AVRIL 2010 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie B Option Économie. MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures)

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1 ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN AVRIL 2010 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Optio Écoomie MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures) Note : l épreuve est composée d exercices idépedats qui peuvet être traités das u ordre idifféret. Exercice 1 O se propose de calculer les itégrales de Wallis défiies pour apparteat à N, esemble des etiers aturels, par: I 2 0 (cost) dt J 2 0 (si t) dt K 1 1 (1 t 2 ) dt L 1 1 ( t 2 1) dt Questio 1 : Calcul de I a) Calculer I 0 et I1 puis trouver ue relatio de récurrece etre I et I 2 b) Doer I e foctio de Questio 2 : Calcul de J a) Trouver ue relatio etre J et I b) Doer J e foctio de Questio 3 : Calcul de K a) Trouver ue relatio etre K et I 21 b) Doer K e foctio de Questio 4 : Calcul de L a) Trouver ue relatio etre L et K b) Doer L e foctio de

2 Exercice 2 Trois persoes A, B et C jouet au ballo. Si A possède le ballo, il le passe à B avec la probabilité de 1/3 et à C avec la probabilité de 2/3. Si B possède le ballo, il le passe à A avec la probabilité de 1/3 et à C avec la probabilité de 2/3. Si C possède le ballo, il le passe à A avec la probabilité de 1/3 et à B avec la probabilité de 2/3. O ote A (respectivemet B, C ) l évéemet «A (resp. B, C) reçoit le ballo après le ième échage» et X p( A p( B p( C ) ) ) O suppose qu à l istat iitial, A possède le ballo. O a doc X Questio 1 : Détermier la matrice M telle que X +1 = MX et calculer ses vecteurs propres. Questio 2 : Calculer la probabilité que chacu des joueurs possède le ballo après le 5 ième échage. Questio 3 : Motrer que la suite (M ), défiie par M = M, coverge vers ue certaie matrice M que l o calculera. Iterpréter M X 0. Exercice 3 Ue persoe pred le bus pour se redre à so travail. L heure de so arrivée à la statio de départ est uiformémet répartie etre 7 et 8 heures du mati. Pour se redre à so travail, il a le choix etre la lige 4 ou la lige 7 dot les heures de passage sot : 4 : 7h00 ; 7h15 ; 7h30 ; 7h45 ; 8h00 7 : 7h05 ; 7h20 ; 7h35 ; 7h50 Le voyageur mote das le premier bus ( 4 ou 7) qui se présete.

3 Questio 1 : O désige par X l attete e miutes du voyageur. a) Détermier la foctio de desité f et la foctio de répartitio F de X et les représeter graphiquemet (coseil : pour calculer f, vous pouvez découper la trache horaire 7h 8 h e 12 traches de 5 miutes). b) Calculer la durée moyee d attete du voyageur. Questio 2 : La durée du voyage est de 15 miutes avec la lige 4 et 20 miutes avec la lige 7. Le voyageur met 10 miutes pour se redre de so domicile à la statio de départ, puis u temps égligeable pour se redre de la statio d arrivée à so lieu de travail. O désige par Y le temps total mis par le voyageur etre so domicile et so lieu de travail. Calculer le temps moye mis par le voyageur pour se redre de so domicile à so lieu de travail.

4 ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN AVRIL 2010 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Optio Écoomie ORDRE GÉNÉRAL (Durée de l épreuve : 3 heures) Les cadidats traiterot au choix l u des trois sujets suivats. Sujet 1 Das so livre Race et histoire, Lévi-Strauss costate que "l'humaité est costammet aux prises avec deux processus cotradictoires dot l'u ted à istaurer l'uificatio [des cultures], tadis que l'autre vise à maiteir ou à rétablir la diversificatio", et il affirme pour sa part "la écessité de préserver la diversité des cultures das u mode meacé par la mootoie et l'uiformité". Que pesez-vous, à l'heure de la "modialisatio", de cette affirmatio? Sujet 2 Quels sot les atouts dot dispose l Afrique pour so développemet écoomique, et quels sot les obstacles qui au cotraire freiet ce développemet? Sujet 3 Le poète romatique Vigy opposait, à la liberté de la ature, la servitude que l'homme s'est artificiellemet imposée das les villes, ces "cités serviles" où rège "l'esclavage humai". Que pesez-vous de cette visio de la ville comme lieu de cotraite et de servitude?

