Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson"

Transcription

1 4 L E Ç O N Loi biomiale Niveau : Première S + SUP (Covergece) Prérequis : Variable aléatoire, espérace, variace, théorème limite cetral, loi de Poisso

2 1 Loi de Beroulli Défiitio 41 Loi de Beroulli Soit E ue épreuve comportat deux issues (succès et échec) O ote p la probabilité de succès Soit X la variable aléatoire qui est égal à 1 e cas de succès et 0 sio Alors, o dit que X suit u loi de Beroulli de paramètres p O ote alors X Ber(p) Remarque 42 Si X Ber(p), o otera : P (X 1) p et P (X 0) 1 p q Exemple 43 O lace u dé o pipé O ote X la variable aléatoire qui pred comm valeur 1 si la face 6 apparait lors du lacer et 0 sio La variable aléatoire X est ue variable aléatoire qu isuit la loi de Beroulli de paramètres 1/6 Doc X Ber(1/6) Lemme 44 Si X Ber(p) alors X 2 Ber(p) Démostratio O a X 2 (Ω) {0, 1} et : P (X 2 1) P (X 1) p doc X 2 Ber(p) Propositio 45 Si X Ber(p) alors : a E(X) p b Var(X) pq Démostratio O a : E(X) P (X 0) 0 + P (X 1) 1 q 0 + p 1 p, et : Var(X) E(X 2 ) E(X) 2 E(X 2 ) p 2 or X 2 Ber(p), doc o a : E(X 2 ) E(X) p Aisi, Var(X) p p 2 pq 46 LEÇON 4 LOI BINOMIALE

3 2 Loi biomiale Défiitio 46 Loi biomiale Soit Ω l uivers associé à ue expériece aléatoire Soit X ue variable aléatoire défiie sur Ω O dit que X suit ue loi biomiale de paramètres N et p [0, 1] lorsque : a X(Ω) {0, 1,, } ; b pour tout k {0, 1,, }, P (X k) k p k (1 p) k k p k q k Si X suit ue loi biomiale de paramètres et p alors o ote X Bi(, p) Remarque 47 Soit X Bi(, p) O a bie défii ue variable aléatoire car : k k P (X k) q k [p + (1 p)] 1 p Théorème 48 Soit E ue épreuve comportat deux issues (succès et échec) O ote p la probabilité de succès O ote fois, de faços idépedates, l épreuve E Soit X la variable aléatoire correspodat au ombre de succès Alors : X suit ue loi biomiale de paramètres et p Démostratio La probabilité d avoir k succès suivis de k succès suivis de k échecs est : p k (1 p) k Mais les succès et les échecs apparaisset pas écessairemet das cet ordre O cosidère l esemble des «mots» de lettres qui e cotieet que des S (Succès) et des E (Échecs) O sait qu il y e a exactemet p qui cotieet exactemet k fois la lettre S (et doc k fois la lettre E) O e déduit m P (X k) p k (1 p) k p et ceci pour tout k {0, 1,, } Remarques 49 a La probabilité d avoir succès : P (X ) p et d avoir aucu succès P (X 0) q Par coséquet, la probabilité d avoir au mois u succès est : P (X 1) 1 P (X 0) 1 q b La loi de Beroulli est u cas particulier de la loi biomiale où l épreuve E est réalisée qu ue seule fois c Toute variable aléatoire X suivat ue loi biomiale de paramètres N et p [0, 1] peut s écrire comme somme X X X où, pour tout k {0, 1,, }, X k est ue variable aléatoire suivat ue loi de Beroulli de paramètre p (X k vaut 1 e cas de succès à la k e réalisatio de E et 0 sio) Exemples 410 La probabilité qu u tireur atteige sa cible est p 3 4 O suppose qu il fait deux tirs et o ote X la variable aléatoire associat à cette épreuve le ombre de succès obteus (X 0, 1 ou 2) 1 Calculer la probabilité des évéemets {X 0}, {X 1} et {X 2} 2 Calculer 2 P (X k) 3 O suppose qu il fait sept tirs et o ote Y la variable aléaoire associat à cette épreuve le ombre de succès obteus Calculer P (X 1) et P (X 2) 42 LOI BINOMIALE 47

4 Théorème 411 Espérace et variace d ue loi biomiale Si X Bi(, p) avec N et p [0, 1] alors : E(X) p et Var(X) pq Démostratio Puisque X Bi(, p), il existe des variables aléatoires (réelles) X 1, X 2,, X défiies sur Ω idépedates, de loi de Beroulli de même paramètre p telles que X i1 X i Par liéarité de l espérace : E(X) E X i E(X i ) et d après ce qui précède : De même pour la variace : i1 E(X) Var(X) Var X i i1 i1 p p i1 Var(X i ) i1 pq pq i1 Exemple 412 La probabilité qu u tireur atteige sa cible est p 3 4 O suppose qu il tire 7 fois O ote X la variable aléatoire associat à cette expériece aléatoire le ombre de succès obteus Calculer so espérace et sa variace 3 Propriétés sur les coefficiets biomiaux 3 1 Défiitios et propriétés Défiitio 413 Combiaisos Soiet et p deux etiers aturels et E u esemble coteat élémets U sous-esemble de E coteat p élémets est appelé ue combiaiso de p élémets de E Le ombre de p-combiaisos d u esemble coteat élémets est oté C p ou p Exemple 414 Pour gager au Loto, il faut trouver 3 uméros parmi 5 O veut savoir combie il y a de grilles possibles Cosidéros ue grille quelcoque (c est-à-dire ue 3-combiaiso de l esemble des 5 uméros) : par exemple {1, 3, 4} Il y a 3! faços possibles d ordoer ces ombres Or, il y a C 3 5 3! suites de 3 ombres ordoées Mais, o compte de ces derières suites Doc : O peut maiteat gééraliser la formule : C ! Le ombre de p-combiaisos d u esemble coteat élémets est oté Propositio 415 C p ( 1)( 2) ( (p 1)) p!! p!( p)! (41) (42) 48 LEÇON 4 LOI BINOMIALE

