Université de Nantes Année Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

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1 Université de Nantes Année Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n R m une application linéaire. En considérant la matrice réelle à m lignes et n colonnes associées à f via les bases canoniques respectives de R n et R m, déterminer la norme de f dans les cas suivants : (i) n = m et R n est muni de la norme sup, soit : (x 1, x,, x n ) sup = max( x 1, x,, x 3 ). (ii) Discuter le cas de la norme 1 soit (x 1, x,, x n ) 1 = n i=1 x i et le cas de la norme Euclidienne (se ramener à l étude d une forme quadratique positive de matrice t AA où A est la matrice de f). (iii) Discuter le cas général (n, et m quelconques) en envisageant des combinaisons possibles à partir des trois normes précédentes. Exercice. Étudier la continuité et différentiabilité des fonctions f définies sur R par { x 3 y (a) f(x, y) = x +y si (x, y) (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) { xy (b) f(x, y) = x +y si (x, y) (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) Dans le cas (b), on pourra chercher à calculer les dérivées partielles, puis montrer que f n est pas différentiable. Exercice 3. Étudier la différentiabilité des applications suivantes. On commencera par déterminer le domaine de continuité de l application. (i) f : R R par f(x, y) = x 3 + 3xy y. (ii) f : R R par f(x, y) = xy x +y si (x, y) (0, 0) et f(0, 0) = 0. (iii) f : R R par f(x, y) = xy si (x, y) (0, 0) et f(0, 0) = 0. (iv) f : R R par f(x, y) = (v) f : R R par f(x, y) = x +y 1 cos xy x +y si (x, y) (0, 0) et f(0, 0) = 0 sin xy x + y si (x, y) = 0 et f(0, 0) = 0. Exercice 4. Déterminer le domaine de différentiabilité des fonctions suivantes de R dans R : f(x, y) = (x, y) g(x, y) = (x, y) 1 h(x, y) = (x, y) Exercice 5. On considère l application F : GL n (R) GL n (R) définie par F(A) = A 1. Montrer que F est différentiable en I, donner sa différentielle en I. Montrer que F est différentiable en tout point de GL n (R) et donner sa différentielle en tout point. Montrer que sa différentielle est continue sur GL n (R). Exercice 6. (i) Soit A L(R n, R p ), soit b R p et soit f l application affine R n R p définie par f(x) = A.x + b. Montrer que f est différentiable sur R n. et que pour tout a R n, Df(a) = A. (ii) Soit B : R n R n R une application bilinéaire. Montrer que B est différentiable sur R n R n et que pour tout (a, b) R n R n et (h, k) R n R n, D(a, b) : (h, k) B(h, b) + B(a, k). (iii) Montrer que toute application multilinéaire R n R n R est différentiable et déterminer sa différentielle en tout point.

