Etude des performances d un véhicule lors du freinage avec système antiblocage de roue (ABS) - Corrigé

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1 TD - - Systèmes Mécaniques Etude des pefomances d un véhicule los du feinage avec système anti de oue (ABS) - oigé Q.. On isole le système complet E = {,, }, on effectue le Bilan des Actions Mécaniques Extéieues (BAME) et on écit le théoème de la ésultante dynamique en pojection su les axes x et y. ontact ponctuel de nomale (I,y ) avec fottement (f ) 0 ontact ponctuel de nomale (I,y ) avec fottement (f ) Pesanteu Inetie m. / (G, z ) Masse m P(G,z ) P(G,z ) Pesanteu Inetie m. / (G, z ) Masse m Dispositif feinage Dispositif feinage Pesanteu Masse M BAME : Théoème de la ésultante dynamique : d E/0 = Fext E Avec = + + = m.x.x + m.x.x + M.x.x = (.m.x. x d E/0 d /0 d /0 d / 0 Thm de la ésultante dynamique en pojection su les axes x et y : (.m.x = T0 + T 0 = (.m.g () () { F } 0 { F } 0 g g g T0.x = 0 I T0.x = 0 Q.. On isole le système complet E = {,, }, on effectue le BAME et on écit le théoème du moment dynamique au point I en pojection su l axe z : I, E/0.z0 = M. z0 I (E E) I 0 0.y.y alcul de : M. z0 I (E E) Pb plan On u?lise la technique du bas de levie pou calcule les moments des foces en I... M.z0 =.N0..m.g. I (E E) N 0 N 0 T 0 T 0 alcul de :, E/0 = I, /0 + I, /0 + I, / 0 I = G, /0 + IG d,/0 = m...z + (..x +.y) m.x.x = m...z m.x..z = G, /0 + IG d,/0 = m...z +.y m.x.x = m...z m.x..z = + G = 0 + (..x +..y) M.x.x =.M.x..z I, /0 I, /0 I, /0 G, /0 I d,/ 0 Floestan MATHUIN Page su

2 TD - - Systèmes Mécaniques D où :..( + ).(m.x. =.N..m.g. () m 0 Q.. On isole le solide, on effectue le BAME et on écit le théoème du moment dynamique au point G en pojection su l axe z. : G, /0.z0 = M. z0 G ( ) alcul de : M. z0 G ( ) Pb plan On utilise la technique du bas de levie pou calcule les moments des foces en I. N 0 f M G ( ).z 0 = f +. T 0 f = G, /0.z0 m.. D où : m.. = f +.T0 (4) m.g T 0 emaque : f est dessiné abitaiement Q.4. On isole le solide, on effectue le BAME et on écit le théoème du moment dynamique au point G en pojection su l axe z. Pa analogie avec la question pécédente on obtient : m.. = f +.T0 () Q.. Dans le cas où il y a glissement simultanément en I et I, on a de toutes les oues = = 0, dx on a donc VI,/ 0 = x. x et VI,/ 0 = x. x avec x = > 0. T 0 et T 0 sont espectivement opposés aux vitesses de glissement = x. x et = x. x qui sont oientées suivant x ( èe loi de oulomb). Pa conséquent on a T 0 < 0 et T 0 < 0. VI,/ 0 V,/ 0 Dans le cas où il y a glissement simultanément en I et I et si T 0 < 0 et T 0 < 0, on a aussi pa conséquent : T 0 = - f.n 0 (6) et T 0 = - f.n 0 (7) ( èe loi de oulomb) I (.m.x Q.7. () + (6) + (7) (.m.x = f.n 0 + f. N0 = N0 0 f () (.m.x () + () (.m.g = f x = f. g (9) Q.7. S il y a des oues : (4) f =. T0 () f =. T0 as avec ABS (pas de des oues) Q.. onditions de oulement sans glissement en I et I : = 0 et = 0 VI,/ 0 VI,/ 0 V = V + V (composition de mouvement) V I,/0 I,/ I,/0 I,/ = VG,/ + IG Ω/ (champ des vitesses) = 0 +.y.z =..x VI,/ De même on obtient pou la oue :. + x = 0 () Floestan MATHUIN Page su