5 Démostratio de la propositio 415 O part de la formule (41) pour arriver à la formule (42) : C p ( 1)( 2) ( p + 1) p! ( 1)( 2) ( p + 1) ( p)( p 1) 2 1 p! ( p)( p 1) 2 1! p!( p)! Ue autre faço de voir la formule (42) Il y a A p maières de tirer p objets parmi e les ordoat soit A p! ( p)! Ue fois les p objets tirés, il y a p! maières de les ordoer Il y a doc Ap p! maières de tirer p objets parmi sas les ordoer D où C p Ap 1! p! p! ( p)! Défiitio 416 Coefficiets biomiaux Soit p u etier aturel o ul Les ombres C p sot appelés les coefficiets biomiaux Propositio 417 Formule de Pascal Soit, p N tel que p < O a : C p C p 1 + Cp 1 1 Démostratio de la formule de Pascal Soit u esemble E à élémets O suppose que l o a «extrait» ue partie à p élémets Si l o retire u élémet {a} à E, c est soit u élémet de la combiaiso, soit o Das le premier cas, les p 1 restats formet ue partie de l esemble E \ {a} de cardial 1, et das le secod, ce sot les p élémets qui formet ue partie de E \ {a} Cette uio état disjoite, les cardiaux s ajoutet pour aboutir à l égalité demadée \p FIGURE 41 Triagle de Pascal Propositio 418 Formule itérée de Pascal Soit p deux etiers aturels Alors kp C k p C p PROPRIÉTÉS SUR LES COEFFICIENTS BINOMIAUX 49

6 Démostratio de la formule itérée de Pascal O effectue ue récurrece sur l etier Iitialisatio Lorsque p, les deux membres valet 1 Hérédité O suppose que la formule est vraie au rag et o motre qu elle est ecore vraie au rag + 1 : et d après l hypothèse de récurrece, kp +1 C p k kp kp C p k + Ck+1 p +1 C p k Cp Cp +1 Cp+1 +2 La derière égalité est justifiée par l emploi de la formule de Pascal O ote A C (ou R ou Q ou Z) Théorème 419 Formule du biôme Soiet deux élémets a, b de A qui commutet Alors : N, (a + b) C k a k b k Démostratio de la formule du biôme de Newto O démotre la formule par récurrece sur Iitialisatio Lorsque 0, les deux membres sot égaux à 1 (avec le cas échéat la covetio 0 0 1) Hérédité O suppose que la formule est vraie au rag et o motre qu elle est ecore vraie au rag + 1 (a + b) +1 (a + b)(a + b) (a + b) C k a k b k+1 + k1 C k a k b k C k a k b k+1 +1 C k 1 a k b k+1 + a +1 + k1 C 0 +1a 0 b +1 + C k a k b k+1 C k 1 a k b k+1 + b +1 + k1 +1 C k +1a k b k (C k 1 C k a k b k+1 k1 + C k )a k b +1 k + C a+1 b 0 La derière égalité utilise la formule de Pascal pour l additio des deux coefficiets biomiaux Remarque 420 Certais auteurs défiisset le coefficiet biomial comme le coefficiet du moôme a k b k das le développemet de l expressio (a + b) e remarquat que ce développemet est homogèe e a et b Corollaire 421 O a les égalités suivates : 1 C k 2, 2 ( 1) k C k 0 50 LEÇON 4 LOI BINOMIALE

7 Démostratio du corollaire O utilise le biôme de Newto avec a 1 et b 1 2 O utilise le biôme de Newto avec a 1 et b 1 Remarque 422 O remarque que l égalité 1 du corollaire 421 traduit le fait que le ombre de parties d u esemble à élémets est 2 E effet, ce ombre est la somme des ombres de parties ayat respectivemet 0, 1, élémets (le cardial d ue uio disjoite est la somme des cardiaux), ce qui correspod bie à la somme idiquée Propositio 423 Formule de Va der Mode Pour tous etiers m, et p tels que p m +, o a l égalité : C p m+ p C k mc p k Démostratio de la formule de Va der Mode Soit x u réel Alors : Or (1 + x) m (1 + x) (1 + x) m+ j0 m+ p0 C p m+x p m m (1 + x) m (1 + x) C i mx i C j x j C i mc j x i+j j0 C 0 mc 0 + (C 0 m C 1 + C 1 mc 0 )x + (C 0 mc 2 + C 1 mc 1 + C 2 mc 0 )x 2 + m+ C i mc j x p p0 i,j>0 i+jp Par idetificatio des coefficiets de ce polyôme de degré p, o obtiet fialemet que, pour tout etier 0 p m +, C p m+ p C i mc j C i mc p i i,j>0 i+jp 4 Stabilité additive de la loi biormale Théorème 424 Stabilité additive de la loi biomiale Si X Bi(m, p) et Y Bi(, p) avec X et Y idépedates, alors X + Y Bi(m +, p) Soit (A i ) 1 i ue suite d évéemets O ote : A i si les évéemets sot disjoits 44 STABILITÉ ADDITIVE DE LA LOI BINORMALE 51

