr ke λ p r r 6,66 34, 9,34 nm mke (9, 3 )(9 9 )(,6 9 ) E7. On cerce la ditance entre deu raie emblable, en fonction de la longueur d onde telle ue y λ d et λ m, de orte ue y d ( m)(6,66 34 J ) m µ,6 ( 4 m) (,67 7 kg)(,4 ev) 9 J,87 µm E8. (a) Un proton enfermé dan un puit de potentiel d une largeur 4 mpoède de niveau d énergie donné par l éuation., E n n. On obtient donc 8m E () (6,66 8m ) 8(,67 7 )( 4 ) E 3,9 3 J E () () (6,66 34 ) 8m 8(,67 7 )( 4 ) E,3 J (b) a fréuence du poton émi par un paage du proton de E à E etdonnéepar l éuation 9.8 : f E E E (,3 ) (3,9 3 ),49 6,66 Hz 34 Ce poton e trouve dan la portion gamma du pectre électromagnétiue. E9. (a) Un électron enfermé dan un puit de potentiel d une largeur, 9 mdipoe de niveau d énergie donné par l éuation., E n n. On obtient donc 8m E () (6,66 34 ) E 8m 8(9, 3 )(, 9 ),6 9 J 37,7 ev v3 Onde, optiue et pyiue moderne, Capitre : a mécaniue ondulatoire 3

4 E () () (6,66 34 ) 8m 8(9, 3 )(, 9 ),6 9 J E 5 (b) a longueur d onde du poton émi par un paage de l électron de E à E et donnée par l éuation 9.8 : λ c E c E E (6,66 34 )(3 8 ) µ,6 ((5) (37,7 ev)) 9 J, nm E. On utilie l éuation., E n n, et on calcule la largeur du puit, pour 8m n 4, ce ui donne 4 8mE4 4(6,66 34 ) µ,6 8(9, 3 )(5 ev) 9 J, nm E. On cerce E poton E 3 E. Avec l éuation., on calcule E poton (3) () (6,66 34 ) 8m 8m m (9, 3 )(, 9 ),6 9 J 75,6 ev Ce poton e trouve dan la portion de rayon X du pectre électromagnétiue. E. On poe l égalité uivante, pour n : mv n 8m mv 8m v m 6, ,64 m/ (9, 3 )( 4 ) E3. (a) On donne E () 8m ev. Au moyen de l éuation., on peut écrire ue E n n E, donc E () E 8, ev. (b) a largeur du puit et aui donnée par l éuation. : () 8mE () (6,66 34 ) µ,6 8(9, 3 )(, ev) 9 J,37 nm E4. (a) On utilie l éuation. avec n, ce ui donne E () (6,66 34 ) 3,77 GeV 8m 8(9, 3 )( 4 ),6 9 J (b) électron n a pa l énergie uffiante pour être au cœur du noyau, cet état et donc impoible. E5. éuation.3 établit ue l incertitude ur le module de la uantité de mouvement et upérieure ou égale au uotient de la contante de Planck et de l incertitude ur la poition, oit p 6,66 34 p p 6,63 4 kg m/, E6. électron pouvant e trouver n importe où dan le puit de largeur, l incertitude ur la poition correpond à, et on peut calculer comme uit l incertitude ur le module de a uantité de mouvement : p 6,66 34 p p 3,3, 4 kg m/ 4 Onde, optiue et pyiue moderne, Capitre : a mécaniue ondulatoire v3

