Commande auto-adaptative par auto-séquencement, avec application à un avion instable

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1 Commande auto-adaptative par auto-séquencement, avec application à un avion instable Patrice ANTOINETTE 1 2 Gilles FERRERES 1 1 ONERA-DCSD, Toulouse 2 ISAE, Toulouse GT MOSAR, 4 juin 2009

2 Plan Introduction 1 Introduction 2 3 Synthèse de gains auto-séquencés Validation 4 5 6

3 La commande auto-adaptative Commande auto-adaptative Une commande est dite auto-adaptative lorsque le correcteur s ajuste en ligne au procédé mal connu.

4 La commande auto-adaptative Commande auto-adaptative Une commande est dite auto-adaptative lorsque le correcteur s ajuste en ligne au procédé mal connu. Indirect (c) Commande autoadaptative indirecte

5 La commande auto-adaptative Commande auto-adaptative Une commande est dite auto-adaptative lorsque le correcteur s ajuste en ligne au procédé mal connu. Indirect et Direct (e) Commande autoadaptative indirecte (f) Commande auto-adaptative directe

6 Les objectifs on réalise une commande auto-adaptative indirecte ; on estime les paramètres θ= (θ 1,..., θ n) du procédé H(s, θ) ; (θ constant) on calcule en ligne le correcteur K(s, ˆθ) à partir de ˆθ = (ˆθ 1,..., ˆθ n) ; K(s, ˆθ) d u H(s, θ) Estimateur ˆθ p y Les difficultés Obtenir des garanties de stabilité et de performance ; Temps de calcul permettant une implantation en ligne ;

7 Les objectifs on réalise une commande auto-adaptative indirecte ; on estime les paramètres θ= (θ 1,..., θ n) du procédé H(s, θ) ; (θ constant) on calcule en ligne le correcteur K(s, ˆθ) à partir de ˆθ = (ˆθ 1,..., ˆθ n) ; K(s, ˆθ) d u H(s, θ) Estimateur ˆθ p y Les difficultés Obtenir des garanties de stabilité et de performance ; Temps de calcul permettant une implantation en ligne ;

8 La situation Structure utilisée Procédé et Correcteur modélisés par LFT ; K aug synthétisé hors ligne par des techniques d auto-séquencement ; K(s, ˆθ) d u H(s, θ) Estimateur ˆθ p y Intérêts Réduire le temps de calcul en ligne ; Réaliser une analyse hors ligne des propriétés de stabilité et de performance de la boucle fermée auto-adaptative par des outils d analyse de la robustesse ;

9 La situation Structure utilisée Procédé et Correcteur modélisés par LFT ; K aug synthétisé hors ligne par des techniques d auto-séquencement ; K(s, ˆθ) d u H(s, θ) Estimateur ˆθ p y k ( ˆθ) Kaug(s) d u h (θ) Haug(s) p y Intérêts Réduire le temps de calcul en ligne ; Réaliser une analyse hors ligne des propriétés de stabilité et de performance de la boucle fermée auto-adaptative par des outils d analyse de la robustesse ;

10 La situation Structure utilisée Procédé et Correcteur modélisés par LFT ; K aug synthétisé hors ligne par des techniques d auto-séquencement ; K(s, ˆθ) d u H(s, θ) Estimateur ˆθ p y k ( ˆθ) Kaug(s) d u h (θ) Haug(s) p y Intérêts Réduire le temps de calcul en ligne ; Réaliser une analyse hors ligne des propriétés de stabilité et de performance de la boucle fermée auto-adaptative par des outils d analyse de la robustesse ;

11 La situation Hypothèses i, θ i est supposé borné (θ i [θ i,min ;θ i,max ]) ; On normalise θ i (θ i [ 1, 1]) ; Synthèse : ˆθ i = θ i ; Validation : ˆθ i = θ i (1 + δθ i ). Synthèse d un correcteur auto-séquencé ; Utilisation des outils d analyse robuste ; k ( ˆθ) Kaug(s) d u h (θ) Haug(s) p y

