BACCALAUREAT GENERAL

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1 ACCALAUREAT GENERAL Session 2009 MATHÉMATIQUES - Série ES - Enseignement de Spécialité Liban EXERCICE 1 1) 2) C 3) C 4) A Explication 1. Chacun des logarithmes existe si et seulement si x > 4 et x > 2 et x > 1 2 tout réel x > 2, ce qui revient à x > 2. Pour ln(x + 4) + ln(x 2) = ln(2x + 1) ln(((x + 4)(x 2)) = ln(2x + 1) (x + 4)(x 2) = 2x + 1 x 2 + 4x 2x 8 = 2x + 1 x 2 9 = 0 x = 3 (car x > 2). L équation proposée admet donc exactement une solution. Explication 2. La fonction f décroît sur l intervalle [2, 4] tandis que la fonction g croît sur l intervalle [2, 4]. Donc les fonctions f et g n ont pas le même sens de variation sur l intervalle [0, 7]. Ensuite, la fonction f est négative sur [0, 6] mais la fonction g n est pas décroissante sur [0, 6]. Donc la fonction f n est pas la dérivée de la fonction g. Puisque une et une seule des réponses proposées est exacte, il s agit de la réponse C. Explication 3. lim ln(f(x)) = lim ln(x) =. La bonne réponse est la réponse C. x X 0 Explication 4. Posons I = 0 1 e x dx. L intégrale d une fonction positive sur un intervalle est un nombre positif. Comme 1 e < 0, la réponse est fausse. D autre part, pour tout réel x de [ 1, 0], e x e. Donc I e 1 ou encore I e. Comme e + 1 > e, la réponse C est fausse. La bonne réponse est la réponse A. Sinon, on peut aussi constater que ( e x ) = ( x) e x = ( 1) = e x et donc que la fonction x e x est une primitive de la fonction x e x sur [ 1, 0] puis La bonne réponse est la réponse A. 0 1 e x dx = [ e x] 0 1 = e0 + e 1 = e 1. http :// 1 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.

2 EXERCICE 2 1) L énoncé donne p() = 0, 03, p(c) = 0, 04 et p( C) = 0, 02. L événement D est l événement C et donc p(d) = p() + p(c) p( C) = 0, , 04 0, 02 = 0, 05. Un chemisier présentant au moins un défaut est soit un chemisier présentant exactement un défaut, soit un chemisier présentant deux défauts et réciproquement. D après la formule des probabilités totales, p(d) = p(f) + p( C) et donc p(e) = p(d) p( C) = 0, 05 0, 02 = 0, 03. L événement F est l événement contraire de l événement D et donc p(f) = 1 p(d) = 1 0, 05 = 0, 95. p(d) = 0, 05, p(e) = 0, 03 et p(f) = 0, 95. 2) La probabilité demandée est p C (). p C () = p( C) p(c) = p C () = 0, 5. 0, 02 = 0, 5. 0, 04 3) Représentons la situation par un arbre. 0, 03 0, 03 0, 97 0, 97 0, 03 0, 97 L événement «exactement un chemisier a un bouton manquant» est représenté par les deux chemins et. Sa probabilité est 0, 03 0, , 97 0, 03 = 2 0, 03 0, 97 = 0, 06 arrondi au centième. La probabilité que sur les deux chemisiers choisis, un seul ait un bouton manquant est 0, 06 arrondi au centième. 4) a) Le prix d un chemisier ayant un seul défaut est (100% 20%) 40 = (1 0, 2) 40 = 0, 8 40 = 32 euros et le prix d un chemisier ayant les deux défauts est (1 0, 5) 40 = 20 euros. D après la question 1), la loi de probabilité du prix de vente en euros est b) Le prix de vente moyen d un chemisier est x i p(x = x i ) 0, 95 0, 03 0, 02 E(X) = 40 0, , , 02 = , , 4 = 39, 36. Donc en moyenne, 100 chemisiers seront vendus , 36 = 3936 euros En vendant 100 chemisiers, le propriétaire du magasin peut espérer faire un chiffre d affaires de 3936 euros. http :// 2 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.

