United Nations Educational Scientific and Cultural Organization and International Atomic Energy Agency

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1 XA IC/IR/2001/8 INTERNAL REPORT (Limite Distriution) Unite Ntions Eutionl Sientifi n Culturl Orgniztion n Interntionl Atomi Energy Ageny THE ABDUS SALAM INTERNATIONAL CENTRE FOR THEORETICAL PHYSICS MODELISATION D'INTERNET EN UNE BOUCLE DE BOL Thoms Bouetou Bouetou 1 Université e Youne I, ENSP, Lortoire LAMAS, Déprtement e Mths et Génie-Informtique, B.P. 8390, Youne, Cmeroun n The Aus Slm Interntionl Centre for Theoretil Physis, Trieste, Itly. Astrt The evelopment of the Internet system is still mzing the worl. In wht follows, we will try to justify the moélistion of Internet s n lgeri struture lle qusigroup in whih the trnsferre informtion verify the properties of Bol loop. MIRAMARE - TRIESTE My E-mil: touetou@polyteh.uninet.m 32/ 28

2 Résumé Le éveloppement u système Internet ne esse 'émerveiller le mone. Dns e qui suit, nous llons essyer e justifier l moélistion u réseu Internet omme étnt une struture lgérique ppelée Qusigroupe ns lquelle les onnées trnsférées vérifient les propriétés 'une Boule e Bol.

3 0 - Préliminires Introution Dns ifférents omines e mthémtiques : l théorie es plns projetifs, l théorie es orps non ommuttifs, l série es prolèmes e l'nlyse omintoire, l théorie es équtions fontionnelles, l'informtique et.. pprît l néessité 'étue 'une générlistion e l notion e groupe, plus préisément e qusigroupe. Ce qui stimulé le éveloppement e l théorie es qusigroupes est lié ux trvux e Ruth Moufng en 1935 sur les plns projetifs non Désrguiens qui expliquient le lien e es plns ve les qusigroupes, plus préisément les oules ( 'est à ire un qusigroupe ve l'élément unité). Pr illeurs l struture lgérique (qusigroupe) joue un rôle importnt ns l'explition, l justifition es iées ou l justifition es hypothèses. Définition 'un qusigroupe et 'une oule Une es notions importntes en lgère est l notion 'opértions lgériques ou tout simplement opértions. Soit onné un ensemle non vie Q, fini ou infini. Les éléments e l'ensemle Q seront notés pr es lettres ltines minusules,,,, z. Pour Q n nous noterons (i,2,... n ). Ainsi, soit une opértion n-nire A éfinie sur l'ensemle Q, onsiérons l'pplition e Q n >Q telle que le n-uplet (j,2, n ) étlit une orresponne ve l'élément e Q et nous notons A(i,2, n )=, le nomre n ser ppelé l'n té e l'opértion A. Si n=2 lors l'opértion est ppelée opértion inire : A(j,2)= Si n=l l'opértion est ppelée opértion unire : A(O=. L'ensemle Q onsiéré ve une ertine opértion inire A, est ppelé groupoïe. Si l'opértion se note (o) ou ( ) lors nous llons érire Q(o) ou Q(-). Ainsi, sur l'ensemle Q, il existe utnt e groupoïes que 'opértions. De plus nous irons que eux opértions A et B oïnient si A(,)=B(,),OQ. Si le groupoïe est fini lors on peut éfinir Q(A) à l'ie 'un tleu pr exemple A Un tel tleu est ppelle Tleu e Keli groupoïe Q(A). Il peut rriver que ns le tleu e Keli u groupoïe Q(A), tous les éléments pris ns hque ligne et ns hque olonne soient ifférents. Pr exemple le tleu suivnt :

4 A Si une telle propriété est vérifiée pour Q(A), lors nous irons que Q(A) est un qusigroupe. Cei nous onuit à onner l éfinition suivnte : Définition : Le groupoïe Q(A) ('est à ire l'ensemle Q ve l'opértion A) est ppelé qusigroupe si V, e Q les équtions A(,x)=, A(y,)= sont vérifiées et mettent es solutions uniques. En 'utres termes, le groupoïe Q(A) est ppelé qusigroupe si pour hque eux éléments, e l'églité A(,)=, se éfinit un troisième e fçon unique. Le qusigroupe Q(o) est e Bol si l'ientité : o ( o ( o )) = ( o ( o )) o est vérifiée V,,, e B. 1 - Moèle mthémtique Moèle e grphe pour l «rsse Internet». Nous llons utiliser le tenue grphe sns érire les reltions inires insi que leur interpréttion géométrique. Nous rppelons qu'un grphe géométrique est éfini pr un ensemle e points ppelés sommets et e lignes ppelées rêtes qui relient l totlité ou une prtie es points. Sur l'ensemle p e tous les omines nturels e notre mone ( u mone usuel, e l'univers usuel), éfinissons un grphe R 'est-à-ire une olletion e tous les sommets ns R qui sont reliés e mnière unique et juxtposons le à p. Deux sommets e R sont reliés pr une rête si et seulement si leur omine nturel orresponnt se «touhent» (le nom 'un telle rête peut être ppelé une «onnexion - ontt») ou est ontenu l'un ns l'utre ( le nom 'une telle rête est ppelée «onnexion - inlusion»). Du point e vue lgérique, si R + et R_ sont es reltions inires respetivement éfinies pr «se touhe ve» et «est ontenu ns» éfinies ns p. R=R + ur_ et R + nr_=0