12 La situation Hypothèses i, θ i est supposé borné (θ i [θ i,min ;θ i,max ]) ; On normalise θ i (θ i [ 1, 1]) ; Synthèse : ˆθ i = θ i ; Validation : ˆθ i = θ i (1 + δθ i ). Synthèse d un correcteur auto-séquencé ; Utilisation des outils d analyse robuste ; k ( ˆθ) Kaug(s) d u h (θ) Haug(s) p y

13 La situation Hypothèses i, θ i est supposé borné (θ i [θ i,min ;θ i,max ]) ; On normalise θ i (θ i [ 1, 1]) ; Synthèse : ˆθ i = θ i ; Validation : ˆθ i = θ i (1 + δθ i ). Synthèse d un correcteur auto-séquencé ; Utilisation des outils d analyse robuste ; k ( ˆθ) Kaug(s) d u h (θ) Haug(s) p y

14 La situation k ( ˆθ) Kaug(s) d u h (θ) Haug(s) p y Mise sous forme LFT La mise sous forme LFT donne des fonctions h et k telles que : h (θ) = diag(θ 1 I h1,...,θ n I hn ) ; k (ˆθ) = diag(ˆθ 1 I k1,..., ˆθ n I kn ).

15 Plan Introduction Synthèse de gains auto-séquencés Validation 1 Introduction 2 3 Synthèse de gains auto-séquencés Validation 4 5 6

16 Synthèse de gains auto-séquencés Validation Principe de la synthèse de gains auto-séquencés Principe d Equivalence Certaine : ˆθ = θ J.F. MAGNI An LFT approach to robust gain scheduling Proc. of the IEEE conference on Decision and Control, Seville, Spain, 2005 Pour la synthèse, on utilise un algorithme de placement de modes pour les formes LFT.

17 Synthèse de gains auto-séquencés Validation Algorithme de placement de modes (A(θ), B(θ), C(θ), D(θ)) : représentation d état avec : (n s ) états (r d ) nombre de pôles dominants 1 Choisir (r d ) valeurs propres λ i (θ) de la boucle fermée. 2 Calculer (r d ) paires (v i (θ), w i (θ)) en résolvant l équation : (A(θ) λ i (θ)i ns ) v i (θ) + B(θ)w i (θ) = 0 3 Calculer K(θ) solution des (r d ) équations : K(θ) [ C(θ)v i (θ) D(θ)w i (θ) ] = w i (θ)

18 Le correcteur Introduction Synthèse de gains auto-séquencés Validation y k (θ) K aug u La synthèse du correcteur fournit un gain statique sous forme LFT dépendant de θ, décrit par la matrice ( ) K11 K K aug = 12 K 21 K 22 à partir de laquelle on peut écrire K(θ) = K 22 + K 21 k (θ)(i K 11 k (θ)) 1 K 12

19 Le «bien-posé» du correcteur Synthèse de gains auto-séquencés Validation K aug = y k (θ) K aug ( K11 ) K 12 K 21 K 22 u K(θ) = K 22 + K 21 k (θ)(i K 11 k (θ)) 1 K 12 Définition du «bien posé» K(θ) est dit «bien posé» si et seulement si θ avec θ 1, det(i K 11 k (θ)) 0.

20 Définition de µ Introduction Synthèse de gains auto-séquencés Validation M Soit M C n n ; Soit D = { = diag(δ 1 I q1,...,δ n I qn ) δ i R et δ i 1} Définition de µ 1 µ(m) = min{k kd tel que det(i M ) = 0} µ(m) = 0 si aucun ne satisfait det(i M ) = 0

21 Bien posé du correcteur Synthèse de gains auto-séquencés Validation y k (θ) K aug u K aug = ( K11 K 12 K 21 K 22 ) K(θ) = K 22 + K 21 k (θ)(i K 11 k (θ)) 1 K 12 Proposition K(θ) est «bien-posé» si et seulement si µ(k 11 ) < 1.

