Probabilité 1 - L1 MMIA

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1 Probabilité 1 - L1 MMIA Tra Viet Chi, Bureau E12(G) Exercice 1 (Pour démarrer) 1 Soiet A et B deux esembles Rappelez les défiitios de l itersectio A B, de l uio A B, de la différece A \ B, de la différece symétrique A B et du complémetaire A c 2 Précisez ces différets esembles pour A = [0, 1] et B =]1/2, 2[ 3 Même questio pour A = [0, 1] et B = [1, 2] 4 Même questio pour A =]0, 1[ et B =]1, 2[ 5 Soit maiteat (A ) ue suite déombrable d esembles Rappelez les défiitios de A et A (utilisez les quatificateurs et ) 6 Précisez A 1, A 2, A 3, A et A pour A ( N ) défii par A = [0, 1/] 7 Même questio pour A = [0, 1 1/[ 8 Même questio pour : { A = [0, 1/(2p)[ si = 2p, p N ] 1/(2p + 1), 0] si = 2p + 1, p N Exercice 2 (Pour démarrer(2)) O cosidère ue classe d élèves Soiet les esembles suivats : A = { l élève a ue moyee supérieure à 10} B = { l élève est u garço} C = { l élève a faim} Exprimer à l aide des opératios esemblistes les évéemets ci-dessous : 1 l élève a ue moyee supérieure à 10, est pas u garço et a pas faim (A seul se produit), 2 A et C se produiset, mais pas B, 3 les trois évéemets se produiset, 4 L u au mois des évéemets se produit, 5 Deux évéemets au mois se produiset, 6 U évéemet au plus se produit, 7 Aucu des trois évéemets e se produit, 8 Exactemet deux évéemets se produiset, 9 Pas plus de deux évéemets se produiset Exercice 3 (Limites if et sup d esembles) Soit (A ) ue suite de parties d u esemble Ω O défiit par lim sup A l esemble des élémets de Ω apparteat à ue ifiité de A et par lim if A l esemble de Ω apparteat à tous les A sauf à u ombre fii d etre eux 1 Ecrire les défiitios de lim sup A et lim if A à l aide des symboles usuels et 2 E déduire que lim sup A = A k Doez ue formulatio aalogue pour lim if A 3 Calculez lim sup A et lim if A das les cas suivats : pour N, A =], a ] où pour p N, a 2p = 1 + 1/(2p) et a 2p+1 = 1 1/(2p + 1) pour p N, A 2p =]0, 3 + 1/(3p)[ et A 2p+1 =] 1 1/(3p + 1), 2[ 1 k

2 pour N, A = p N où (p ) est la suite des ombres premiers et p N l esemble des multiples de p 4 Motrez les relatios esemblistes suivates : ( lim sup ) c lim sup A = lim if (A B ) = lim sup Ac, lim if A lim sup B, A lim sup A, lim sup (A B ) lim sup A lim sup B Exercice 4 (Mot de passe) 1 Combie de mots de passe de 8 symboles peut-o créer avec 66 caractères? 2 Combie existe-t-il de ombres etiers formés de 3 chiffres disticts? 3 Combie de plaques d immatriculatio différetes coteat 4 lettres suivies de deux chiffres peut-o faire? Exercice 5 (Tiroir à chaussettes) U tiroir cotiet 2 N chaussettes ( paires) Yoa, qui part e voyage a décidé d emmeer 2r chaussettes (r ) Au momet de faire sa valise ue pae d électricité surviet Il pred doc 2r chaussettes au hasard Quelle est la probabilité qu il y ait parmi ces 2r chaussettes aucue paire complète? Quelle est la probabilité qu il y ait parmi ces 2r chaussettes exactemet k paires complètes, avec 1 k r? Exercice 6 (Jeu de Cartes) U jeu de 52 cartes cotiet 4 as O forme au hasard 4 paquets de 13 cartes Quelle est la probabilité que chaque paquet cotiee u as? Exercice 7 (Tableaux oirs) Si 10 tableaux oirs doivet être affectés à 4 écoles, de combie de maières peut-o les répartir? Qu e est-il si chaque école doit recevoir au mois u tableau? Exercice 8 (Probabilités d itersectio et d uio) 1 Si A et B sot deux évéemets tels que P(A) = 0, 9 et P(B) = 0, 7 Est-il possible que P(A B) = 0, 6? 2 Soiet A et B deux esembles Exprimer P(A B) e foctio de P(A), P(B) et P(A B) 3 Soiet (A ) [1,N ] ue suite d esembles Motrer la formule du crible : P N = ( 1) 1 [1,N ] A =1 1<i 1<i 2< <i P ( ) 4 Si de plus, P k [1, ] A i k e déped que de, motrer que : P [1,N ] A = k [1, ] ( N ) ( 1) 1 CNP A k =1 5 U facteur distrait distribue au hasard N lettres das les N boîtes d u immeuble Quelle est la probabilité pour qu aucu habitat de l immeuble e reçoive sa lettre? Quelle est sa limite lorsque N +? 6 U coursier distribue à préset r prospectus das ces mêmes boîtes aux lettres (r N), e oubliat au fur et à mesure où il les a déposés Quelle est la probabilité pour que chaque locataire reçoive au mois u prospectus Exercice 9 (Escroc morpho-graphologue) U morpho-graphologue préted pouvoir associer la photo d ue persoe à u spécime de so écriture O lui présete doc photos et spécimes d écriture Bie sûr, c est u escroc et il répod au hasard 1 Quelle est la probabilité qu il se trompe sur toutes les photos? 2 Quelle est la probabilité qu il fasse exactemet k associatios exactes parmi les? Exercice 10 (Formules sommatoires) Motrer les relatios suivates pour p N,, N, q N : C k = 2, kc k = 2 1, k=0 k=0 k=0 ( C k ) 2 = C 2, C q 1 1 = qcq, C p + C p+1 = C p+1 2 k=0 A ik C k p C k q +1, N k= = C p+q, C k = C +1 N+1

