LP 05 Approximation gyroscopique. Effets dans les domaines macroscopiques Et microscopiques.

Transcription

1 LP 5 Appximatin gyscpique Effets dans les dmaines macscpiques Et micscpiques ntductin: Nus allns aujud'hui nus sevi des ésultats généaux de la mécanique newtnienne pu étudie le muvement d'un slide ayant pu unique degés de libeté les tis muvement de tatin autu d'un pint O Pa ailleus, nus définins en qui cnstitue l'appximatin gyscpique et étudiens en qui sn cmptement peut ête qualifié de paadxal, à cetains égad Enfin nus vens quelques unes des multiples applicatin de cette étude A) Etude du muvement ) Psitin du pblème et ntatins: Cmme exemple de slide pssédant ces tis degés de libeté, penns une tupie (Mnte) On bseve dans sn muvement tis types de tatin: - la tatin ppe, c'est-à-die la tatin du slide autu de sn axe de évlutin - la péces, c'est à die la tatin de cet axe autu de la veticale - la nutatin, c'est à die la vaiatin de l'angle que fait cet axe avec la veticale Ainsi il est natuel d'intduie pu décie le pblème les angles d Eule: Cf Pee tanspaent déjà fait pa Mntuge L'angle est l'angle de tatin ppe, l'angle cespnd à la péces, et l'angle taduit la nutatin à En patant des cnsidéatins faites su la tupie, n a dnc ω S / ez eu ez Pu bteni le vecteu tatin dans la base liée à, n dit expime les vecteus e u et e z dans cette base On vit immédiatement que eu ex cs ey, ez ez cs ev avec e cse e, d'ù n tie que: v y x ω S / c cs cs cs Pa ailleus, pu des slides ayant la symétie de évlutin, il peut ête cmmde de se e e, e liés au slide: place dans la base de ésal, définie pa les vecteus ( ) ω S / e cs u, w z, dnt le vecteu tatin pa appt à vaut ω e eu ez Dans tutes la suite nus cnsidéens un slide de évlutin lié en O pa une liaisn pafaite (c'est-à-die dnt le mment en O sea nul et qui ne dissipea pas d'énegie) /

2 ) Etude du muvement: Ecivns le théème du mment cinétique pu un slide matéiel de évlutin, sumis à une fce en sn cente de masse C qui peut ête difféent de O et dnt le mment pa appt à O est diigé seln la ligne des nœuds Ou Pa exemple, un slide sumis à sn pids cespnd à la desciptin pécédente Nus ne cnsidéens dnc dans un pemie temps que le pids du slide Cmme le slide à la symétie de évlutin, sa matice d'inetie s'écit dans la base de ésal Ntns que c'est la symétie de évlutin qui fait que la matice est diagnale dans cette base cmme dans la base liée au slide Ox'y'z' Le mment cinétique du slide en O a dnc pu expes: L cs cs /, et sa déivée dans la base de ésal s'écit / L dl dl e e ω, sit: dl cs cs cs Pa ailleus, le mment du pids en O s'écit, dans la base de esal cs mg l, ce qui mène aux tis équatins du muvement: cs cs cs cs cs d mgl

