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1 Université Joseph Fourier MAT mat231-exo-03.tex (29 septembre 2008) Feuille d exercices n o 3 Exercice 3.1 Soit K un corps commutatif et soit {P 0, P 1,... P n } une famille de polynômes de degrés deg(p j ), pour 0 j n, deux à deux distincts. Montrer que cette famille est libre dans K[X]. Exercice 3.2 Écrire le produit P Q pour P (X) := X 3 + X et Q(X) := X 2 + X + 1. Méthode de présentation des calculs. Exercice 3.3 Soit E l espace vectoriel R 2 [X] des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à 2. On pose P 1 (X) := 1 2 X(X 1), P 2(X) = X(X 2) P 3 (X) := 1 (X 1)(X 2) Montrer que {P 1, P 2, P 3 } est une base de E. 2. Si P E, déterminer les coordonnées de P dans cette base. 3. Déterminer un polynôme P E tel que P (0) = P (2) et P (1) = 0. Ce polynôme est-il unique? Exercice 3.4 On se place dans le sous-espace vectoriel E := R[X] de R[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à 2. On définit les polynômes A, B, C par, A(X) := (X + 1)(X 1), B(X) := 1 2 X(X 1), C(X) := 1 X(X + 1). 2 Pour a R, on définit l application f a : E R, f a (P ) := P (a). 1. Montrer que l application f a est une forme linéaire sur E et calculer les valeurs des formes linéaires f 1, f 0, f 1, correspondant aux trois valeurs { 1, 0, 1} de a, sur les polynômes A, B et C. 2. Montrer que la famille {A, B, C} est libre. 3. Montrer que la famille {A, B, C} est une base de E.

2 MAT Exercice 3.5 Effectuer la division euclidienne de X 5 + 4X 3 2X + 3 par 2X 3 5X + 1. Exercice 3.6 Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de A := X 7 + 3X par B := X 2 + X + 1. Exercice 3.7 Dans K[X], déterminer les couples (A, B) de polynômes tel que A divise B et B divise A. Exercice 3.8 Sans effectuer la division euclidienne, déterminer si le polynôme P (X) := 3X 3 11X X 4 est divisible par Q(X) := (X 1)(X 2). Déterminer le quotient de P par Q. Exercice 3.9 Soient n N et θ R. Quel est le reste de la division euclidienne de (cos θ + X sin θ) n par X 2 + 1? Exercice 3.10 Quel est le reste de la division euclidienne de X n + nx n 1 + X par (X + 1) 2? Exercice 3.11 Soient m, n N, vérifiant m n. On note q le quotient et r le reste de la division euclidienne de m par n. On se place dans R[X]. 1. Quels sont le quotient et le reste de la division euclidienne du polynôme X m 1 par le polynôme X n 1? 2. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme X m 1 soit divisible par le polynôme X n 1. Exercice 3.12 Soient a, b R, avec a b. 1. Quel est le reste de la division euclidienne du polynôme P R[X] par X a? 2. Décrire l ensemble E 0 des polynômes P de R[X] vérifiant P (a) = 0 et P (b) = On désigne par E α,β l ensemble des polynômes P de R[X] vérifiant P (a) = α et P (b) = β. Montrer qu il existe dans E α,β un polynôme de degré inférieur ou égal à Comment passe-t-on de E 0 à E α,β? 5. Déterminer E α,β. 6. Quel est le reste de la division euclidienne d un élément P de E α,β par le polynôme (X a)(x b)?