3 Exercice 11 (Utilisatio de la formule de Pascal) 1 O cosidère, N N tels que N Motrer la formule de Pascal : N k= C k = C +1 N+1 2 Soiet, p N Ue ure cotiet boules umérotées de 1 à O tire p boules avec remise Calculer la probabilité que le uméro de la boule uméro p soit supérieur ou égal à ceux des p 1 boules tirées précédemmet Calculer la limite de cette probabilité quad + 3 Repredre la questio 2 pour des tirages sas remise Exercice 12 (Dauphis) Ue famille de dauphis est costituée de six femelles et de quatre mâles O choisit au hasard das cette famille u groupe de quatre dauphis Soit X la variable aléatoire représetat le ombre de femelles du groupe 1 Quelles sot les valeurs possibles de X? 2 Détermier la loi de X 3 Calculer E (X) 4 Calculer Var (X) Exercice 13 (Grossiste) U grossiste estime que la demade e toes de derées périssables est ue variable aléatoire X de loi 1 Calculer la demade moyee 2 Calculer la variace de X 3 Calculer la probabilité que la demade soit 1 iférieure ou égale à deux toes k P (X = k) 0, 05 0, 15 0, 2 0, 35 0, 15 0, 1 2 supérieure ou égale à ue toe et iférieure ou égale à trois toes 3 strictemet supérieure à deux toes 4 Le stock du grossiste est de trois toes Il gage ciq mille euros par toe vedue et perd deux mille euros par toes ivedue O ote Y la variable aléatoire discrète représetat so bééfice ou sa perte 1 Exprimer Y e foctio de X 2 Calculer E (X) 3 Calculer Var (X) Exercice 14 (Ajustemet d u paramètre) Soit a R + et X la variable aléatoire discrète à valeurs das {1, 2, 3, 4, 5} défiie par la loi de probabilité P (X = k) = 1 6a (k a)2 1 Pour quelle(s) valeur(s) de a la loi ci-dessus est-elle bie ue loi de probabilité? O rappelle les formules k 2 = 2 Calculer E (X) et Var (X) ( + 1)(2 + 1) 6 ( ) 2 ( + 1) et k 3 = 2 Exercice 15 (Ecore) Soit a R + et X la variable aléatoire discrète à valeurs das {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} défiie par la loi de probabilité P (X = k) = a k (8 k) 1 Pour quelle(s) valeur(s) de a la loi ci-dessus est-elle ue loi de probabilité? 2 Calculer E (X) et Var (X) Exercice 16 (Puissaces) Soit X la variable aléatoire preat les valeurs 1, 0 et 1 avec probabilité, respectivemet, p 2, 1 p, p 2 Soit k N 1 Détermier selo les valeurs de k la loi de X k 2 Calculer E ( X k) selo les valeurs de k 3

4 Exercice 17 (Tirage de boules) Ue ure cotiet boules umérotées de 1 à ( 2) O tire au hasard sas remise k boules (1 k < ) O ote X la variable aléatoire représetat le plus petit uméro obteu 1 Quelles sot les valeurs possibles de X? 2 Détermier la loi de X 3 Calculer E (X) 4 Calculer Var (X) Exercice 18 (Casio) Au casio, Patrick décide de miser sur u même uméro jusqu à ce qu il gage ou jusqu à ce qu il e dispose plus d arget à miser A chaque tour, il mise la même somme et o suppose que le uméro sort avec probabilité p Soit X la variable aléatoire représetat le ombre de tours joués O ote m N la mise effectuée à chaque tour et o suppose qu il dispose d ue fortue iitiale égale à Nm (N N\{0, 1}) 1 Quelles sot les valeurs possibles de X? 2 Détermier la loi de X 3 Calculer E (X) 4 Calculer Var (X) 5 O ote Y la variable aléatoire preat les valeurs 0 ou 1 défiie par : Y = 0 si le joueur perd toute sa fortue et Y = 1 si le joueur sort gagat 1 Détermier la loi de Y 2 Calculer E (Y ) 3 Calculer Var (Y ) Exercice 19 (Fraudeur) Arsèe décide de plus acheter sa carte orage et de voyager par les trasports e commu sas ticket O suppose qu il effectue 2N voyages das le mois et que la probabilité qu il soit cotrôlé au cours d u voyage est p O ote X le ombre de cotrôles au cours du mois 1 Quelles sot les valeurs possibles de X? 2 Détermier la loi de X 3 Calculer E (X) 4 Calculer Var (X) 5 La carte orage coûte m euros par mois (m N ) et le motat d ue amede est de a euros (a N ) Soit Y la variable aléatoire représetat l écart etre la somme dépesée e achetat ue carte orage et la somme dépesée e payat les amedes 1 Exprimer Y e foctio de X 2 Calculer E (Y ) et Var(Y ) Exercice 20 (Diffusio télévisée) Ue ville de provice décide de créer deux chaîes de télévisio émettat que le week-ed : ue à vocatio culturelle, l autre à vocatio sportive Ue equête a permis d établir que 15% des foyers comptet regarder la chaîe culturelle et 85% la chaîe sportive O s itéresse alors à ce qui va se passer les 9 week-eds suivat la mise e service de ces deux chaîes 1 Quelle est la loi de la variable aléatoire X doat le ombre de week-eds où u foyer regarde la chaîe culturelle? 2 Doer so espérace et sa variace 3 Durat ces 9 week-eds, quelle est la probabilité qu u foyer regarde la chaîe sportive : 1 tous les samedis? 2 au mois 6 fois? 3 au plus deux fois? Exercice 21 () Calculer l espérace et la variace des lois suivates (o détermiera la (les) valeur(s) de la costate C > 0) k 1 P (X = k) = C, k = 1, 2,, ( + 1) O rappelle les formules k 2 = ( + 1)(2 + 1) 6 et ( ) 2 ( + 1) k 3 = 2 2 P (X = k) = C θk k!, k N Calculer de plus la foctio géératrice de X (o calculera C e foctio du paramètre θ) 4