5 ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN AVRIL 2010 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Optio Écoomie ÉCONOMIE (Durée de l épreuve : 4 heures) Le cadidat traitera au choix l u des deux sujets suivats. Sujet 1 Les ejeux du libre-échage pour les pays e développemet. Sujet 2 I - Exercice de microécoomie (8 poits) Soit le cosommateur A dot les préféreces sot représetées par la foctio d utilité : U(q 1, q 2 ) = q 1/2 1/4. 1 q 2 1) Doez ue autre foctio d utilité représetat les préféreces de ce cosommateur A. 2) Ses préféreces sot-elles covexes? Iterprétez cette propriété. E quoi est-elle détermiate? 3) Doez le taux margial de substitutio de A au paier de dotatio iitiale Q A 0 = (1, 4) Iterprétez. 4) Soit u vecteur de prix quelcoque (p 1, p 2 ). Calculez le choix optimal de cocurrece parfaite de A. Représetez-le graphiquemet. Iterprétez. 5) Soit u secod cosommateur B avec les mêmes préféreces que A mais avec des dotatios iitiales Q B 0 = (3, 3). Doez so choix de cocurrece parfaite. 6) Calculez la demade ette de bie 1. 7) Qu est-ce que la loi de Walras? E déduire la demade ette de bie 2. 8) Doez u vecteur de prix d équilibre. Quelle propriété d efficacité possède cet équilibre?

6 II - Exercice de macroécoomie (6 poits) Soit u gouveremet soucieux de réduire le chômage et les iégalités sas creuser so déficit budgétaire. Il s agit de costruire u modèle macro-écoomique de type IS-LM qui distigue les salariés et les capitalistes. Soiet T 1, les impôts payés par les salariés et T 2, ceux payés par les capitalistes. Soiet C 1 la cosommatio des salariés et C 2 celle des capitalistes. Soiet wn la masse salariale et Π le profit total de la période. Les foctios de cosommatio des salariés et des capitalistes sot alors doées par : C 1 = (wn - T 1 ) C 2 = (Π T 2 ) Soit i le taux d itérêt. La demade de moaie est doée par : ΔM d = 0.02Y + 15 i L ivestissemet des etreprises I est fiacé par émissios de titres et est doé par : I = i La dépese publique est otée G et l offre de moaie ΔM s. 1) Commet expliquez vous les différeces de foctio de cosommatio? 2) Sachat que les parts respectives des salaires et des profits das le PIB sot égales (Y/2 chacue), doez la foctio de cosommatio globale e foctio de Y, T 1, T 2. 3) Doez l équilibre sur le marché des bies. 4) Doez l équilibre sur le marché de la moaie. 5) Sachat que G = 1036, ΔM s = 100 et que T 1 = T 2 = 240, doez le reveu d équilibre global. 6) Doez le ouveau reveu d équilibre après ue politique fiscale de redistributio telle que T 1 = 100 et T 2 = 380. Expliquez les mécaismes à l œuvre aisi que le résultat obteu. III - Questios (6 poits) 1) Les deux théorèmes de l écoomie du Bie Etre (1 poit). 2) Après avoir rappelé la défiitio d ue exteralité, expliquez quel(s) problème(s) pose sa présece das u cadre stadard de cocurrece parfaite. Présetez succictemet les pricipaux istrumets d iteralisatio (3 poits). 3) Présetatio et ejeu de la théorie du reveu permaet (2 poits).

7 ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN AVRIL 2010 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Optio Écoomie ANALYSE D UNE DOCUMENTATION STATISTIQUE (Durée de l épreuve : 2 heures) Exercice 1 O étudie la répartitio des salaires mesuels d ue etreprise de N salariés. Pour chaque trache de fracs, o coaît le ombre d agets dot le salaire est das cette trache. Les résultats sot doés das le tableau ci-dessous (tableau 1). Tableau 1 Répartitio selo le salaire mesuel (e fracs) i Trache i 1 [0 ; 1000[ 15 2 [1000 ; 2000[ 27 3 [2000 ; 3000[ 85 4 [3000 ; 4000[ [4000 ; 5000[ [5000 ; 6000[ [6000 ; 7000[ 65 8 [7000 ; 8000[ 73 9 [8000 ; 9000[ [9000 ; 10000[ 25

8 Questio 1 : Calculer la moyee et l écart type du salaire mesuel. Questio 2 : Représeter graphiquemet la foctio de répartitio du salaire mesuel. j N ' j Questio 3 : O ote N j la somme cumulée défiie par N j i et N j. O ote i 1 N10 égalemet y i = i x i, où x i est le cetre de classe et Y j la somme cumulée défiie par j Y ' j Y j y i. O défiit efi Y j. Par covetio, o ote N 0 = N 0 = Y 0 = Y 0 = 0. i 1 Y10 Soit M j le poit du pla cartésie de coordoées (N j, Y j ), avec M 0 de coordoées (0,0). Doer das u tableau, les coordoées des poits M j avec quatre décimales. Questio 4 : O appelle lige de cocetratio la lige obteue e joigat les poits M j. Soiet O le poit de coordoées (0,0), A(1,0) et B(1,1). Tracer sur ue même figure la lige de cocetratio, les poits O, A et B et la première bissectrice OB. O predra comme uité OA = AB = 10 cm. Questio 5 : Commeter le graphique précédet. Questio 6 : O veut calculer l idicateur statistique défii comme le rapport de l aire comprise etre le segmet OB et la lige de cocetratio et l aire du triagle OAB. Coaissez-vous cet idicateur? Questio 7 : Doer la sigificatio de cet idicateur, otammet lorsque celui-ci est ul. Questio 8 : E utilisat la courbe de la questio 4, idiquer quel pourcetage de la masse salariale reviet aux 20% des salariés les mois rémuérés de l etreprise, aux 50% des salariés les mois rémuérés, aux 25% des salariés les mieux rémuérés. Exercice 2 O étudie l évolutio des salaires e Frace e 2007 das les etreprises. Questio 1 : A partir d élémets doés das le tableau 2 ci-après, calculer u idice d évolutio des salaires bruts e euros courats pour ue populatio que vous précisez. Questio 2 : Commeter chacu des trois tableaux ci-après (tableaux 2, 3 et 4).

