Formules d inclusion-exclusion

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1 Université de Rouen L1 M.I.EEA Mathématiques discrètes Formules d inclusion-exclusion Je présente ici une correction détaillée de l Exercice 5 de la Feuille d exercices 1, en reprenant le problème de manière plus générale. 1. RAPPELS DE COURS Tout commence en effet avec le principe d addition donné en cours : Proposition 1 (Principe d addition. Soit A et B deux ensembles finis et disjoints. Alors Card(A B Card(A + Card(B. En cours, vous avez ensuite généralisé ce résultat au cas de deux ensembles non disjoints, obtenant un premier principe d inclusion-exclusion pour la réunion de deux ensembles quelconques : Corollaire 1 (Principe d inclusion-exclusion pour deux ensembles. Soit A et B deux ensembles finis (pas forcément disjoints. Alors Card(A B Card(A + Card(B Card(A B. Démonstration. On commence par remarquer que A B est la réunion disjointe de A et de B \ A, donc par le principe d addition Card(A B Card(A + Card(B \ A. Par ailleurs, l ensemble B peut lui s écrire comme réunion disjointe de A B et B \ A, donc on a aussi, toujours grâce au principe d addition, Card(B Card(A B + Card(B \ A. On obtient alors la formule souhaitée en éliminant Card(B \ A dans les deux égalités précédentes. «Démonstration graphique» du Corollaire 1 à l aide d un diagramme de Venn. La Figure 1 est une représentation classique des deux ensembles A et B sous la forme d un diagramme de Venn (appelé aussi communément «diagramme en patates». B A FIGURE 1. Les deux ensembles A et B et leur intersection (en rouge Cette figure permet de visualiser qu en calculant Card(A+Card(B, on compte bien tous les éléments de A et tous les éléments de B, mais on compte deux fois les éléments de A B, d où la nécessité de soustraire Card(A B pour compter chaque élément de 1

2 FORMULES D INCLUSION-EXCLUSION 2 A B une et une seule fois. Si on ne peut pas considérer que ce soit une démonstration parfaitement rigoureuse, cette heuristique permet de bien comprendre ce qui se passe. 2. CORRIGÉ DE L EXERCICE 5 On peut ensuite généraliser cette formule à trois ensembles : Corollaire 2 (Principe d inclusion-exclusion pour trois ensembles - Exercice 5. (a. Soit A, B et C trois ensembles finis. Alors Card(A B C Card(A + Card(B + Card(C Card(A B Card(A C Card(B C + Card(A B C. Démonstration. Cette formule s obtient aisément à partir du Corollaire 1. En effet Card(A B C Card ( (A B C Card(A B + Card(C Card ( A B C Card(A + Card(B Card(A B + Card(C Card ( (A C (B C Card(A + Card(B + Card(C Card(A B Card(A C Card(B C + Card ( (A C (B C Card(A + Card(B + Card(C Card(A B Card(A C Card(B C + Card(A B C «Démonstration graphique» du Corollaire 2 à l aide d un diagramme de Venn. Représentons les trois ensembles et leurs intersections : B A C FIGURE 2. Les trois ensembles A, B et C et leurs intersections Dans ce cas, lorsque nous calculons la somme Card(A + Card(B + Card(C, nous comptons une fois les éléments qui sont dans un seul des trois ensembles (zones en blanc, deux fois ceux qui sont exactement dans deux ensembles (zones en rouge et trois fois ceux qui sont dans l intersection des trois ensembles (A B C, en vert. Pour ne plus compter en double les intersections deux-à-deux, nous allons soustraire les cardinaux de celles-ci, obtenant Card(A + Card(B + Card(C Card(A B Card(A C Card(B C.