5 3 P (X = k) = C 2k, k N Calculer de plus la foctio géératrice de X (k + 1)! C 4 P (X = k) = k(k + 1), k N 5 Das les deux premiers cas, calculer P{X pair} Das le derier cas, pour quelles valeurs de α > 0 a-t-o E (X α ) < +? Exercice 22 (Relatio liéaire) Soit X ue variable aléatoire sur N et a et b deux ombres etiers o uls O pose Y = ax + b 1 Calculer la foctio de répartitio et la foctio géératrice de Y e foctio de celles de X 2 O suppose de plus que Var (X) < + Calculer Var (Y ) e foctio de Var (X) 3 Applicatio : X B(1, p), p ]0, 1[ et Y = 2X + 5 Exercice 23 (Gâteau aux raisis) Combie faut-il mettre de raisis secs das u kg de pâte pour qu e mageat ue part de gateau de 50 g o ait au mois 99% de chace de mager du raisi? Exercice 24 (Tirage de cartos) Soit N Ue ure cotiet 2 cartos umérotés de 1 à 2 1 O tire au hasard u carto et o ote X la variable aléatoire égale au uméro du carto tiré Doer la loi de X, so espérace et sa variace 2 U joueur a la possibilité d effectuer deux tirages das ce sac avec la stratégie suivate Il se doe a priori u ombre k [1, 2] Si le premier tirage doe u uméro au mois égal à k, il s arrête, sio, le carto tiré est remis das le sac et il effectue u secod tirage Soit Y la variable correspodat au uméro du carto fialemet tiré Détermier la loi de Y e foctio de et k Calculer so espérace et motrer qu elle est maximale pour k = +1 Comparer les espéraces de X et Y Exercice 25 (Ue utilisatio du biôme de Newto) Ue ure cotiet N boules blaches et boules oires O effectue das cette ure des tirages sas remise jusqu à ce que toutes les boules oires soiet tirées Soit X la variable aléatoire décrivat le ombre de tirage écessaire Détermier la loi de X et so espérace Exercice 26 (Tirages sas remise) Ue ure cotiet N boules umérotées de 1 à O effectue des tirages successifs sas remise Pour k [1, ], o ote X k la variable aléatoire égale au uméro de la k ème boule tirée Détermier la loi de X 1, puis celle de X 2, puis celle de X k pour k [1, ] Exercice 27 (Les clés et les luettes de Pierre-Adré) Pierre-Adré a oublié ses clés et ses luettes chez l u de ses 5 amis La probabilité qu il ait oublié ses clés et ses luettes chez 2 amis différets mais détermiés est 1/40, et la probabilité qu il les ait oubliées chez ue même persoe (détermiée) est 1/10 Calculer la probabilité des évéemets suivats : 1 Pierre-Adré trouve les 2 objets chez des amis différets, 2 Pierre-Adré trouve les 2 objets chez le même ami, 3 Pierre-Adré trouve ses clés après ses luettes, 4 Soit X la variable aléatoire égale au ombre de visites écessaires pour retrouver les 2 objets Détermier sa loi et so espérace Exercice 28 (Ecore des ures) Das ue ure coteat iitialemet N boules umérotées de 1 à, o effectue deux tirages successifs suivat la techique suivate : si o tire au premier coup la boule uméro k, alors celle-ci est remise das l ure avec k boules supplémetaires portat toutes le uméro k O effectue alors le secod tirage O appelle X 1 la variable égale au uméro de la boule tirée au premier coup, et X 2 celle égale au uméro de la boule tirée au secod coup 1 Détermier la loi de X 1, so espérace et sa variace 2 Détermier la loi de X 2 et vérifier que : P (X 2 = k) = 1 5