3 TD - - Systèmes Mécaniques VI,/0 = VG,/0 (hamp des vitesses) = V = x.x V,/0 G,/ 0 I. + x = 0 (0) Q.9. Détemine l expession de la décéléation x en fonction de M, m,, f et f. (4)+()..( + ) = + +.(T + T ) () m f f 0 0 ()+()+(0)+() m...x = f + f +.(.m. x ( 4.m..x f + = f + f f x = () (4.m. Q.0. ()+(0)+() x x m..( + ).(m.x. =.N0..m.g..m..x.(m.x. =.N0..m.g. ( 4.m +.M).x. =.N0..m.g. (4.m +.M).x =.M.g +.m.g -.N 0 (4) cqfd. Q.. Détemine les expessions des effots T 0, T 0, N 0, N 0 en I et I en laissant appaaîte explicitement le teme de décéléation x. m M (4) N 0 = ( + ).x + m.g +.M. g () 4 m M ()+() N0 = (.m.g N0 N 0 = (.m.g + ( + ).x m.g.m. g 4 m M N 0 = m.g +.M.g + ( + ). x (6) 4 Q.. (4)+(0) m..x f = f +. T0 T0 = m.x f. Pou que T 0 < 0 il faut m.x < 0 d x f > m.x. (avec x = < 0 ) (7) f.x < m De même on obtient pou f : f d x > m.x. (avec x = < 0 ) () m M Q.. () N 0 = ( + ).x + m.g +.M. g 4 x < 0 donc teme >0 >0 >0 m M Q.4. (6) 0 = 0 0 = m.g +.M.g + ( + ).x N m.g.m.g =.(.m.x N 4 4.m.g.M.g x N = (9) 4.m +.M Si N 0 = 0 cela veut die que la oue aièe est à limite du décollement. Floestan MATHUIN Page su

4 TD - - Systèmes Mécaniques Q.. A la limite du glissement, on a T 0 = - f.n 0 + elations (0)+(4)+(). = m M = m..x + f.. ( + ).x f lim + m.g + M. g 4 m M f lim = f.( + ) + m..x + f..g.(m (0) 4 flim m..x + f.. N0 A la limite du glissement, on a T 0 = - f.n 0 + elations ()+()+(6) = m M = m..x + f.. m.g +.M.g + ( + ). x f lim 4 m M f lim = f.( + ) m..x + f..g.(m () 4 flim m..x + f.. N0 m M Q.6. D apès la question pécédente on a bien flim = f.( + ) + m..x + f..g.(m = a.x + b avec 4 m M a = f.( + ) + m. et b = f..g.(m 4 m M D apès la question pécédente on a bien flim = f.( + ) m..x + f..g.(m = a.x + b avec 4 m M a = f.( + ) m. et b = f..g.(m 4 Q.7. Applications numéiques : m = 0 Kg, M = 000 Kg, = 0,4 m, f = 0, et g = 0 m.s - m M a = f.( + ) + m. = 0,.( + ) + 0.0,4 = b = f..g.(m = 0, 0,4 0.( ) = 90 m M a = f.( + ) m. = 0,.( + ) 0.0,4 = b = f..g.(m = 0, 0,4 0.( ) = 790 Q.. On a au final = 60.x 90 séie su le gaphe et = 44.x 790 séie su le gaphe. f lim + f lim + f + Q.9. () f x = f + f = (4.m.. x f + f = ( ).0,4.x = 4. x ce qui (4.m. coespond à la séie su le gaphe. Q.0. Si on f = falos f + f =.f = 4. x f = f = 6. x (coube ouge su le gaphe) Si on feine le véhicule avec f = f alos il y aua glissement des oues (ce qui n est pas bon pou l efficacité du feinage ca on décélèe plus s il n y a pas glissement) à pati de x = m.s - ce qui est en deca de la valeu de déccéléation maximale x on glisse top tôt! Floestan MATHUIN Page 4 su

5 TD - - Systèmes Mécaniques ouple en N.m flim (si f au delà de cette coube pas bien ca Feinage tel que f = f f + f (coespond au couple de feinage global nécessaie pou feine le véhicule) flim (si f au delà de cette coube pas bien ca Décéléation en m.s - Q.. Pou atteinde x il faut épati le feinage su les oues avant et aièe de telle sote que f et f soient toujous espectivement inféieus à flim et flim et que la somme f + f = 4. x voi coubes pou valeus de fthéoique et fthéoique. flim (si f au delà de cette coube pas bien ca f + f (coespond au couple de feinage global nécessaie pou feine le véhicule) fthéoique ouple en N.m flim (si f au delà de cette coube pas bien ca fthéoique Décéléation en m.s - ette épatition coespond à une épatition du couple de feinage d envion 7% à l avant et 7% à l aièe..m.g.m.g Q.. (9) x N = x N = =, 9m.s - il faudait une 4.m +.M décéléation de,9 m.s - (soit.g!!!) pou que les oues aièes décollent, il n y a donc pas décollement des oues aièe dans l intevalle de décéléation ] x,0]. Floestan MATHUIN Page su