22 Plan Introduction Synthèse de gains auto-séquencés Validation 1 Introduction 2 3 Synthèse de gains auto-séquencés Validation 4 5 6

23 Synthèse de gains auto-séquencés Validation Transformation du schéma pour la validation Le principe d Equivalence Certaine n est plus valable (ˆθ θ) On pose ˆθ i = θ i (1 + δθ i ). θ i LTI et δθ i LTV. Changement de variable : (θ, ˆθ) (θ,δθ) avec δθ = (δθ 1,...,δθ n ) k ( ˆθ) h (θ) f 2 k (θ) f 3 k (δθ) + e 2 + e 3 f 1 e h (θ) 1 Kaug(s) d u Haug(s) p y Kaug(s) d u Haug(s) p y

24 Synthèse de gains auto-séquencés Validation Transformation du schéma pour la validation Le principe d Equivalence Certaine n est plus valable (ˆθ θ) On pose ˆθ i = θ i (1 + δθ i ). θ i LTI et δθ i LTV. Changement de variable : (θ, ˆθ) (θ,δθ) avec δθ = (δθ 1,...,δθ n ) k ( ˆθ) h (θ) f 2 k (θ) f 3 k (δθ) + e 2 + e 3 f 1 e h (θ) 1 Kaug(s) d u Haug(s) p y Kaug(s) d u Haug(s) p y

25 Synthèse de gains auto-séquencés Validation Transformation du schéma pour la validation On pose = diag( k (θ), h (θ)) et δ = k (δθ) f 3 k (δθ) e 3 δ f 2 k (θ) + e 2 + f 1 e 1 h (θ) K aug(s) d u H aug(s) p y f 3 d N(s) e 3 p

26 Principes de la validation Synthèse de gains auto-séquencés Validation Le principe d Equivalence Certaine n est plus valable (ˆθ θ) et on pose ˆθ = θ(1 + δθ). δ G. FERRERES et C. ROOS. Robust feedforward design in the presence of LTI/LTV uncertainties International Journal of Robust and Nonlinear Control, 17(14), p , 2007 d N(s) p Pour la validation, on utilise les outils de la µ-analyse : D G scalings constants et fréquentiels, en considérant des incertitudes LTI et LTV (pour δθ)

27 Validation préliminaire Synthèse de gains auto-séquencés Validation Validation en l absence d erreur d estimation, δ = 0 ; Soit N 11 (s) la matrice de transfert asymptotiquement stable entre w et z ; La structure correspond à celle de. d w δ N(s) z p Proposition Si δ = 0, la stabilité de la boucle fermée est assurée θ i [ 1, 1] si et seulement si ω [0,+ ), µ(n 11 (jω)) 1

28 Une borne supérieure de µ Synthèse de gains auto-séquencés Validation Soient M une matrice complexe ; D = {D D = D > 0 et, D = D} G = {G G = G et, G = G} ) µ(m) max (0, inf β(m, D, G) D D G G β(m, D, G) = sup { b R λ(m DM + j(gm M G) bd) 0 }

29 Validation préliminaire Synthèse de gains auto-séquencés Validation Validation en l absence d erreur d estimation, δ = 0 ; Soit N 11 (s) la matrice de transfert asymptotiquement stable entre w et z. La structure correspond à celle de. d w δ N(s) z p Proposition Si ω [0,+ ), il existe D(ω) D et G(ω) G, tels que max(0,β(n11 (jω), D(ω), G(ω))) 1 alors θ i [ 1, 1], la boucle fermée est stable pour δ = 0.

30 Schéma de validation Synthèse de gains auto-séquencés Validation Problème de Stabilité robuste ˆθ i = θ i (1 + δθ i ) ; θ i [ 1; 1] Bo 1 ; δθ i [ r; r] δ B δ o r. d δ N(s) p { } α m = max r Bo 1, δ B δ o r, T d p stable. α m représente l amplitude maximale que peut atteindre l erreur d estimation sans provoquer l instabilité.