6 3 Motrer que : E (X 2 ) = k idicatio : k/( + k) = k + 2 /( + k) 4 Détermier u équivalet simple de E(X 2 ) lorsque + (idicatio : itroduire ue somme de Riema) Exercice 29 (Et ecore ue ure) Ue ure cotiue 2 boules umérotées de 1 à O effectue tirages successifs Soit p [2, ] O ote E p l évéemet "le uméro obteu au tirage p est iférieur ou égal aux uméro des boules tirées précédemmet" 1 Si les tirages sot idépedats et avec remise, motrer : P (E p ) = 1 ( ) p 1 k et calculer lim + P (E p ) 2 O suppose maiteat que les prélèvemets se fot sas remise Motrer que P (E p ) = 1/p 3 Toujours avec des tirages sas remise, o cosidère les variables aléatoires suivates Pour tirages X est la variable aléatoire égale au ombre de fois que l évéemet E p s est réalisé (1 p ) Pour p [1, ], o ote Y p la variable qui vaut 1 si E p est réalisé et 0 sio Quel est le lie etre X et les variables Y 1, Y E déduire ue expressio de l espérace de X Exercice 30 (Ure) Ue ure cotiet au départ ue boule blache et ue boule oire A chaque étape, o tire ue boule de l ure Si elle est blache, o la remet das l ure avec ue boule blache supplémetaire O arrête les tirages lorsqu o a obteu la boule oire Soit X le ombre de tirages effectués 1 Détermier la loi de X 2 La variable aléatoire X admet-elle ue espérace? ue variace? Exercice 31 (Ure) O effectue des tirages avec remise das ue ure coteat ue boule rouge, ue boule oire et ue boule blache, jusqu à obteir la boule blache Soit X le ombre de tirages effectués, et Y le ombre de fois que la boule rouge a été tirée 1 Quelle est la loi de X, so espérace et sa variace 2 Quelle est la loi de Y, so espérace et sa variace Exercice 32 () Soit X ue variable de Poisso de paramètre λ > 0 Calculer E ( ) X Exercice 33 () Soit X ue variable aléatoire de loi géométrique de paramètre p ]0, 1] Calculer E (1/X) Comparer le résultat à 1/E (X) Exercice 34 (Variable Poisso) Soit X ue variable de Poisso de paramètre λ > 0 Quelle est la valeur de X la plus probable? La comparer à E (X) Exercice 35 (Variable géométrique) 1 Soit X ue variable géométrique de paramètre p ]0, 1[ Motrer que P (X = + k X > ) = P (X = k) 2 Soit X ue variable aléatoire sur N telle que P (X = 1) = p avec 0 < p < 1 et pour tout k etier positif ou ul, P (X = 1 + k X > 1) = P (X = k) Motrer que X suit ue loi géométrique de paramètre p Exercice 36 (Loi de variable aléatoire) Soit X ue variable aléatoire à valeurs das N vérifiat Détermier la loi de X k N, P (X = k 1) = 2 kp (X = k) 3 6

7 Exercice 37 (Casio Royale) James se red au casio et décide de jouer à la roulette toujours le même uméro jusqu au gai, e doublat sa mise à chaque ouveau tirage A chaque partie, ce uméro a ue probabilité p de sortir (0 p 1) O ote s la mise iitiale du joueur, et o suppose que gager rapporte m fois la mise Soit N le ombre de parties jouées, et G le gai du joueur à la fi de la partie Quelle est la loi de N? 1 Exprimer G e foctio de N 2 E déduire le gai moye e foctio de p, s et m Exercice 38 (Utilisatio des sommes de Riema) 1 Soit N O cosidère la suite (u k ) k [1, ] la suite défiie par : k [1, ], u k = a k 2 + k 2 (1) Détermier le réel a (foctio d ue somme) pour que (1) défiisse ue loi de probabilité 2 Etudier la covergece de (a ) 3 O cosidère la suite (X ) de variables aléatoires à valeurs das [1, ] telles que : k [1, ], P (X = k) = u k Calculez E(X ) et e doer u équivalet lorsque + Exercice 39 (Utilisatio des séries expoetielles) 1 Soit a R O cosidère la suite (u ) défiie par : N, u = 1 ( ) 2 + a 8! Pour quelle valeur de a la suite (u ) défiit-elle ue loi de probabilité? 2 Pour la valeur de a calculée e 1 o cosidère les variables aléatoires X et Y à valeurs das N, idépedates et idetiquemet distribuées telles que : N, P (X = ) = P (Y = ) = 1 ( ) 2 + a 8! Calculez l espérace de X 3 Détermier la loi de X + Y Exercice 40 (Utilisatio de récurrece) 1 Soiet a et b deux réels strictemet positifs Motrer que : a b + b a 2 2 Soiet N et (p k ) k [1, ] des réels positifs ou uls Notos S = p k, A = kp k, B = p k/k et D = A B S 2 Motrer que : 2S A ( + 1)B (o pourra cosidérer la différece) 3 Etablir que : ( ) N A, D +1 = D + p ( + 1)B 2S 4 E utilisat les questios précédetes, motrer par récurrece que si (p ) 1 est ue suite de réels positifs, alors : ( ) 2 ( ) ( ) N p k, p k kp k k 5 Soit Z ue variable aléatoire discrète à valeurs das N et o suppose que Z admet ue espérace Motrer que la variable 1/Z admet aussi ue espérace et que : ( ) 1 E 1 Z E (Z) 7

