Raisonnements Mathématiques
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- Eugénie Poulin
- il y a 7 ans
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1 Chapitre 1 Raisoemets Mathématiques Le mathématicie italie Giuseppe Peao était très soucieux d exposer les mathématiques das u cadre précis et rigoureux. Das so Formulaire mathématique publié e 1895, il itroduisit de ombreux symboles ouveaux. O lui doit e particulier et désigat respectivemet l itersectio et la réuio. Il utilise la lettre grecque epsilo, abréviatio du grec esti, il est, pour oter l apparteace et itroduit le quatificateur existetiel qu il ote, reversat u E pour sigifier l iitiale du mot italie esiste. Il propose aussi de supprimer les décliaisos du lati pour obteir ue lague iteratioale, simple et comprise par tous, qu il omme Latio sie flexioe. Le logicie aglais Bertrad Russell propose u paradoxe qui remet e cause la théorie des esembles et écessite de la foder sur u système d axiomes. Bertrad Russell
2 Les icotourables Objectifs Savoir effectuer u raisoemet par récurrece. Savoir utiliser u raisoemet par récurrece d'ordre supérieur ou égal à. Et plus si affiités Savoir effectuer u raisoemet par récurrece forte (ou gééralisée). Savoir mettre e œuvre u raisoemet par l'absurde. Savoir maipuler les coecteurs logiques et les quatificateurs.
3 Résumé de cours Les élémets du raisoemet Propositio Défiitio 1.1. O appelle propositio toute phrase P dot o peut dire si elle est vraie ou fausse. Lorsque l'éocé d'ue propositio porte sur ue variable x, ous pourros la oter P ( x). Remarque 1.1 O écrira idifféremmet " P " ou " P est vraie ". Exemple 1.1. Pour tout réel x strictemet positif, "l( x ) > 0" est ue propositio dépedate de la variable x. Elle est vraie si x > 1, et fausse sio. Exemple 1.. "La suite ( u ) N est croissate" est ue propositio. Notos qu'elle e déped pas de l'etier. Exemple 1.3. Pour u dé lacé, "le uméro sorti est pair" est ue propositio. x Exemple 1.4. Pour tout réel x, " (x+ 1) e " 'est pas ue propositio. Quatificateurs Notatio Le sige " " placé devat ue variable x sigifie "quel que soit x...". Le sige " " placé devat ue variable x sigifie "il existe (au mois) u x...". Le sige "!" placé devat ue variable x sigifie "il existe u uique x...". " x R, x + 1> 0" se lit : "quel que soit le réel x, x + 1 est strictemet positif" ou "pour tout réel x, x + 1 est strictemet positif". " x ]0, + [, x 6x+ 1 = 0 " se lit : "il existe au mois u réel x strictemet positif tel que x 6x+ 1 est égal à 0" (il y a d'ailleurs deux tels x : 3+ et 3 ). ( + 1) + ( 1) "! N, = 3" se lit : "il existe u uique etier aturel o ul tel que est égal à 3" (il s'agit du ombre ). Remarque 1.. Notos que, das u éocé, l'expressio "il existe u x" sigifiera toujours implicitemet qu'il e existe au mois u. Si uicité il y a, elle sera explicitemet metioée. Propriété 1.1. E gééral, la propositio ( x, y, P ( x, y) ) est différete de ( y x P x y ),, (, ). Exemple 1.5. La propositio " x R, Z, x< + 1" éoce que, quel que soit le réel x, il existe u etier, tel que x soit compris etre et + 1, cette derière valeur état exclue. C'est ue propositio vraie (qui défiit d'ailleurs ce que l'o appelle la partie etière de x). Elle est différete de la suivate : " Z, x R, x< + 1" qui affirme, quat à elle, que tous les réels sot compris etre deux etiers fixés. Elle est évidemmet fausse. Remarque 1.3. Das l'expressio " y R, x R,... ", il faut oter que x déped de y, o devrait e toute rigueur le oter x y ou x(y), ce que l'o e fait presque jamais. RAISONNEMENTS MATHÉMATIQUES 3