5 E7. (a) Avec l éuation.4, on calcule l incertitude ur l énergie de l état ecité, mai avec une incertitude ur le temp ui correpond à la durée de vie, oit E t E 6,66 34 E 6,63 6 J 8 (b) incertitude ur la fréuence du poton émi et donnée par f E f 6,63 6 J f, 8 Hz 6,66 34 J E8. (a) On utilie l éuation.3 avec r, 4 et on obtient p 6,66 34 p p,66 (, 4 ) kg m/ (b) Si le module de la uantité de mouvement du proton et égal à l incertitude ur a meure trouvée en (a), l énergie mécaniue du proton prend la valeur uivante mv p m (,66 ) (,67 7 ),56 MeV,6 9 J E Jalorλ m,8 pm E3. 4,8 9 Jalorλ m,79 nm E3. (a) λ m 5 (b) E c λ,4 kev (,67 7 ) E3. λ p m (6,66 34 ) λ,45 m J /,6 9 J λ,86 CQFD Dan ce réultat, eprime en électronvolt et λ en mètre. E33. k π λ 4,7 rad/m λ,33 m p λ 4,98 4 kg m/ E34. On donne E () 3,4 ev. Au moyen de l éuation., on peut écrire ue 8m E n n E, donc E () E 3,6 ev E35. E () 8m 9 kev E36. E n n 8m n 6,4 8 J et f E. Pour le troi premier niveau, on obtient, de n à n, f,73 6 Hz de n 3à n, f 3 4,55 6 Hz de n 3à n, f 3 7,7 6 Hz E37. Dan le logiciel Maple, on donne une valeur unitaire à A et. On définit l epreion de la fonction d onde donnée à l éuation. et la denité de probabilité ψ pour le troi premier état (n,, 3). On uperpoe enuite le grape de ce troi epreion de denité de probabilité : v3 Onde, optiue et pyiue moderne, Capitre : a mécaniue ondulatoire 5

6 > retart; > :; A:; > pi:a*in(n*pi*/); > d:ub(n,pi)^; > d:ub(n,pi)^; > d3:ub(n3,pi)^; > plot({d,d,d3,..); E38. p mv,8 3 kg m/, mai p. Donc, p,33 3 kg m/ et p p,73 % E39. (a) f E 5,43 4 Hz (b) t E E t f t f 7,69 6 Hz E4. p E c,667 7 kg m/ λ p 6, 7 m Problème P. (a) À bae énergie, on utilie le epreion claiue, comme à l eercice, et on y arrive facilement, pour une particule de mae m, à λ m CQFD (b) Au problème 3 du capitre 8, on a montré u en ituation relativite, c et-à-dire à aute énergie, p m +. c Aini, la longueur d onde de la particule eprime comme λ r m + c r m c c + Si, comme on le prétend dan la donnée, À m c, on peut négliger le terme de gauce ou le radical et λ c CQFD P. Si l électron poède une énergie totale E MeV, a longueur d onde et donnée par l éuation relativite démontrée au problème précédent. Si on néglige l énergie au repo de l électron (E ), ontrouve λ c (6,66 34 J )(3 8 m/) µ,6 ( MeV) 9 J 6, 5 m P3. (a) On trouve le module de la uantité de mouvement à l état fondamental du modèle de Bor en combinant le éuation 9. et 9.3, et en poant n : p mv n r p πmke n π(9, 3 )(9 9 )(,6 9 ) ()(6,66 34 ),99 4 kg m/ (b) On poe p p et on trouve l epreion de l incertitude ur la poition ue l on compare au rayon de l orbite fondamentale : et r,65 nm πr 4πmke 4π mke Bor 6 Onde, optiue et pyiue moderne, Capitre : a mécaniue ondulatoire v3