8 Démostratio O pose S X + Y O a clairemet S(Ω) {0,, m + } Calculos P (S 1 (k)) pour tout 1 k m + : D où : Et comme X et Y sot idépedates : Comme X Bi(m, p) et Y Bi(, p) : P (S 1 (k)) Et comme k Ci mc k i C k m+ Doc S Bi(m +, p) S 1 (k) P (S 1 (k)) P (S 1 (k)) k k k X 1 (i) Y 1 (k i) k P (X 1 (i) Y 1 (k i)) k P (X 1 (i))p (Y 1 (k i)) C i mp i (1 p) m i C k i p k i (1 p) (k i) C i mc k i p k (1 p) m+ k P (S 1 (k)) C k m+p k (1 p) m+ k 5 Covergece 5 1 Vers la loi de Poisso Théorème 425 Lorsque ted vers l ifii et que simultaémet p 0 de sorte que lim p a > 0, la loi biomiale de paramètres et p coverge vers la loi de Poisso de paramètre a E pratique, o remplace la loi biomiale par ue loi de Poisso dès que > 30 et p < 5 ou dès que > 50 et p < 01 Démostratio O décompose P (X k) : p k k (1 p ) k ( 1) ( k + 1) p k k! (1 p ) k 1 1 (p ) k k! k 1 (1 p ) k O se place das la situatio où p est équivalet à a e l ifii Lorsque ted vers l ifii, les facteurs 1 1, 1 2,, 1 k 1 tedet vers 1 Le produit de ces termes ted égalemet vers 1 puisqu ils sot e ombre fii fixé k O a : (1 p ) k (1 p ) (1 p ) k, or, lim p 0 (1 p) k 1 et de plus, (1 p ) (1 a ) et ce derier terme ted vers e a quad ted vers l ifii O trouve doc : lim + qui est la probabilité de k pour la loi de Poisso de paramètre a p k(1 p ) k ak k k! e a, 52 LEÇON 4 LOI BINOMIALE

9 5 2 Vers la loi ormale Théorème 426 Soit (X ) ue suite de variable aléatoires idépedates de même loi de Beroulli Ber(p) et S X X suit la loi biomiale Bi(, p) D après le théorème cetral limite, la loi de S peut re approximée par la loi ormale N(E(S ), Var(S )), c est-à-dire par la loi N(p, pq) Remarque 427 E pratique, lorsque 30, p 15 et pq > 5, la loi biomiale Bi(, p) peut être approximée par la loi ormale N(p, pq) 6 Échatilloage 6 1 Premier problème : proportio de boules das ue ure Das ue ure coteat ue dizaie de boules, il y a 2 boules oires et 8 boules blaches La proportio de boules oires est doc de 1/5 O pioche das l ure avec ordre et remise ue vigtaie de boules et o s itéresse à la proportio de boules oires obteues Cette expériece a été recommecée 100 fois à l aide d u tableur et voici les proportios obteues Proportio 0 0, 05 0, 1 0, 15 0, 2 0, 25 0, 3 0, 35 0, 4 0, 45 0, 5 Total Nb d échatillos Quel est le ombre d échatillos qui ot ue proportio de boules oires de 0, 3? 2 Quel est le ombsi (X ) re d échatillos qui ot ue proportio de boules oires de 0, 6? 3 Quel est le ombre d échatillos qui ot ue proportio de boules oires etre 0, 1 et 0, 4? 4 Le but de cette partie est de retrouver par le calcul ce derier ombre O cosidère la variable aléatoire X qui lors de l expériece compte le ombre boules oires obteues a Justifier que X suit ue loi biomiale dot o précisera les paramètres b Calculer P (2 X 8) c E déduire la probabilité que la proportio de boules oires soit comprise etre 0 et 0, 4 Solutio Proportio 0 0, 05 0, 1 0, 15 0, 2 0, 25 0, 3 0, 35 0, 4 0, 45 0, 5 Total Nb d échatillos Le ombre d échatillos qui ot ue proportio de boules oires de 0, 3 est 9 2 Le ombre d échatillos qui ot ue proportio de boules oires de 0, 6 est 0 E effet, tous les échatillos sot déjà das le tableau 3 Le ombre d échatillos qui ot ue proportio de boules oires comprise etre 0, 1 et 0, 4 est Soit 90% 4 a O recommece 20 fois de maière idépedate ue expériece ayat deux issues possibles, succès ou échec La variable aléatoire qui compte le ombre de succès suit ue loi biomiale de paramètres 20 et 1/5 b P (2 X 8) 0, 92 c O cherche la probabilité que la proportio de boules oires das u échatillo soit comprise etre 0, 1 et 0, 4 ; c est-à-dire la probabilité qu il y ait etre 10% et 40% de boules oires Or chaque échatilloage cotiet 20 boules Aisi 10% de boules oires pari ces 20 boules représete exactemet 2 boules oires De même 40% représete 8 boules oires Fialemet, chercher la probabilité que la proportio de boules oires das les échatilloages soit comprise etre 0, 1 et 0, 4 reviet à chercher la probabilité de piocher etre 2 et 8 boules oires parmi les 20 boules C est exactemet la probabilité que l o a caculé à la questio 4b, soit 0, 92 Ce qui correspod à peu près au 90% trouvé grâce au tableau 46 ÉCHANTILLONNAGE 53

10 6 2 Secod problème : proportio de camios sur ue autoroute Sur ue autoroute, la proportio des camios par rapport à l esemble des véhicules est 0, 07 1 Soit X le ombre de camios parmi 100 véhicules choisis au hasard Calculer P (X 5) 2 Soit Y le ombre de camios parmi 1000 véhicules choisis au hasard Calculer P (65 Y 75) 3 O choisit véhicules au hasard Pour quelles valeurs de peut-o affirmer que la proportio de camios est etre 0, 06 et 0, 08 avec u risque d erreur iférieur à 5%? Solutio 1 Soit X ue variable aléatoire de loi biomiale Bi(100, 007) , 100 0, 07 7 < 15, 0, 07 0, 1 doc l approximatio à utiliser est celle par la loi de Poisso Pois(7) et : P (X 5) 1 e k k! 0, Y suit la loi biomiale Bi(1000, 007) , , , 70 0, 93 64, 1 > 4 doc l approximatio à utiliser est celle par la loi ormale N(70, 651) et si F désige la foctio de répartitio de la loi N(70, 651), 55 P (65 Y 75) F (755) F (645) Φ Φ Φ 1 2Φ(068) O choisit véhicules au hasard Le ombre S des camios parmi ces véhicules suit la loi biomiale Bi(, 007) et la proportio des camios est S O cherche tel que P S Si 30, et > 5, c est-à-dire 215, o peut approximer la loi de S par la loi ormale N(007, ) et la loi de S par la loi ormale N(0, ) O a alors : S P S P Φ O a doc Φ Φ(196) et , ce qui légitime l approximatio 7 Loi multiomiale Défiitio 428 Loi multiomiale Le vecteur aléatoire N suit la loi multiomiale de paramètres et (p 1,, p d ) où N et les p i sot strictemet positifs et de somme 1 si pour tout d-uple (j 1, j 2,, j d ) d etiers tels que j 1 + j j d, P [N (j 1, j 2,, j d )]! j 1!j 2! j d! pj 1 1 p j 2 2 p j d d Exemple 429 O cosidère 20 tirages d ue boule avec remise das ue ure coteat 1 boule bleue, 3 jaues, 4 rouges et 2 vertes Notos N (N 1, N 2, N 3, N 4 ) où N i est le ombre de boules de la couleur i e umérotat les couleurs par ordre alphabétique (b,j,r,v) O a (p 1, p 2, p 3, p 4 ) ( 1 10, 3 10, 4 10, 2 10 ) La probabilité d obteir e 20 tirages 3 bleues, 5 jaues, 10 rouges et 2 vertes est : P (N (3, 5, 10, 2)) 20! , !5!10!2! LEÇON 4 LOI BINOMIALE

