Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle

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1 Chapter 2 Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle Sommaire 2.1 Tribu et événements Probabilité Premières propriétés utiles pour les calculs Indépendance d événements Probabilité conditionnelle Objectifs: Modéliser une expérience aléatoire, c est-à-dire construire un espace Ω des issues possibles (un univers) de l expérience aléatoire, et le munir d un outil (une probabilité) permettant de mesurer la chance d obtenir par cette expérience un résultat donné, ou un ensemble de résultats donnés. Formaliser la notion d indépendance entre deux événements, et introduire la notion de probabilité conditionnelle. Mots-clés: ensemble dénombrable. univers, tribu, probabilité, espace de probabilité. événement, événement élémentaire, événements disjoints. indépendance, probabilité conditionnelle. Outils: formule d inclusion-exclusion, formule des probabilités totales, formule de Bayes. axiomes et propriétés d une probabilité. Techniques de démonstration: Procédé de la diagonale de Cantor.

2 Pour modéliser une expérience aléatoire, on introduit un espace de probabilité (Ω, F, P) composé de trois éléments: un ensemble Ω, appelé univers, une famille F de parties de Ω qui doit vérifier un certain nombre de propriétés et qu on appellera une tribu, et enfin une probabilité, que l on va aussi définir. Exemple: lancer d un dé à six faces non truqué. On modélise cette expérience par l univers Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, muni de la probabilité uniforme P({1}) = P({2}) = P({3}) = P({4}) = P({5}) = P({6}) = 1 6. Ceci permet de calculer par exemple P(résultat divisible par trois) = P({3, 6}) = 1 3. On voudrait généraliser ce cas que vous connaissez bien (le cas fini équiprobable) pour pouvoir considérer des expériences aléatoires plus générales. Préliminaires: dénombrabilité Définition 2.1 Un ensemble E est dit dénombrable si et seulement si on peut trouver une bijection entre E et N. Remarque: une bijection de N dans E est appelée une énumération des éléments de E. Autrement dit, un ensemble est dénombrable si on peut numéroter ses éléments avec les entiers naturels. Exemple: N, Z sont dénombrables. Proposition 2.2 i) Toute partie d un ensemble dénombrable est finie ou dénombrable. ii) Un produit cartésien fini de N ensembles finis ou dénombrables est fini ou dénombrable. iii) Une union finie ou dénombrable d ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable. Démonstration: On admet ces propriétés. Exemple: N p, Q sont dénombrables. Proposition 2.3 {0, 1} N n est pas dénombrable. Démonstration: On utilise le procédé de la diagonale de Cantor. Raisonnons par l absurde et supposons que {0, 1} N est dénombrable. On peut donc numéroter ses éléments {0, 1} N = {x 0, x 1,... }. Un point de {0, 1} N est une suite de 0 et de 1: on note ainsi, pour tout i N, x i = (x i,0, x i,1,... ) = (x i,j ) j N. On va maintenant construire un élément y = (y j ) j N de {0, 1} N différent de tout les x i : on pose { 0 si x j,j = 1 j N, y j = 1 si x j,j = 0 Soit i N: par construction, y i x i,i, donc y x i ; cependant, y {0, 1} N. Ceci contredit donc {0, 1} N = {x 0, x 1,... }. Exemple: P(N), R ne sont pas dénombrables. 14