4 Coecteurs logiques Défiitio 1.. La propositio cotraire de P, otée op et appelée égatio de P, est la propositio qui est vraie lorsque P est fausse et qui est fausse lorsque P est vraie. Propriété 1.. La égatio de ( x, P ( x) ) est la propositio ( x P x ) La égatio de ( x, P ( x) ) est la propositio ( x,o P ( x) ).,o ( ). Exemples 1.6. Pour u dé lacé trois fois, le cotraire de "les trois uméros obteus sot pairs" est "au mois u des uméros obteus est impair ". La égatio de " x R, Z, x< + 1" est : " x R, Z, x< ou x + 1". La première propositio est vraie puisqu elle défiit l etier qui est la partie etière de x (voir exemple 1.5) et la deuxième est fausse car il existe pas de réel x tel qu aucu etier e soit x 1, x. das l itervalle ] ] Défiitio 1.3. Soit P et Q deux propositios. O appelle disjoctio de P et Q la propositio (P ou Q), le "ou" état etedu ici iclusivemet (soit P, soit Q, soit les deux). Exemple 1.7. Pour u dé lacé, o cosidère P : "le uméro sorti est pair", et Q : "le uméro sorti est supérieur ou égal à 3". Alors, (P ou Q) est : "le uméro sorti est, 3, 4, 5 ou 6". Défiitio 1.4. Soit P et Q deux propositios. O appelle cojoctio de P et Q la propositio (P et Q) (les deux simultaémet). Exemple 1.8. E repreat l'exemple 1.7, (P et Q) est : "le uméro sorti est 4 ou 6". Défiitio 1.5. Soit P et Q deux propositios. O dit que P implique Q, et o ote P Q, lorsque, si P est vraie, alors Q est vraie (l'implicatio Q P est appelée réciproque de P Q). Vocabulaire Lorsque P implique Q, o dit que P est ue coditio suffisate de Q, et que Q est ue coditio écessaire de P. Méthode 1.1. Commet établir que f (x) f (y)? Méthode 1.. Commet établir ue iégalité quelcoque? Méthode 1.3. Commet motrer ue propositio par implicatio? Exemple 1.9. Pour tout réel x, o a : ( x x ) ( x 0) = (l'implicatio réciproque est fausse). Défiitio 1.6. Soit P et Q deux propositios. O dit que P équivaut à Q (ou que P et Q sot équivaletes), et o ote P Q, lorsqu'o a, à la fois, P Q et Q P. Vocabulaire Lorsque P et Q sot équivaletes, o dit que P est vraie si, et seulemet si, Q est vraie. O dit aussi que P est ue coditio écessaire et suffisate de Q. Méthode 1.5. Commet motrer ue équivalece par double implicatio? * Exemple ( ab, ) ( ), ( l a< l b) ( a< b) R. + 4 CHAPITRE 1
5 Exemple Pour tout etier, est multiple de 6 si, et seulemet si, est multiple à la fois de et de 3. Différets types de raisoemets Démostratio par l'absurde Théorème 1.1. Quelles que soiet les propositios P et Q, pour motrer que P implique Q, o suppose que P est vraie, et o motre qu'il est alors impossible que Q soit fausse. Démostratio par récurrece Méthode 1.4. Commet motrer ue propositio par l'absurde? Récurrece simple Théorème 1.. Pour u etier aturel, cosidéros ue propositio P ( ). Si P ( 0 ) est vraie et si, pour u etier aturel fixé supérieur ou égal à 0, la propositio P ( ) implique la propositio P ( + 1), alors la propositio P ( ) est vraie pour tout etier aturel supérieur ou égal à 0. Méthode 1.6. Commet motrer ue propositio par récurrece? Vocabulaire. La preuve de P ( 0 ) s'appelle l'iitialisatio de la récurrece. La vérité de l'implicatio ( P( ) est vraie ) ( P ( + 1) est vraie) s'appelle l'hérédité de la propositio. Attetio! Das l'étude de l'hérédité, o e suppose surtout pas que P( ) est vraie pour tout. C'est pour u etier fixé que l'o motre que, si P( ) est vraie, alors P( + 1) est ecore vraie. Remarque 1.4. La plupart du temps, o a 0 = 0 ou 0 = 1. Récurrece d'ordre p (avec p ) Il arrive que, pour établir ue propositio à u certai rag, o ait besoi de savoir qu'elle est vraie aux p rags précédets (souvet p = ). O a alors : Théorème 1.3. Pour u etier aturel, cosidéros ue propositio P ( ). Si les p premières propositios P(0), P(1),..., P ( p 1) sot vraies et si, pour u etier aturel fixé de N, les p propositios P( ), P( + 1),..., P ( + p 1) impliquet P ( + p), alors la propositio P ( ) est vraie quel que soit l'etier de N. Méthode 1.7. Commet motrer ue propositio par récurrece d'ordre? RAISONNEMENTS MATHÉMATIQUES 5
