2012/2013 Le codage en informatique

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1 2012/2013 Le codage en informatique Stéphane Fossé/ Marc Gyr Lycée Felix Faure Beauvais 2012/2013

2 INTRODUCTION Les appareils numériques que nous utilisons tous les jours ont tous un point commun : 2 chiffres seulement, 0 et 1, sont utilisés pour coder l information. En effet il est possible, à partir de ces deux seuls symboles, de traiter et de stocker des nombres, des textes, des images et du son. LE SYSTEME BINAIRE PRINCIPE ET VOCABULAIRE Un chiffre binaire 0 ou 1 se dit en anglais «Binary digit», c est ce qu on appelle un Bit. Chaque bit dans la mémoire centrale d un appareil numérique peut être symbolisé par un petit interrupteur capable de laisser passer le courant ou pas. Comme un interrupteur classique, en position «ouvert/off», le courant ne passe pas et en position «fermé/on», le courant passe. La valeur 0 correspond à l interrupteur ouvert et 1 à l interrupteur fermé Un Octet (dit byte en anglais) contient 8 bits (en binaire se dit aussi en base 2, comme décimale se dit en base 10) Un octet fort faible Le bit n 0 est appelé le bit de poids faible. Le bit n 7 est appelé le bit de poids fort Un mot (word en anglais) contient 16 bits soit 2 octets. Un Double Mot (dword en anglais) contient 32 bits soit 4 octets. Avant d étudier comment sont traités et représentés les textes, les couleurs des images, intéressons-nous aux nombres entiers naturels. Pour comprendre le système binaire, il faut bien comprendre le système «usuel» décimal et la décomposition d un nombre en utilisant les puissances de = Nous pourrons décomposer ce nombre en utilisant cette fois ci les puissances de 2. COMPTONS EN BINAIRE D abord 0, puis 1, ensuite 10, et viennent 11, 100, 101, 110, 111, 1000, soit Décimal Binaire LES REGLES DE CALCUL Les règles et principes de l arithmétique sont similaires à celle du système décimal.

3 Pour l addition il n y a que deux tables, la table du zéro et celle du un. Tables d addition Posons quelques additions, attention aux retenues! 5+3= = Exercice 1 Calculer en binaire : Pour la multiplication, on a : Ensuite on utilise la distributivité de multiplication par rapport à l addition. Exemple = = = 1111 Exercice 1 Calculer en binaire et DU BINAIRE AU DECIMAL Pour convertir un nombre binaire dans le système décimal on utilise les puissances de 2. Ainsi le nombre binaire correspond à 106 dans le système décimal, en effet : = = = = Exercice 2 Convertir les nombres binaires suivants dans le système décimal. a) b) c) d) Exercice 3 Combien de chiffres binaires faut-il pour représenter le nombre décimal 10000?

4 Exercice 4 On souhaite automatiser la conversion «binaire décimal» à l aide d un tableur. Réaliser une feuille de calculs (voir ci-dessous) dans laquelle lorsqu on saisit un nombre binaire de maximum 8 bits (un caractère par cellule) on obtient sa valeur dans le système décimal A B C D E F G H I J K 1 position nombre binaire valeur décimale 106 DU DECIMAL AU BINAIRE n n On souhaite déterminer l écriture binaire du nombre 172. On va tout d abord encadrer 172 par deux puissances de 2 consécutives. On a 128 < 172 < 256 soit 2 7 < 172 < 2 8. Puis on soustrait successivement, quand c est possible, les puissances de 2 dans l ordre décroissant = 44, il reste 44, on ne peut pas soustraire 2 6 = 64, par contre on peut soustraire 2 5 = = 12, il reste 12, on ne peut pas soustraire 2 4 = 16, par contre on peut soustraire 2 3 = = 4, il reste 4, on peut soustraire 2 2 = 4 4 = il reste 0 d où 172 = = Concrètement lorsque l on peut soustraire une puissance de 2 cela correspond à un 1 dans l écriture binaire et à un 0 dans le cas contraire. On obtient donc = Exercice 5 Convertir les nombres suivants dans le système binaire. a) 18 b) 45 c) 233 d) 666 Exercice 6 Généralisons un peu en analysant la procédure de conversion. On se limite aux nombres n inférieurs ou égaux à 255 c est-à-dire strictement inférieur à 2 8.