3 2.1 Tribu et événements Définition 2.4 Soit Ω un ensemble. Une famille F de parties de Ω est appelée une tribu si elle vérifie les propriétés suivantes: i) Ω est un élément de F, ii) (stabilité par complémentaire) Si A est un élément de F, alors A c est un élément de F, iii) (stabilité par union dénombrable) Si les (A i ) i N sont des éléments de F, alors i N A i est un élément de F. Remarque: Ce qui est important dans iii), c est qu on considère une famille dénombrable de parties de Ω, et non pas une famille quelconque. Attention! une tribu sur Ω est un ensemble dont les éléments sont des parties de l ensemble Ω. Exercice: Soit Ω un ensemble muni d une tribu F, et soit A et B deux éléments de F. Que sont A et B pour Ω? Montrer que A B et A B sont des éléments de F. Définition 2.5 Soit Ω un ensemble muni d une tribu F. Les éléments de F sont appelés des événements. Remarque: Remarquons que pour tout ensemble Ω, l ensemble P(Ω) des parties de Ω est une tribu. Dans le cas où Ω est fini ou dénombrable, on prendra toujours comme tribu sur Ω la tribu F = P(Ω). Par contre, ce choix est impossible quand on considère un univers plus gros (c est-à-dire non dénombrable) comme R (voir le cours de licence 3ème année). Dans ce cours, on ne s attardera pas sur les tribus. Il est par contre important de retenir quelles sont les opérations permises à l intérieur d une tribu. Exercice: Lancer d un dé à 6 faces. Donner l univers correspondant et l événement le résultat obtenu est pair. Proposition 2.6 Soit Ω un ensemble muni d une tribu F. i) est dans F, ii) (stabilité par intersection dénombrable) Si les (A i ) i N sont des éléments de F, alors i N A i est un élément de F. Démonstration: Ces propriétés se déduisent des axiomes de la tribu en passant au complémentaire. i) ( = Ω c et Ω F, donc F. ii) A i = A i)c = A c i. Pour tout i N, A i F, donc A c i F, donc A c i F et donc ( i N i N i N i N c Ai) c F. i N Exercice: Jeu de cartes. Considérons un jeu de 5 cartes numérotées de 1 à Première expérience aléatoire: je pioche une carte et je relève son numéro. Donner l univers correspondant, et la partie correspondant à l événement le résultat obtenu est strictement plus grand que Deuxième expérience aléatoire: je pioche une première carte, et, sans la remettre, j en pioche une deuxième; je relève, dans l ordre, les deux numéros obtenus. Donner l univers correspondant, et la partie correspondant à l événement la deuxième carte a un numéro plus grand que la première. 3. Troisième expérience aléatoire: je pioche deux cartes en même temps, et je relève, sans ordre, les deux numéros obtenus. Donner l univers correspondant, et la partie correspondant à l événement les deux numéros sont supérieurs ou égaux à 3. 15

4 4. Quatrième expérience aléatoire: je pioche une première carte, et, après l avoir remise, j en pioche une deuxième; je relève, dans l ordre, les deux numéros obtenus. Donner l univers correspondant, et la partie correspondant à l événement la deuxième carte a un numéro plus grand que la première. Attention! Bien remarquer les différences entre les trois dernières expériences: avec ou sans remise, ordonnée ou non. Profitons-en pour rappeler la différence entre un couple et une paire: un couple se note entre parenthèses, et ses éléments sont ordonnés. Ainsi (2, 7) et (7, 2) sont deux couples différents. Par contre, une paire est une partie à deux éléments non ordonnée: il n y a qu un seule paire composée des éléments 7 et 2, qu on note entre accolades de la façon suivante: {2, 7}. 2.2 Probabilité Définition 2.7 Soit Ω un ensemble muni d une tribu F. Une probabilité P sur (Ω, F) est une application de F dans [0, 1] vérifiant les propriétés suivantes: i) P(Ω) = 1, ii) (σ-additivité) Si les (A i ) i N sont des éléments de F deux-à-deux disjoints, alors ( ) P A i = P(A i ). i N Définition 2.8 Le triplet (Ω, F, P) est alors appelé un espace de probabilité. i N Attention! Attention aux objet manipulés: une probabilité est une application, qui s applique à un événement, c est-à-dire à une partie de Ω, et qui donne en résultat un nombre dans [0, 1]. Remarque: 1. Les propriétés i) et ii) sont des axiomes. On a décidé qu une probabilité satisfaisait par définition ces deux propriétés. Quand on dit soit P une probabilité..., ces deux propriétés sont automatiquement satisfaites, on n aura pas à les démontrer. 2. Pourquoi a-t-on choisi ces deux propriétés pour la définition d une probabilité? Tout d abord, remarquons qu elle sont assez intuitives: P(Ω) = 1 signifie intuitivement qu Ω décrit bien tout les résultats possibles de l expérience aléatoire, qu on ne peut pas tomber à l extérieur de Ω. Quant à la deuxième propriété, pensons au cas de deux événements A et B disjoints: il semble naturel que la probabilité ait une propriété d additivité du type P(A B) = P(A) + P(B). Cependant, l additivité pour deux parties disjointes ne suffit pas à donner la σ-additivité, on a donc préféré prendre la σ-additivité comme axiome. Ces deux propriétés sont à la fois suffisantes pour pouvoir faire des calculs, et suffisamment peu contraignantes pour être satisfaites dans des cas très différents. Elles constituent donc un bon compromis. 3. Les éléments de la tribu sont les parties de l univers auxquelles on peut attribuer un nombre la probabilité qu à cet ensemble d issues possibles de se réaliser avec l application probabilité. Nous allons maintenant lister les propriétés utiles pour les calculs pratiques: elles se déduisent toutes des axiomes définissant une probabilité. 2.3 Premières propriétés utiles pour les calculs Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité. La seule chose qu on sait, c est que P satisfait les deux axiomes de la définition d une probabilité. On va voir qu à partir de ces deux axiomes, on peut démontrer une liste de propriétés très utiles pour les calculs: 16