2 Exercice 7. Déterminer la différentielle de l application f : M n (R) R n donnée par f(a) = trace(a). Exercice 8. Soit E = M n (R). On considère l application f : E E, (que l on peut considérer comme une fonction de R n R n ), définie par A A. Montrer que f est différentiable et de classe C 1 et calculer sa différentielle en tout point. Exercice 9. Soit E = M n (R). On considère l application f : E R, (que l on peut considérer comme une fonction de R n R), définie par A det(a). (i) Montrer que f est différentiable et de classe C 1 (et même de classe C ). (ii) Soit H E. On considère la fonction γ : R R, définie par γ(t) = f(i + th). Montrer que γ est dérivable, puis calculer γ(0) afin d établir l égalité Df(I)(H) = trace(h). (iii) Déduire de ce qui précède que l on a, pour tout couple (M, H) de E E, Df(M)(H) = trace( t com(m)h) où com(m) désigne la comatrice de M. (On peut commencer par prouver le résultat pour M inversible, puis en déduire le résultat pour M.) (iv) Soit A E. En considérant les deux fonctions γ 1 (t) = dete ta et γ (t) = e ttrace(a), prouver que l on a det(e A ) = e trace(a). Matrices jacobiennes Exercice 10. Justifier la différentiabilité et donner la matrice jacobienne de f(x, y, z) = ( 1 (x z ), sin(x), sin(y)) g(x, y, z) = (xy, 1 x + y, ln(1 + x ))) Exercice 11. (i) Soit φ : R n R, x x = x, x et, ψ : R n R, x x. Étudier la différentiabilité, déterminer la différentielle première en tout point où elle existe de ces deux fonctions. (ii) Soit f : R n \ {0} R n, x c x. Montrer que f est différentiable et que sa différentielle première en tout point est une similitude. Exercice 1. Soit f : R R une application de classe C. Le laplacien de f est la fonction f = f Une fonction f est dite harmonique si son laplacien est nul. x + f y. (i) En utilisant le théorème des fonctions composées, calculer le laplacien de f en coordonnées polaires. (ii) Soit f : R R u v l application définie par g(u, v) = ( u +v, u +v ). Montrer que l application G(u, v) = f g(u, v) est harmonique si et seulement si f l est. Calcul différentiel dans les evn et les Banach Exercice 13. Soit R[X] l espace vectoriel des polynômes à coefficients réels muni de la norme définie par i=0 a ix i = max i=1, n a i. Montrer que l application linéaire F : R[X] R[X], P P n est pas continue pour cette norme. Soit C c (R) l espace vectoriel des fonctions continues à support compact (i.e. s annulant en dehors d un compact de R). On le munit de la norme définie par f = sup x R f(x). Montrer que la forme linéaire L : C c (R) R, f + f n est pas continue. Exercice 14. Soit l espace de Banach E des fonctions continues sur le segment [a, b] muni de la norme. Étudier la différentiabilité de Φ : E R définie par Φ(f) = b a f (y)dy et Ψ : E E définie par Ψ(f) = x a f (y)dy. Exercice 15. Soit E un espace de Banach et GL(E) l ensemble des isomorphismes continues (d inverse continue) de E dans E. Montrer de manière analogue que dans l exercice 5 que GL(E) est un ouvert de L(E)et que l application inv : GL(E) GL(E), u u 1 est différentiable en tout point de GL(E) et que sa différentielle est continue.

3 Différentielles d ordre supérieur et points crtitiques Rappel : Soit Ω ouvert de E 1, E E n et f : Ω F deux fois différentiable. Pour tout a Ω et pour tous (h 1, h,, h n ) et (k 1, k,, k n ) dans E 1 E E n on a : D f(a)[(h 1, h, h n ); (k 1, k, k n )] = n ij f(a)(h i, k j ). (1) i,j=1 Exercice 16. On définit f : R n R n R n par f(x, y) = x, y y. Sans chercher à justifier la différentiabilité de f, calculer D f(x, y). Exercice 17. Déterminer la nature des points critiques de la fonction : f : R R, f(x, y) = 3xy x 3 y 3. Exercice 18. Déterminer la nature des points critiques de la fonction : f : R R, f(x, y) = 4xy + y 8x 3. Exercice 19. Soit l ouvert de R n défini par On définit sur U l application : U = {(x 1, x,, x n ) : i x i > 0}. f(x 1, x,, x n ) = x 1 x x n + a n+1 ( 1 x x x n ) où a est un réel fixé strictement positif. Calculer Df et D f. Montrer que f admet un point critique et préciser sa nature. Exercice 0. On définit sur R n, muni du produit scalaire standard,, la fonction f(x) = a, x e x, où a R n est fixé non nul. Montrer que f possède deux points critiques. Calculer D f et déterminer la nature des deux points critiques de f. Théorème des fonctions implicites Exercice 1. On considère la fonction f de R dans R définie par f(x, y) = x 5 + y 3 3x y 1 et on appelle Γ la courbe de R d équation f(x, y) = 0. Démontrer qu il existe un voisinage I J de (0, 1) dans R et une application φ de I dans J de classe C 1 tels que l on ait : ((x, y) I J, f(x, y) = 0) (x I, y = φ(x)) Montrer que φ est de classe C. Donnez le développement limité à l ordre de φ en 0 et en déduire l allure de la courbe Γ au voisinage du point (0, 1). Exercice. Démontrer qu il existe un voisinage I 1 I I 3 I 4 de (1, 1, 1, 1) dans R 4 et une application φ = (φ 1, φ ) de classe C 1 de I 3 I 4 dans I 1 I tels que les solutions (x, y, u, v) dans I 1 I I 3 I 4 du système { x + xu v y = 0 xuv + xyv = 0

