FONCTIONS LOGIQUES I INTRODUCTION : II FONCTION LOGIQUE ET OPERATEUR BINAIRE : III DEFINITION ET REPRESENTATIONS D UN OPERATEUR BINAIRE :

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1 I INTRODUCTION : FONCTION LOGIQUE BT MI Variabl binair : L élcrochniqu, l élcroniqu, la mécaniqu éudin uilisn la variaion d grandurs physiqus lls qu la prssion, la forc, la nsion, c. Crains applicaions qui n prnnn n comp qu 2 valurs rlaivs à cs grandurs physiqus, fai qu cs drnièrs soin considérés comm ds variabls binairs. 2 Eas logiqus : Ls 2 valurs qu pu prndr un variabl binair définissn, n pariculir, ss dux éas logiqus, qui son xprimés au moyn d symbols pour lsquls l usag s d uilisr ls chiffrs. 3 Convnions d logiqu : L uilisaion ds symbols numériqus ou impliqu un convnion nr ls 2 éas physiqus d la variabl binair ls 2 éas logiqus. Dans l cas, par xmpl, d un signal élcriqu concréisé par un nsion, c variabl binair présn 2 éas physiqus qui corrspondn à ss 2 nivaux : nivau hau (H) pour High nivau bas (L) pour Low. Pour chacun d cs nivaux, il s possibl d appliqur l un ds 2 convnions d logiqu présnés dans l ablau ci-après. CONVENTION DE LOGIQUE NIVEAU POITIVE NEGATIVE Nivau Hau Nivau Bas Dans la plupar ds ouvrags ou documns consrucurs, la convnion d logiqu appliqué, sauf mnion conrair, s la convnion d logiqu posiiv. II FONCTION LOGIQUE ET OPERATEUR BINAIRE : 2 Organisaion foncionnll d un foncion logiqu : Un foncion logiqu radui la rlaion qui xis nr ls éas logiqus ds variabls d nré d sori. L organisaion foncionnll s donné ci-conr. L xprssion d la sori s l résula d la foncion logiqu. 22 Opéraur binair : La réalisaion concrè d foncions logiqus m n œuvr ds opéraurs logiqus ou opéraurs binairs. Dans un opéraur binair, ls variabls d nré ls variabls d sori son ds variabls binairs liés nr lls par ds foncions définis qui caracérisn la foncion d l opéraur binair. III DEFINITION ET REPREENTATION D UN OPERATEUR BINAIRE : 3 Form liéral : La foncion logiqu réalisé par un opéraur binair pu oujours êr défini par un xprssion liéral. Ex : pour un opéraur ET : la sori s à l éa si, sulmn si, ous las variabls d nré son à l éa. A c xprssion liéral, puvn êr associés d aurs mods d rprésnaion : ymbol logiqu, schéma à conacs, abl d vérié, chronogramm, équaion logiqu Foncions logiqus -

2 32 ymbol logiqu : FONCTION LOGIQUE BT MI C s la rprésnaion schémaiqu normalisé d l opéraur. lon la norm NF C.22, l symbol rprésnaif d un opéraur logiqu s consiué d un rcangl, dans l irs supériur duqul s placé l un ds signs disincifs suivans :, &,. L nré ou ls nrés d l opéraur s siun généralmn à gauch la sori à droi. L sign o qui figur évnullmn sur la sori indiqu sa négaion logiqu. Enrés x ign Disincif ori ign d Négaion (évnul) 33 chéma à conacs : Chaqu conac concréis, par ss dux posiions, ls dux éas d un variabl binair d nré. Rprésnaion ds conacs élcriqus : Conac ouvr au rpos : Il s idnifié par l rpèr d la variabl li : a Conac frmé au rpos Il s idnifié par l rpèr d la variabl avc au-dssus un barr li b barr ou non b Invrsur Il s rprésné avc un conac ouvr un conac frmé au rpos Conac ouvr au rpos a b Conac frmé au rpos 34 Tabl d vérié : Pour ls opéraurs binairs d la logiqu combinaoir (dans lsquls à un combinaison d éas ds nrés n corrspond qu un éa d la sori) la abl d vérié précis ous ls rlaions possibls nr cs éas. Ls variabls d nrés son désignés par ds minusculs. Ls variabls d sori son désignés par ds majusculs. Ls variabls d nré son séparés ds variabls d sori par un doubl barr vrical. Au nivau ds nrés, la combinaison ds éas s écri suivan la numéroaion binair pur. n n- i Chaqu combinaison ds nrés donn un valur logiqu ( ou ) à la sori suivan la foncion logiqu qui va êr décri. 35 : L chronogramm s un rprésnaion graphiqu qui prm d visualisr, n foncion du mps, ous ls combinaisons d éas logiqus possibls ds nrés avc l éa corrspondan d la sori. 36 : L équaion logiqu radui, slon ls règls d l algèbr d Bool, la rlaion qui li nr lls ls variabls d sori d nré. L sign = radui un égalié d éa nr ls 2 mmbrs d l équaion. Foncions logiqus - 2

