Calcul rapide des puissances

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1 Calcul rapide des puissances Par Mathtous Il s'agit de puissances à exposant entier naturel (avec la convention a 0 = 1, et a 1 = a). Si on applique la dénition pour calculer a n, on calcule de proche en proche : a 2, a 3,..., a n 1, a n, ce qui conduit à eectuer n 1 multiplications. Ainsi, pour calculer 3 8 on doit eectuer les multiplications : 3 2 = 3 3 = = 9 3 = = 27 3 = = 81 3 = = = = = = = 6561 Mais on peut aller beaucoup plus vite : 3 2 = 3 3 = = 9 9 = = = 6561 On n'a eectué que 3 multiplications au lieu de 7, basées sur les propriétés de l'opération puissance : a 2 = a a a 4 = a 2 a 2 a 8 = a 4 a 4 Il s'agit ici d'élévations successives au carré, car 8 est une puissance de 2, mais ce n'est pas toujours aussi simple. Par exemple, pour calculer a 6, voici deux méthodes donnant le même nombre d'opérations : a) a 2 = a a a 3 = a 2 a a 6 = a 3 a 3 b) a 2 = a a a 4 = a 2 a 2 a 6 = a 4 a 2 Ces deux méthodes exigent chacune 3 multiplications (au lieu de 5 avec la dénition). Elles procèdent de deux algorithmes diérents mais globalement équivalents. Ces deux algorithmes sont basés sur l'écriture en base deux de l' exposant. J'ai mis exposant entre guillemets car ces méthodes sont en fait valables pour toute opération associative où l'élévation à une puissance (d'exposant entier naturel) est l'itération de 1

2 cette opération. Ainsi, la multiplication naturelle n'est rien d'autre que l'addition itérée : 6 5 qu'on lit souvent 6 fois 5 vaut = 30. De manière générale, si on note une opération dans un ensemble E, associative et possédant un élément neutre (en particulier s'il s'agit d'une loi de groupe), a un élément de E, et n un entier naturel, on posera : a [0] = e l'élément neutre de E a [1] = a et a [n] = a a a... a où le second membre contient n termes. Ainsi, si l'opération est la multiplication usuelle des nombres réels, l'itération est l'élévation à une puissance : a [n] = a n. Si l'opération est l'addition usuelle, l'itération est la multiplication naturelle : a [n] = n a. Reprenant l'exemple 6 5, les deux méthodes donnent : = = = 30 ou : = = = 30 Cette seconde méthode n'est rien d'autre que la multiplication à la russe ou égyptienne souvent présentée ainsi : exposant Nombre = 30 On divise successivement l'exposant 6 par 2 (quotient entier par défaut), et on multiplie successivement les nombres de droite par 2 (en partant de 5 ici). Aux quotients impairs (en bleu) correspondent les nombres en rouge que l'on additionne nalement pour trouver le résultat. L'explication tient à l'écriture binaire de 6 : 6 = D'où : 6 fois 5 = 2 2 fois fois 5 Remarquons que pour eectuer les calculs, il n'est pas nécessaire de connaître à priori l'écriture binaire de 6. Naturellement, cette méthode fonctionne aussi bien si on souhaite calculer 5 6 au lieu de 5 6 : Les divisions par 2 pour l'exposant sont conservées, mais les multiplications par 2 sur les nombres sont remplacées par des élévations au carré, et l'addition nale par une multiplica- 2