4 soient de la forme (x = φ 1 (u, v), y = φ (u, v), u, v). Donner la matrice jacobienne de φ au point (1, 1). Exercice 3. Démontrer que, pour λ réel suffisamment proche de 0, l équation x 5 + λx 1 = 0 admet une unique solution réelle x λ et que l application φ : λ x λ ainsi définie au voisinage de 0 est de classe C. Donnez-en le développement limité à l ordre en 0. Exercice 4. On considère l ensemble Ω des points (p, q) de R tel que 4p 3 +7q > 0 et, pour chaque (p, q) appartenant à Ω, l équation (E) x 3 + px + q = 0 d inconnue x réelle. (i) Établir que, si (p, q) appartient à Ω, l équation (E) admet une unique solution. (ii) On considère alors la fonction φ de Ω dans R qui au couple (p, q) associe la solution de (E). Montrer que φ est de classe C dans Ω. Donner le développement limité de cette application à l ordre en (0, 1). Théorème d inversion locale, sous-variétés, multiplicateur de Lagrange Exercice 5. (i) Soit f l application de R dans lui même définie par f(x, y) = (x+y, xy). Au voisinage de quels points de R f est-elle un C 1 -difféomorphisme local? (ii) Répondre à la question analogue concernant l application g de R 3 dans lui-même définie par g(x, y, z) = (x + y + z, xy + yz + zx, xyz). Exercice 6. Soit f une application linéaire R n R n. A quelle condition f est-elle ouverte (i.e. l image de tout ouvert est un ouvert) Soit f : R R définie par f(u, v) = (u + v, v u). Quel est l ensemble des points où cette fonction est localement inversible, d inverse C 1? Exercice 7. On considère la fonction Φ : (x, y) (u := y, v := x 3 ). A quelle condition cette fonction est-elle (localement) inversible et d inverse C 1? Soit (x, y) un point ne vérifiant pas cette condition. Est-ce que Φ est surjective au voisinage de (x, y)? Exercice 8. On fixe un réel a 0 et l on considère la surface d équation : xyz a = 0. Montrer que S n est pas vide et que ses points sont réguliers. Ecrire l équation du plan affine tangent à S en un point quelconque M = (x, y, z). Exercice 9. On considère l ensemble S des points vérifiant : x + y + z + xyz = 1 1. Montrer que S est une sous-variété de dimension deux de R 3.. Déterminer l intersection de S avec les trois plans d équations : x = 0, y = 0 et z = 0 3. Donner l équation du plan tangent vectoriel à S en (x, y, z). 4. Écrire les composantes d un vecteur unitaire normal à S en (x, y, z). Exercice 30. Montrer que T, le tore de révolution dans R 3, qui a pour équation ( x + y 1) + z = r, 0 < r < 1

5 est une sous-variété de R 3. Donner l équation du plan tangent vectoriel à T en (x, y, z). Exercice 31. Minimiser xy + yz + xz sous les contraintes x + y + z = 1. Exercice 3. La densité d une surface métallique définie par x + y + z = 4 est donnée par ρ(x, y, z) = + xz + y. Déterminer les points où la densité est la plus faible, et ceux où elle est la plus forte. Exercice 33. Soit l équation y 3 x xy xy y = Montrer que cette équation définit de façon implicite x en fonction de y : x = φ(y) avec φ de classe C 1 au voisinage de y 0 = 1 et x 0 = φ(1) Z.. Calculer φ (1) et φ (1). Exercice 34. Calculer les extrema de la fonction f(x, y) = 5x + y xy 8x y + 3 sur le domaine Ω = {(x, y) R tels que x 0, y 0, x + y 3}.

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