8 Exercice 41 () Soit N O tire au hasard X de loi uiforme sur [1, 2] O choisit alors Y uiformémet etre 1 et X 1 Calculer p = P (Y, X, X Y ) O pourra utiliser les évéemets {X = k =} et motrer que : {Y, X, X Y } = 2 k= {k Y, X = k} 2 Calculer 1 3 E déduire lim + p 0 1 x 1 + x dx Exercice 42 (Ragemet de boules) O répartit au hasard b boules das c cases O ote N le ombre de cases vides Calculez l espérace de N Exercice 43 (Quelques lois usuelles : lois de Beroulli et biômiale) Soiet X 1, X N N variables aléatoires idépedates de loi de Beroulli B(1, p) 1 Quelles sot l espérace et la variace de X 1? de X 2? 2 Quelle est la loi de N X k? Calculez so espérace et sa variace 3 Calculez pour a et b N : ( N ) ( ) 8 P X k > a, P 1 X k b Exercice 44 (Quelques lois usuelles : loi de Poisso) Soit Y ue variable aléatoire de loi de Poisso de paramètre λ > 0 1 Calculez l espérace et la variace de Y 2 Calculez pour c et d N : ( N ) ( ) 8 P X k c, P 1 < X k d Exercice 45 (Quelques lois usuelles : loi géométrique) Soiet X et Y deux variables aléatoires idépedates et de même loi géométrique de paramètre p ]0, 1[ : k N, P (X = k) = p(1 p) k 1 1 Doez l espérace et la variace de X 2 Quelle est la loi de Z = mi(x, Y )? Exercice 46 (Loto) 1 Ue ure cotiet b boules blaches et r boules roues O les tire toutes ue à ue sas remise et o les rage par ordre de tirage O appelle séquece toute suite iiterrompue de boules de la même couleur Evetuellemet, ue séquece peut être réduite à ue seule boule O ote NB et NR le ombre de séqueces de boules rouges et de boules blaches 11 Détermier la loi du couple de variables aléatoires (NB, NR) 12 Détermier la loi des variables aléatoires NB et NR 2 Au loto, o tire six uméros gagats parmi les ombres de 1 à 49 Quelle est la probabilité pour que parmi les uméros gagats (et sas teir compte des tirages), il y e ait pas deux cosécutifs? Exercice 47 (Tirage de boules) 1 Soit N et X ue variable aléatoire à valeurs das {0, 1,, } Motrer que E (X) = P (X k) 2 O effectue trois tirages d ue boule avec remise das ue ure coteat boules umérotées de 1 à ( 3) Soit X le plus petit uméro obteu Détermier la loi et l espérace de X O pourra utiliser l égalité ( ) 2 ( + 1) k 3 = 2 8

9 Exercice 48 (Commerçat) U commerçat estime que la demade d u certai produit saisoier est ue variable aléatoire X de loi p k P(X = k) = (1 + p) k+1 pour k N où p est le prix d ue campage publicitaire de l aée précédete 1 Calculer la demade moyee 2 Calculer Var(X) 3 Coaissat so stock s, calculer la probabilité de rupture de stock Exercice 49 (Cocierge) U cocierge a clefs, chacue ouvrat qu ue seule porte Il les essaie l ue après l autre e élimiat après chaque essai la clef qui a pas coveu Trouver le ombre moye d essais écessaires pour trouver la boe clef Exercice 50 (Efats) 1 Mo voisi a deux efats dot ue fille Quelle est la probabilité que l autre soit u garço? 2 U collègue a égalemet deux efats, dot le plus âgé est ue fille Quelle est la probabilité que l autre soit u garço Exercice 51 (Oeufs de tortues) Le ombre X d œufs podus par ue tortue au cours d ue pote suit ue loi de Poisso de paramètre λ > 0 U œuf a la probabilité p d arriver à éclosio Quelle est la loi du ombre Y de bébés tortues à chaque pote? Exercice 52 (Tirage) O sait que 5% des hommes et 0, 25% des femmes sot daltoies O choisit u daltoie au hasard Quelle est la probabilité que cette persoe soit u homme? Exercice 53 (Gates of fortue) U jeu télévisé américai se déroule comme suit Sur le plateau sot disposées trois portes Cachés derrière l ue de ces portes se trouvet de somptueux cadeaux A l issue du jeu, le gagat doit choisir ue des portes Ue fois ce choix accompli, le présetateur ouvre ue porte différete derrière laquelle il y a pas de cadeaux (le présetateur coaît la porte gagate) Le cadidat a alors deux possibilités : soit il maitiet so choix, soit il chage d avis et reporte so choix sur la porte o ouverte restate Quelle serait votre stratégie? Exercice 54 (Rhume) O suppose que le ombre de rhume attrapés e u a par u idividu est ue variable aléatoire de Poisso de paramètre 5 U médicamet prévetif réduit ce paramètre de 3 lorsqu il fait effet La probabilité pour que ce médicamet fasse effet est 0,75 Stéphaie essaie ce médicamet et attrape 2 rhumes das l aée Quelle est la probabilité pour que le médicamet ait été efficace sur Stéphaie? Exercice 55 (Répétitio de jeux idépedats) Sébastie et Aldéric jouet ue suite de parties idépedates Lors de chacue d elles, ils ot respectivemet les probabilités p et q = 1 p de gager Le vaiqueur fial est celui des deux joueurs qui le premier obtiet deux victoires de plus que so adversaire Quelle est la probabilité pour qu Aldéric soit le vaiqueur fial? Exercice 56 (Couple de variables aléatoires) Soiet X et Y les variables aléatoires discrètes dot la loi joite est doée par le tableau suivat : X \ Y ,10 0,05 0,15 0,05 1 0,15 0,20 0,25 0,05 1 Vérifier que ce tableau défiit bie ue loi de probabilité bivariée 2 Quelle est la loi margiale de X? 3 Quelle est la loi margiale de Y? 4 Calculez P (Y 0 X = 1) 5 Calculez les espéraces de X, Y, leurs variaces, et la covariace de X et Y 9