31 Schéma de validation Synthèse de gains auto-séquencés Validation Problème de Performance L 2 robuste ˆθ i = θ i (1 + δθ i ) ; δ θ i [ 1; 1] Bo 1 ; δθ i [ r; r] δ B δ o α ; il2 : Norme induite L 2. d N(s) p h = sup Td p il2 Bo 1 δ Bo r

32 Proposition de la µ-analyse Synthèse de gains auto-séquencés Validation P(s) = diag(i r1, 1 α I r 2, 1 γ I r 2 )N(s) r 1 : dimension de δ ; r 2 : dimension de ; r p : taille du vecteur p. Structure : diag(, δ, C ), où C C rp rp. Proposition (D-G scaling constant et fréquentiel) Si ω [0, + ), il existe D(ω) =diag(d 1 (ω), D 2, I) D et G(ω) =diag(g 1 (ω), G 2, 0) G, tels que max(0, β(p(jω), D(ω), G(ω))) 1 d δ N(s) p alors θ i [ 1, 1] (TI), et δθ i [ 1, 1] (TV), la boucle fermée est stable, et T d p il2 1.

33 Soit (A(θ), B(θ), I, 0) une représentation d état de H(s, θ). Estimation de A(θ) et B(θ). Utilisation d un filtre passe bande pour reconstruire la dérivée de l état x. Estimateur de type Moindres Carrés Récursif. ẋ f = Ax f + Bu f u H(s, θ) s D(s) x 1 D(s) Estimateur ˆθ

34 Modèle longitudinal de l avion q = ε { α = Zα α + Z q q + Z u u q = M α α+m q q + M u u x = (α, q) α : angle d incidence ε : assiette u : angle des gouvernes

35 Schéma de la simulation temporelle FIGURE: Schéma de la simulation temporelle. (BOZ=Bloqueur d Ordre Zéro)

36 Application à un modèle d avion instable Modèle de l oscillation d incidence { α= Zα α + Z q q + Z u u q = M α α + M q q + M u u Synthèse : Modèle «pire cas» { α = q q = M α α + M u u avec u = K(Mα) M u x θ = (M α, M u ) x = [ α q ] T Modèle utilisé par l estimateur { αf = Z α α f + Z q q f + Z u u f q f = M α α f + M q q f + M u u f var f : variable issue du filtre.

37 Application au modèle d un avion instable Estimation Modèle de l oscillation d incidence { α= Zα α + Z q q + Z u u q = M α α + M q q + M u u x = (α, q) Filtre du second odre D(s) = (1 + τ 1 s)(1 + τ 2 s) τ 1 = et τ 2 = u H(s, θ) s D(s) x 1 D(s) Estimateur ˆθ

38 Application au modèle d un avion instable Synthèse Synthèse : Modèle «pire cas» { α = q q = M α α + M u u ; x = (α, q, α); u = K(M α) x M u Placements des pôles Interpolation affine : ω p = a M α + b ( ) λ 1 (M α ) = j 1 (0.7) 2 ω p λ 2 (M α ) = 0.7ω p

39 Interpolation affine ω p = a M α + b 1.2 frequency of the open loop aerodynamic mode as a function of the scheduling parameter rad/s M_ac

40 Closed loop poles on a gridding

41 Application au modèle d un avion instable Validation θ 0 : valeur nominale ; Valeur vraie : θ = θ 0 (1 + δ v ) ; δ v,max = ±0.3 ; Valeur estimée : ˆθ = θ 0 (1 + δ v )(1 + δθ) ; Résultats de la validation Valeur minimale de la Marge d erreur d estimation ne compromettant pas la stabilité : δθ max = ±35%.

42 25 20 Upper bound of T d > p max δ

43 Réponses temporelles q α 2 1 Evolution of the input signal time(s) Input signal M α time(s) Evolution of the parameter M and its estimation α 1 actuator output time(s) time(s) M u time(s) Evolution of the parameter M and its estimation u time(s)

44 Réponses temporelles Evolution of α α time(s) 1.5 Evolution of q q time(s)

45 Conclusion Réalisation d une commande auto-adaptative indirecte, sur la base de techniques de robustesse et d auto-séquencement; Structure LFT du procédé et du correcteur ; Algorithmes de synthèse et de validation (hors ligne) de correcteurs auto-adaptatifs ; Application à un modèle d avion instable. Perspectives Application à un modèle variant dans le temps et non-linéaire.

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