3 tion : exposant Nombre = Voyons maintenant les deux algorithmes et leur démonstration : Soit à calculer a k où k est un entier naturel (on peut toujours le supposer supérieur à 1) qui s'écrit en base deux sous la forme : k = u 0 + 2u u n u n où les u i valent 0 ou 1. Premier algorithme : On dénit par récurrence : z 0 = 1 z i+1 = z i 2.a u n i (1) Montrons par récurrence que : z i = a 2i 1.u n.a 2i 2.u n 1...a 21.u n i+2.a 20.u n i+1 L'égalité est vraie pour n = 1 : Pour n = 1, la relation s'écrit z 1 = a 20.u n Mais partant de z 0 = 1 et appliquant (1), il vient : z 1 = 1 2.a un = a 20.u n Supposant l'égalité vraie jusqu'au rang i, on applique (1) pour calculer z i+1 : z i+1 = z 2 i.a u n i ( ) 2 z i+1 = a 2i 1.u n.a 2i 2.u n 1...a 21.u n i+2.a 20.u n i+1.a u n i z i+1 = a 2i.u n.a 2i 1.u n 1...a 22.u n i+2.a 21.u n i+1.a u n i z i+1 = a 2i.u n.a 2i 1.u n 1...a 22.u n i+2.a 21.u n i+1.a 20.u n i Légalité est donc vraie au rang i + 1. L'égalité est donc vraie pour tout rang i 1. Notamment, au rang n + 1, on obtient : z n+1 = a 2n.u n.a 2n 1.u n 1...a 22.u 2.a 21.u 1.a 20.u 0 qui n'est autre que a k. On peut donc calculer a k en utilisant cet algorithme : : l'égalité est vraie. 3

4 déterminer les chires u i de l'écriture binaire de k : k = u 0 + 2u u n u n z 0 = 1 pour i = 0 à n faire : z i+1 = z i 2.a u n i le dernier résultat est a k A cause de l'égalité z i+1 = z i 2.a u n i, on voit bien qu'il est ici indispensable de connaître l'écriture décimale de k avant d'aborder l'algorithme proprement dit. Exemple : Soit à calculer a 29 On doit commencer par déterminer l'écriture binaire de 29 : 29 = Ou en abrégé : (11101), avec ici n = 4. On a donc : z 0 = 1 z 1 = (z 0 ) 2.a u 4 0 = a u 4 = a z 2 = (z 1 ) 2.a u 4 1 = a 2.a u 3 = a 2.a 1 = a 3 z 3 = (z 2 ) 2.a u 4 2 = a 6.a u 2 = a 6.a 1 = a 7 z 4 = (z 3 ) 2.a u 4 3 = a 14.a u 1 = a 14.a 0 = a 14 Et enn : z 5 = (z 4 ) 2.a u 4 4 = a 28.a u 0 = a 28.a 1 = a 29 Concrètement, on calcule successivement : a 2, a 3, a 6, a 7, a 14, a 28, et a 29 : soit 7 multiplications au lieu de 28 en appliquant la dénition. Second algorithme : Cherchant toujours à calculer a k, on dénit par récurrence : z 0 = 1 ; y 0 = a ; k 0 = k z i+1 = z i.y i u i k i+1 = k i 2 (partie entière de k i 2 ) y i+1 = y i 2 Ici, les valeurs de k i diminuent strictement quand l'indice i augmente, et puisque k i est entier, on aboutira nécessairement à une valeur nulle (l'algorithme se termine). 4

5 Montrons par récurrence les égalités suivantes : z i = a u 0 y i = a 2i k i = u i + u i u n.2 n i Les égalités sont vraies pour i = 1 : - pour la première : z 1 = z 0.y 0 u 0 = 1.a u 0 qui est bien ce qu'il faut trouver, l'égalité à prouver n'ayant que ce seul terme. - pour la seconde, y 1 = y 0 2 = a 2 = a 21 - pour la troisième : k 1 = k 0 2 = k 2 = u 1 + u u n.2 n 1 Les supposant vraies jusqu'au rang i, on va les établir ) au ) rang i + 1 : ui u - la première : z i+1 = z i.y i i = (a u 0. (a 2i ) z i+1 = (a u 0.a 2i u i z i+1 = a u 0.a 2i u i ( ) 2 - la seconde : y i+1 = y 2 i = a 2i = a 2 i+1 - la troisième : k i+1 = k i 2 = u i + u i u n.2 n i 2 k i+1 = u i u n.2 n i 1 En eet, puisque l'on prend la partie entière de la moitié de k i, peu importe la valeur de u i : seul compte le fait que k i soit pair ou impair. C'est pour cela qu'il n'est pas nécessaire de connaître à priori l'écriture binaire de k. Ces égalités sont donc vraies pour tout entier i supérieur ou égal à 1. En particulier, pour i = n + 1, on obtient : z n+1 = a u 0.a 21.u 1...a 2n 1.u n 1.a 2n.u n qui est bien a k. On obtient donc l'algorithme suivant : y = a ; z = 1 Tant que k > 0 faire : Si k impair : z = z.y k = k 2 Si k > 0, y = y 2 Si k = 0, on sort de la boucle le résultat est dans z Comme il a été dit plus haut, il n'est pas nécessaire de connaître à priori l'écriture binaire de k : c'est pourquoi j'ai choisi d'implanter ce second algorithme dans mon logiciel disponible ici 5