6 Récurrece forte Pour établir l'hérédité d'ue propositio, il se peut que l'o ait besoi de savoir si elle est vraie à ème ème tous les rags jusqu'au (et o pas seulemet au ), pour e motrer la vérité au rag ( + 1). O a alors le résultat suivat : Théorème 1.4. Pour u etier aturel, cosidéros ue propositio P ( ). Si P (0) est vraie et si, pour u etier aturel fixé, e supposat les propositios P ( k) vraies pour tout k de 0,, o motre que P ( + 1) est vraie, alors la propositio P ( ) est vraie quel que soit l'etier aturel. U exemple de démostratio par récurrece forte sera doé au chapitre Remarque 1.5. O e peut pas remplacer ue récurrece d'ordre par ue récurrece forte. Das le cas d'ue récurrece d'ordre, pour u etier doé, o a besoi de la vérité de P ( ) et de P ( + 1) pour établir celle de P ( + ). La vérité d'ue seule e suffit pas! O e peut doc pas, cotrairemet à ce qui se passe das la récurrece forte, déduire P (1) de P (0) : il faut P (0) et P (1) pour obteir P (), puis eclecher la récurrece. 6 CHAPITRE 1
7 Méthodes Comparaiso d'expressios Méthode 1.1. Commet établir que f( x) f( y)? Si ue foctio f est mootoe sur u esemble I, et si x et y appartieet à I, alors comparer x et y suffit pour comparer f( x ) et f( y ). Plus précisémet : Si f est croissate sur I, alors : x y f( x) f( y). Si f est décroissate sur I, alors : x y f( x) f( y). Remarque : si l'o veut établir des équivaleces au lieu d'implicatios, il faut sigaler e plus la bijectivité de f (ce qui établit l'implicatio réciproque grâce aux variatios de f 1 qui sot les mêmes que celles de f ). Exemple. Motrer que quel que soit l'etier supérieur ou égal à, o a : (ous oteros cette iégalité (I )) Exercice 1.4 Remarque importate de présetatio Nous allos commecer par ue aalyse qui se fait au brouillo, ou même, avec u peu d'habitude, metalemet. Nous proposeros ue rédactio "au propre" das u secod temps. Au brouillo : 1 Compte teu des règles sur les exposats, (I ) s'écrit : 1 1. Puisque la foctio t t est strictemet croissate sur R +, et puisque les deux membres de l'iégalité sot positifs (car ), alors cette derière iégalité équivaut à la suivate : Mais, e développat le membre de droite, ous ous redos compte que cette iégalité est 1 évidete. E effet, elle s'écrit : 1 1 +, c'est-à-dire : 1 0, ce qui est vrai. Méthodes RAISONNEMENTS MATHÉMATIQUES 7
8 Sur la copie : Il suffit de "partir" de la fi du raisoemet au brouillo : = (car 0) doc : La foctio t t est strictemet croissate sur R + et chaque membre est positif (car ) 1 doc : Cette iégalité s'écrit bie : 1 1 Méthode 1.. Commet établir ue iégalité quelcoque? Si l'iégalité que l'o se propose de prouver e peut pas se mettre sous la forme étudiée à la méthode 1.1, alors e "passat tout" das u même membre, o se ramèe à prouver qu'ue expressio est positive (ou égative, selo les cas). Il sera par exemple possible, mais o obligatoire (voir ci-dessous), d'étudier les variatios de la foctio défiie par cette expressio.. Exemple 1. Motrer que : x R, x x 1. + Pour tout réel x positif, o a la chace de costater que : x x 1 + = ( 1) Comme u carré est positif, o e déduit que : x R +, x x O a bie motré que : x R, x x 1. + x. Exercice 1.4 Exemple. Motrer que : x ] 1, + [, l ( 1 + x) x. O pose f ( x) = x l ( 1+ x) et o étudie la foctio f sur ] 1, [ Cette foctio est bie sûr dérivable et o a : x ] [ f ( x) Comme 1+ x > 0, le sige de f ( x) est celui de x, ce qui prouve que f décroît sur ] [ croît sur ] 0, + [. Elle est doc miimale pour x = 0. O a alors : x ] 1, + [, f ( x) f ( 0). Comme f ( 0) = 0 o obtiet : x l ( 1+ x) 0. Coclusio : ] 1, [, l ( 1 ) x + + x x +. 1, +, 1 x = 1 = 1 + x 1 + x 1, 0 et 8 CHAPITRE 1
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