10 X \ Y c/8 c/8 0 1 c/4 3c/8 c/8 Exercice 57 (Couple de variables aléatoires 2) Soiet X et Y les variables aléatoires discrètes dot la loi joite est doée par le tableau suivat : 1 Calculez c pour que le tableau précédet défiisse bie ue loi de probabilité 2 Doez les lois margiales de X et Y 3 Calculez les espéraces et variaces de X et de Y 4 Calculez la covariace de X et Y 5 Soiet U = 3X Y et V = 4X + Y Calculez cov(u, V ) 6 Soit W = 100V Calculez P (W > 240) Exercice 58 (Couple de variables aléatoires) Soiet Z et X deux variables aléatoires etières telles que : Z est à valeurs das [1, ] pour N, La loi de X sachat que Z = k est la loi uiforme sur [0, k ] 1 Détermier les lois de X et de (X, Z) e foctio des P (Z = k) 2 Calculer l espérace de X e foctio de E(Z) 3 Comparer les lois de X et de Z X Exercice 59 (Ure) O cosidère ue ure coteat + 1 boules umérotées de 0 à O y effectue ue suite de tirages successifs avec remise O défiit la suite (X k ) k N de la faço suivate : X 1 est la variable aléatoire égale à 1 presque sûremet Pour p 2, X p = 1 si le uméro obteu au tirage p a pas été obteu lors d u précédet tirage, et X p = 0 das le cas cotraire 1 Détermier la loi de X 2 2 Motrer que la loi de X p suit ue loi de Beroulli de paramètre : 3 Motrer que : ( ) p i < j, P (X i = 1, X j = 1) = ( 1)i 1 j i ( + 1) j 1 4 E déduire la loi du produit X i X j 5 Calculer la covariace de (X i, X j ) Coclusio? 6 Soit N 2 O ote Z N la variable aléatoire égale au ombre de uméros disticts obteus au cours des N premiers tirages Exprimer Z N e foctio des X k et e déduire so espérace 7 Doer u équivalet simple de E (Z N ) lorsque + Etait-ce prévisible? Exercice 60 (Tirages simultaés das deux ures) O dispose de deux ures coteat l ue et l autre r boules rouges et b boules blaches O tire simultaémet les boules de chaque ure, sas remise O dit qu il y a recotre au tirage si les boules tirées sot de même couleur O ote R le ombre de recotres Détermier l espérace de R Exercice 61 (Jeu de dés) 1 O jette deux dés équilibrés Quelle est la probabilité qu au mois l u d etre eux motre 6? 2 Quelle est la probabilité qu au mois l u d etre eux motre 6 sachat que les deux résultats sot différets? Exercice 62 (Lacé de deux dés) O jette deux dés 1 Calculez la probabilité pour que la somme obteue soit au mois égale à 10 2 Calculez la probabilité pour que la somme obteue soit au mois égale à 10, sachat que l u des dés a doé 5 Exercice 63 (Tirage de deux cartes) O tire successivemet deux cartes das u jeu de 52 cartes Quelle est la probabilité pour que la deuxième soit oire? 10