5 1. Ci-dessous un algorithme en langue naturel. Décrire et commenter cet algorithme. Faire tourner cet algorithme pour n = 145 : n i A commentaires initialisation étape 1 étape 2 2. On souhaite réaliser à l aide de cet algorithme un programme Dec2Bin capable de convertir une écriture décimale en écriture binaire. a) Concevoir le programme Dec2Bin à l aide du logiciel AlgoBox. b) Le tester d abord en mode pas à pas, puis en mode normal avec de nombreux exemples Une autre méthode de conversion Analyser la méthode suivante

6 ainsi 37=2*18+1=2*(2*9)+1=2*2*(2*4+1) = = Exercice 7 Appliquer cette méthode avec 131. Exercice 8 Ecrire un algorithme en langage naturel pour écrire un nombre entier n en base deux avec cette méthode et le programmer sur Algobox. CODER LES ENTIERS NEGATIFS bit de signe = = = = = = = = 128 La notation est utilisée sur des écritures de nombres de longueur donnée (nombres écrits couramment sur 8, 16, 32 ou 64 bits). Dans une telle écriture, on utilise le bit de poids fort (bit le plus à gauche) du nombre pour contenir la représentation de son signe (positif ou négatif, le zéro étant considéré comme positif). La première idée est de marquer le signe du nombre de façon simple : le signe puis la représentation de sa valeur absolue. Ainsi : = +2 en décimal = 2 en décimal Malheureusement cette représentation possède deux inconvénients. Le est que le nombre zéro possède deux représentations: et sont respectivement égaux à 0 et 0. L'autre inconvénient est que cette représentation impose de modifier l'addition ; si un des nombres est négatif, l'addition binaire usuelle donne un résultat incorrect. Ainsi: = Soit 3 + ( 4) = ( 7) au lieu de ( 1) C'est pour remédier à ces problèmes que l'on utilise la notation en complément à deux. Les nombres positifs sont représentés comme attendu, en revanche les nombres négatifs sont obtenus de la manière suivante : On inverse les bits de l'écriture binaire de sa valeur absolue (opération binaire NON), on fait ce qu'on appelle le complément à un, On ajoute 1 au résultat (les dépassements sont ignorés). Cette opération correspond au calcul de 2 n x, où n est la longueur de la représentation et x la valeur absolue du nombre à coder. Ainsi 1 s'écrit comme 256-1=255= , pour les nombres sur 8 bits. Ceci est à l'origine du nom de cette opération : "complément à 2 puissance n", quasi-systématiquement tronqué en "complément à 2".

7 Les deux inconvénients précédents disparaissent alors. En effet, l'opération précédente effectuée sur permet d'obtenir ( 0 = +0 = 0) et l'addition usuelle des nombres binaires fonctionne. La même opération effectuée sur un nombre négatif donne le nombre positif de départ: 2 n (2 n x) = x. Pour coder ( 4) : On prend le nombre positif 4 : On inverse les bits : On ajoute 1 : Le bit de signe est automatiquement mis à 1 par l'opération d'inversion. On peut vérifier que cette fois l'opération 3 + ( 4) se fait sans erreur : = Le complément à deux de est soit 1 en décimal, donc = ( 1) en décimal. Si l'on doit transformer un nombre en son complément à deux "de tête", un bon moyen est de garder tous les chiffres depuis la droite jusqu'au premier 1 (compris) puis d'inverser tous les suivants. Prenons par exemple le nombre 20 : On garde la partie à droite telle quelle : ( ) On inverse la partie de gauche après le premier un : Et voici 20 : Exercice 9 Coder sur 8 bits les nombres -12 et -27. Vérifier que (-12)+(-27)=-39 Exercice 10 Préparer une feuille de calcul qui donne le nombre entier relatif d un nombre binaire d un octet (8 bits) CODER L ALPHABET : CODE ASCII La mémoire de l ordinateur conserve toutes les données sous forme numérique. Il n existe pas de méthode pour stocker directement les caractères. Chaque caractère possède donc son équivalent en code numérique : c est le code ASCII (American Standard Code for Information Interchange - traduisez «Code Américain Standard pour l Echange d Informations»). Le code ASCII de base représente les caractères sur 7 bits de à (c est-à-dire 128 caractères possibles, de 0 à 127). Les codes 0 à 31 ne sont pas des caractères. On les appelle caractères de contrôle. Les codes 65 à 90 représentent les majuscules Les codes 97 à 122 représentent les minuscules Ainsi le «A» correspond à 65 en base 10, dans la mémoire de l ordinateur il sera donc stocké en binaire. Tandis que en binaire, 97 en base 10 correspond au caractère «a». Exercice À l aide du tableur générer une table de correspondance nombre base 10 caractère ASCII. On utilisera la fonction CAR() qui à un nombre compris entre 0 et 127 associe le caractère ASCII correspondant. 2. Donner le code ASCII correspondant à votre prénom.