Dénombrement - Combinatoire Cours

Dénombrement - Combinatoire Cours Déombremet - Combiatoire Cours La combiatoire (ou aalyse combiatoire) étudie commet compter des objets. Elle fourit des méthodes de déombremet particulièremet utiles e probabilité. U des pricipaux exemples

Plus en détail

Chapitre 4 Lois discrètes

Chapitre 4 Lois discrètes Chapitre 4 Lois discrètes 1. Loi de Beroulli Ue variable aléatoire X est ue variable de Beroulli si elle e pred que les valeurs 0 et 1 avec des probabilités o ulles. P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p = q, avec

Plus en détail

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante : " tirer p éléments de E ".

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante :  tirer p éléments de E . Cours de termiales Probabilités sur u esemble fii Mr ABIDI F I- Rappel I- Types de tirages : Soit u esemble fii E coteat élémets O cosidère l'épreuve suivate : " tirer p élémets de E " Type de tirages

Plus en détail

EXERCICES : DÉNOMBREMENT

EXERCICES : DÉNOMBREMENT Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris

Plus en détail

PROBABILITÉS. A cette expérience aléatoire, on associe l ensemble des résultats possibles appelé univers. Ses éléments sont appelés éventualités.

PROBABILITÉS. A cette expérience aléatoire, on associe l ensemble des résultats possibles appelé univers. Ses éléments sont appelés éventualités. PROBABILITÉS I. PROBABILITÉS ( RAPPELS) a. Expérieces aléatoires et modèles Le lacer d ue pièce de moaie, le lacer d u dé sot des expérieces aléatoires, car avat de les effectuer, o e peut pas prévoir

Plus en détail

Dénombrement. 1 Dénombrer des listes 2 1.1 Permutation... 2 1.2 Arrangement... 3 1.3 p-liste... 4

Dénombrement. 1 Dénombrer des listes 2 1.1 Permutation... 2 1.2 Arrangement... 3 1.3 p-liste... 4 1 Déombremet Table des matières 1 Déombrer des listes 2 1.1 Permutatio................................ 2 1.2 Arragemet............................... 3 1.3 -liste.................................... 4

Plus en détail

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice - Loi d u dé truqué - L2/ECS -. X pred ses valeurs das {,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque P X est

Plus en détail

Sciences Po Option Mathématiques

Sciences Po Option Mathématiques Scieces Po Optio Mathématiques Epreue 3 Vrai-Fau Questio FAUX La suite ( u ) état géométrique de raiso différete de, o a classiquemet, pour tout etier aturel : où q est la raiso de la suite ( u ) Ici,

Plus en détail

Exercices - Lois discrètes usuelles : corrigé

Exercices - Lois discrètes usuelles : corrigé www.almohadiss.com Exercice - Avio - L2/Prépa Hec - O ote X la variable aléatoire du ombre de moteurs de A qui tombet e pae, et Y la variable aléatoire du ombre de moteurs de B qui tombet e pae. X suit

Plus en détail

On peut représenter la situation par un arbre : On a donc p(b 1 B 2)= p(b 1) p (B ) = 3 4 = 3.

On peut représenter la situation par un arbre : On a donc p(b 1 B 2)= p(b 1) p (B ) = 3 4 = 3. T ale S Correctio Exercices type bac de Probabilités. Mars Exercice : Ue ure cotiet au départ 0 boules blaches et 0 boules oires idiscerables au toucher. O tire au hasard ue boule de l ure : Si la boule

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

MA401 : Probabilités TD3

MA401 : Probabilités TD3 MA : Probabilités Exercice Ue compagie aériee étudie la réservatio sur l u de ses vols. Ue place doée est libre le jour d ouverture de la réservatio et so état évolue chaque jour jusqu à la fermeture de

Plus en détail

Seconde année - Semestre 3 PROBABILITÉS

Seconde année - Semestre 3 PROBABILITÉS 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Aée 2012-2013 LICENCE d ÉCONOMIE et GESTION Secode aée - Semestre 3 PROBABILITÉS Feuille d exercices N 3 : Variables aléatoires - Lois discrètes 1. Calculez 3 2 + 2 5 Exercice I (

Plus en détail

Exercices d oraux de la banque CCP Corrigés BANQUE PROBABILITÉS

Exercices d oraux de la banque CCP Corrigés BANQUE PROBABILITÉS Exercices d oraux de la baque CCP 204-20 - Corrigés BANQUE PROBABILITÉS EXERCICE 96 (a La variable aléatoire X est régie par ue loi biomiale E effet, expérieces idetiques et idépedates (car les tirages

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Logique, esembles et applicatios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I :

Plus en détail

TD1. Dénombrements, opérations sur les ensembles.