11 Exercice 64 (Populatio e 3 classes) Ue compagie d assurace répartit ses cliets e 3 classes : "bas risque", "risque moye", "haut risque" Pour chacue de ces catégories, la probabilité d avoir au mois u accidet au cours de l aée est 0,05, 0,15 et 0,30 Les parts de ces classes das la populatio sot p 1 = 20%, p 2 = 50%, p 3 = 30% 1 Quelle est l espérace du ombre de cliets ayat u accidet ou plus au cours d ue aée doée? 2 Si u cliet a pas eu d accidet ue aée doée, quelle est la probabilité qu il fasse partie de la classe à bas risque? O procède à u tirage avec remise de idividus et o ote X, Y, Z le ombre d idividus du premier type, du secod type, du troisième type das l échatillo tiré 1 Détermier la loi de (X, Y ) Qu e est-il de Z? 2 Quelle est la loi de X? 3 Calculer P (Y = y X = x) 4 Détermier les espéraces et les variaces de U = X + Y Exercice 65 (Répétitios jusqu au succès) O tire à pile ou face avec ue pièce jusqu à obteir m fois pile, m état fixé à l avace La pièce est truquée et la probabilité d avoir pile est p ]0, 1[ O ote X le ombre d essais écessaires Détermier la loi de probabilité de X Quelle est cette loi das le cas m = 1? Exercice 66 (Test etaché d erreur) Das u élevage, o a décelé ue maladie La probabilité pour qu u aimal soit atteit par cette maladie est 2/10 Sachat qu u lapi est atteit par la maladie, la probabilité qu il présete ue réactio positive à u test fixé par le vétériaire est 9/10 S il est pas malade, la probabilité pour qu il présete ue réactio égative est 95/100 1 Calculez la probabilité pour qu u lapi tiré au hasard das l élevage présete ue réactio positive au test 2 E déduire la probabilité pour qu u lapi, tiré au hasard das l élevage, soit atteit de la maladie sachat qu il présete ue réactio positive au test Exercice 67 (Electio) Lors d ue électio, ue proportio p des électeurs vote pour Nicolas et ue proportio (1 p) vote pour Ségolèe Des électeurs ot été iterrogés lors d u sodage précédat les électios La probabilité qu u électeur voulat voter pour Nicolas répode hoêtemet est 90% et la probabilité qu u électeur voulat voter pour Ségolèe répode hoêtemet est 95% 1 Calculez e foctio de p la probabilité q pour qu u électeur pris au hasard répode qu il va voter pour Nicolas 2 E déduire e foctio de p la probabilité r pour qu u électeur, pris au hasard, vote réellemet pour Nicolas, sachat qu il a répodu qu il vote pour Nicolas 3 Calculez q et r lorsque p = 5% et p = 45% Exercice 68 (Foctios géératrices de lois usuelles) Calculez les foctios géératrices des lois de Beroulli et de Poisso Exercice 69 (Avec des matrices) Soiet α et β deux réels de l itervalle ]0, 1[ O cosidère la matrice : ( ) α β M = M 1 α 1 β 2 (R) 1 Détermiez les valeurs propres et les vecteurs propres de M 2 Pour tout N, détermiez les valeurs propres et les vecteurs propres de M 3 Calculez M, pour tout N 4 Soit (X ) ue suite de variables aléatoires, défiies sur le même espace probabilité (Ω, T, P) Pour tout N, X est ue variable de Beroulli de paramètre p ]0, 1[ Les probabilités coditioelles a = P (X +1 = 1 X = 1) et b = P (X +1 = 1 X = 0) e dépedet pas de et sot des élémets de ]0, 1[ O pose : D = ( p 1 p ), T = ( a b 1 a 1 b Exprimer D e foctio de D 0 et T, puis exprimer p e foctio de, a et b 5 Calculez lim + p ) 11

12 Exercice 70 (Série géométrique) Deux amies, Mylèe et Magali, jouet aux dés Chacue jette ue paire de dés (o truqués) et recommece jusqu à ce que la différece des poits de ses deux dés soit égale à quatre Les deux amies jouet simultaémet et la partie s arrête dès que chacue a obteu ue différete égale à 4 L uité de temps est de 10 secodes O suppose que les deux amies jettet les dés toutes les uités de temps, de faço idépedate, l u pouvat évetuellemet cotiuer seul O ote Y le ombre d uités de temps que dure la partie Quelle est la loi de Y? Exercice 71 () O cosidère ue variable aléatoire X de loi uiforme sur {1,, 9} 1 Calculez l espérace et la variace de X 2 Majorez la quatité P ( X 5 > 4) grace à l iégalité de Bieaymé-Tchebichev Que vaut e fait cette probabilité? Commetez Exercice 72 (A l usie) O suppose que le ombre de pièces sortat d ue usie doée e l espace d ue semaie est ue variable aléatoire d espérace 50 1 Majorez la probabilité que la productio de la semaie prochaie dépasse 75 pièces? 2 O sait de plus que la variace de la productio hebdomadaire est de 25 Majorez la probabilité que la productio de la semaie prochaie soit comprise etre 40 et 60 pièces? Exercice 73 (Jeu de dé) O cosidère u dé à 6 faces pour lequel la probabilité d apparitio du 5 à chaque lacer est p ]0, 1[ O lace le dé k N fois et o ote X la variable aléatoire égale au ombre de fois où le uméro 5 est apparu 1 Pour quelles valeurs de k la probabilité est-elle o ulle? 2 Etudier les variatios de la foctio f : x ]0, 1[ ( X P k = 1 ) 6 ( ) 5 6 x(1 x) Soit N O suppose que k = 6 Calculez a = P (X = ) 4 O suppose que p 1/6 41 Motrer que : a P ( X 6p 1 6p ) 42 E déduire u majorat de a (idépedat de ) e utilisat l iégalité de Bieaymé-Tchebicheff 43 Calculer lim + a +1 /a 5 Nous allos étudier la série a e utilisat les résultats précédets : 51 Déduire de la questio précédete que : 52 Motrer que : L ]0, 1[, 0 N, 0, a +1 a L A > 0, 0, a AL 53 Motrer que la série de terme gééral a coverge Exercice 74 () Soit X ue variable aléatoire sur N dot la foctio géératrice est défiie sur [ 1, 1] et doée par G X (t) = t2 2 t 2 1 Détermier la loi de X 2 Calculer l espérace et la variace de X 3 Mêmes questios pour la variable Y = X/2 (o calculera sa foctio géératrice G Y ) 4 Répodre aux questios (a) et (b) pour la foctio géératrice G X (t) = et l 2 1 t 12