8 3. Compléter la feuille de calcul pour obtenir le code ASCII puis la lettre en partant d un nombre binaire sur 8 bits. A B C D E F G H I J K L 1 position nombre binaire Code ASCII 106 j LE SYSTEME HEXADECIMAL Le système hexadécimal est un système de numération positionnel de base 16. Il est composé de 16 symboles les 10 chiffres de 0 à 9 et des 5 lettres de A à F. Table de correspondance : Base Base A B C D E F Exemple : pour le nombre A5 en base 16 on a A5 = soit 165 en base 10. Exercice 12 Quel est le nombre hexadécimal du nombre décimal 142? Inversement, quel est le nombre décimal correspondant à AF3 BINAIRE, DECIMAL ET HEXADECIMAL L écriture et la manipulation de grands nombres binaires peut-être fastidieuse, on utilise alors l écriture hexadécimale. La conversion binaire hexadécimale est relativement simple car 16 est une puissance de 2. Par exemple dans un octet (8 bits), il est d usage de grouper les bits par paquet de 4 ce qui facilite la conversion en hexadécimal. Table de correspondance Base Base Base Base A B C D E F Exemple : le nombre binaire s écrit en hexadécimal D9 (car 1101 correspond à D, 1001 correspond à 9). Soit en base 10, = 217. Le système hexadécimal est très pratique comme intermédiaire entre les systèmes décimal (homme) et binaire (machine). LES CODES DE COULEUR RGB ( RED- GREEN-BLUE) Une couleur codée en RGB se présente comme un nombre hexadécimal à six chiffres : FF06C3 par exemple. Chaque paire de chiffres est dédiée à une couleur primaire. Sur le même exemple, cela donne :

9 FF pour le rouge ; 06 pour le vert ; C3 pour le bleu ; Soit les valeurs décimales 255, 6 et 211. Chacune de ces valeurs indique l'intensité avec laquelle la lampe correspondant va être allumée. Puisque FF soit 255 est le maximum représentable sur deux chiffres en hexadécimal, on déduit : 100 % pour la lampe rouge ; 2,35 % pour la lampe verte ; 82,75 % pour la lampe bleue. Toutes les lampes au maximum de leur intensité (FFFFFF) fournissent du blanc, alors que toutes les lampes éteintes (000000) font naturellement du noir. OPERATEUR BOOLEENS OPERATEURS BOOLEENS SIMPLES En mathématique il existe des opérateurs : +, -, x, etc... Cela existe aussi pour le binaire! NON (négation) dit NOT en anglais (la porte logique NON est plus souvent appelé INVERSEUR) ET dit AND ; OU dit OR ; OU EXCLUSIF dit XOR Pour comprendre comment fonctionne ces opérateurs on répertorie les entrées et on vérifie les sorties. Assimilé à un circuit électrique les entrées sont les interrupteurs et la sortie la lampe : Si la lampe est éclaire alors SORTIE = 1, c'est que le courant passe dans le circuit et inversement SORTIE = 0, lampe éteinte Non (not) ou inverseur et (AND) ou (OR)

10 ou exclusif(xor) CONSTRUCTION D UNE TABLE DE VERITE On définit un nouvel opérateur, nommé op1 défini par : op1(a, b) = (a ET (NON b)) OU ((NON a) ET b) Construisons la table de vérité de cette formule. La technique à suivre est la suivante : Construire une colonne pour chacune des variables (ici il y en a deux, a et b). a b Ajouter dans le tableau une ligne pour chaque toutes les valeurs possibles des variables. Dans le cas général où la formule contient n variables, il y aura 2 n lignes. Nous avons donc maintenant 4 lignes dans notre tableau : a b On ajoute ensuite une colonne pour les sous-expressions de la formule, la dernière colonne correspondant à la formule complète. Cette fois, le nombre de colonnes est libre, fonction de la facilité que l'on a à évaluer des expressions complexes. Pour op1, on pourra par exemple avoir : a b NON a NON b a ET (NON b) (NON a) ET b op1(a,b) En conclusion, la table de vérité de notre nouvel opérateur est : a b a op1 b

11 1 1 EXERCICE RAPIDES 1. Construire la table de vérité correspondant à l'opération op2(a,b) = (a OU b) ET ((NON a) OU (NON b)). Que constatez-vous en comparant avec l opération ope1 du cours? À quoi correspond cette opération? Expliquez pourquoi cette opération permet de déterminer si deux mots sont identiques? 2. Donnez la valeur décimale des nombres suivants : ( ) 2 (3721) 8 ; (7D1) On dispose de 8 bits pour coder un nombre. Quel est le plus petit entier positif et le plus grand entier positif que l'on puisse représenter? En général les machines (les ordinateurs) disposent de mémoires sur 16 bits ou sur 32 bits. Dans ces deux cas, quel est le plus grand entier positif représentable? Peut-on avec 32 bits représenter un nombre entier comme Convertissez le nombre binaire ( ) 2 en octal puis en hexadécimal. Convertissez en binaire, en octal puis en hexadécimal le nombre décimal (1995) 10

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