Etude énergétique des systèmes mécaniques

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1 Cours physique TS tude énergétique des systèes éaniques Travail d une fore Le travail d une fore est un transfert d énergie entre deu systèes lié à une fore dont le point d aliation se déplae I Travail d une fore onstante ) Notion de fore onstante Une fore onstante est une fore dont la diretion, le sens, la valeur restent onstants au ours du ouveent ) pression du travail Le travail d une fore onstante au ours d un déplaeent est donné par : W ( F) = F = F os( F, ) 3) Travail oteur et travail résistant Travail oteur : π W ( F) > : ( F, ) < Travail résistant : π W ( F) < : < ( F, ) π Travail nul : π W ( F) = : ( F, ) = 4) Travail du poids Le travail du poids d un solide lorsque son entre d inertie passe de l altitude z à l altitude z est donné par : W ( P) = g( z z )

2 Cours physique TS II Travail éléentaire d une fore variable ) Notion de travail éléentaire La fore F n est pas onstante sur, ais on suose qu elle reste onstante sur un trajet éléentaire d l aussi petit que l on veut u ours du trajet d l, la fore effetue un travail éléentaire δ W tels que δ W = F dl ) pression générale du travail de la fore Le travail total effetué par F au ours du déplaeent orrespond à la soe des travau éléentaires : W ( F) = δw = F dl III liation au travail de la fore eerée sur l etréité d un ressort ) Fore de rael d un ressort

3 Cours physique TS F est la fore de rael du ressort : F = ki Soit F ' la fore eerée par l epérientateur pour étirer le ressort : F ' = F = ki ) pression du travail éléentaire au ours d un déplaeent éléentaire Suosons que l on éarte le entre d inertie du solide d un déplaeent éléentaire d Le entre d inertie se déplae du trajet éléentaire d : δ W = F' dl, d l = di = δ W = ki di = kdi i Or i i = i Don le travail éléentaire effetué par l epérientateur au ours du déplaeent éléentaire d est δ W = kd 3) Déterination du travail de la fore au ours d un déplaeent On peut alors déteriner l epression du travail effetué par ette fore pour passer de la position à la position par deu éthodes différentes a Par intégration ² W ( F' ) = δ W = kd = k d = k = k ² k ² b Par une éthode graphique On trae la ourbe représentant F en fontion de l allongeent du ressort (suosé positif) Le travail éléentaire de la fore au ours d un déplaeent d représente l aire sous la ourbe 3

4 Cours physique TS On peut alors déteriner graphiqueent le travail de la fore au ours d un déplaeent de vers δ W = kd : aire du retangle de largeur d et de longueur k Le travail W ( F' ) est l aire sous la ourbe oprise entre et Ce travail est égal à l aire (du triangle de base ) oins l aire (du triangle de base ) = k = k ² = k = k ² Don W ( F' ) = k ² k ² nergies des systèes éaniques I Les fores d énergies ) nergie inétique Un solide en ouveent de translation (tous les points sont aniés du êe veteur vitessev ) possède l'énergie inétique : = V ² Unités : est en joule (J), est en kilograe (kg), V est en ètre par seonde (/s) ) nergie potentielle L énergie potentielle est une fore d énergie que possède un systèe du fait de son interation ave un autre systèe Cette énergie peut être transférée sous fore d énergie ou sous fore de travail II tude énergétique d un projetile dans le hap de pesanteur ) Définition et epression de l énergie potentielle de pesanteur L énergie potentielle de pesanteur d un systèe traduit son interation ave la Terre La variation d énergie potentielle de pesanteur entre et est égale au travail effetué par un epérientateur pour raener le systèe de la position à la position = W (F) Or W ( F) = W ( P) Don = W P) = g( z z ), = gz gz Or = Don = gz gz D où par identifiation : = gz ( 4

5 Cours physique TS ) Variation d énergie éanique Un projetile en ouveent possède de l énergie inétique, et, oe il se déplae dans un hap de pesanteur, il possède aussi de l énergie potentielle de pesanteur tudions son énergie éanique L énergie éanique du projetile est : = +, soit = V ² + g z prions la variation de l énergie éanique entre deu positions : = ( z ) ( z) = V ² + g z V ² g z = + g( z z) Or, d après le théorèe de l énergie inétique, la variation d énergie inétique d un solide dans un référentiel galiléen est égale à la soe des travau des fores aliquées au solide, soit : = W (F) insi, pour un projetile se déplaçant entre deu positions z et z, la variation d énergie éanique vaut : = W ( F) + g( z z ) pliitons ette relation a n absene de frotteents (hute libre) La seule fore qui agit sur le projetile est le poids Son travail est : W ( P) = g( z z ) Or, = W (P), d après le théorèe de l énergie inétique, et = W ( P) + g( z z ) =, d où est onstante n absene de frotteent, l énergie éanique d un projetile dans un hap de pesanteur unifore est onstante : = g z + V ² = te 5

