DIPÔLE MAGNÉTOSTATIQUE

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1 DIPÔLE MAGNÉTSTATIQUE I DIPÔLE MAGNÉTIQUE I1 Moment magnétique d une distibution de couant Le moment magnétique M d une distibution de couant est défini de la manièe suivante : Dans le cas d un cicuit filifome femé plan de suface S, en appelant n le vecteu nomal au plan du cicuit coespondant au sens positif de l intensité dans le cicuit, on a : n peut utilise la ègle de la main doite pou touve apidement le vecteu nomal n M = ISn= IS M est diigé de la face Sud ves la face Nod Dans le cas d un enoulement de fil, le moment magnétique est la somme des moments magnétiques des spies : M = IS n spie spie spies En paticulie, le moment magnétique d une bobine compotant N spies identiques de suface S est : M = NISn= NIS L expession du moment magnétique d une distibution quelconque ne figue pas au pogamme Remaques : Le moment magnétique ne dépend pas du sens conventionnel choisi pou l intensité : si l on change le sens positif du couant, on invese aussi le vecteu nomal Le moment magnétique dépend de l oientation de l espace (choix d un tiède diect et ègle de la main doite), c est donc un pseudo-vecteu (ou vecteu axial) I Définition d un dipôle magnétique n appelle dipôle magnétique une distibution de couant de moment magnétique M non nul dont la taille caactéistique a est infiniment petite devant les autes longueus du poblème La notion abstaite de dipôle magnétique est applicable : pou modélise le champ magnétique d une distibution de couant éelle de taille caactéistique a à distance tès gande devant a, on pale de dipôle actif ; pou calcule l action d un champ magnétique éieu su une distibution de couant éelle de taille a losque la distance caactéistique de vaiation du champ éieu est tès gande devant a, on pale de dipôle passif Le champ éieu doit ête unifome ou quasi-unifome II CHAMP MAGNÉTSTATIQUE CRÉÉ PAR UN DIPÔLE n utilise les coodonnées sphéiques : u M θ u θ u ϕ M Dipôle magnétostatique (6-17) Page 1 su 6 N Beuy

2 pu p cosθ n a vu que pou dipôle électostatique : V = = et V p cosθ 1 V psinθ E = gadv = = θ 1 V sinθ ϕ n admet qu il suffit d utilise l analogie déjà encontée pou en déduie le champ céé pa le dipôle magnétostatique : L analogie est : 1 µ ; p M ; E B ; 4π Ne pas oublie de emplace la multiplication pa un poduit vectoiel Le champ magnétostatique céé pa le dipôle magnétostatique à gande distance vaut : µ M cosθ 4π µ M sinθ B = 4π Dipôle magnétostatique (6-17) Page su 6 N Beuy

3 III APLLICATINS AUX DISTRIBUTINS ÉTUDIÉES PRÉCÉDEMMENT Si on étudie le champ céé pa une spie à gande distance, on a la même stuctue que le champ céé pa un dipôle Si on étudie le champ céé pa les bobines de Helmholt à gande distance, on a la même stuctue que le champ céé pa un dipôle Le moment magnétique vaut : M = IπR u + IπR u = IπR u Si on étudie le champ céé pa les bobines de Helmholt à gande distance, on n a pas la même stuctue que le champ céé pa un dipôle ca le moment magnétique ésultant vaut M = IπR u IπR u = Dans ce cas, la distibution est équivalente à un quadipôle Dipôle magnétostatique (6-17) Page su 6 N Beuy

4 IV ACTIN D UN CHAMP MAGNÉTIQUE EXTÉRIEUR SUR UN DIPÔLE MAGNÉTIQUE n s intéesse à l action de Laplace subie pa un dipôle magnétique placé dans un champ magnétique éieu B unifome ou quasi unifome IV1 Couple execé pa un champ magnétique éieu su un dipôle magnétique a) Cade ectangulaie dans un champ magnétique unifome vue de dessus D I u F CD a A H 1 H 1 n α F AB M C H α H B B b Le cade est compis dans un plan vetical Le moment magnétique du cade est : M = ISn= IS Le vecteu nomal n est oienté avec la ègle de la main doite Résultante des foces de Laplace : F = I AB^B + I BC^B + ICD^B + I DA^B = I AB+ BC+ CD+ DA ^B = ( ) L La ésultante des foces de Laplace est nulle L action mécanique de Laplace est donc un couple de foces Nous allons calcule le moment de l action mécanique de Laplace Ce moment étant indépendant du point, nous le calculons au cente du cade Le champ magnétique étant unifome, ces foces sont épaties unifomément su AB ; le point d application de la ésultante F est donc le milieu 1 H AB 1 de AB Γ H ^ = F La foce de Laplace F, 1 AB est othogonale à AB et à B (voi vue de AB AB dessus) F = IaB Γ est othogonal à F et à H Γ AB AB, AB 1 AB, n a donc : b Γ = H F sin 1 ( H, F 1 ) u = H F cosα u = IaB cosα u 1 b De même, on a Γ cos CD = IaB α u Les autes contibutions sont nulles Le moment du couple est donc Γ= IabB cosα u n peut l expime en fonction de M = ISn= Iabn n a alos Γ= M ^ B AB AB AB AB est donc colinéaie à u b) Généalisation n admet la généalisation du ésultat pécédent : Un dipôle magnétique de moment magnétique M plongé dans un champ magnétique éieu B est soumis à un couple de moment : Γ= M ^ B Ce couple tend à aligne le moment magnétique su le champ magnétique Il s annule losque M est paallèle à B L expession Γ= M ^ B est aussi valable pou un champ unifome ou quasi unifome ainsi que pou un champ magnétique vaiant dans le temps IV Énegie potentielle d inteaction ente un dipôle igide et un champ magnétique pemanent 1 n peut véifie facilement su un schéma que le moment ésultat des foces de Laplace su AB est nul en H Dipôle magnétostatique (6-17) Page 4 su 6 N Beuy