3 Examinns l'intepétatin physique de ces tis équatins La tisième taduit immédiatement la cnsevatin de la cmpsante du mment cinétique seln l'axe z, ce qui est nmal, étant dnné que nus cnsidéns la liaisn cmme pafaite et que le mment du pids est thgnal à cette diectin Si l'n multiplie l'équatin pa d, n btient ω z, sit ω z cs LO, z cste Cette équatin taduit dnc la cnsevatin du mment cinétique seln l'axe vetical, ce qui était pévisible pu les mêmes aisns Enfin n peut mnte que la pemièe équatin taduit la cnsevatin de l'énegie, le système n'étant sumis qu'à des fces cnsevatives (n suppse la liaisn pafaite) ) Appximatin gyscpique: Cette appximatin cncene les slides de évlutins On dit que le muvement d'un slide ayant la symétie de évlutin autu d'un pint fixe satisfait à l'appximatin gyscpique si sa vitesse de tatin ppe est tès gande devant tutes les autes vitesses de tatin Ceci s'expime pa >>,, et se taduit pa ω S / ω S / e z Le mment cinétique vaut als LO, ez éécivns als les équatins du muvement dans le cade de cette appximatin: Le théème du mment cinétique s'écit als: dlo mgl OC mg L ez, puisque le mment cinétique est patiquement pté pa LO OC On peut tie als deux lis de cnsevatin fndamentales de cette équatin vectielle: - la cnsevatin de la nme du mment cinétique ttal en la multipliant scalaiement pa L O, ce qui se déduisait aisément également de la cnsevatin de la pjectin du mment cinétique seln z'dans le cas généal - la cnsevatin de la cmpsante veticale du mment cinétique, ce qui n'est pas spécifique de l'appximatin gyscpique mais tient à la diectin des fces appliquées Ceci a une cnséquence imptante su la natue du muvement : le mment cinétique pécesne dnc autu de l'axe vetical, et cmme celui-ci est nécessaiement pté pa l'axe de tatin ppe, ceci signifie que l'axe de évlutin du slide décit au cus du muvement un cône d'axe Oz défini pa la diectin du champ de pesanteu et de demi angle au smmet Pa ailleus, le slide ne pésente plus de muvement de nutatin: écivns en effet la secnde équatin du muvement généal dans l'appximatin gyscpique On btient La vitesse de tatin ppe ne puvant ête nulle, n en déduit qu'il n'y a pas de nutatin On peut dans cette appximatin tie un cetains nmbe de ésultats liant les diveses gandeu Si n éécit la pemièe équatin du muvement dans l'appximatin

4 gyscpique, n btient mgl, ce qui nus pemet de tie la vitesse de mgl mgl péces e z ez L Cette analyse explique pa ailleus bien le cmptement appaemment paadxal du gyscpe, et plus généalement de tut bjet dnt le muvement satisfait à l'appximatin gyscpique En effet, le ésultat pécédent mnte que l'effet d'une fce veticale est de faie pécesse le gyscpe, c'est-à-die qu'elle à pu effet de déplace le cente de masse dans une diectin hizntale Ce cmptement diffèe adicalement d'un bjet sans tatin ppe qui se cmpte als cmme un pendule pesant Ce ésultat peut ête généalisé: cnsidéns que l'n applique pendant un temps t une fce F On a als, d'apès le théème du mment cinétique LO OC FO t, pependiculaie à la fce appliquée O dans le cade de l'appximatin gyscpique, la diectin du mment cinétique est ptée pa l'axe de tatin ppe, ce qui implique que, apès l'actin de la fce, l'axe de tatin ppe va s'aligne avec la diectin du nuveau mment cinétique : l'actin d'une fce su un bjet dnt le muvement satisfait à l'appximatin gyscpique est de déplace l'axe de tatin ppe dans une diectin pependiculaie à la diectin de la fce C'est ce qui explique pa exemple que lsque l'n se penche su un vél, celui-ci a tendance à tune lsque l'n ule : le pids execé induit en effet un mment hizntal pependiculaie à l'axe de tatin ppe de la ue, qui va dnc cheche à s'aligne avec ce nuveau mment Ce cmptement paadxal et l'appximatin gyscpique est à l'igine de nmbeuses explicatins et applicatins Nus allns en étudie quelques-unes B) Applicatins: ) Gyscpe: Un gyscpe est un slide de évlutin tunant à gande vitesse autu de sn axe de évlutin et suspendu pa sn cente de masse de façn pafaite Une de ses éalisatins technlgiques est ce que vus avec devant vus, qui a l'avantage de puvi ête déséquilibé, c'est-à-die d'avi sn cente de masse et sn cente de tatin distincts u équilibé Une aute éalisatin est la éalisatin pa liaisn à la Cadan Peez p57 Tutes ses ppiétés déculent als de l'applicatin du théème du mment cinétique en dl O: O si la liaisn est pafaite Pa appt à un éféentiel galiléen, le mment cinétique du gyscpe va dnc ête cnstant, et dnc la diectin de sa tatin ppe également Cette ppiété est mise à pfit dans les situatins ù le éféentiel galiléen cnsidéé est le éféentiel de Cpenic: - il peut sevi à stabilise une tajectie En effet, embaqué su un véhicule (avin, navie ), il va indique une diectin cnstant pa appt aux étiles, et si ce denie