5 Proposition 2.9 Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité. i) P( ) = 0, ii) si A et B sont deux événements disjoints, alors P(A B) = P(A) + P(B). iii) (Additivité finie) Si A 1, A 2,...,A n sont des événements deux-à-deux disjoints, alors ( n ) n P A i = P(A i ). iv) si A est dans F, alors P(A c ) = 1 P(A), v) si A et B sont deux éléments de F tels que A B, alors P(A) P(B). vi) (Formule d inclusion-exclusion) Si A et B sont deux éléments de F, alors i=1 i=1 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Démonstration: i) On applique le ii) de la définition à la famille d événements disjoints (Ω,,,...): 1 = P(Ω) = P(Ω) + P( ). Si P( ) > 0, la somme à droite est infinie, ce qui est absurde. Donc P( ) = 0. Remarque: Même si cette propriété semble évidente, remarquons qu elle ne fait pas partie des axiomes d une probabilité, et qu on l a bien démontrée à partir des deux axiomes de la probabilité. ii) On applique le ii) de la définition à la famille d événements disjoints (A, B,,,...): grâce à la propriété précédente. iii) Exercice: Démontrer cette propriété. i=1 P(A B) = P(A) + P(B) , iv) On applique la propriété ii) à la famille d événements disjoints (A, A c ): P(A)+P(A c ) = P(A A c ) = P(Ω) = 1 d après le i) de la définition. v) Soit A et B deux événements tels que A B. Comme B = (B A) (B A c ), avec (B A) (B A c ) A A c =, on peut appliquer la propriété ii): car A B. P(B) = P(B A) + P(B A c ) or P(B A c ) 0 P(B A) = P(A) vi) On écrit A B comme la réunion disjointe de A B c, A B et B A c (vérifier et faire un dessin), et on remarque que A est la réunion disjointe de A B c et A B, tandis que B est la réunion disjointe de A B et B A c. On obtient donc: P(A B) = P(A B c ) + P(A B) + P(B A c ) = (P(A B c ) + P(A B)) + (P(A B) + P(B A c )) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Une des idées de base du calcul des probabilités est de découper les événements en événements plus petits dont on connaît mieux la probabilité. Ceci est formalisé par la formule des probabilités totales, qui généralise le principe de partition: 17