6 Cours physique TS b n présene de frotteents Il faut prendre en opte les fores de frotteents qui effetuent un travail W ( F f ) : W ( F) = W ( P) + W ( F f ) D où, d après = W F) + g( z z ) : ( = W P) + W ( F f ) + g( z z ), soit : = W ( F f ) ( est négatif ar W ( F f ) est un travail résistant n présene de frotteents, l énergie éanique d un projetile dans un hap de pesanteur unifore diinue, ar sa variation est égale au travail résistant des fores de frotteent : = W ( F f ) Dans e as, la perte d énergie éanique se trouve généraleent onvertie en haleur transférée à l air abiant et à la surfae du projetile On herhe le plus souvent à liiter es pertes en donnant au projetiles des fores aérodynaiques n revanhe, on eploite es fores de frotteents pour ralentir le retour sur Terre des apsules spatiales ; on doit alors les unir de bouliers spéiau en atériau réfrataires III tude énergétique d un systèe {solide ; ressort} ) Définition et epression de l énergie potentielle élastique Lors du travail effetué par l epérientateur pour aener le systèe {solide ; ressort} de la position à la position, il y a transfert d énergie : pe = W ( F' ) = k ² k ² Or pe = pe pe Don pe k ² k ² pe = D où par identifiation pe = k ² ) Variation d énergie éanique a Le systèe {solide ; ressort} non aorti Dispositif epériental : On onsidère le dispositif shéatisé sur la figure i-dessous Le solide a été éarté de sa position d équilibre Il peut se déplaer sans frotteent sur l ae O 6

7 Cours physique TS tablisseent de l équation différentielle du ouveent du solide : D après la deuièe loi de Newton : F et = a G, P + R + F = a G Par projetion suivant l ae O : + F = a don k = a dv G dv Or a G = don a dt = dt et dog d v G = don v = ; don dt dt d² a = = & dt² d² On a don k = & =, & + k = dt² k d² k D où l équation différentielle du ouveent : & & + = ou + = dt² Solution générale : π La solution générale est de la fore : ( t) = X os T ve : X : aplitude aiale des osillations : absisse aiale atteinte par le systèe T : période propre de l osillateur ϕ : phase à l origine des dates (onstante qui dépend des onditions initiales Déterination de l epression de la période propre de l osillateur : k On injete (t) dans l équation différentielle & & + = π ( t) = X os T π π & ( t) = v t = X ( ) sin T T 4π ² π & &( t) = a t = X ( ) os T ² T 4π ² π k π Don X os + os + t + ϕ X t ϕ = T T T π 4π ² k X os + = T T ² Cette équation est vérifiée à toutes les dates, oe π 4π ² k 4π ² k = X os t + ϕ Don + =, d où = d où T T ² T ² T ² = 4π ² k 7

8 Cours physique TS Don T = π k nergie potentielle du systèe {solide ; ressort} : Le ouveent étant horizontal, il n y a pas de variation d énergie potentielle de pesanteur On hoisit alors = J au entre d inertie du systèe L énergie potentielle est sous fore élastique : pe = k ² π = k X pe ²os ² T nergie inétique du systèe {solide ; ressort} : d π π = v ² = ( & )² ar v = = & or & ( t) = X dt sin T T 4π ² π D où l énergie inétique : = X ² sin ² T ² T k π π = X ² sin ² don = T + ϕ X ² ksin ² t T pression de l énergie éanique : Par définition : = + p π π = X k + k X ² sin ² ²os ² T T π π + + = k X ² sin ² t + ϕ os ² t ϕ T T = k X ² est don indépendante du teps, elle est onservée : = J Interprétation : onversion d énergie : = + p or = alors = p Déterination de l aplitude aiale des osillations et de la phase à l origine des dates : périene : ( ) = X, & ( ) = π Théorie : ) = X osϕ, & () = X sin ϕ ( π On a don : X osϕ = X et X sinϕ = Don sin ϕ = ar T π X et Don ϕ = ou ϕ = π T T 8

9 Cours physique TS Or X > et X > don os ϕ > don ϕ = et don X = X pression de l énergie éanique à la date t = s : = + p Or v ( ) = don ( ) = don = k X ² p = pression de la vitesse du solide à la position d équilibre : Par onservation de l énergie éanique : = = + et or p = k ² Dans la position d équilibre = don p = Don = Don = Don k X ² = v ² D où volution teporelle des énergies : k = v X p b Le systèe {solide ; ressort} aorti On renouvelle l epériene, ais ave des frotteents On enregistre la position du entre d inertie du obile au ours du teps Puis à l aide d un logiiel de traiteent de données on trae l évolution des énergies inétique, potentielle élastique, et éanique ause du travail résistant des fores de frotteent, l énergie éanique de l osillateur aorti diinue en peranene au ours des osillations La diinution d énergie éanique est égale à la valeur absolue du travail des fores résistantes : = W ( F f ) 9

10 Cours physique TS volution teporelle des énergies :

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