TD1. Dénombrements, opérations sur les ensembles. Uiversité Pierre & Marie Curie Licece de Mathématiques L3 UE LM345 Probabilités élémetaires Aée 2014 15 TD1. Déombremets, opératios sur les esembles. 1. Combie de faços y a-t-il de classer 10 persoes à

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 Durée : 4 heures Baccalauréat S Nouvelle-Calédoie 7 mars 2014 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commu à tous les cadidats 4 poits Cet exercice est u QCM questioaire à choix multiple. Pour chaque questio, ue seule

Plus en détail

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS CHAPITRE 4 MATRICES ET SUITES 1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS 11/ Présetatio et modélisatio O cosidère u système ui peut se trouver soit das u état A, soit das u état, et

Plus en détail

Fluctuation et estimation

Fluctuation et estimation Fluctuatio et estimatio Table des matières I Idetificatio de la situatio........................................ II Échatilloage, itervalle de fluctuatio asymptotique........................ II. Itervalle

Plus en détail

Loi binomiale. Loi de Bernoulli

Loi binomiale. Loi de Bernoulli Loi biomiale Loi de Beroulli O s itéresse ici à la réalisatio ou o d u évéemet. Autremet dit, o étudie les expérieces aléatoires qui ot que deux issues possibles : Obteir Pile ou Face Doer aissace à u

Plus en détail

Probabilités. Poly des exercices. Prépa HEC Saint-Jean de Douai. Springer-Verlag ECS1 2007-2008. 4 septembre 2008

Probabilités. Poly des exercices. Prépa HEC Saint-Jean de Douai. Springer-Verlag ECS1 2007-2008. 4 septembre 2008 Prépa HEC Sait-Jea de Douai Probabilités Poly des exercices ECS1 2007-2008 Christia Skiada 4 septembre 2008 Spriger-Verlag Berli Heidelberg NewYork Lodo Paris Tokyo Hog Kog Barceloa Budapest Préface Voici

Plus en détail

1 Dénombrement. 1.1 Principe. Définition : 1.2 Combinaisons. Définition :

1 Dénombrement. 1.1 Principe. Définition : 1.2 Combinaisons. Définition : Probabilités : coditioemet et idéedace Termiale S Déombremet. Pricie O raelle que le cardial d u esemble fii E, oté Card(E), rerésete so ombre d élémets. Si E 0,0 alors Card(E). Notre but est de détermier

Plus en détail

Estimations et intervalles de confiance

Estimations et intervalles de confiance Estimatios et itervalles de cofiace Estimatios et itervalles de cofiace Résumé Cette vigette itroduit la otio d estimateur et ses propriétés : covergece, biais, erreur quadratique, avat d aborder l estimatio

Plus en détail

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités coditioelles - Suites géométriques - foctios epoetielles Calculatrice autorisée Termiale ES123 Eercice 1 : 5 poits Partie A : Ue agece de locatio

Plus en détail

Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires»

Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires» Araud de Sait Julie - MPSI Lycée La Merci 2015-2016 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires» Exercice 1 (Recostitutio de paires) O fixe deux etiers aturels 1 r. U placard cotiet

Plus en détail

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal :

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal : Colles du 3 ovembre 014 Solutio de la questio de cours 1. (i) Soit E u esemble de cardial. L esemble (E) peut alors être partitioé comme suit : (E) (E), où (E) est l esemble des parties de E de cardial.

Plus en détail

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue

Plus en détail

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3. EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite

Plus en détail

II. Permutations sans répétitions et notation factorielle

II. Permutations sans répétitions et notation factorielle février 2012 ORRIGE II. Permutatios sas répétitios et otatio factorielle Aalyse combiatoire 4 ème - 1 I. Itroductio Les différets modèles mathématiques costruits pour étudier les phéomèes où iterviet le

Plus en détail

Annexe : Leçon 10 - Échantillonnage

Annexe : Leçon 10 - Échantillonnage Aexe : Leço 10 - Échatilloage Clémet BOULONNE pour la sessio 01 I Niveau, prérequis, référeces Niveau BTS Prérequis Probabilités, lois discrètes et cotiues Référeces [1,,, 4, 5] II Coteu de la leço 1 Approximatio

Plus en détail

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h Etrée à Scieces Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h A P M E P Les calculatrices sot autorisées Exercice Vrai-Faux 8 poits Pour chacue des affirmatios suivates,

Plus en détail

Séries entières. Chap. 09 : cours complet.

Séries entières. Chap. 09 : cours complet. Séries etières Chap 9 : cours complet Rayo de covergece et somme d ue série etière Défiitio : série etière réelle ou complee Théorème : lemme d Abel Théorème : itervalle des valeurs positives où ue série

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Eocés 1 Déombremet Exercice 1 [ 01529 ] [correctio] Soiet E et F deux esembles fiis de cardiaux resectifs et. Combie y a-t-il d ijectios de E das F?

Plus en détail

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels.

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels. Uiversité de Provece 011 01 Mathématiques Géérales I Plache 6 Nombres réels Suites réelles Nombres réels Exercice 1 Mettre sous forme irréductible p/q les ratioels suivats (les chiffres souligés se répètet

Plus en détail

Chapitre 1. Dénombrement

Chapitre 1. Dénombrement Chapitre Déombremet Itroductio Lorsque l o compte les objets d ue collectio, o attribue à la collectio so cardial, c est à dire le ombre d objets qu elle cotiet. Par exemple u Picasso, u Rembrat et u Degas

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001 Exercice 1 : ( 12 poits ) Les parties A et B peuvet être traitées idépedammet l ue de l autre. O se propose d étudier l évolutio e foctio du temps des températures d u bai et d u solide plogé das ce bai.