6 Proposition 2.10 Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité, et soit (A i ) i I un système complet, c est-à-dire une famille finie ou dénombrable d éléments de F telle que i I A i = Ω, si i, j I et i j, alors A i A j =. Alors pour tout événement B F, on a: P(B) = i I P(B A i ). Démonstration: Faire un dessin. Comme i I A i = Ω, B = B Ω = B i I A i = i I(B A i ). Comme les (A i ) i I sont deux-à-deux disjoints, les (B A i ) i I sont a fortiori deux-à-deux disjoints. Comme I est fini ou dénombrable, le deuxième axiome de la définition d une probabilité assure que ( ) P(B) = P (B A i ) = P(B A i ). i I i I Noter l importance du fait que I soit fini ou dénombrable pour pouvoir appliquer l axiome. Remarque: un cas particulier très utile dans la pratique: P(B) = P(B A) + P(B A c ). 2.4 Indépendance d événements Je tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Je considère les 3 événements suivants: A = {la carte tirée est rouge}, B = {la carte tirée est un coeur} et C = {la carte tirée est un roi}. Savoir que C est réalisé ne me donne a priori aucune indication quant au fait que cette carte soit un coeur. Par contre, si je sais que A est réalisé, je sais que j ai plus de chance d avoir tiré un coeur. Nous allons formaliser ces réponses intuitives. Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité. Définition 2.11 Soit A et B deux événements. On dit que A et B sont indépendants si et seulement si P(A B) = P(A)P(B). Exemple: Reprenons notre exemple du jeu de 32 cartes. Donc B et C sont indépendants. Donc A et B ne sont pas indépendants. P(B C) = P(la carte tirée est le roi de coeur) = 1/32 P(B)P(C) = (8/32) (4/32) = 1/32. P(A B) = P(la carte tirée est un coeur) = 8/32 = 1/4 P(A)P(B) = (16/32) (8/32) = 1/8. 18

7 Attention! Ne pas confondre des événements indépendants et des événements disjoints!! Par exemple, A et A c sont disjoints et ne sont pas indépendants en général: si on sait que A est réalisé, on est sûr que A c n est pas réalisé. P(A A c ) = P( ) = 0 P(A)P(A c ) = P(A) (1 P(A)) 0 en général. Attention! Soit Ω un ensemble muni d une tribu F et de deux probabilités P 1 et P 2. Soit A et B deux évenements. Alors l indépendance de A et B dépend de la probabilité considérée. On poourrait imaginer un cas où A et B sont indépendants pour P 1 mais pas pour P 2. Donner un exemple pour Ω = {a, b, c}. Exercice: Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité. 1. Montrer que est indépendant de n importe quel événement A F. Montrer que Ω est indépendant de n importe quel événement A F. 2. Soit A et B deux événements indépendants. On note A = {, A, A c, Ω}, et B = {, B, B c, Ω}. Montrer que tout élément de A est indépendant de tout élément de B. La notion d indépendance s étend aux familles de plusieurs événements de la manière suivante: Définition 2.12 Soit (A i ) i I une famille d événements. On dit que les (A i ) i I sont mutuellement indépendants si et seulement si pour tout k 2, pour toute famille (i 1, i 2,..., i k ) d éléments de I deux-à-deux distincts, P = P(A ij ). 1 j k A ij 1 j k Attention! Si les (A i ) i I sont mutuellement indépendants, alors ils sont indépendants deux par deux. La réciproque est fausse. Exercice: On considère deux lancers de pile ou face successifs. Vérifier que les événements {PP, PF}, {PP, FP} et {P F, F P } fournissent un contre-exemple. Exercice: Un circuit électrique est formé de 3 composants, qui ont respectivement des probabilités d être en panne p 1, p 2 et p 3. On suppose que les pannes des différents composants sont indépendantes. Calculer la probabilité que le circuit soit en panne dans chacun des cas suivants: 1. Les 3 composants sont montés en série. 2. Les trois composants sont montés en parallèle. 3. Deux sont en parallèle, et le troisième en série avec ce groupe de deux. 2.5 Probabilité conditionnelle Sur une population de 27 malades, on donne à dix malades un nouveau médicament et aux dix-sept autres un placebo. Parmi les dix malades ayant reçu le médicament, sept déclarent avoir senti une amélioration, et huit, parmi ceux ayant reçu le placebo, ressentent aussi un mieux. Un univers adapté à cette expérience peut-être le suivant: à chacun des 27 malades, j associe une lettre, M ou P, suivant s il a reçu le médicament ou le placébo, et un signe, + ou suivant s il a ressenti une amélioration ou non. L ensemble Ω = {(M, +), (M, ), (P, +), (P, )} rassemble toutes les configurations possibles, et on va attribuer à chaque événement élémentaire de Ω une probabilité traduisant le résultat du test: P(M, ) = = , P(M, +) =, P(P, ) = = 9 8 et P(P, +) =

