ENSTA - COURS MS 204 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES : ONDES ET VIBRATIONS

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1 ENSTA - COURS MS 204 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES : ONDES ET VIBRATIONS Amphi 6 RAPPEL Mise en ligne des documents : PC 5 : Les fichiers.m matlab dont le corrigé : TD5d.m: touze/ms204/pc5 Amphi + examens pour révisions : touze/ms204/

2 RAPPELS DE COURS Dynamique des systèmes mécaniques : gouvernée par des EDP du type: x Ω, t : 2 w +L(w(x, t)) = 0 t2 Milieu infini : Formalisme des ondes : w(x, t) = e i(kx ωt) Clé de la résolution : variable x ct. Relation de dispersion. (Lien entre les mouvements temporels et spatiaux). RAPPELS Milieu fini : 2 w x Ω, t : +L(w(x, t)) = 0. t2 x Ω, t : B i (w(x, t)) = 0, i = 1... p. Résolution du problème spatial : Calcul des modes propres : déformées modales + fréquences propres Projection modale : w(x, t) = + n=1 X p(t)φ p (x). Problème temporel : oscillateurs découplés

3 RAPPELS Mode propre : déformée modale + fréquence propre fort contenu physique! Un seul oscillateur PSH Réponse quasi statique PSzeta1 Réponse résonante PSzeta2 PSzeta3 PSzeta PSz Réponse inertielle PSeq1 PSeq2 PSeq3 magnitude[db] phase[deg] Structure (système continu) Une infinité de modes frequency[hz] RAPPELS Discrétisation des systèmes continus : Quand on ne connait pas les modes propres du système méthode de résolution numérique. Méthode des différences finies Méthode des éléments finis Méthode de Galerkin (Ritz-Rayleigh) w(x, t) = Forme générale des équations: N X i (t)ψ i (x) i=1 MẌ+CẊ+KX = 0 Modes propres pour les systèmes discrets.

4 EFFETS NON-LINÉAIRES Dans tout ce qui a été montré : Hypothèse Majeure : l amplitude des mouvements considérés est petite EDP linéaires. But de ce cours : lever cette hypothèse. Plan: Classification des non-linéarités en mécanique.. Vibrations non-linéaires. CLASSIFICATION DES NON-LINÉARITÉS Non-linéarité de comportement : Lorsque la loi de comportement n est plus linéaire. Non-linéarité d amplitude : Lorsque les amplitudes du mouvement sont grandes : relation non-linéaire entre les déplacements et les déformations. Discontinuités et interfaces : Discontinuités, chocs,... Non-linéarité non-régulière.

5 NON-LINÉARITÉS DE COMPORTEMENT En mécanique des solides : Lorsqu il n y a plus proportionnalité entre la contrainte imposée et la déformation résultante : Exemple : comportement élasto-plastique (cf. cours MS 201). NON-LINÉARITÉS DE COMPORTEMENT En mécanique des solides : autres exemples : élastomère Matériau à mémoire de forme Élasticité non-linéaire. Transformation martensitique.

6 NON-LINÉARITÉS DE COMPORTEMENT En mécanique des fluides : Rappel : fluide newtonien : les gradients de vitesse (taux de déformation) sont croissants avec la contrainte. fluide à seuil rhéo fluidifiant fluide à seuil "de Bingham" contrainte σ fluide rhéo épaisissant fluide newtonien fluide rhéo fluidifiant taux de cisaillement Rhéologie : étude des comportements des fluides réels (non-newtoniens). γ NON-LINÉARITÉS D AMPLITUDE En mécanique des solides : La relation entre les déplacements et les déformations ne peut plus être linéarisée : ε = 1 2 ( ξ + t ξ + t ξ. ξ ) On parle de non-linéarité géométrique. En Mécanique des fluides : terme en (v. )v dans l équation de Navier-Stokes ne peut plus être négligé.

7 DISCONTINUITÉS ET INTERFACES exemples en mécanique des solides : jeu, butée discontinuités dans les forces externes Lois de contact : exemple de la loi de Hertz : δ = F = kδ 3 2 CLASSIFICATION DES NON-LINÉARITÉS Non-linéarité de comportement : Lorsque la loi de comportement n est plus linéaire. Non-linéarité d amplitude : Lorsque les amplitudes du mouvement sont grandes : relation non-linéaire entre les déplacements et les déformations. Discontinuités et interfaces : Discontinuités, chocs,... Non-linéarité non-régulière.

8 Exemple Méthode perturbative Relation de dispersion ONDES NON-LINÉAIRES Corde sur fondation élastique non-linéaire : EDP gouvernant la dynamique : 2 w t 2 c2 2 w x 2 + g(w) = 0 Force de rappel : développement de Taylor : g(w) = bw + b 2 w 2 + b 3 w Quel effet vont avoir les termes non-linéaires? Exemple Méthode perturbative Relation de dispersion ONDES NON-LINÉAIRES Effet qualitatif : Si b 2, b 3,... 0, = comportement raidissant. Si b 2, b 3,... 0, = comportement assouplissant. Effet quantitatif : On se limite à une non-linéarité cubique : 2 w t 2 c2 2 w x 2 + bw +εb 3w 3 = 0. Recherche d une solution perturbative.