Plus en détail

Correction Bac ES France juin 2010

Correction Bac ES France juin 2010 Correctio Bac ES Frace jui 010 Exercice 1 (4 poits) (Commu à tous les cadidats) Pour ue meilleure compréhesio, les réposes serot justifiées das ce corrigé. Questio 1 Le ombre 3 est solutio de l équatio

Plus en détail

TS Intervalle de fluctuation et estimation Cours

TS Intervalle de fluctuation et estimation Cours Aée 2013/2014 TS Itervalle de fluctuatio et estimatio Cours est u etier aturel o ul et p est u réel de l itervalle 0 ; 1. I Itervalle de fluctuatio Cotexte : Das ue populatio, la proportio d idividus présetat

Plus en détail

Inégalités souvent rencontrées

Inégalités souvent rencontrées Iégalités souvet recotrées Recotres Putam 004 Uiversité de Sherbrooke Jea-Philippe Mori Théorie Certaies iégalités sot deveues célèbres e raiso de leur grade utilité Elles sot aussi souvet au coeur de

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

Mots de longueur donnée à base de P lettres, et fonction génératrice

Mots de longueur donnée à base de P lettres, et fonction génératrice Mots de logueur doée à base de lettres, et foctio géératrice Cosidéros les mots de logueur à base de lettres, avec etier positif. ) Combie existe-t-il de tels mots? La première lettre du mot est l ue des

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

Le loto : on tire, au hasard, 6 boules parmi 49. Combien de tirages possibles?

Le loto : on tire, au hasard, 6 boules parmi 49. Combien de tirages possibles? B1 ESH Exercices de déombremet Corrigé Exercice 1 A la catie du lycée, o a le choix etre 3 etrées, 2 plats et 4 desserts. Combie de meus (composés d'ue etrée, d'u plat et d'u dessert) sot possibles? Soit

Plus en détail

Questions pour un champion en ligne

Questions pour un champion en ligne Questios pour u champio e lige Le jeu télévisé QPUC préseté sur FR3 et aimé par Julie Lepers existe aussi e variate «e lige». U jeu «e lige» se déroule aisi : Six iterautes disputet ue première mache dite

Plus en détail

x + (2 α) y = 0 3 L donc P

x + (2 α) y = 0 3 L donc P 1 Corrigé ESC 009 par Pierre Veuillez Exercice 1 O cosidère les matrices A, B, D, P, E de M (R) suivates : ( ) 5 1 4 ( ) A B 3 3 1 3 0 7 D P 3 3 ( ) { x (1 α) x y 0 1) a: (A αi) 0 y x + ( α) y 0 ( 1 )

Plus en détail

PROBABILITES EXERCICES CORRIGES

PROBABILITES EXERCICES CORRIGES PROBABILITES EXERCICES CORRIGES Vocabulaire des probabilités Exercice. Das chacue de situatios décrites ci-dessous, éocer l évéemet cotraire de l évéemet doé. ) Das ue classe, o choisit deux élèves au

Plus en détail

CONVERGENCE ET APPROXIMATION

CONVERGENCE ET APPROXIMATION 11-2- 2010 J.F.C. Cov. p. 1 CONVERGENCE ET APPROXIMATION I CONVERGENCE EN PROBABILITÉ 1. Défiitio 2. Ue coditio suffisate de covergece e probabilité 3. La loi faible des grads ombres 4. Ue coséquece de

Plus en détail

Dénombrement. Chapitre 1. Objectifs du chapitre. 1.1 Entiers naturels et raisonnement par récurrence

Dénombrement. Chapitre 1. Objectifs du chapitre. 1.1 Entiers naturels et raisonnement par récurrence Chapitre 1 Déombremet Objectifs du chapitre 1. A travers l axiomatisatio de Peao de N, rappeller les pricipes de récurrece forte et faible. 2. Défiir la otio de cardial et les opératios sur les cardiaux.

Plus en détail

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé : Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +

Plus en détail

XV. Probabilités. Pour le second exemple, le dénombrement de toutes les issues possibles (un schéma en arbre peut nous y aider),

XV. Probabilités. Pour le second exemple, le dénombrement de toutes les issues possibles (un schéma en arbre peut nous y aider), . Itroductio XV. robabilités. L'étude des probabilités couvre toutes les situatios de phéomèes ayat plusieurs issues possibles, la réalisatio de chaque résultat état due au hasard. Des exemples de calcul

Plus en détail

est la fréquence empirique des succès lors des 10 premières expériences.

est la fréquence empirique des succès lors des 10 premières expériences. Pierre Veuillez Statistiques iféretielle Sources, et pour e savoir plus : http://www.math-ifo.uiv-paris5.fr/smel 1 Problématique : Exemple ue ure cotiet des boules rouges et blaches dot o e coaît pas la

Plus en détail

Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions

Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

Probabilité 1 - L1 MMIA

Probabilité 1 - L1 MMIA Probabilité 1 - L1 MMIA Tra Viet Chi, vtra@u-paris10fr, Bureau E12(G) Exercice 1 (Pour démarrer) 1 Soiet A et B deux esembles Rappelez les défiitios de l itersectio A B, de l uio A B, de la différece A

Plus en détail

Dénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices

Dénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices Chapitre 1 Déombremet 1.1 Eocés des exercices Exercice 1 L acie système d immatriculatio fraçais était le suivat : chaque plaque avait 4 chiffres, suivis de 2 lettres, puis des 2 uméros du départemet.

Plus en détail

Chapitre 9 La loi binomiale

Chapitre 9 La loi binomiale A) Variables aléatoires 1) Défiitio Chapitre 9 La loi biomiale O appelle variable aléatoire X ue foctio qui associe à tout résultat (évéemet élémetaire) u ombre réel. Pour ue même expériece aléatoire,

Plus en détail

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1)

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1) Corrigé ESSEC III 008 par Pierre Veuillez Das certaies situatios paris sportifs, ivestissemets fiaciers..., o est ameé à miser de l arget de faço répétée sur des paris à espérace favorable. O se propose

Plus en détail

Dénombrement. ECE3 Lycée Carnot. 30 novembre 2011

Dénombrement. ECE3 Lycée Carnot. 30 novembre 2011 Déombremet ECE Lycée Carot 0 ovembre 2011 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l idique à comter Il e s agit bie etedu as de reveir au stade du CP et d aredre à comter sur

Plus en détail

Enoncés. Soit n un entier naturel non nul et E un ensemble à n éléments. En utilisant des raisonnements combinatoires:

Enoncés. Soit n un entier naturel non nul et E un ensemble à n éléments. En utilisant des raisonnements combinatoires: Le raisoemet combiatoire Eocés Exercice. Das cet exercice, o evisage des codages biaires (successios de et de ). Pour tout N *, o ote U le ombre de codages biaires à chiffres se termiat par et e comportat

Plus en détail

STATISTIQUE : ESTIMATION

STATISTIQUE : ESTIMATION STATISTIQUE : ESTIMATION Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 202-203 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Estimatio poctuelle 5. Défiitios 5 2. Critères de comparaiso d estimateurs 6 3. Exemples

Plus en détail

Leçon 3 : Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule du binome. Applications.