9 Tableau 2 Salaires mesuels et horaires moyes et répartitio des effectifs selo le sexe et la catégorie socio-professioelle Salaires bruts Salaires ets de tous prélèvemets Répartitio des effectifs (%) Euros courats Euros costats Evolutio (%) Euros courats Euros costats Evolutio (%) SALAIRES MENSUELS DES POSTES A TEMPS COMPLET (et effectifs e aées-travail) Esemble , ,5 100,0 100,0 Cadres , ,3 16,3 16,4 Prof. iterm , ,1 24,5 24,6 Employés , ,7 22,8 22,8 Ouvriers , ,0 36,3 36,2 Hommes , ,6 100,0 100,0 Cadres , ,5 18,3 18,4 Prof. iterm , ,3 22,6 22,5 Employés , ,5 11,2 11,2 Ouvriers , ,1 47,9 48,0 Femmes , ,6 100,0 100,0 Cadres , ,9 12,7 12,9 Prof. iterm , ,1 28,2 28,5 Employés , ,8 44,5 44,0 Ouvriers , ,8 14,6 14,6 Smic (151,67h) , ,1 - - SALAIRES HORAIRES (et effectifs e ombre d'heures travaillées) Salariés à temps complet Hommes 17,83 18,38 1,6 13,41 13,82 1,6 65,8 65,5 Femmes 14,86 15,35 1,8 11,13 11,47 1,6 34,2 34,5 Esemble 16,81 17,34 1,6 12,63 13,01 1,5 100,0 100,0 Cadres 1 33,01 34,24 2,2 24,59 25,51 2,2 16,7 16,8 Prof. iterm. 17,07 17,53 1,2 12,78 13,10 1,0 24,6 24,7 Employés 11,80 12,08 0,9 8,96 9,16 0,7 22,6 22,5 Ouvriers 12,33 12,62 0,8 9,31 9,55 1,0 36,1 36,0 Salariés à temps o complet Hommes 16,18 16,87 2,7 12,32 12,82 2,5 30,5 30,6 Femmes 13,01 13,45 1,8 9,78 10,09 1,7 69,5 69,4 Esemble 13,98 14,50 2,2 10,55 10,93 2,0 100,0 100,0 Cadres 1 28,89 29,87 1,8 21,46 22,21 1,9 11,4 12,2 Prof. iterm. 16,33 16,74 1,0 12,31 12,60 0,8 18,6 18,5 Employés 10,77 11,03 0,9 8,16 8,34 0,7 48,0 47,9 Ouvriers 11,16 11,35 0,2 8,56 8,67-0,2 22,0 21,4 Smic 8,15 8,36 1,1 6,40 6,56 1,0 1. Y compris chefs d'etreprise salariés. Champ : salariés du secteur privé et semi-public, Frace. Source : Isee, DADS

10 Tableau 3 Evolutios auelles, e euros costats, des salaires moyes pour les emplois à temps complet e % Salaire brut moye 1 0,2 1,7 0,6 0,9 0,9 0,3 0,6 1,1 1,0 1,6 Salaire moye et de prélèvemets 0,9 1,6 0,5 1,1 0,6-0,3 0,0 1,0 0,4 1,5 Salaire brut moye à structure costate -0,1 1,1 0,0 0,2 0,1-0,2 0,2 0,9 0,8 1,3 Salaire moye et de prélèvemets à structure costate 0,6 1,0-0,1 0,4-0,2-0,8-0,4 0,8 0,2 1,2 Icidece des effets de structure sur le salaire et 0,3 0,6 0,6 0,7 0,8 0,5 0,4 0,2 0,2 0,3 Pour mémoire : idice des prix à la cosommatio 0,7 0,5 1,7 1,7 1,9 2,1 2,1 1,8 1,6 1,5 1. Les variatios des rémuératios o soumises à cotisatios sociales (participatio, itéressemet) sot prises e compte das les évolutios du salaire brut moye seulemet à partir de l'évolutio 2001/2002. Champ : salariés à temps complet du secteur privé et semi-public, Frace. Source : Isee, DADS Tableau 4 Distributio des salaires mesuels ets de tous prélèvemets E euros courats Déciles Esemble Hommes Femmes D D D D Médiae D D D D D9/D1 2,9 2,9 3,1 3,1 2,6 2,6 Lecture : E 2007, 10% des salariés à temps complet du secteur privé et semi-public gaget u salaire mesuel et iférieur à euros, 20% u salaire iférieur à euros. Champ : salariés à temps complet du secteur privé et semi-public, Frace. Source : Isee, DADS

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