9 Exemple Méthode perturbative Relation de dispersion ONDES NON-LINÉAIRES : SOLUTION PERTURBATIVE On pose, pour le déplacement w : développement de Taylor de termes propagatifs : w(x, t) = w 0 (kx ωt)+εw 1 (kx ωt)+... La relation de dispersion sera modifiée : ω 2 c 2 k 2 = b +εδ, Exemple Méthode perturbative Relation de dispersion ONDES NON-LINÉAIRES : SOLUTION PERTURBATIVE Développant et regroupant les puissances de ε : solution à l ordre ε 0 : w 0 + w 0 = 0 b(w 1 + w 1)+b 3 w 3 0 +δw 0 = 0 w 0 (z) = A cos(z), avec z = kx ωt. En reportant à l ordre ε : [ b(w 1 + w 1) = 3 ] 4 b 3A 3 +δa cos(z) 1 4 b 3A 3 cos 3z

10 Exemple Méthode perturbative Relation de dispersion ONDES NON-LINÉAIRES : SOLUTION PERTURBATIVE Solution à l ordre ε : on doit absolument annuler le terme résonnant pour obtenir une solution acceptable physiquement. D où : δ = 3 4 b 3A 2. Conséquence : la relation de dispersion dépend de l amplitude A! Vitesse de phase : ω 2 c 2 k 2 = b + 3ε 4 b 3A 2 c φ = ω k = c 1+ b k 2 c 2 + 3εb 3A 2 4k 2 c 2. VIBRATIONS NON-LINÉAIRES Milieu fini la dynamique est gouvernée par des oscillateurs. Pour les grandes amplitudes de vibrations oscillateurs non-linéaires. Cas du pendule : θ + sinθ = 0. l Force de rappel potentiel Ep E s θ m π π θ E l π (a) (b) (c) π θ

11 VIBRATIONS NON-LINÉAIRES Pendule : trajectoires possibles : θ θ 10 trajectoire passante 2 5 séparatrice 0 θ 0 états liés La période dépend de l amplitude. t 2 0 VIBRATIONS NON-LINÉAIRES Oscillateur de Duffing forcé à la résonance : Ẍ +ω0x 2 + 2εµẊ +εαx 3 = εf cosωt. calcul perturbatif : on introduit le paramètre σ : Ω = ω 0 +εσ Après calcul : avec: σ = 3 8 α F a 2 2 ± ω 0 4ω 2 a 2 µ2. X(t) = a cos(ωt +φ 0 )+O(ε)

12 ÉQUATION DE DUFFING Augmentation du forçage a F=10 1 F=4 0.5 F= σ ÉQUATION DE DUFFING Effet de la non-linéarité : 2 α= 10 α= 5 α=0 α=5 α= a σ

13 ÉQUATION DE DUFFING Balayage en fréquence : cycle d hystéresis : a σ NON-LINÉARITÉS GÉOMÉTRIQUES Cas général pour les solides élastiques en grands déplacements : Relation contrainte-déformation: ε = 1 2 ( ξ + t ξ + t ξ. ξ ), Équations de la dynamique : div(f.σ)+f = ρ 2 ξ t 2, où F est le tenseur gradient de transformation : F = 1+ ξ, Comportement élastique linéaire : σ = λ(trε)1+2µε,

14 NON-LINÉARITÉS GÉOMÉTRIQUES Les EDP en non-linéaire géométrique auront la forme : ẅ +L(w)+N 2 (w, w)+n 3 (w, w, w) = 0, + les conditions aux limites On utilise la base des modes propres pour projeter l équation: w(x, t) = + p=1 X p (t)φ p (x). La dynamique s écrit donc sous forme générique: Ẍ n +ω 2 p X n i=1 j i g n ij X ix j i=1 j i k j h n ijk X ix j X k = 0 VIBRATIONS NON-LINÉAIRES Notion de système dynamique et d espace des phases : X E : espace des phases. r : paramètre(s) de contrôle. X 0 points fixes ssi F(X 0 ) = 0. dans le cas du pendule : θ = 0,π, π. Ẋ = F r (X, t).

15 SYSTÈMES DYNAMIQUES Stabilité des points fixes : Développement limité en X = X 0 : Soit X = X 0 +ξ. Alors : ξ = F r (X 0 )+[ Fr X ξ = [ Fr X ] ] X=X 0 ξ. X=X 0 ξ. La stabilité est donnée par les valeurs propres de la matrice jacobienne. SYSTÈMES DYNAMIQUES Cas du pendule : valeurs propres à l origine : λ = ±i oscillations autour de l origine. En ±π, les valeurs propres valent (1, 1) : points fixes instables.

16 SYSTÈMES DYNAMIQUES Notion de bifurcation : le système dynamique dépend de paramètres : Ẋ = F r (X, t). quand r varie, la nature des points fixes peut changer: bifurcation. Etude des bifurcations en regardant comment les valeurs propres de la matrice jacobienne varient avec r. CONCLUSION Non-linéarité d amplitude : La relation de dispersion dépend de l amplitude. La période des oscillations dépend de l amplitude. D autres solutions apparaissent : solutions multiples, hystéresis, bifurcations. Formalisme mathématique adapté : théorie des systèmes dynamiques.

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