6 (cliquez sur le lien bleu) : Calculatrice arithmétique Exemple : Reprenons le calcul de a 29 an de comparer les deux méthodes : z = 1 ; y = a, et k = 29 On entre dans la boucle : k est impair, donc z = z.y = 1.a = a k = k 2 = 14 k est positif, donc y = y 2 = a 2 k est pair, donc z est inchangé (on ne fait rien ici) k = k 2 = 7 k est positif, donc y = y 2 = a 4 k est impair, donc z = z.y = a.a 4 = a 5 k = k 2 = 3 k est positif, donc y = y 2 = a 8 k est impair, donc z = z.y = a 5.a 8 = a 13 k = k 2 = 1 k est positif, donc y = y 2 = a 16 k est impair, donc z = z.y = a 13.a 16 = a 29 k = k 2 = 0 k = 0, donc on sort de la boucle : c'est terminé : le résultat a 29 est dans z. Concrètement, on a calculé successivement a 2, a 4, a 5, a 8, a 13, a 16, a 29, soit 7 multiplications, comme pour l'autre algorithme, mais sans avoir écrit 29 en base deux. Exemple dans un anneau modulaire : Comme il a été dit plus haut (page 2), Ces algorithmes sont valables dans tout ensemble muni d'une opération associative itérable. Le cas le plus fréquent est celui de la multiplication usuelle (d'où le titre de cet article : Calcul rapide des puissances ). Mais on a vu qu'ils s'appliquent aussi à l'addition itérée (multiplication à la russe ). De même, on peut les appliquer à la multiplication dans un anneau modulaire Z/nZ, c'est-à-dire au calcul des puissances modulo n. Voici un exemple historiquement amusant car les calculs auraient pu être eectués par Fermat (ce que manifestement il n'a pas fait). Soit F 5 le sixième nombre de Fermat : F 5 = = = Rappelons le petit théorème de Fermat : 6

7 Si p est premier, et si a est inférieur à p, alors a p 1 1modulo p Donc (contraposée) : s'il existe a inférieur à p tel que a p 1 ne soit pas congru à 1 modulo p, alors p n'est pas premier. Un tel nombre a, s'il existe, est appelé un témoin de Fermat (pour p). Ici, p 1 = 2 32 = C'est une puissance de 2. Il est donc aisé de calculer a p 1 = a 32 par élévations successives au carré (ici, les deux algorithmes coïncident). Attention, les calculs s'eectuent modulo F 5, ce qui est nalement intéressant car, eectués de proche en proche, les produits n'auront jamais plus de 20 chires. Je vous engage à contrôler les résultats suivants, en choisissant a = 3 : On constate donc que 3 p 1 n'est pas congru à 1 modulo p, et que donc p n'est pas premier : 3 est un témoin de Fermat pour p = F 5. Fermat lui-même aurait pu eectuer ces calculs (fastidieux mais sans diculté). S'il ne l'a pas fait, c'est qu'il était convaincu que ses nombres (les nombres de Fermat) étaient tous premiers. Euler donne une démonstration très astucieuse du fait que F 5 n'est pas premier : cette démonstration gure ici (cliquez sur le lien bleu) : Euler et le sixième nombre de Fermat 7

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