5 n appelle dipôle magnétique igide un dipôle dont M = cte Cela evient à considée un cicuit indéfomable n admet que pou un dipôle magnétique igide, il existe une énegie potentielle d inteaction ente ce dipôle et le champ magnétique B losqu il est stationnaie : E = M B pou un dipôle igide p Cette énegie potentielle est minimale losque le moment magnétique est aligné su le champ magnétique, (c est donc un équilibe stable) et maximale losque le moment magnétique est antipaallèle au champ (équilibe instable) Ces conclusions sont cohéentes avec le paagaphe pécédent IV Execice impotant Équilibe et stabilité d un équilibe pou un dipôle magnétique en otation autou d un axe fixe placé dans un champ éieu Nous considéons un dipôle magnétique igide en otation autou d un axe fixe placé dans un champ éieu B Exemple de dipôle : cade ectangulaie étudié dans le paagaphe IV1, boussole u θ B a) Étude de l équilibe Il y a deux méthodes pou étudie l équilibe : Utilisation du moment des foces Le moment des foces est Γ= M ^B = MB sinθ u À l équilibe, Γ= Il y a deux positions d équilibe : θ = et θ = π, c'est-à-die M et B colinéaies Utilisation de l énegie potentielle L énegie potentielle du dipôle est : E = M B = MB cosθ p L énegie potentielle est êmale à l équilibe : Il y a deux positions d équilibe : θ = et θ = π M b) Stabilité de l équilibe L équilibe est stable si en écatant le système de sa position d équilibe, les actions mécaniques ont tendance à le amene ves sa position d équilibe L équilibe est instable si en écatant le système de sa position d équilibe, les actions mécaniques ont tendance à l écate de sa position d équilibe M Utilisation du moment des foces n écate le dipôle de la position d équilibe θ = u B Γ <, le couple a tendance à le faie toune dans le sens hoaie (Règle de la main doite) La position θ = est donc un équilibe stable M n écate le dipôle de la position d équilibe θ = π u Γ <, le couple a tendance à le faie toune dans le sens tigonométique (Règle de la main doite) La position θ = π est donc un équilibe instable Utilisation de l énegie potentielle E = MB cosθ p L équilibe est stable si l énegie potentielle est minimale L équilibe est instable si l énegie potentielle est maximale n etouve donc les ésultats obtenus avec la pemièe méthode c) btention de l équation difféentielle Utilisation du théoème du moment cinétique pou un solide en otation autou d un axe fixe B Dipôle magnétostatique (6-17) Page 5 su 6 N Beuy

6 n appelle le moment d inetie du dipôle magnétique Dans un éféentiel galiléen, on a : dω d θ d θ MB = =Γ = MB sinθ n en déduit : + sinθ = Dans le cas de petites oscillations autou de la position d équilibe θ =, on peut effectue un d θ MB développement limité de sinθ au pemie ode n a alos : + θ = C est MB l équation d un oscillateu hamonique n pose : ω = La solution est : θ = θ cos m ( ω t + ϕ ) ou de la fome Acos( ω t ) + Bsin ( ω t ) La deuxième fome est plus patique à utilise avec les conditions initiales Utilisation de l énegie potentielle Le système est consevatif L énegie mécanique est constante 1 E = E + E = ω MB cosθ m c p La méthode pou obteni l équation difféentielle est d écie : d = 1 E = θ MB cosθ m n en déduit : d Em = d = θθ + MB θ sin θ t En simplifiant pa θ, on en déduit : MB θ + sinθ = d) Exemple de la boussole Une boussole est un petit aimant allongé libe de ses otations M autou d un axe Elle est équivalente à un aimant de moment magnétique M Nod E m Sud Si on place la boussole dans un champ magnétique éieu, elle s oiente dans la même diection et le même sens que le champ magnétique M Sud Nod Remaques : À popos de la boussole et de la Tee, le pôle Nod de la Tee coespond au pôle Sud du dipôle magnétique qui modélise le compotement magnétique de la planète En effet, on a histoiquement appelé pôle Nod, le pôle ves lequel se diige le pôle Nod de la boussole Ce denie étant attié pa un pôle Sud, le pôle Nod de la Tee est un pôle Sud pou l aimant coespondant B IV4 Un soupçon de géophysique et un este de géomagnétisme Dipôle magnétostatique (6-17) Page 6 su 6 N Beuy

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