PHYS-F-101: correction pour la séance 10

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1 PHYS-F-101: coection pou la séance 10 Thomas Eneux décembe 2009 Execice 1: Execice 2: Execice 3: x U 0 = v = b 2 +x 2 dv = 2xdx x U 0= Cx 3 dx= C 0 4 (x4 0) x C U 0= x 2dx=C(1 x 0) ax v (b 2 +x 2 ) 3/2dx= a 2 dv v 3/2 = a 2 [ v 1/2 1/2 ] v ( ) 1 =a b 2 +x 2 0 Execice 4: U(x,y)= A (x 2 +y 2 ) 1/2 F x = U x = 1 A2x 2(x 2 +y 2 ) = Ax 3/2 (x 2 +y 2 ) 3/2 F y = U y = 1 A2y 2(x 2 +y 2 ) = Ay 3/2 (x 2 +y 2 ) 3/2 Execice 5: U x = 2 U y = 5 1

2 U(x,y) = 2x+5y+C U = 2( 2)+5(11) [ 2(3)+5(5)] = =32 Execice 7: Enbasdelaampe, v 0 = 2gh= 2g 0,4. Consevation de l énegie v=0 mv = mv2 x 2 + F f dx 0 Execice 9: Note: mv = µ 2 c mgdx 0 h = µ c 0,83 0,4 = µ c 0,83 µ c = =0.48 F = GMm = mv2 2 GM v ob = C est la vitesse du satellite en obite. (1) : E c = m 2 v2 ob (2) : E p = GMm (3) : E m =E c +E p = m 2 GM GMm = 1 GMm 2 (4): On pat du pincipe selon lequel l énegie mécanique d un cops est constante au cous du temps. À la distance, la vitesse du cops est la 2

3 vitesse de libéation. À une distance infinie, sa vitesse et son énegie potentielle de gavitation sont nulles. Son énegie mécanique est donc nulle: E m = m 2 v2 GMm =0. L énegie cinétique de libéation est donc telle que E c = m 2 v2 > GMm. Note que l on péfèe pale de vitesse de libéation (définie comme une gandeu scalaie) 2GM v>v lib = Note: la vitesse de libéation est pa définition la vitesse nécessaie pou se soustaie complètement à la gavité d un planète. Elle est plus élevée quelavitessedemiseenobite(lecopsenobitesubitencoelagavitéde cops en question). Réponse aux questions Execice 10: L énegie mécanique du satellite Execice 11: E c = (6 103 ) 2 E p = 150( ) 2 E m = (6 103 ) 2 E lib = 150( ) 2 E m (R T ) = 1 GMm 2 2R T E m (1.5R T ) = 1 GMm 22.5R T GMm E = GMm 22.5R T 2 2R T = 1 GMm 0.5 = R T 20 3 GMm R T

4 Pa consevation de l énegie mécanique E m = mv2 2 GMm = mv2 0 2 GMm 0 et donc v 2 v 2 0 =2GM ( ) Note: palaloidenewton ma = m dv dt = GMm 2 dv = GM dt 2 d = GM dt 2 v dv = GM d 2 dv d v 2 v = GM( ) v 2 v 2 0 = 2GM( ) ( 1 v0 2 = v 2 2GM 1 ) 5R T R T = ( ) 2 + 8GM =( ) R T 5 gr T = , = 137, v 0 = 11,74km/s Execice 12: Puissance d un moteu La puissance mécanique d un moteu dépend du couple qu il développe etdesavitessedeotation. LapuissanceP estcalculéed apèslafomule de base P =ωt (1) oùp estlapuissancemécaniqueenwatts[w],ωestlavitesseangulaie,en adians pa seconde [1/s], et T est le couple en newton-mètes[n.m]. Une 4