3 EXERCICE 3 Partie A 1) a) lim x 3 = + puis lim x + x + ex = +. Donc lim (x x + 3)ex = + puis lim f(x) = +. x + b) La fonction f est dérivable sur [0, + [ et pour tout réel x 0 f (x) = 0 + (x 3) e x + (x 3)(e x ) = e x + (x 3)e x = (1 + x 3)e x = (x 2)e x. Pour tout réel x de [0, + [, f (x) = (x 2)e x. Pour tout réel x, e x > 0 et donc pour tout réel x de [0, + [, f (x) est du signe de x 2. On en déduit le signe de la fonction f : c) On en déduit encore le tableau de variation de f : x f (x) 0 + x f (x) f 10 e 2 f(0) = 10 3e 0 = 10 3 = 7 f(2) = 10 + (2 3)e 2 = 10 e 2. d) D après l étude précédente, la fonction f admet un minimum en 2 égal à 10 e 2. Or 10 e 2 = 2, 6... et en particulier 10 e 2 > 0. On en déduit que pour tout réel x de [0, + [, f(x) > a) La fonction G est dérivable sur [0, + [ et pour tout réel x 0 G (x) = (x 4) e x + (x 4)(e x ) = e x + (x 4)e x = (1 + x 4)e x = (x 3)e x = g(x). Donc la fonction G est une primitive de la fonction g sur [0, + [. b) Une primitive de la fonction f sur [0, + [ est donc la fonction F telle que pour tout réel positif x, F(x) = 10x + (x 4)e x. c) Puisque F est une primitive de la fonction f sur [0, + [, F = f. Or, d après la question 1)d), pour tout réel x 0, f(x) > 0 ou encore F (x) > 0 et donc la fonction F est strictement croissante sur [0, + [. Partie 1) D après la question 2)b), il existe une constante K telle que pour tout réel x de [0, 4], C(x) = 10x + (x 4)e x + K. Quand x = 0, le coût total se résume aux coûts fixes de l entreprise. Cette constatation se traduit par l égalité C(0) = 20 ou encore 4e 0 + K = 20 ou enfin K = = 24. Pour tout réel x de [0, 4], C(x) = 10x + (x 4)e x ) a) D après la question A.1)d), pour tout réel x de [0, 2], f(x) f(0) ou encore f(x) 7. En particulier, pour tout réel x de [0, 2], f(x) 11, 292. D autre part, la fonction f est continue et strictement croissante sur l intervalle [2, 4]. On sait alors que pour tout réel k de l intervalle [f(2), f(4)], l équation f(x) = k a une solution et une seule dans [2, 4]. Or f(2) 7 < 11, 292. D autre part, f(4) = 10 + (4 3)e 4 = 10 + e 4 = 64, 5... et en particulier f(4) > 11, 292. On a donc montré que l équation f(x) = 11, 292 admet une et une seule solution dans [2, 4] ou encore que il est possible d atteindre un coût marginal de euros. http :// 3 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.

4 b) Il s agit de déterminer à 0, 01 près la valeur de x 0 telle que f(x 0 ) = 11, 292. La machine fournit f(3, 06) = 11, < 11, 292 et f(3, 07) = 12, 5... > 11, 292. Puisque la fonction f est strictement croissante sur [2, 4], on en déduit que 3, 06 < x 0 < 3, 07. Ainsi, la production fournissant un coût marginal de euros est 3, 06 tonnes à 10 kg près. c) Le coût moyen de fabrication est alors C(3, 06) 3, 06 = euros arrondi à l euro. http :// 4 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.

5 EXERCICE 4 1) a) Le point A a pour coordonnées (20, 40, 40) et le point a pour coordonnées (60, 30, 60). b) Le point C a pour coordonnées (90, 20, 60). En employant du personnel pendant 90 heures et en louant du matériel pendant 20 heures, la surface de jardin traitée en une semaine est de 60 centaines de m 2 ou encore 6000 m 2. c) d) Soient x et y deux réels tels que 0 x 120 et 0 y 100. f(x, y) = 50 2xy = 50 2xy = 2500 y = 1250 x. La projection orthogonale de la courbe de niveau z = 50 sur le plan (xoy) est la courbe d équation y = Il s agit x d une branche d hyperbole. 2) a) Le coût hebdomadaire exprimé en euros est de 15x + 30y puis 15x + 30y = y = 15x y = x y = 1 2 x Donc le coût hebdomadaire est de 2400 euros si et seulement si y = 1 2 x b) L ensemble (E ) d équation y = 1 x + 80 est un plan parallèle à l axe (Oz). 2 c) La projection de ce plan sur le plan (xoy) est une droite. Voir page suivante. d) On cherche graphiquement le point du segment dessiné en rouge à la page suivante qui fournit un z maximum. C est le point du segment rencontrant la courbe de niveau la plus éloignée de l origine. Cette courbe de niveau est la huitième en partant de l origine, ce qui correspond une surface traitée de 80 m 2. http :// 5 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.

6 3) a) Si y = 2x 1 ( 2 x + 80, z = 12 ) x + 80 = x x. b) Pour tout x de ]0, 120], g(x) est de la forme u(x) avec u(x) = 160x x 2 = x(160 x) et en particulier u(x) > 0. On sait alors que g (x) = u (x) x = u(x) 2 160x x = 80 x x x 2 Pour x ]0, 120], 160x x 2 > 0 et donc g (x) est du signe de 80 x. On en déduit que la fonction g est positive sur ]0, 80] et négative sur [80, 120]. Par suite, la fonction g est croissante sur l intervalle [0, 80] et décroissante sur l intervalle [80, 120]. La fonction g admet donc un maximum en x = 80 et ce maximum est g(80) = 80(160 80) = = 80. On retrouve le fait que pour un coût hebdomadaire de 2400 euros, la surface maximum traitée en une semaine mesure 80 m 2. c) Le temps de travail et la durée de location pour traiter cette surface maximum sont x = 80 et y = = Pour traiter cette surface maximum, il faut donc 80 heures de temps de travail du personnel et 40 heures de location de matériel. http :// 6 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.

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