3 FORMULES D INCLUSION-EXCLUSION 3 Dans cette formule, nous comptons bien exactement une fois les éléments des zones blanches et rouges. En revanche, la zone verte a été comptée trois fois en positif, puis trois fois en négatif, il faut donc la rajouter une fois, d où la formule finale. Pour un nombre arbitraire d ensembles, on peut obtenir les bornes suivantes, toujours à partir du Corollaire 1 : Corollaire 3 (Exercice 5. (b. Soit n N et A 1, A 2,..., A n des ensembles finis. Alors n Card(A i Card ( n n A i A j Card( A i Card(A i. Démonstration. Nous allons démontrer ce résultat par récurrence sur le nombre n d ensembles. Écrivons précisément l hypothèse de récurrence au rang n (même si ce n est rien d autre que l énoncé... : Hypothèse de récurrence au rang n. Si A 1, A 2,..., A n sont n ensembles finis, alors n Card(A i Card ( n n A i A j Card( A i Card(A i. Pour démontrer la validité de cette hypothèse pour tout n N, il faut vérifier qu elle est valide pour n 1 (initier la récurrence, puis vérifier que si elle est valide pour un rang donné n, elle est encore valide au rang n + 1 (propriété d hérédité. Initialisation de la récurrence, pour n 1. Si n 1, la somme sur 1 i < j n est vide, car on ne peut pas trouver deux entiers distincts entre 1 et 1. Par convention, on dit alors que cette somme vaut 0. L hypothèse de récurrence au rang n 1 se réécrit donc : si A 1 est un ensemble fini, alors Card(A 1 Card(A 1 Card(A 1, ce qui est trivialement vrai. L hypothèse de récurrence est donc valide pour n 1. Propriété d hérédité de l hypothèse. On suppose désormais que l hypothèse est valide à un rang n arbitraire. On veut vérifier qu elle est encore vraie au rang n + 1, soit donc n +1 ensembles finis A 1, A 2,..., A n, A. On peut utiliser le principe d inclusionexclusion pour les deux ensembles 1 i n A i et A : ( (( n Card A i Card A i A (1 Card Card A i + Card(A Card A i + Card(A Card Par hypothèse de récurrence au rang n, on sait que ( n n Card A i Card(A i, donc aussi Card ( A i n ( A i A (A i A Card(A i + Card(A Card(A i.

4 FORMULES D INCLUSION-EXCLUSION 4 (en utilisant seulement le fait que le dernier terme de (1 est négatif. Pour l autre inégalité, on utilise deux fois l hypothèse de récurrence au rang n, en appliquant la minoration aux n ensembles A 1, A 2,..., A n et la majoration aux n ensembles A 1 A, A 2 A,..., A n A. On obtient donc : ( n n Card A i Card(A i Card ( A i A j ( n n Card (A i A Card(A i A. En insérant ces deux formules dans l Équation (1, on a : ( n Card A i Card(A i Card ( n A i A j + Card(A Card(A i A Card(A i Card(A i +1 Card ( n A i A j Card(A i A Card ( A i A j, car le terme n Card(A i A correspond bien à la somme des Card ( A i A j pour 1 i < j n BONUS : POUR ALLER PLUS LOIN On peut en fait généraliser tout ce qui a été fait précédemment pour obtenir une formule générale s appliquant à un nombre fini arbitraire d ensembles. Théorème 1 (Formule d inclusion-exclusion, ou formule du crible. Soit n N et A 1, A 2,..., A n des ensembles finis. Alors ( n n Card A i Card(A i Card(A i A j + 1 i<j <k n ou bien, sous forme plus synthétique, ( n n Card A i ( 1 l+1 ( n Card(A i A j A k + ( 1 Card A i, ]. Démonstration. Cette formule générale se démontre elle aussi par récurrence sur le nombre n d ensembles. La formule étant elle-même relativement compliquée, les calculs deviennent un peu plus difficiles à écrire... Pour un seul ensemble (n 1, il n y a que la première somme dans le second membre, et elle se réduit au terme Card(A 1, donc l égalité est de nouveau triviale. Supposons que la formule est vraie à un rang n arbitraire, et considérons n + 1 ensembles finis A 1, A 2,..., A n, A. On utilise de nouveau l Équation (1, puis on applique l hypothèse de récurrence, qui est cette fois une égalité, aux deux termes qui

5 FORMULES D INCLUSION-EXCLUSION 5 sont des réunions de n ensembles, obtenant : ( n n Card A i ( 1 l+1 ( n n Card (A i A ( 1 l+1 ] A ] En remplaçant ces termes dans (1, on obtient donc ( n Card A i ( 1 l+1 Card ( ] A i1 A i2 A il + Card(A n ( 1 l+1 Card ( ] A i1 A i2 A il A n ( 1 l+1 + l2 Card(A i + ( 1l+1 l2 ] + Card(A 1 i 1 <i 2 < <i l 1 n i l ( 1 l+1 Et c est exactement l expression souhaitée. +1 Card ( A i1 A i2 A il ].

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