TD2. Probabilité sur un ensemble dénombrable.

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1 Université Pierre & Marie Curie Licence de Mathématiques L3 UE LM345 Probabilités élémentaires Année TD2 Probabilité sur un ensemble dénombrable 1 a Soit (Ω, F, P) un espace de probabilités Soit n 1 Soient A 1,, A n des événements Montrer que P(A 1 A n ) n 1 P (A i1 A ik ) k1 1 i 1 <<i k n C est la formule d inclusion-exclusion b En appliquant cette formule à un espace de probabilités et à des événements bien choisis, calculer le nombre de surjections de {1,, p} dans {1,, n} pour tous n et p entiers Solution de l exercice 1 a Première méthode Si on se donne un espace probabilisé (Ω, F, P) et un événement A de F, alors E(1 A ) P(A) De plus, on a démontré à la feuille précédente que : 1 A1 A n n 1 1 Ai1 A i2 A ik k1 En prenant l espérance de chaque côté et en utilisant la linéarité, on obtient le résultat voulu Deuxième méthode On démontre cette formule par récurrence sur n Pour n 1, la formule dit que P(A 1 ) P(A 1 ) Pour n 2, la formule s écrit P(A 1 A 2 ) P(A 1 ) + P(A 2 ) P(A 1 A 2 ) et c est un énoncé démontré dans le cours Supposons la formule établie pour n 1 événements, avec n 3, et considérons n événements A 1,, A n On a P(A 1 A n ) P((A 1 A n 1 ) A n ) P(A 1 A n 1 ) + P(A n ) P((A 1 A n 1 ) A n ) P(A 1 A n 1 ) + P(A n ) P((A 1 A n ) (A n 1 A n )) L hypothèse de récurrence permet de calculer le premier et le troisième terme du membre 1

2 de droite et on obtient : n 1 P(A 1 A n ) 1 k1 n 1 1 k1 1 i 1 <<i k n 1 1 i 1 <<i k n 1 P(A 1 A n ) P(A 1 ) + P(A 2 ) + P(A n ) n k2 n 2 1 k1 1 i 1 <<i k n 1 1 i 1 <<i k n 1 ( 1) n 2 P(A 1 A 2 A n ) P(A 1 A n ) P(A 1 ) + P(A 2 ) + P(A n ) n 1 + k2 1 i 1 <<i k n + ( 1) n 1 P(A 1 A 2 A n ) où dans la dernière inégalité on utilise que n 2 1 k1 1 i 1 <<i k n 1 P (A i1 A ik ) + P(A n ) P (A i1 A ik A n ) P (A i1 A ik ) P (A i1 A ik A n ) P (A i1 A ik ) n 1 P (A i1 A ik A n ) 1 k2 On obtient bien la formule souhaitée pour P(A 1 A n ) 1 i 1 <<i k n i k n b Soit Ω {1,, n} {1,,p} l ensemble des applications de {1,, p} dans {1,, n}, alors Ω n p Pour tout i 1,, n, on considère le sous-ensemble A i de Ω formé des applications de {1,, p} dans {1,, n} qui ne prennent pas la valeur i Alors, P (A i1 A ik ) (A 1 A n ) c A c 1 A c n {f Ω : i 1,, n, x i {1,, p} tq f(x i ) i} Ainsi, (A 1 A n ) c est l ensemble des surjections de {1,, p} dans {1,, n} D autre part, pour tout 1 i 1 < i 2 < < i k n, A i1 A ik {f Ω : f ne prend pas les valeurs {i 1,, i k }} {f Ω : f : {1,, p} {1,, n} \ {i 1,, i k }} Donc le cardinal de A i1 A ik est (n k) p D après la formule d inclusion-exclusion, 2

