CORRECTION DU BREVET 2008

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1 CORRECTION DU BREVET 008 Troisième Liban I - ACTIVITÉS NUMÉRIQUES ( points) Eercice ) Si l on considère l achat du premier client et l équation 6 + y = 8, 0, alors on peut dire que représente le pri d une boule en et y celui d une guirlande ) a) Le cœfficient multiplicateur associé à une réduction de 0 % est égal à : 0 = 0, = 0,8 00 Par conséquent, appliquer une réduction de 0 % revient à multiplier ce pri par 0,8 b) Le second client a droit à une réduction de 0 % sur tous les articles du magasin ; il paiera donc 0,8 euros pour une boule et 0,8 y euros pour une guirlande Or il achète cinq boules et cinq guirlandes, et paye 5,60 ces articles 5 0, ,8y = 5, 60, c est-à-dire + y = 5,60 On obtient donc l équation : En divisant les deu membres de cette égalité par, on obtient : 3) Méthode par substitution : 6 + y = 8, ( 6,0 ) = 8,0 + y = 6,0 y = 6, ,0 = 8, 0 y = 6,0 5 = 8,0 6,0 = y = 6,0 = =,0 5 y = 6,0,0 = Vérification :, 0 + = 6,0 et 6, 0, 0 8, 0 est bien solution du système 5,60 + y = = 6,0 + = + = ; d où le couple (,0 ; ) Méthode par combinaisons : 6 + y = 8, 0 ( ) 6 + y = 8, 0 ( ) + y = 6, 0 5 = 8,0 6,0 = 6 + y = 8,0 ( ) = =,0 ( 3) 5 y = 8, 0 6, 0 = 8, 0,0 = =,0 Brevet - - C Lainé Liban juin 008

2 + = + = ; d où le couple (,0 ; ) Vérification :, 0 + = 6,0 et 6, 0, 0 8, 0 est bien solution du système ) Par conséquent, le pri d une boule est de,0 et celui d une guirlande de Eercice ) a) ( ) ( )( ) ( ) E = = Alors, E = = b) Soit 3 = Alors Donc, E = lorsque = 3 E = = = c) Marc a eu raison de développer E car les calculs, réalisés pour calculer E lorsque = 3, sont plus simples et plus rapides ) a) La solution de l équation E = 0 qu a trouvée mentalement Léa est = 5 En effet, la valeur 5 annule chacun des termes : ( 5) et ( 5)( ) b) Le terme commun dans E est 5 ; alors : + E = ( 5) + ( 5)( + ) = ( 5)( 5) + ( 5)( + ) = ( 5) ( 5) + ( + ) D où : E = ( 5)[ ] = ( 5)( 3 ) c) D après la question précédente, résoudre l équation E = 0 revient à résoudre l équation 5 3 = 0 Si un produit de facteurs est nul, alors au moins un moins l un des facteurs est nul 5 3 = 0 signifie que : Donc, 5 = 0 ou 3 = 0 = 5 ou 3 = = 5 ou = 3 Par conséquent, la seconde solution de l équation E = 0 est = 3 3) Lorsque =, la forme de E qui paraît la plus adaptée pour calculer la valeur eacte de 9 E est la formé factorisée 5 8 D où : E = 5 3 = = = 8 est irréductible car 3 et 9 ne divisent ni, ni Donc, E = lorsque = 7 9 Brevet - - C Lainé Liban juin 008

3 II ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES ( points) Eercice ) Dans un triangle ABC rectangle en A, on connaît la longueur de l hypoténuse et la longueur du côté opposé à l angle ACB, alors : ( AB sin ACB) =, d où BC AB 3 BC = = sin ACB sin 30 La réponse correcte est donc la C ) L image du triangle par la rotation de 0 au tour de B dans le sens contraire des aiguilles d une montre est le triangle 7 ; la réponse correcte est donc la C 3) AOC = AOB + BOC = 6 + BOC Or l angle au centre BOC et l angle inscrit BDC interceptent le même arc BC Alors BOC = BDC = 0 = 0 On en déduit que : AOC = = 0 La réponse correcte est alors la B ) Les droites (BE) et (AD) sont sécantes en C Les droites (AB) et (DE) sont parallèles D après le théorème de Thalès, on a : CD CE ED = =, c est-à-dire 5 = 9 CA CB AB CB En passant «au inverses», on obtient : BC = 5 9 La réponse correcte est donc la C Autre méthode : Il n y a qu une seule réponse eacte Or les deu égalités des réponses A et B sont équivalentes En effet, BC 9 = = = BC 5 BC 5 Alors les réponses A et B ne peuvent pas être correctes Brevet C Lainé Liban juin 008