5 Convention : R + est l'ensemle e toute les pires oronnées (rêtes) e type ( P, 2 P') G p pour lesquels le omine P se touhe ve le omine P\ L'orre e orresponne es omines P et P' ii n'est ps essentiel, 'est-à-ire l onnexion-ontt (P, P') n'est ps une rête orientée u grphe R. Anlogiquement R_ est l'ensemle e toutes les pires oronnées (P, 'P) G p pour lesquelles le omine P est ontenu ns le omine 'P ou est inlus ns 'P. Pour l étermintion ii et pr l suite nous llons supposer que P est ontenu ns 'P 'est-à-ire en onnexion - inlusion, (P, 'P) est une rête orientée u grphe R. Le grphe R est un moèle non métrique e l rsse e l'univers qui érit les ifférents niveux e l struture topologique. Dns le s générl le grphe R joue un rôle uxiliire (susiiire) ii nous llons lui trouver une fmille équivlente SR : SR= {{P, r +,r.} : PG p et r+, r. G R } où r+ = (P, P') et r. = (P, 'P) sont orresponemment es onnexions qui entrent ns le omine P. Dns le grphe R hque élément e l'ensemle S = {P, r+, r.} e l fmille SR est une prtie onnexe équivlente érit pr le igrmme i-essous. 'P O r. r+ P' ns lequel es omines orresponnt 'P, P, P' G p et les rêtes ns le igrmme montrent que le omine 'P (erle ln) ontient le omine P (erle gris), qui se touhe ve le omine P' (erle noir). Chque élément S = {P, r+, r.} e l fmille SR ser ppelé oîte-élément e l rsse e l'univers et l non métrique éfinit e mnière unique le omine nturel P e S insi que s struture ns l position e l rsse : onnexion - ontt r + e S éfinit une ertine frontière e e omine, et l onnexion - inlusion r. e S le voisinge orresponnt. L fmille SR est mieux présentée que le grphe R, elle érit l topologie et l struture hiérrhio- trihromique e l rsse e l'univers. Ii nous pouvons onsiérer 2 types e grphes : les A- grphes et les B- grphes. Le rôle prinipl est joué pr les A grphes qui érivent l topologie es grphes à un niveu. Pr exemple : supposons le réseu Internet u Cmeroun, il est pris pour un niveu lors les

6 sommets 'un A- grphe ii orresponrient u niveu serveurs es réseux loux et les rêtes es onnexion - on tts, (figure 1) Fig.l Un rôle non moins importnt est joué pr e ppelé B- grphe qui est une prtie e l'orre u grphe R, il érit l topologie u grphe à plusieurs niveux. Ii on peut prenre omme exemple le réseu Internet friin ve les A- grphes représentnt hque pys (figure 2). II III V V Fig.2 Au vu e e qui préèe, nous onsttons que le réseu Internet est un millge e A- grphes et e B- grphes. Or 'près l'interpréttion géométrique e l théorie es qusigroupes, à svoir qu'un qusigroupe peut être interprété, omme une toile où les points 'inienes sont les points u qusigroupe, ns notre s ii es points 'inienes sont es points où sont situes les serveurs. Comme nous vons vu ns l éfinition 'un