3 on obtient : P[(A 1 A n ) c ] n n n n ( ) n (n k) p k n p P[A i1 A ik ] A i1 A ik Ω (n k) p Il s ensuit que le nombre S p,n d applications surjectives de {1,, p} dans {1,, n}, vaut : n ( ) n n ( ) n S p,n (A 1 A n ) c P[(A 1 A n ) c ] n p (n k) p ( 1) n k k p k k Notons que, bien que ce ne soit pas évident sur cette formule, S p,n 0 si p < n n p 2 Dans une grande assemblée, on demande à chaque personne d écrire son nom sur un bout de papier et de le mettre dans un chapeau On agite le chapeau puis chacun tire un bout de papier (sans le remettre) Quelle est la probabilité que personne ne tire le bout de papier portant son propre nom? Solution de l exercice 2 Soit n le nombre de personnes présentes On attribue à chaque personne un numéro entre 1 et n Chaque personne tire un nom et un seul du chapeau et l application qui au numéro d une personne associe le numéro de la personne dont elle a tiré le nom est une bijection de l ensemble {1,, n} dans lui-même On prend pour Ω l ensemble des permutations de l ensemble {1,, n}, alors Ω n! On munit Ω de la tribu F P(Ω) et de la probabilité uniforme, notée P, de sorte que pour tout événement Soit E l ensemble des permutations σ : {1,, n} {1,, n} telles que pour tout i {1,, n} on ait σ(i) i On appelle de telles permutations des permutations sans point fixe ou des dérangements On cherche à calculer P(E) en utilisant la formule d inclusion-exclusion Pour tout i 1,, n, on considère le sous-ensemble A i de Ω formé des permutations de E dans E qui fixent i Alors, A de F, on a P(A) A Ω (A 1 A n ) c A c 1 A c n {f Ω : i 1,, n, f(i) i} Ainsi, (A 1 A n ) c est l ensemble des permutations sans point fixe de E D autre part, pour tout 1 i 1 < i 2 < < i k n, A i1 A ik {f Ω : f(i 1 ) i 1,, f(i k ) i k } 3

4 Ces applications qui ont (au moins) k points fixes s identifient naturellement à des applications bijectives de {1,, n} \ {i 1,, i k } dans lui même Il y en a donc (n k)! D après la formule d inclusion-exclusion, on obtient : P[(A 1 A n ) c ] n n n n ( ) n (n k)! k n! P[A i1 A ik ] A i1 A ik Ω (n k)! n! n k! Ainsi, P(E) n Lorsque n tend vers l infini, cette série converge très rapidement k! vers 1 Puisque l assemblée est grande, on peut dire avec une excellente approximation e que la probabilité que personne ne tire son propre nom est 1 37% e 3 Paradoxe des anniversaires Quelle est la probabilité pour que parmi N personnes, au moins 2 aient la même date d anniversaire? Pour quelle valeur de N cette probabilité est-elle supérieure à 1/2? (On négligera l existence du 29 février) Solution de l exercice 3 Attribuons un numéro de 1 à N à chaque personne Les dates d anniversaire de ces vingt-trois personnes constituent une application de {1,, N} dans l ensemble {1,, 365} des jours de l année On prend donc Ω {1,, 365} {1,,N}, muni de la tribu F P(Ω) et de la probabilité uniforme Ainsi pour tout événement A de F, on a P(A) A A Ω 365 N Soit A l événement au moins deux personnes ont leur anniversaire le même jour, nous voulons calculer P(A) Il est plus facile de considérer l événement contraire A c toutes les personnes ont leur anniversaire un jour différent, qui est l ensemble des applications injectives On a : P(A c ) Ac Ω N AN (N 1) 365 N 1 ( 1 k ) 365 On peut montrer que la suite u N N 1 ( 1 k 365) est décroissante, et bien sûr on a u 365 0, on peut donc déterminer numériquement la première valeur de N pour laquelle u N < 1 On trouve N