3 FONCTION LOGIQUE BT MI Dans chaqu mmbr, ls variabls puvn êr associés pour ds opéraions : D produi logiqu, ET, par ls symbols x,, qui s lisn ET D somm logiqu, OU, par l symbol + qui s li OU D négaion logiqu, NON, par l symbol qui s li NON ou BARRE IV OPERATEUR BINAIRE DE LOGIQUE COMBINATOIRE : En logiqu combinaoir, à un combinaison d éas ds variabls d nré corrspond un sul éa d la sori. OPERATEUR OUI Opéraur chéma à conacs ymbol NF Tabl d vérié OUI ou opéraur EGALITE l éa si sulmn si l nré s dans l éa La sori s à l éa si sulmn si s à l éa : symbol disincif d l opéraur OUI = L éa d s égal à l éa d L chronogramm m n évidnc qu l éa d la sori s idniqu à l éa d l nré OPERATEUR NON Opéraur chéma à conacs ymbol NF Tabl d vérié NON ou opéraur NEGATION ou opéraur COMPLEMEN- TATION l éa si sulmn si l nré s dans l éa La sori s à l éa si sulmn si il n y a pas d acion sur la variabl barr l crcl qui indiqu la négaion logiqu d la sori idnifin l opéraur Complémnariés d éas nr = L éa d s égal à l éa d barr ou non L chronogramm m n évidnc qu l éa d la sori s complémnair d l éa d l nré Foncions logiqus - 3

4 FONCTION LOGIQUE BT MI OPERATEUR ET Opéraur chéma à conacs ymbol NF Tabl d vérié & ET ou opéraur PRODUIT LOGIQUE l éa si sulmn si ous ls nrés son dans l éa La sori s à l éa si sulmn si ET son à & : symbol disincif d l opéraur ET ul la drnièr combinaison affc l éa à =. 2 l éa d s égal à l éa d ET à l éa d L chronogramm m n évidnc qu la sori s l éa si sulmn si ls 2 nrés son à l éa OPERATEUR ET- NON ou NAND Opéraur chéma à conacs ymbol NF Tabl d vérié & ET-NON ou opéraur NEGATION DU ET l éa si sulmn si ous ls nrés son dans l éa La sori s à l éa si sulmn si barr ET barr son à & l crcl qui indiqu la négaion logiqu d la sori idnifin l opéraur Ls éas d son complémnairs aux éas d d l opéraur ET =. l éa d s égal à l éa d ( ET à l éa d ) barr L chronogramm m n évidnc qu la sori s l éa si sulmn si ls 2 nrés son à l éa Foncions logiqus - 4

5 FONCTION LOGIQUE BT MI OPERATEUR OU Opéraur chéma à conacs ymbol NF Tabl d vérié OU ou opéraur OMME > LOGIQUE l éa si sulmn si un ou plusiurs nrés son dans l éa La sori s à l éa si sulmn si OU son à : symbol disincif d l opéraur OU Ls 3 drnièrs combinaisons affcn à l éa = + 2 l éa d s égal à l éa d OU à l éa d L chronogramm m n évidnc qu la sori s l éa si sulmn si l nrés OU l nré son à l éa Opéraur OU-NON ou opéraur NEGATION DU OU l éa si sulmn si ous ls nrés son dans l éa OPERATEUR OU-NON ou NOR chéma à ymbol NF conacs La sori s à l éa si sulmn si barr ET barr son à > l crcl qui indiqu la négaion logiqu d la sori idnifin l opéraur Tabl d vérié Ls éas d son complémnairs aux éas d d l opéraur OU = + l éa d s égal à l éa d ( OU ) barr L chronogramm m n évidnc qu la sori s l éa si sulmn si ls 2 nrés ET son à l éa Foncions logiqus - 5

6 FONCTION LOGIQUE BT MI OPERATEUR OU EXCLUIF Opéraur chéma à conacs ymbol NF Tabl d vérié OU EXCLUIF = l éa si sulmn un sul nré s à l éa = + = l éa d s égal à l éa d OU Exclusif à l éa d V LOGIGRAMME : 5 Définiion : C s l schéma d monag du va vin = : symbol disincif d OU xclusif = si ls 2 nrés son dans ds éas opposés L chronogramm m n évidnc qu la sori s l éa si sulmn si un sul ds 2 nrés ou s à l éa L raimn logiqu ds informaions pu nécssir la mis n œuvr d un nombr imporan d opéraurs binairs qui doivn êr inrconncés. On désign par logigramm ou diagramm logiqu la rprésnaion graphiqu d l associaion d plusiurs opéraurs binairs. 52 Décodag d un logigramm : Décodr un logigramm consis à rchrchr la ou ls combinaisons d éas ds variabls d nré qui affcn l éa logiqu à la sori. Plusiurs méhods son applicabls don la démarch équaionnll l xploiaion d la abl d vérié. 52 Démarch équaionnll : La méhod consis à éablir ls équaions logiqus d la sori d chacun ds opéraurs binairs consiuifs du logigramm ; l xprssion équaionnll du drnir opéraur éan rprésnaiv d l équaion du logigramm. L équaion du logigramm s : = (.) & =. > = (.) + 3 Foncions logiqus - 6