3 MAT Exercice 3.13 Soit K un corps commutatif. Soient a 1, a 2, a 3 trois éléments deux à deux distincts de K et soient α 1, α 2, α 3 trois éléments quelconques de K. On définit les polynômes A i, i {1, 2, 3} par A 1 (X) = (X a 2)(X a 3 ) (a 1 a 2 )(a 1 a 3 ), A 2(X) = (X a 1)(X a 3 ) (a 2 a 1 )(a 2 a 3 ), A 3(X) = (X a 1)(X a 2 ) (a 3 a 1 )(a 3 a 2 ) 1. Montrer que le polynôme L(X) = α 1 A 1 (X) + α 2 A 2 (X) + α 3 A 3 (X) est le seul polynôme de degré inférieur ou égal à 2 prenant la valeur α i au point a i, pour i {1, 2, 3}. 2. Montrer que tout polynôme P K[X], tel que P (a i ) = α i pour i {1, 2, 3}, peut s écrire de manière unique sous la forme P (X) = L(X) + (X a 1 )(X a 2 )(X a 3 )Q(X). Exercice 3.14 Déterminer le pgcd des polynômes P (X) := X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 et Q(X) := X 3 + X 2 + X + 1. Exercice 3.15 Déterminer le pgcd des polynômes A(X) := X 3 + X et B(X) := X Déterminer un couple (U, V ) de polynômes tels que AU +BV = pgcd(a, B). Mêmes questions pour A(X) := X 3 + 2X 2 + X + 2 et B(X) := X 2 X 6. Exercice 3.16 Soit P R[X]. On suppose que le reste de la division euclidienne de P par X 1 est égal à 6 et celui de la division de P par X 2 égal à 8. Déterminer le reste de la division euclidienne de P par (X 1)(X 2). Exercice 3.17 Calculer dans R[X] le pgcd des polynômes P, Q, R où P (X) := 2X 6 5X 5 14X X X X 31, Q(X) := 2X 5 9X 4 + 2X X X 14, R(X) := X 3 2X 1. Exercice 3.18 Soient a, b deux réels non nuls. À quelle condition sur a et b, le pgcd de X 7 a et X 5 b est-il de degré 1? Exercice 3.19 Étant donnés P, Q R[X], montrer que pgcd(p, Q) = 1 pgcd(p + Q, P Q) = 1.

4 MAT Exercice 3.20 Soient P, Q, R K[X]. Si P est irréductible et si P divise le produit QR, alors P divise Q ou P divise R. Exercice 3.21 On cherche à déterminer tous les polynômes P à coefficients réels tels que P 1 soit divisible par X 2 et P + 1 soit divisible par (X 1) Montrer que résoudre ce problème équivaut à chercher deux polynômes Q et R de R[X] tels que ( ) Q(X)X 2 R(X)(X 1) 3 = Soit S l ensemble des solutions de l équation ( ). (a) Montrer que S n est pas vide. (b) Soit (Q 0, R 0 ) S une solution particulière de ( ). Montrer que si (Q, R) S alors Q Q 0 est divisible par (X 1) 3 et R R 0 est divisible par X 2. Déterminer S en fonction de Q 0 et R Chercher une solution particulière (Q 0, R 0 ) S vérifiant deg(q 0 ) 2 et deg(r 0 ) 1. Est-elle unique? 4. En déduire l ensemble des polynômes P à coefficients réels tels que P 1 soit divisible par X 2 et P + 1 soit divisible par (X 1) 3. Exercice 3.22 Soient a, b K deux scalaires distincts. Montrer que pour tous n, m N, les polynômes A := (X a) n et B := (X b) m sont premiers entre eux. Exercice 3.23 Soient a, b N. On pose d := pgcd(a, b). Déterminer le pgcd des polynômes A(X) := X a 1 et B(X) := X b 1. Exercice 3.24 Montrer que les polynômes P (X) := X et Q(X) := X sont premiers entre eux. Exercice 3.25 Déterminer le reste de la division euclidienne de A := X X 5 + X par B 1 := X et par B 2 := X 2 + X + 1. Exercice 3.26 On se donne deux polynômes A et B dans R[X], avec A non nul et non multiple de (X 2 + 2). 1. Montrer qu il existe un polynôme U tel que AU 1 (mod (X 2 + 2)). 2. Montrer qu il existe un unique polynôme C, de degré au plus 1, tel que AC B (mod (X 2 + 2)). 3. Application : Trouver les polynômes S solutions de la congruence (X + 1)P (X) 1 (mod (X 2 + 2)) et les polynômes T solutions de la congruence (X + 1)P (X) X (mod (X 2 + 2)). Exercice 3.27 On cherche tous les polynômes P R[X]