5 4 On tire deux cartes d un jeu de Quelle est la probabilité d obtenir une paire? Si l on n a pas obtenu une paire, on a le choix entre jeter l une des deux cartes tirées et en retirer une parmi les 30 restantes, ou jeter les deux cartes tirées et en retirer deux parmi les 30 restantes Quelle stratégie donne la plus grande probabilité d avoir une paire à la fin? Solution de l exercice 4 On choisit comme univers Ω, l ensemble des tirages de deux cartes non ordonnées parmi, ainsi Ω ( ) 2 On munit Ω de la tribu F P(Ω) et de la probabilité uniforme P, de sorte que pour tout évènement A de F, on a : P(A) A Ω A ) A Soit A l événement on tire une paire Alors A ( 8 4 1)( 2) 48, car il y a 8 choix pour la hauteur de la paire et ( ) 4 2 choix pour les deux couleurs Ainsi, P(A) , Supposons que l on n ait pas obtenu de paire Lors du premier choix, on prend comme univers Ω 1 le tirage d une carte parmi 30, avec l information de la carte gardée ; ainsi Ω 1 30 L événement A est encore on tire une paire, vu comme un sous ensemble de Ω 1 cette fois On a alors A ( 3 1), car il y a 3 choix pour la couleur de la deuxième carte dont la hauteur est fixée par la carte gardée Ainsi, P(A) Lors du deuxième choix, on prend comme univers Ω 2, l ensemble des tirages de 2 cartes parmi 30, avec l information des deux cartes jetées, ainsi Ω 2 ( ) 30 2 L événement A est vu comme un sous-ensemble de Ω 2 On a A ( 2 3 ( 1)( 2) )( 2) En effet, soit on choisit une des deux hauteurs des cartes jetées, auquel cas, il y a 2 choix parmi 3 pour la couleur, soit on choisit une des 6 autres hauteurs, auquel cas on 2 choix parmi 4 pour la couleur Donc, P(A) < 1 10 C est donc la première stratégie qui donne la plus grandes possibilité d obtenir une paire ( 2 5 On considère un jeu de pile ou face infini Soit n 0 un entier Calculer la probabilité que le premier temps auquel on obtient pile soit le temps n Soit k 1 un entier Calculer la probabilité que le k-ième temps auquel on obtient pile soit le temps n Solution de l exercice 5 Correction sans indépendance On suppose la pièce équilibrée On s intéresse à ce qui se passe jusqu au temps n, ainsi on choisit comme univers Ω {P, F } n, muni de la tribu P(Ω) et de la probabilité uniforme Ainsi, pour tout évènement ω (ω 1,, ω n ) de Ω, on a P(ω) 1 1 Ω 2 n Soit A l événement on obtient pile pour la première fois au temps n, alors A correspond au sous-ensemble {(F,, F, P )} de Ω (avec n 1 faces), d où A 1 et : P(A) 1 2 n 5

6 Soit k 1, et A k l événement le k-ième temps auquel on obtient pile soit le temps n Alors, on doit avoir un pile au temps n, et k 1 piles parmi les n 1 premières positions Il y a ( n 1 k 1) de choisir la position ces k 1 piles, la position des faces étant alors fixée Ainsi, A k ( n 1 k 1) et : P(A k ) ( ) n 1 1 k 1 2 n Correction avec un peu d indépendance On note p la probabilité d obtenir un pile Celle d obtenir un face est donc 1 p L énoncé laisse entendre que le jeu est non biaisé et que p 1/2 mais les calculs sont plus clairs en gardant la notation p La probabilité que le premier pile soit obtenu au temps n (et donc qu on a donc obtenu face lors des n 1 premiers tirages) est (1 p) n 1 p Soit k 1 Dire que le k-ième temps auquel on obtient pile est le temps n, revient a dire qu on a obtenu exactement k 1 pile sur les n 1 premiers tirages, puis un pile encore au n-ième Il y a ( n 1 k 1) manières d obtenir cela (chacune revient à choisir les positions des k 1 premiers pile parmi les n 1 premiers lancers) Chacun de ces tirages a la même probabilité (1 p) n k p k De plus ces événements sont disjoints, donc la probabilité totale (que le k-ième temps auquel on obtient pile soit le temps n) est ( n 1 k 1) (1 p) n k p k 6 On lance un dé tétraédral dont les faces sont numérotées de 1 à 4 et un dé octaédral dont les faces sont numérotées de 1 à 8 Calculer la loi de la somme S, du produit P et du plus grand M des deux nombres obtenus Solution de l exercice 6 On choisit comme univers Ω {1,, 4} {1,, 8}, représentant les issues possibles du tirage des deux dés On munit Ω de la tribu F P(Ω) et de la probabilité uniforme P, de sorte que pour tout évènement A de F, on a : P(A) A Ω A Soit S la variable aléatoire représentant la somme des deux dés, alors S est à valeurs dans {2,, 12} Pour tout k {2,, 12}, on a {S k} {(i, j) Ω i+j k} et P({S k}) En utilisant le tableau ci-dessous, on obtient : {S k} P(S 2) P(S 12) 1/, P(S 3) P(S 11) 1/16, P(S 4) P(S 10) 3/, P(S 5) P(S 6) P(S 7) P(S 8) P(S 9) 1/8 {(i, j) Ω i + j k} 6