13 Exercice 75 (Lois de Poisso et de Pascal) Calculer la foctio géératrice, l espérace et la variace d ue loi de Poisso de paramètre λ > 0, puis d ue loi de Pascal de paramètres r N et p ]0, 1[ O pourra utiliser pour la loi de Pascal l égalité k(k 1) (k j + 1)t k j j! = (1 t) j+1 k j Rappel : X suit ue loi de Pascal si pour k r : P (X = k) = C r 1 k 1 pr (1 p) k r Exercice 76 (Loi géométrique) Soit X ue variable aléatoire de loi géométrique de paramètre p ]0, 1] O pose Y = X 2 1 {X pair} 1 Détermier la loi de Y 2 Calculer sa foctio géératrice G Y 3 Calculer so espérace et sa variace 4 Mêmes questios si X suit ue loi de Poisso de paramètre λ > 0 O rappelle que cosh(λ) = eλ + e λ λ 2k = 2 (2k)! Exercice 77 (Calcul de momets) Soit X ue variable aléatoire de loi de Poisso de paramètre λ > 0 Quelle est sa foctio géératrice G X? Pour tout k N, o ote P k le polyôme défii par Calculer E (P k (x)) E déduire E ( X 3) k=0 P k (x) = k(k 1) (x k + 1) Exercice 78 (Boules rouges et vertes) Esteria et Rosaa ayat trouvé ue ure coteat v boules vertes, r boules rouges et b boules blaches, décidet de jouer au jeu suivat : Esteria effectue des tirages avec remise das l ure, jusqu à obteir ue boule rouge ou ue boule verte Si la derière boule est rouge, c est Esteria qui gage, si elle est verte, c est Rosaa qui l emporte 1 Quelle est la probabilité que Rosaa gage au i ième tirage? 2 Soit X le ombre de tirages effectués Quelle est la loi de X? 3 Calculer la foctio géératrice G X de X 4 Calculer l espérace et la variace de X Exercice 79 (Pile ou face) Ali et Medhi lassés du jeu de pile ou face décidet d e chager les règles Ils vot lacer fois la même pièce ( N), et le premier va parier sur l apparitio de pile u ombre pair de fois parmi les lacers, et l autre sur l apparitio de pile u ombre impair de fois O ote p la probabilité d obteir pile (0 < p < 1), et p la probabilité d obteir e lacers u ombre pair de piles (o coviet que 0 est pair) 1 Pour N, exprimer p e foctio de p 1 2 E déduire la valeur de H(s) = p s 3 Calculer p =0 Exercice 80 (Saut e hauteur) Javier tete, au saut e hauteur, de frachir successivemet les hauteurs 1, 2, 3,,, etc O suppose les sauts idépedats et o suppose que la probabilité de succès à la hauteur est égale à 1 ( N) O ote X la derière hauteur frachie 1 Quelles sot les valeurs possibles de X? 2 Détermier la loi de X 3 Doer l expressio de la foctio géératrice de X 4 Calculer E(X) 5 Calculer E ( X 2) 6 Calculer Var(X) Exercice 81 (Ciema) Das u ciéma où o projette le troisième épisode de la guerre des plaètes, il arrive X persoes souhaitat voir le film O suppose que X est ue variable aléatoire discrète de loi géométrique de 13

14 paramètre p ]0, 1[ La capacité de la salle ou o projette le film est que de places O ote Y le ombre de persoes isatisfaites, c est-à-dire e pouvat pas retrer das la salle 1 Détermier la loi de Y 2 Détermier la foctio géératrice de Y 3 Calculer le ombre moye de persoes isatisfaites Exercice 82 () Soit X ue variable biomiale de paramètres N et p ]0, 1[, et Y ue variable de Poisso de paramètre λ > 0 O ote p k (, p) = P (X = k) Motrer que p k (, p) P (Y = k) quad + et p 0 de telle sorte que p λ Exercice 83 (Estimateurs d ue proportio et d ue variace) Soit (X ) ue suite de variables aléatoires idépedates et de même loi de Beroulli B(1, p) avec 0 < p < 1 Pour tout N, o pose : S = X k et X = S 1 Motrer que N, E ( X ) = p et que lim + X = p ps 2 Quelle est la variace σ 2 d ue variable aléatoire suivat la loi B(1, p)? 3 O se propose d approcher σ 2 par la suite (U ) où U = X (1 X ) 1 Calculez E (U ) et lim + U (précisez le ses de cette limite) 2 Proposez ue autre approximatio de σ 2, V qui vérifierait E(V ) = σ 2 Exercice 84 (Itervalles de cofiace) Das ue populatio de N = idividus, la proportio d idividus présetat de plus de 1 m 77 est p = 0, 4 O prélève u échatillo de taille = et o ote X le ombre d idividus de l échatillo de plus de 1 m 77 1 Quelle est la limite lim + X /? 2 Miorez la probabilité des évéemets : {030 X / 050}, {035 X / 045}, {038 X / 042} 3 Calculez la logueur miimale L de la fourchette telle que : ( P 0, 40 L 2 X L ) Exercice 85 (Hypoerglycémiques) O veut obteir ue estimatio de la proportio d hyperglycémiques parmi des persoes âgées de plus de 60 as O choisit au hasard = 170 persoes das cette populatio et o costate qušil y a X = 31 hyperglycémiques 1 Doez ue approximatio Y de la proportio d hyperglycémiques 2 Doez E(Y ), Var(Y ) et lim + Y 3 Doez deux itervalles de cofiace au risque 5% et 1% pour la proportio d hyperglycémiques Comparer les deux itervalles 14

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