5 MAT vérifiant (3.1) { P 1 (mod (X + 1) 2 ) P 1 (mod X 2 ) 1. Montrer que les polynômes (X + 1) 2 et X 2 sont premiers entre eux et énoncer le théorème permettant de justifier l existence de deux polynômes U, V R[X] tels que (X + 1) 2 U(X) + X 2 V (X) = Déterminer U et V, de degré au plus un, vérifiant l identité de la question précédente. 3. Vérifier que les polynômes A(X) := U(X) et B(X) := V (X) vérifient (X + 1) 2 A(X) 1 (mod X 2 ) et X 2 B(X) 1 mod ((X + 1) 2 ). 4. Montrer que les polynômes solutions du système (3.1) sont de la forme T (X) = X 2 B(X) + (X + 1) 2 A(X) + X 2 (X + 1) 2 Q(X) où A, B sont les polynômes de la question précédente et où Q est un polynôme quelconque de R[X]. Exercice 3.28 On se place dans R[X]. On pose A(X) := X 7 + X 2 X 1 et B(X) := X Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne du polynôme A(X) par le polynôme B(X). 2. Déterminer le pgcd C des deux polynômes A et B. 3. Déterminer un couple U, V de polynômes de R[X] tel que UA + V B = C. Exercice 3.29 Montrer que le polynôme A := X est décomposable sur C mais irréductibles sur R. Exercice 3.30 Soit P un polynôme de R[X] de degré impair. Montrer qu il existe a R tel que P soit divisible par X a. Que se passe-t-il si le degré de P est pair? Exercice 3.31 On se place sur R[X]. Étant donnés a, b R, tels que a 2 4b < 0, on considère le polynôme P (X) := X 4 + ax 2 + b. Ce polynôme est-il irréductible sur R[X]. S il est réductible, décomposez le. Exercice 3.32 Sachant que le polynôme à coefficients réels P (X) := a 4 X 4 +a 3 X 3 + +a 0 s annule en cinq points distincts, calculer ses coefficients. Exercice 3.33 Montrer que le polynôme P (X) := X 5 + 2X 4 + X 3 + 6X 2 + 5X 6 est divisible par X 2 X + 3. Factoriser le quotient. En déduire les racines de P sur C.

6 MAT Exercice 3.34 On considère les polynômes A(X) := X 2n 1 et B(X) := X 2n+1 1. Factoriser ces polynômes dans C[X] et dans R[X]. Exercice 3.35 Soit P (X) := 3X 4 5X 2 + X Calculer la somme et le produit des racines de P dans C[X]. 2. Montrer que si P n avait aucune racine réelle, le produit de ses racines serait positif ou nul. en déduire que P admet au moins deux racines réelles distinctes. Exercice 3.36 Soient P (X) := X 4 3X 3 + 3X 2 6X + 2 et Q λ (X) := X 2 + λx + 1, avec λ C. 1. Déterminer (en fonction de λ) le reste R λ de la division euclidienne de P par Q λ. 2. Dans cette question, on suppose que λ = 3. Montrer que le polynôme P est divisible par Q 3. En déduire la factorisation de P sur R et sur C. 3. Montrer que les racines α, β de Q λ vérifient αβ = 1. Montrer que α, β sont distinctes si et seulement si λ { 2, 2}. 4. Soit T un polynôme de C[X]. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : (a) Il existe un nombre complexe λ { 2, 2} tel que T soit divisible par Q λ. (b) Le polynôme T admet deux racines complexes distinctes, inverses l une de l autre. Exercice 3.37 On rappelle que tout polynôme de C[X] possède au moins une racine dans C. 1. Montrer que les seuls polynômes irréductibles de C[X] sont les polynômes de degré Soit P C[X] un polynôme à coefficients réels. Soit a C une racine de P. Montrer que le nombre ā, nombre complexe conjugué de a, est aussi racine de P. En déduire que P est divisible par Q(X) := (X a)(x ā) lorsque a C \ R. Vérifier que Q est un polynôme à coefficients réels. 3. En déduire que les polynômes irréductibles de R[X] sont de degré inférieur ou égal à Déterminer tous les polynômes irréductibles de R[X]. Exercice 3.38 Factoriser dans C[X] le polynôme P (X) := 4X 3 16X 2 19X 5 sachant qu il a une racine multiple. Exercice 3.39 Soient P, Q C[X]. On note D leur pgcd. Montrer que a est une racine commune à P et Q si et seulement si a est une racine de D. Application : Soit P := X 5 X 3 4X 2 3X 2. Calculer les racines doubles de P. En déduire une factorisation de P sur R et sur C. Exercice 3.40 Montrer qu un polynôme P C[X] admet une racine multiple si et seulement si P et P ne sont pas premiers entre eux. Trouver une cns sur a C pour que le polynôme P (X) := X 7 X + a admette une racine multiple.