5 change de tajectie, als le gyscpe va tune pa appt au véhicule Un système adéquat peut dnc pemette de edesse la tajectie du véhicule Ce système pésente l'avantage pa appt à une bussle de n'ête pas sumis aux aléas du champ magnétique (petubatins pa une masse métallique, cectin pa appt au nd gégaphique ) - l peut mette en évidence la tatin de la Tee En effet, cmme le gyscpe est fixe dans le éféentiel de Cpenic, la Tee va tune autu de sn axe avec un vecteu tatin Ω Pa cnséquent, un bsevateu fixe dans le éféentiel teeste va vi l'axe du gyscpe pécesse autu de l'axe de tatin de la tee avec une vitesse angulaie Ω ) Gycmpas: Un gycmpas est un gyscpe cnstitué seln le type Cadan Pu cmpende sn fnctinnement, n dit pende en cmpte les fttements du suppt su le gyscpe Suppsns le gyscpe fixe dans le éféentiel de Cpenic et sn suppt lié à la tee Celui-ci tune avec une vitesse de tatin diigée seln l'axe de tatin de la tee, et la liaisn va dnc impse pa fttement un cuple en O diigé seln la même diectin Le gyscpe va dnc avi tendance à s'aligne seln cette diectin : il va dnc indique la diectin du vecteu tatin de la Tee pa appt au éféentiel de Cpenic Dans un pemie temps, n détemine la diectin du méidien: n impse à l'axe du gyscpe d'ête hizntal en blquant l'anneau A hizntal L'axe, qui va tende à s'aligne avec Ω, va s'immbilise als en int m dans le plan méidien fmé pa Ω et la veticale du lieu Ensuite n lui impse de este dans un plan vetical en blquant cette fis A ext L'axe va als s'iente seln Ω, et n en déduit als la latitude du milieu pa l'angle m, Ω Le gycmpas est un instument pécieux pu l'ientatin, ntamment dans les véhicules dnt la masse métallique exclut l'usage d'une bussle magnétique ) Péces des équinxes: On sait que le Sleil semble ête dans le plan équatial teeste deux fis dans l'année, c'est-à-die au mment des équinxes Cependant, n bseve une lente vaiatin de la psitin appaente du sleil à chaque pintemps, phénmène appelé péces des équinxes Ce phénmène est attibué à la nn sphéicité de la Tee, qui essemble en fait à une sphèe enflée à l'équateu On peut établi als que les autes astes execent un mment M A e, avec gavitatinnel qui a pu expes T ( ) u M ( ) S M L A G On vit bien que si la Tee était sphéique, n auait et 4 S L A cf Péez p66 Dans le éféentiel gécentique, la Tee peut ête als cnsidéés cmme un gyscpe puisque sa vitesse de tatin ppe est gande devant sa vitesse de péces que nus allns cheche à détemine Ceci est cnfimé pa le fait que est patiquement cnstant

6 ( ) A La vitesse de péces est als dnnée pa Ω L'applicatin numéique π dnne, avec, 5 et, 59 siècles Ceci signifie en paticulie que 6 les saisns éelles snt en avance de 4 jus pa appt à un calendie figé depuis ans et qui ne pend en cmpte que la valeu nn entièe de la tatin de la Tee autu du Sleil en ju pa les années bisextiles