7 S Soit P la variable aléatoire représentant le produit des deux dés, alors P est à valeurs dans {1,, } Pour tout k {1,, }, on a {P k} {(i, j) Ω ij k} et P({P k}) {P k} {(i, j) Ω ij k} En utilisant le tableau ci-dessous, on obtient : P(P 1) P(P 5) P(P 7) P(P 9) P(P 10) P(P 14) P(P 15) P(P 18) P(P 21) P(P 28) P(P ) 1/, P(P 2) P(P 3) P(P 16) P(P 24) 1/16, P(P 4) P(P 6) P(P 8) 3/, P(P 12) 1/8 P Soit M la variable aléatoire représentant le maximum des deux dés, alors M est à valeurs dans {1,, 8} Pour tout k {1,, 8}, on a {M k} {(i, j) Ω max{i, j} k} P({M k}) {M k} En utilisant le tableau ci-dessous, on obtient : {(i, j) Ω max{i, j} k} P(M 1) 1/, P(M 2) 3/, P(M 3) 5/, P(M 4) 7/, P(M 5) P(M 6) P(M 7) P(M 8) 1/8 M

8 7 Soient X, Y, Z trois variables aléatoires à valeurs dans N On suppose que X et Y ont même loi Soit f : N N une fonction Est-il vrai que f(x) et f(y ) ont même loi? Est-il vrai que X + Z et Y + Z ont même loi? Solution de l exercice 7 Soit (Ω, F, P) l espace probabilisé sur lequel les variables aléatoires X, Y et Z sont définies Les variables aléatoires f(x) et f(y ) ont même loi si pour tout n N, P({f(X) n}) P({f(Y ) n}) Or, {f(x) n} {ω Ω : f(x(ω)) n} {ω Ω : X(ω) f 1 ({n})} {X f 1 ({n})} De manière analogue, {f(y ) n} {Y f 1 ({n})} Comme X et Y ont même loi, on a P({X f 1 ({n})}) P({Y f 1 ({n})}), d où on déduit que les variables aléatoires f(x) et f(y ) ont même loi En revanche, X + Z et Y + Z peuvent avoir des lois différentes Par exemple, on considère l expérience suivante : on lance une pièce de monnaie équilibrée, c est à dire que l on choisit Ω {P, F }, F P(Ω), P la probabilité uniforme sur (Ω, F ) On définit trois variables aléatoires X, Y, Z sur Ω ainsi : X(P ) 0, Y (P ) 1, Z(P ) 2; X(F ) 1, Y (F ) 0, Z(F ) 5 Ainsi, P({X 0, Y 1, Z 2}) P(P ) 1 2 et P({X 1, Y 0, Z 5}) P(F ) 1 2 Alors X et Y suivent la même loi : P({X 0}) P({X 0, Y 1, Z 2}) 1 2, P({X 1}) P({X 1, Y 0, Z 5}) 1 2 P({Y 0}) P({X 1, Y 0, Z 5}) 1 2, P({Y 1}) P({X 0, Y 1, Z 2}) 1 2, mais X + Z et Y + Z ont des lois différentes En effet : P({X + Z 2}) P({X 0, Y 1, Z 2}) 1 2 et P({Y + Z 2}) P( ) 0 8 Un chimpanzé tape à la machine à écrire en appuyant chaque seconde sur une touche choisie au hasard Quelle est la probabilité qu il parvienne à écrire Hamlet, c est-à-dire qu à un certain moment il écrive d une traite le texte de cette pièce? Solution de l exercice 8 Soit n la longueur, en caractères, de la pièce Hamlet La probabilité p qu il tape la pièce du premier coup est faible, mais strictement positive Pour tout entier 8

9 naturel k, on définit une variable aléatoire X k qui vaut 1 si les caractères nk +1 à n(k +1) correspondent au texte de la pièce Les X k sont les mêmes que dans un jeu de pile ou face biaisé Or on sait dans ce cas qu il finira par sortir un pile, ce qui correspond ici à écrire le texte de la pièce d une traite La probabilité que le chimpanzé écrive Hamlet au bout d un certain nombre (aléatoire, mais fini) de tentatives vaut donc 1 Néanmoins, en pratique, il y a fort à parier que le chimpanzé (ou la machine à écrire) arrivera à épuisement bien avant 9