4 Eercice ) Voir graphique ci-dessus ) M est le milieu du segment [ AC ] Alors Alors M a pour coordonnées ; 3) Le vecteur BC y y 3 + A C M = = = y A C M = = = a pour coordonnées ( ; y y ), c est-à-dire ( ; ) C B C B ) le quadrilatère ABCE est un parallélogramme si AE = BC E A = BC Or AE = BC équivaut à ye ya = y, c est-à-dire à E = + BC A = + = 3 y BC E = y + y BC A = + 3 = 5 Par conséquent, le point E a pour coordonnées ( 3 ; 5) 5) a) Voir construction ci-dessus b) ( ) ( y y ) BD = D B + D B = + + = + = 5 cm, cm Brevet - - C Lainé Liban juin 008

5 III PROBLÈME ( points) Partie I : ) Comme on désire recouvrir la totalité du fond de la caisse parallélépipédique (de dimensions 96 cm et 56 cm) des paquets cubiques, alors la longueur de l arête d un paquet est un diviseur commun à 96 et à 56 Comme on souhaite la longueur maimale, celle-ci correspondra au PGCD des deu nombres Cherchons le PGCD de 96 et de 56 : D après l algorithme d Euclide : a b reste division euclidienne = = = = + 0 = + 0 Le PGCD de 56 et 96 est le dernier reste non nul, c est-à-dire Par conséquent, la longueur maimale de l arête d un paquet est cm ) 56 = 3 et 96 = 8 On pourra donc disposer 3 paquets sur la longueur et 8 paquets sur la largeur au fond de la caisse 3) = ; il y aura donc paquets sur la hauteur de la caisse Or 8 3 = 8 D où une caisse pourra contenir 8 paquets Partie II : ) a) Volume de lessive (en cm 3 ) , Masse de lessive (en g) , Masse totale d un paquet de lessive (en g) On sait que cm 3 de lessive pèse,5 g Alors cm 3 de lessive pèse,5 cm 3 Comme un paquet vide pèse 00 g, alors un paquet plein contenant cm 3 de lessive pèse 00 +,5 cm 3 b) On voudrait que la masse totale d un paquet de lessive soit 300 g On est donc amené à résoudre l équation 00 +,5 = Or 00 +,5 = 300 équivaut à,5 = = 00, ou encore à = = 00,5 Par conséquent, pour que la masse totale d un paquet de lessive soit 300 g, il faut y mettre 00 cm 3 de lessive ) a) Brevet C Lainé Liban juin 008

6 y 3000 y=f() y= Partie III : ) Comme le dessin est réalisé à l échelle, alors chaque côté de la face BFGC mesurera 3 cm sur cette figure En effet, = 3 ) aire (LKGJ) = aire (BFGC ) aire ( GCJ) aire (LKFB ) En utilisant les dimensions du dessin (LB + FK ) BF = ( + ) 3 =,5 cm GC GJ 3 = =,5 cm, aire (LKFB ) = (petite base + grande base ) hauteur et en effet, l'aire d'un trapèze est égale à aire ( GCJ) = aire (BFGC ) = BF = 3 = 9 cm Donc aire (LKGJ) = 9,5,5 = 3 cm Par conséquent, l aire de la bande sur le dessin est 3 cm Brevet Liban -6- C Lainé juin 008

7 Comme le dessin est une réduction de la figure réelle avec un cœfficient égal à, alors l aire de la bande sur le dessin est égale à l aire réelle de la bande multipliée par D où ( aire réelle de la bande) = 3, c est-à-dire aire réelle de la bande = 3 6 = 8 Donc, l aire réelle de la bande LKGJ est égale à 8 cm Brevet C Lainé Liban juin 008