7 MAT Exercice 3.41 Sachant que le polynôme P (X) := X 3 (6 + 3i)X 2 + 3(3 + 4i)X 2 11i admet une racine triple, calculer ses racines. Factoriser P dans C[X]. Exercice 3.42 Factoriser le polynôme P (X) := X 4 11X X 2 35X + 25 après avoir calculé pgcd(p, P ) où P est le polynôme dérivé. Exercice 3.43 Soit P un polynôme de degré n. Déterminer le reste de la division euclidienne de P par (X a) k. Appliquer ce résultat au polynôme P (X) := X n +1 et à (X 1) 3. Exercice 3.44 On veut décrire tous les polynômes P R[X] tels que P + 1 soit divisible par (X 1) 4 et P 1 soit divisible par (X + 1) Montrer que si le problème admet une solution, alors il en admet une P 0 de degré inférieur ou égal à Que peut-on dire de P 0? En déduire P 0 puis P Montrer que le polynôme P 0 trouvé à la question précédente est bien solution du problème. 4. Déterminer l ensemble des solutions du problème posé. Exercice 3.45 Soit P (X) := (X + 1) n X n 1 C[X], avec n N. Donner une cns sur n pour que P admette une racine multiple. Exercice 3.46 Soit P R[X] un polynôme de degré n. On suppose que P possède n racines réelles distinctes. 1. Montrer que P possède n 1 racines réelles distinctes. 2. En déduire que le polynôme P 2 1 n a pas de racine multiple. Exercice 3.47 Soit P Q[X], non nul, irréductible dans Q[X], de degré n et soit Q Q[X], non nul, de degré m, m < n. 1. Montrer qu il existe U, V Q[X] tels que P U + QV = En déduire que si a C est une racine de P, alors a n est pas une racine de Q. 3. Montrer que P ne peut pas avoir de racine d ordre supérieur ou égal à Montrer que P possède exactement n racines complexes deux à deux disjointes. 5. Application : Soit R(X) := X 6 X 5 + 3X 4 2X 3 + 3X 2 X + 1. Le polynôme R est à coefficients entiers. A-t-il des racines entières? Calculer R(i) et R (i) (fonctions polynomiales associées à R et R ). En déduire que R n est pas irréductible dans Q[X]. Trouver la décomposition en facteurs irréductibles de R dans C[X] et dans Q[X].

8 MAT Exercice 3.48 Soient P, Q R[X] tels que 1 (P (X)) 2 = (1 X 2 )(Q(X)) Montrer que P et Q sont premiers entre eux. 2. On note P et P les dérivées première et seconde de P. On suppose que deg(p ) = n. Montrer que P = ±nq. 3. Montrer que n 2 P XP + (1 X 2 )P = 0. En déduire P. Cas particuliers où n = 2 et n = 3.

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