7 FONCTION LOGIQUE BT MI 522 Exploiaion d la abl d vérié : La abl d vérié, rlaiv aux consiuans du logigramm, m n évidnc ls combinaisons d éas pour lsqulls la sori s à l éa logiqu. Dans un abl d vérié, l nombr N ds combinaisons s égal à 2 n avc n l nombr d variabls d nré : N = 2 n. Ex : abl d vérié ci-conr. L nombr d nré éan n = 3, l nombr d combinaisons s N = 2 3 = 8. Ls 5 drnièrs combinaisons d éas d la abl d vérié corrspondan au logigramm précédn affcn l éa logiqu à la sori. L équaion d s écri alors : = ( 3..) + (3.. ) + (3..) + (3.. ) + (3..) 3 Après simplificaion d l équaion précédn, on rouv : = (.) + 3 VI OPERATION BOOLEENNE OU OPERATION LOGIQUE : La mis n œuvr ds propriéés d l algèbr d Bool prm d obnir la plus simpl xprssion équaionnll d ou problèm d logiqu. 6 Propriéés opéraions élémnairs : Propriéé ou opéraion Commuaivié Equaion a + b = b + a a. b = b. a Associaivié a + b + c = (a + b) + c = (a + (b + c) a. b. c = (a. b). c = a. (b. c) Disribuivié a. (b + c) = a. b + a. c a + (b. c) = (a + b). (a + c) Complémnaion a + a = Idmponc Elémn nur a. a = a + a = a a. a = a a + = a a. = a Elémn absorban a + = Absorpion Involuion a. = a + (a. b) = a a. (a + b) = a a = a a = a Inclusion (a. b) + (a. b) = a 62 Rlaions fondamnals : a + ab = a + b a + ab = a ab + ac = ab + a + bc a + bc = (a + b). (a + c) Foncions logiqus - 7

8 FONCTION LOGIQUE BT MI 63 Théorèms d D Morgan : COMPLEMENTATION D UN PRODUIT LOGIQUE : l complémn d un produi logiqu s égal à la somm logiqu ds facurs complémnés d c produi. a. b = a + b COMPLEMENTATION D UNE OMME LOGIQUE : l complémn d un somm logiqu s égal au produi logiqu ds rms complémnés d c produi. VII TABLEAUX DE KARNAUGH : a + b = a. b Au mêm ir qu ls propriéés rlaions boolénns, l ablau d Karnaugh s un ouil d simplificaion ds xprssions logiqus. 7 Organisaion du ablau d Karnaugh : L ablau d Karnaugh n diffèr d la abl d vérié qu par sa présnaion. Ainsi, la abl d vérié ciaprès, rprésnaiv ds soluions d un sysèm logiqu pariculir, pu s mr sous form d un rcangl comporan auan d cass qu il y a d combinaisons (ici, 3 variabls, soin 2 3 =8 combinaisons = 8 cass). Chacun d cs cass s idnifié par l éa ds variabls qui la concrn. Ainsi, si on affc ls colonns à la variabl 3, la colonn d gauch s rprésnaiv d 3= cll d droi d 3=. La lign supériur corrspond aux 2 variabls avc ==. La lign suivan corrspond à = =. Pour la roisièm lign, on a = = nfin = = pour la quarièm drnièr lign. 3 A B 3 C D E F G H L équaion issu d la abl d vérié s cll-ci : = Inrpréaion xploiaion du ablau d Karnaugh : Comm la abl d vérié, qui n xpriman ls condiions d validaion d la sori prm l écriur d son équaion, ls cass noés du ablau son lls aussi rprésnaivs ds condiions d validaion d. Ainsi : = B + C + D + F = C xprssion pu êr simplifié, soi n appliquan ls règls rlaions d l algèbr d Bool, soi n usan ds propriéés ds cass adjacns du ablau d Karnaugh. On di qu 2 cass son adjacns lorsqu l passag d l un à l aur d cs cass nraîn l changmn d éa d un d un sul d cs variabls. Ainsi, la cas A d nor xmpl s adjacn : A la cas B, variabl concrné 3 A la cas C, variabl concrné A la cas G, variabl concrné i l xprssion d un foncion dans un ablau d Karnaugh fai apparaîr un dans 2 cass adjacns, la variabl caracérisiqu d l adjacnc pu êr éliminé dans c xprssion. La méhod consis à rgroupr, par puissanc d 2, l maximum d cass adjacns ayan pour valur. Foncions logiqus - 8

9 FONCTION LOGIQUE ur la figur ci-conr, on a ffcué 3 groupmns d 2 cass : L rgroupmn N a pour équaion : 3 L rgroupmn N 2 a pour équaion : 3 L rgroupmn N 3 a pour équaion : Cs 3 rgroupmns son nsui rliés nr ux par un OU logiqu. C qui donn l équaion simplifié suivan : = BT MI Rgroupmn N 3 Rgroupmn N Rgroupmn N 2 Foncions logiqus - 9