Leçon 3 : Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule du binome. Applications. Leço 3 : Coefficiets biomiaux, déombremet des combiaisos, formule du biome. Alicatios. Prérequis : Nombres de listes, arragemets. Pricies de la somme et de la multilicatio. Cadre : O cosidèrera das la

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Valeurs absolues. Partie etière. Iégalités Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi mars 204 MATHEMATIQUES durée de l'épreuve : 3h - coefficiet 2 Le sujet est uméroté de à 5. L'aexe est à redre avec la copie. L'exercice Vrai-Faux est oté sur 8,

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES. Mardi 3 mai : 14 h - 18 h. Les calculatrices sont interdites

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES. Mardi 3 mai : 14 h - 18 h. Les calculatrices sont interdites SESSION 216 PCMA2 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES Mardi 3 mai : 14 h - 18 h N.B. : le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio de la rédactio.

Plus en détail

Chapitre 6 Théorèmes de convergence

Chapitre 6 Théorèmes de convergence Chapitre 6 Théorèmes de covergece 1. La covergece e loi O a déjà recotré ue covergece e loi lors de l approximatio d ue loi biomiale par ue loi de Poisso. Ce problème se place das u cadre plus gééral où

Plus en détail

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/ 9 OFFICE DU BACCALAUREAT BP 5005-DAKAR-Fa-Séégal Serveur Vocal: 68 05 59 Téléfax (1) 864 67 39 - Tél : 84 95 9-84 65 81 M A T H E M A T I Q U E S 09 G 18bis AR Durée:

Plus en détail

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a

Plus en détail

Devoir de statistiques: CORRIGE

Devoir de statistiques: CORRIGE CPP - la prépa des INP ( ème aée). Bordeaux, 6/04/04. Devoir de statistiques: CORRIGE durée h Doées: O rappelle que si Z suit ue loi N (0, ), o a P(Z.96) 0, 975 et P(Z.65) 0, 95. Exercice. θ et O cosidère

Plus en détail

Probabilités exercices corrigés

Probabilités exercices corrigés Termiale S Probabilités Exercices corrigés Combiatoire avec démostratio Ragemets Calcul d évéemets Calcul d évéemets Calcul d évéemets 6 Dés pipés 7 Pièces d or 8 Agriculteur pas écolo 9 Boules Jeux 6

Plus en détail

Corrigé du DS n 1. Exercice 1 (6 points)

Corrigé du DS n 1. Exercice 1 (6 points) Exercice 1 (6 poits) Corrigé du DS 1 Das cet exercice, les probabilités demadées serot doées sous forme décimale, évetuellemet arrodies à 10 - près. Lors d ue equête réalisée par l ifirmière auprès d élèves

Plus en détail

Correction Exercices Chapitre 08 - Couples de variables aléatoires réelles discrètes

Correction Exercices Chapitre 08 - Couples de variables aléatoires réelles discrètes 08. O dispose de boîtes umérotées de à. La boîte k cotiet k boules umérotées de à k. O choisit au hasard ue boîte, puis ue boule das cette boîte. Soit X le uméro de la boîte et Y le uméro de la boule..

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **

Plus en détail

La classification de données quantitatives avec SPAD

La classification de données quantitatives avec SPAD La classificatio de doées quatitatives avec SPAD SPAD effectue toujours ue ACP de la matrice des doées quatitatives X " p avat de faire la classificatio des idividus. Les méthodes de classificatio s appliquet

Plus en détail

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008 Sup Galilée - Maths pour l Igéieur Corrigé du Partiel du 9 Novembre 008 Étude d ue suite récurrete Soit u 0 ]0, [ O cosidère la suite (u ) défiie par u + u 3 u ) Justifier que la suite u est borée O motre

Plus en détail

Racine nième Corrigés d exercices

Racine nième Corrigés d exercices Racie ième Corrigés d eercices Page 9 : N 8, 8, 8, 86, 88, 89, 9, 9, 9, 97 Page 6 : N, Page 6 : N Page 67 : N 8 Page 6 : N N 8 page 9 6 6 6 6 6 ( ) = = = = = = = = ( ) = = = = = = ( ) 8 = 8 = = = = = =

Plus en détail

i. En déduire une mesure de l angle ( BD, PΩ ).

i. En déduire une mesure de l angle ( BD, PΩ ). Polyésie septembre EXERCICE Pour chacue des propositios suivates, idiquer si elle est vraie ou fausse et doer ue démostratio de la répose choisie Ue répose o démotrée e rapporte aucu poit O cosidère la

Plus en détail

X 1 = { X si X est impair 0 sinon

X 1 = { X si X est impair 0 sinon Corrigé ECRICOME 998 par Pierre Veuillez Das tout le problème, X désige ue variable aléatoire défiie sur u espace probabilisé (Ω, A, P et à valeurs das N et E(X l espérace de X si elle eiste. O ote A l

Plus en détail

Autour de la loi de Poisson

Autour de la loi de Poisson Agrégatio Itere de Mathématiques Thierry Champio séace du 25 ovembre 2016 Autour de la loi de Poisso Notatios - Itroductio Das tout ce problème, (Ω, T, P) est u espace probabilisé. Toutes les variables

Plus en détail

EXERCICES PROBABILITES

EXERCICES PROBABILITES EXERCICE : Calculer, pour EXERCICES PROBABILITES Soit,,3, 4,5,6, ( ) x, l itégrale I dx. 0 x ; détermier le réel pour que l o défiisse ue probabilité p sur * e posat, pour tout etier,6 p I Quelle est la

Plus en détail

Probabilités, MATH 424 Feuille de travaux dirigés 2. Solutions.