8 On peut par exemple calculer la proportion de personnes ayant constaté une amélioration, c est-à-dire calculer la probabilité: P(+) = = Mais dans cette proportion, on ne prend pas en compte le fait que certains ont eu un placebo, d autre le médicament. On a plutôt envie de calculer, parmi les gens qui ont reçu le médicament, la proportion de ceux qui ont senti une amélioration, et de la comparer avec la proportion correspondante chez ceux ayant reçu le placebo: P(+ M) = P(M, +) P(M) = 7/27 P(P, +) = 0.7 et P(+ P) = = 8/27 10/27 P(P) 17/27 = On peut donc conclure que le médicament est plus efficace que le placebo. Il est donc naturel d introduire la définition suivante. Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité. Définition 2.13 Soit A et B deux événements tels que P(B) > 0. On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B la grandeur suivante: P(A B) P(A B) =. P(B) Exemple: on pioche au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes non truqué. P(coeur dame) = 1/32 4/32 = 1 4 et P(coeur rouge) = 8/32 16/32 = 1 2. Exercice: Vérifier que P(. B) est une nouvelle probabilité sur (Ω, F). Remarque: On peut considérer les choses de la façon suivante: la probabilité P contient tout l information disponible sur l expérience aléatoire décrite. Une fois que B est réalisé, on a davantage d information: il est donc naturel de changer de probabilité en prenant P(. B) afin de prendre en compte l information supplémentaire. On peut caractériser l indépendance de deux événements à l aide des probabilités conditionnelles. Proposition 2.14 Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité. Soit A et B deux événements tels que P(A) > 0 et P(B) > 0. Alors A et B sont indépendants P(A B) = P(A) P(B A) = P(B) Exercice: Faire la démonstration. Les deux propositions suivantes sont particulièrement utiles dans les calculs. Proposition 2.15 Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité. Soit A et B deux événements tels que P(A) > 0 et P(B) > 0. Alors P(A B) = P(A) P(B) P(B A). Exercice: Faire la démonstration. Proposition 2.16 (Formule de Bayes) Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité. Soit (B i ) i I une famille finie ou dénombrable d événements tels que les (B i ) i I sont deux-à-deux disjoints, i I B i = Ω, i I, P(B i ) > 0. Soit alors A un événement. On a: P(A) = i N P(A B i )P(B i ). 20

9 Exercice: Faire la démonstration. Pourquoi a-t-on pris une famille finie ou dénombrable de B i? Exercice: deux usines A et B fabriquent des trottinettes. L usine A fabrique deux fois plus de trottinettes que l usine B. Les trottinettes provenant de l usine A ont dans 5% des cas un défaut, alors que celles provenant de l usine B ont dans 2% des cas un défaut. Je viens d acheter une trottinette pour Théodule, laquelle se révèle être défectueuse. Quelle est la probabilité qu elle provienne de l usine A? Exercice: Reprendre l exercice avec le circuit électrique. Calculer, dans chacun des trois cas, la probabilité que le composant 1 soit en panne sachant que le circuit ne fonctionne pas. 21

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