5 V D 2 5N F 2 n=1700 /min D 1 25N F 1 =0.1 m Figue 1: aute fomule déivée de la fomule(1) est paticulièement utile losque la vitesse de otation est expimée en tous pa minute: P = nt 9.55 (2) oùp estpuissancemécaniqueenwatts[w],t estlecoupleennewton-mètes [N.m],nestlavitessedeotation,entouspaminute[/min],et9.55est un facteu tenant compte des unités[= 30/π]. Pou mesue la puissance d un moteu, on peut utilise un fein de Pony quiestcomposéd unecouoieetdedeuxpesonsàessotd 1 etd 2 (Figue). LacouoieesttenueseéesulapouliepalavisV. Quandlemoteun estpasenmache,lesdeuxpesonsdonnentlamême lectue et l effot tounant su la poulie est nul. Cependant, quand le moteu tounedansle sens hoaie commedanslafigue, lafoceindiquée pa D 1 dépassecelleindiquéepad 2. Sousl actiondesdeuxfocesf 1 etf 2,lapoulie deayonestsoumiseàdeuxcouplesf 1 etf 2 agisantensensinvese. Le couple net développé sea: T =(F 1 F 2 ) newton-mètes (3) Sionconnaîtlavitessedeotationn,onpeutendéduielapuissancedu moteu. Exemple 5

6 e 2 α e 1 α Figue 2: UnessaidefeindePonyestfaitsuunmoteuélectique. Lespesons indiquentespectivementdesfocesde25netde5n.lemoteutouneà 1700 /min et le ayon de la poulie est de 0.1 m. Calcule le couple et la puissance développées pa le moteu. Lecoupledumoteu=(25 5) 0.1=2N.md oùmapuissancep = nt/9.55=1700 2/9.55=356watts(soit0,48hpenvion). Execice 13: UnenfantglissesuunigloodeayonR. Note: les equations du mouvement en coodonées polaies Lafiguemontelesvecteusunitaiese 1 e 2. Notonsque Nous déteminons les déivées et concluons que e 1x = cos(α), e 1y =sin(α), e 2x = sin(α), e 2y =cos(α). e 1x = sin(α)α =α e 2x, e 1y=cos(α)α =α e 2y e 2x = cos(α)α = α e 1x, e 2y= sin(α)α = α e 1y e 1 = α e 2, e 2 = α e 1. Pou obteni l accélèation, nous patons de l équation pou la position =e 1. 6

7 Nous calculons d abod la vitesse Nous calculons ensuite l accéléation et touvons v = = e 1 +e 1 v = e 1 +α e 2 a = e 1 + e 1+ α e 2 +α e 2 +α e 2 a = e 1 + α e 2 + α e 2 +α e 2 +α ( α )e 1 a=( α 2 )e 1 +(α +2 α )e 2 Les equations du mouvement sont dès los m( α 2 ) = F, m(α +2 α ) = F α. Deux cas paticulies impotants:f 1. PouunmouvementcentalF α =0etdonc α +2 α =0. Cetteconditions intègepoudonne 2 α =const(loidesaiesoumouvement cinétique constant). 2. Pouunmouvementciculaie =0et m( α 2 ) = F m(α ) = F α Pou le poblème de l enfant glissant su l igloo, les equations du mouvemententemesdel angleθmesuéàpatidelaveticaleetallant danslesenshoaie(θ=π/2 αetf θ = F α )sontdelafome m( θ 2 ) = F m(θ ) = F θ Lesfocesenactionsontmontéesdanslafigue3. Nousobtenons suivant : mrθ 2 =F n mgcos(θ) suivantθ : mrθ =mgsin(θ) 7

8 F n θ Fp θ Figue 3: Deux foces agissent su l enfant: la foce poids et la foce de éaction nomale. L enfant quitte l igloo losque la foce de éaction devient nulle. 8

9 et donc θ g R sin(θ) = 0 F n = mrθ 2 +mgcos(θ) Integant l équation pou θ(équivalent au théoème de l énegie), nous touvonsθ 2 : θ θ g R θ sin(θ) = θ 2 + g R cos(θ) = C 1 2 θ 2 + g R cos(θ) = g R L équationpouf n peutsesimplifiecomme θ 2 = 2g R (1 cos(θ)) F n = mr 2g R (1 cos(θ))+mgcos(θ) = mg(3cos(θ) 2). L enfantdécolledel igloolosquef n =0cequidonne cos(θ d )= 2 3 ouθ d=