Probabilités, MATH 424 Feuille de travaux dirigés 2. Solutions. Probabilités, MATH 44 Feuille de travaux dirigés. Solutios. 1 Exercices Exercice 1. O jette trois dés o pipés. 1. Calculer la probabilité d obteir au mois u 1.. Que vaut la probabilité d obteir au mois

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE

FONCTION EXPONENTIELLE FONCTION EXPONENTIELLE I. RAPPELS : METHODE D EULER Si f est ue foctio dérivable e x 0, o sait que f(x 0 + h) a pour approximatio affie f(x 0 ) + f '(x 0 )h O peut doc sur de "petits" itervalles, approcher

Plus en détail

VARIABLES ALEATOIRES

VARIABLES ALEATOIRES VARIABLES ALEATOIRES TABLE DES MATIÈRES. Loi de probabilité.. Exemple... Calcul de probabilités sur u uivers Ω... Variable aléatoire à valeurs réelles...3. Probabilité image défiie par ue variable aléatoire..4.

Plus en détail

Correction CCP maths 1 MP

Correction CCP maths 1 MP mai 4 Avertissemet : Il subsiste certaiemet quelques coquilles... Exercice : ue itégrale double Correctio CCP maths MP Pour calculer cette itégrale, o effectue le chagemet de variable e coordoées polaires

Plus en détail

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour

Plus en détail

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1 Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S

Plus en détail

chapitre VIII exercices et problèmes de synthèse algorithmique et turbo-pascal

chapitre VIII exercices et problèmes de synthèse algorithmique et turbo-pascal chapitre VIII eercices et problèmes de sythèse algorithmique et turbo-pascal Algèbre liéaire et probabilités : Chaîes de Marov (esco 93) Partie A 4 3 O cosidère la matrice M = 8 6 ) a) Détermier les valeurs

Plus en détail

Probabilités & Statistiques L1: Cours. December 20, 2008

Probabilités & Statistiques L1: Cours. December 20, 2008 Probabilités & Statistiques L1: Cours December 20, 2008 Chapter 1 Déombremets I 1.1 Pricipes gééraux Règle du produit O fait deux expérieces, successives ou simultaées. Si la première doe 1 résultats possibles

Plus en détail

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.

Plus en détail

Intervalle de fluctuation des fréquences. Estimation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES. fréquence F n. fréquence obtenue f.

Intervalle de fluctuation des fréquences. Estimation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES. fréquence F n. fréquence obtenue f. Chapitre 14 Itervalle de fluctuatio des fréqueces. Estimatio Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Itervalle de fluctuatio Estimatio Itervalle de cofiace (*). Niveau

Plus en détail

P : Dénombrements / Probabilités en univers fini

P : Dénombrements / Probabilités en univers fini P : Déombremets / Probabilités e uivers fii Déombremet & Combiatoire P.1 O tire les cartes! O tire 5 cartes das u jeu de 32 cartes usuel. Combie y a-t-il de tirages possibles vérifiat les coditios suivates

Plus en détail

PROBABILITES EXERCICES CORRIGES

PROBABILITES EXERCICES CORRIGES PROBABILITES EXERCICES CORRIGES Vocabulaire des probabilités Exercice. Das chacue de situatios décrites ci-dessous, éocer l évéemet cotraire de l évéemet doé. ) Das ue classe, o choisit deux élèves au

Plus en détail

Externat Notre Dame Bac Blanc n 1 (Tle S) janvier Proposition de corrigé

Externat Notre Dame Bac Blanc n 1 (Tle S) janvier Proposition de corrigé Exterat Notre Dame Bac Blac Tle S) javier 06 durée : 4 h Propositio de corrigé calculatrice autorisée Das tout ce devoir, la qualité de la rédactio et le soi serot pris e compte das la otatio. Les exercices

Plus en détail

Probabilités. Table des matières. Université Paris XI PCS0 Probabilités 2011/2012

Probabilités. Table des matières. Université Paris XI PCS0 Probabilités 2011/2012 Uiversité Paris XI PCS0 Probabilités 2011/2012 Probabilités Table des matières 1 Combiatoire 2 1.1 Choix............................................ 2 1.2 Les foctios cruciales du déombremet........................

Plus en détail

Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E).

Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E). Chapitre 1 Tribus 1.1 Défiitios Soit E u esemble. O appelle classe de parties de E u sous-esemble o vide de P(E). Défiitio 1.1.1. Ue tribu A sur E est u sous-esemble o vide de P(E) tel que : (i) la partie

Plus en détail

Correction HEC III 2007

Correction HEC III 2007 HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page Correctio HEC III 7 Voie écoomique La correctio comporte 9 pages. Eercice. Par dé itio est ue valeur propre de t si et seulemet si est ue valeur propre de T: Et

Plus en détail

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Exercice 1 (5 poits) Bac Blac Termiale L - Février 015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Questio 1 : La populatio d'ue ville baisse de 1 % tous les as pedat 10 as. Elle est doc multipliée

Plus en détail

Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov

Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov AME Dossier : Matrices et suites 545 romeades aléatoires : vers les chaîes de Markov ierre Griho (*) Cet article propose ue mise e perspective de la otio de promeade ou de marche aléatoire itroduite das

Plus en détail

Séquence 9. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Intervalles de fluctuation 3. Estimation 4. Synthèse de la séquence 5. Exercices de synthèse

Séquence 9. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Intervalles de fluctuation 3. Estimation 4. Synthèse de la séquence 5. Exercices de synthèse Séquece 9 Itervalles de fluctuatio, estimatio Objectifs de la séquece Das le chapitre 2, o étudie des itervalles de fluctuatio des variables aléatoires X F =, fréqueces des variables aléatoires biomiales

Plus en détail