7 P4. Pour démontrer ue A àun: R ψ R d A R co A [ + A 4nπ, on intègre le carré de la fonction d onde et on le poe égal A in R d d A in A A R d + A R A in d co d A + 4nπ (in (nπ) in ()) CQFD P5. On utilie le réultat du problème précédent et on obtient la probabilité P en calculant l intégrale du carré de la fonction d onde pour n,entrelebornefiée : 3/4 R P A in 3/4 R d A co d /4 /4 3/4 P A [ 3/4 /4 + A 4nπ in /4 P π in π(3) 4 in π 4 π in 3π in π P π ( ) π,88 P6. Dan le puit de potentiel de la figure.a, le condition au limite à pour ψ et dψ d ψ I ψ II dψ I d écrivent, pour la olution générale : dψ II d (i) (ii) e olution propoée ont la forme ψ I Ae et ψ II C in (k)+d co (k), eton le inère dan le éuation (i) et (ii) en évaluant à. Avec l éuation (i), on obtient Ae C in () + D co () A D Avec l éuation (ii), on obtient Ae Ck co () Dk in () A Ck C A k CQFD P7. éuation d onde normaliée d une particule confinée dan une zone de longueur et généralement repréentée par ψ in,oùn repréente le niveau d énergie. Cette éuation décrit bien ce ui e pae dan une zone ue l on a préalablement bornée de à. Toutefoi, i la zone et bornée de à, la fonction ui remplit le condition au limite (voir le problème 6) et ui décrit le mieu cette onde et un coinu. a fonction coinu et paire de part et d autre du domaine, ce ui et éuivalent à ymétrie ue poède la fonction inu entre et π. Aini, la fonction d onde normaliée pour le troi niveau d énergie le plu ba et donnée par ψ n co,danlauelle v3 Onde, optiue et pyiue moderne, Capitre : a mécaniue ondulatoire 7

8 n,,3. P8. On ubtitue E,5U dan k et k,etoncalculer: " # i " 3mU mu R k k k +k ( 3 ) mu 3mU + mu ( 3+) mu # 3 + 7,8 3 P9. On remplace U par mω dan l éuation. et on introduit la olution propoée, oit ψ Ae B : ψ + m B Ae (E U) ψ ψ + m E mω ψ + m E mω B Ae 4AB AB e B m ω A mae e B Comme ce réultat doit toujour être vrai,on peut affirmer ue le facteur ui apparaient de part et d autre de cette égalité ont égau, donc 4AB m ω A 4B m ω B mω AB mae me B E B m E ω CQFD Si on compare la olution ψ Ae B à la ditribution normale, on note ue B σ, où σ correpond au carré de l écart-type. Aini, B repréente la largeur, à mi-auteur, du pauet d onde ue décrit cette ditribution normale. P. (a) e niveau fondamental et tel ue n + n + n 3, ce ui peut être obtenu avec 3 combinaion où le n i ont entier : {n,n,n 3 {(,,),(,,),(,,) (b) e premier niveau ecité et tel ue n + n + n 3, ce ui peut encore être obtenu avec 3 combinaion où le n i ont entier : {n,n,n 3 {(,,),(,,),(,,) P. a fonction d onde d une particule dan le n ième état et donnée par l éuation., dan lauelle A, ψ in. Pour obtenir la valeur moyenne du carré de la poition, on appliue directement la métode propoée. Comme la fonction d onde n eite u à l intérieur de la boîte, le borne de l intégrale ont ajutée : R R ψ d in R d in d R co R R d d co d 3 3 R co d 3 R co d On laie le oin à l étudiant de calculer la econde intégrale, en appliuant deu foi la 8 Onde, optiue et pyiue moderne, Capitre : a mécaniue ondulatoire v3

9 métode d intégration par partie afin d obtenir, pour la primitive : 3 3 4n π 8n 3 π 3 in + n π co 3 () co (nπ) n π 3 n π 3 n π CQFD P. (a) Comme on conidère une olution pour l ae de poitif à l intérieur de la barrière de potentiel (voir la figure.3), la fonction d onde ψ doit e comporter comme une eponentielle décroiante. On élève au carré le rapport de la fonction d onde ψ III évaluée de deu côté de la barrière, et cette epreion correpond au facteur T : T ψiii () ψ III () Be T e Be CQFD Comme on le mentionne dan la donnée, le réultat et approimatif parce u on néglige la réfleion interne de la fonction d onde à la barrière. m(u E) (b) On donne,, nm, U ev et E 5eV, ce ui permet d évaluer T : r m(u E) T e e T e (, 9 m) v µ,6 u t (π) (9, 3 kg)(() (5 ev)) 9 J (6,66 34 J ) T e 7,45 7,4 4 v3 Onde, optiue et pyiue moderne, Capitre : a mécaniue ondulatoire 9

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