7 qusigroupe qu'à hque eux points(ii ns le sens e l'opértion éfinie ns le qusigroupe,) on peut éfinir un troisième mis ns e s nous llons ppeler l struture générée pseuoqusigroupe r il n y ur ps 'uniité e point on peut en trouver plusieurs ; 'est e qui justifie le fit que on peut jouter es serveurs sns pour utnt ps étruire l topologie u réseu. Mis un prolème peut être posé à svoir «le Bon serveur où serveur strtégique» Dns e qui suit, nous llons voir le omportement u trnsfert es informtions ns le réseu internet. 2- Trnsfert 'informtion (TCP/IP) Dns e qui suit, nous llons essyer e justifier le omportement e l'informtion lors 'un trnsfert es informtions sur le Net. Dns notre isussion nous llons poser r - (TCP/IP) pour éfinir l onservtion intte près trnsfert, 'est-à-ire non hngement es informtions. Dns l suite, nous llons essyer e éfinir ertines trnsformtions qui nous permettrons e rmener le prolème tehnique u trnsfert e l'informtion vers un prolème lgérique. Nous llons éfinir un ertin nomre e trnsformtions ifférentes (qutre u totl) suivnt l struture es informtions, lesquelles sont onnées sous forme e pquets. 1- L trnsformtion ientique : Nous llons l noter e - (TCP/IP), 'est l trnsformtion e onservtion totle : elle onserve le nomre, l struture et l ouleur es informtions u pquet. 2- L trnsformtion hromtique : Elle ser notée - (TCP/IP), 'est l trnsformtion qui onserve le nomre e tous les éléments et l struture mis qui hnge l ouleur 'u moins un élément (informtion) 3- L trnsformtion e quntité : Elle ser notée q - (TCP/IP), 'est l trnsformtion qui onserve l ouleur e toutes les informtions u pquet insi que l struture mis qui hnge le nomre e es éléments. 4- L trnsformtion e struture : Elle ser notée s - (TCP/IP), 'est l trnsformtion qui onserve le nomre es informtions insi que l ouleur mis qui hnge l struture. Dns e qui suit, u lieu e noter e- (TCP/IP), - (TCP/IP),q- (TCP/IP),s- (TCP/IP) nous llons noter simplement e,, q, s respetivement. Nous pouvons otenir 4 utres trnsformtions en ominnt les 3 (, q, s) utres iessus insi nous vons : q : hnge l ouleur et le nomre es éléments ns le pquet es : hnge seulement es ouleurs es éléments u pquet et s struture

8 qs : hnge l quntité es éléments et l struture qs : hnge le nomre e ouleurs es éléments u pquet et l struture. Consiérnt l possiilité es trnsformtions iretes et inverses es pquets e ouleurs il existe omme on peut le luler 27 types e ominisons e trnsformtion à prtir es trnsformtions e-, -, q-, s-, q-, es-, qs-, qs-, qui vont onstituer un ensemle que nous llons ppeler B : B = {e, +, ", q +, q", s +, s", + q + > + q\ "q + > ~q~, V, V, "s +, "s\ qv, qy, q"s +, q~s\ + qv> + qv, + q"s +, "q + s +, "q"s +, 'qv, + q"s", "q"s"} L omposition «o» e hque pire e trnsformtions pr exemple s + et es" ns le sens e l suite e leur rélistion ser toujours un élément e B : s + o V = +. En utilisnt l théorie e l'lgère universelle nous pouvons ire que l struture e (B, o) est un qusi groupe ommuttif ve un élément unité e, on une oule plus préisément, une oule e Bol r l'ientité : o ( o ( o )) = ( o ( o )) o est vérifiée V,,, G B. L Boule (B, o) peut générer 27 2 =729 types e ménismes à 2 étts e trnsformtion e ouleur à un niveu ns un pquet. Conlusion Le rôle joué pr ette nouvelle struture lgérique ns l'explition ou ien ns l justifition es iées ou pour l vérifition es hypothèses est hutement éterminnt. C'est pourquoi les trvux présentés ii, justifint pr les formules lgériques l moélistion en rsse e l'outil Internet font e e Réseu un outil très puissnt. Mis u reste il fut que les utomtes progrmmles intervennt ns le trnsfert es informtions evrient être pté pr le fit que ei n'est ps un groupe mis un qusigroupe e Bol et peut être l solution es prolèmes liés u trnsfert e ertines informtion pourr être trouvée. BIBLIOGRAPHIE 1- Bruk R. H. A survey of inry systems : Berlin : Springer-verlg, p. 2- Tits J. Groupes simples et geometries ssoiées : M. pro. Int. Congress of mthemtiins. Stokholm P Murel E., Roux D., Dupont D. Tehniques opértionnelles 'oronnnement fonées sur l méthoe PERT «potentiels-tâhes» Colletion e l Diretion es étues et reherhes 'Eletriité e Frne/ éition EYROLLES p. 4- Roy Bernr Algère moerne et théorie es grphes. Duno Cours Séminire Ingénieur Applition Internet CITI Youne u 04 u 15 otore Greg Ben Internet Server onstrution Kit for Winows/ Jonh Wiley & Sons, In 7- Rik Stout The worl wie we omplete referene/ Osorne MGrw-Hill