Mathématiques Colle n o 22 Combinatoire. Probabilités. Lycée Charlemagne PCSI. Exercice 10. Exercice 7.

Transcription

1 Mathématiques Colle n o 22 Combinatoire. Probabilités Lycée Charlemagne PCSI Exercice 1. Exercice 5. On dispose de différents vêtements : quatre slips, trois pantalons, deux tee-shirts et cinq paires de chaussures. Dans les questions suivantes on suppose qu on ne porte pas plusieurs vêtements du même type ; par exemple, on ne porte pas deux tee-shirts à la fois. 1. De combien de manières peut-on s habiller? 2. On n est pas obligé de s habiller complètement. On peut sortir, par exemple, sans tee-shirt ou avec une seule chaussure. Une seule restriction : Pour des questions d ordre public le port du pantalon est obligatoire si on ne porte pas de slip! De combien de manières peut-on s habiller? (On suppose qu on ne peut pas mettre une chaussure gauche sur le pied droit et inversement.) 3. Reprendre la question précédente sans l hypothèse sur les chaussures. On lance deux dés distinguables (et équilibrés). On considère les trois èvènements A : «la somme des deux dés vaut 5», B : «le premier dé tombe sur 3» et C : «le premier dé donne au moins 3». Comparer les trois probabilitésp(a),p B(A) etp C(A). Exercice 6. En probabilités on dit qu un dé est pipé si les chances de ses six faces ne sont pas les mêmes. On dispose de 100 dés dont 30 sont pipés : pour ces derniers, la probabilité d obtenir un 6 est égale à 1/2. On choisit un dé au hasard, on le lance et on obtient un 6. Quelle est la probabilité que ce dé soit pipé? Exercice 2. Un digicode est une série de quatre caractères : une lettre A ou B suivie de trois chiffres, par exemple A334 ou B210. Combien existe-t-il de digicodes? Combien existe-t-il de digicodes où tous les caractères sont distincts? Combien existe-t-il de digicodes n ayant pas deux caractères consécutifs identiques? Exercice 7. On lance deux dés et on note X la somme des deux nombres obtenus. 1. Expliquer pourquoix ne suit pas une loi uniforme. 2. Peut-on piper les dés de sorte que X suive une loi uniforme sur 2,12? Exercice 3. Combien d anagrammes peut-on faire du mot PAPAPA- PEETE? Exercice 4. On veut distribuer quatre jetons J 1,...,J 4 dans sept boîtes B 1,...,B 7. Sous chacune des hypothèses suivantes déterminer le nombre des différentes distributions possibles. 1. Chaque boîte peut contenir plusieurs jetons. 2. Chaque boîte peut contenir au plus un jeton. 3. Les boîtes sont identiques et chacune peut contenir au plus un jeton. 4. Les jetons sont identiques et chaque boîte peut contenir au plus un jeton. 5. Les jetons sont identiques, les boîtes également et chacune peut contenir plusieurs jetons. 6. Les boîtes sont identiques et chacune peut contenir plusieurs jetons. 7. Les jetons sont identiques et chaque boîte peut contenir plusieurs jetons. Exercice 8. Quatre joueurs tirent trois cartes chacun d un jeu de 32 cartes. Déterminer la probabilité de l événement A : «Chaque joueur a un as». Exercice 9. Dans une tombola, 1000 billets dont 2 gagnants sont mis en vente. Quel est le nombre minimal de billets qu il faut acheter pour que la probabilité d avoir au moins un billet gagnant soit supérieure ou égale à 1 2? Exercice 10. On jette trois dés identiques. Calculez : 1. la probabilité d avoir exactement un la probabilité d obtenir au moins un6. 3. la probabilité d obtenir au moins deux faces identiques. 1

2 Exercice 11. Une urne contient 5 boules blanches et 10 boules noires. 1. On tire au hasard 2 fois une boule de l urne en remettant la boule après le tirage. Quelle est la probabilité d obtenir1boule blanche et1boule noire, 1.a. dans cet ordre? 1.b. dans un ordre quelconque? 2. On tire simultanément 5 boules de l urne. Quelle est la probabilité d obtenir 2 boules blanches et 3 boules noires? 2

3 1. Solutions Solution Comptons d abord les possibilités lorsqu on porte un slip. Il y en a En effet, il y a 4 slips ; pour couvrir les jambes il y a trois pantalons ou aucun, donc quatre choix ; pour couvrir le torse il y a trois choix ; pour le pied gauche il y a six possibilités et de même pour le pied droit. Lorsqu on ne porte pas de slip le nombre de possibilités est Au total il y a2052 possibilités. 3. NotonsS le port d un slip etgle port d une chaussure sur le pied gauche. On trouve : S G , S G , S G , S G Le nombre total de possibilités est donc6327. Solution , , Solution 3. 11! 4!3! Solution C esta Il y a clairement qu une seule distribution possible : celle où trois boîtes sont vides et quatre boîtes contiennent un jeton chacune. 4. Il faut choisir les quatre boîtes contenant un jeton chacune. Le nombre de possibilités est ( 7 4) Il y a cinq possibilités : Une boîte contient tous les jetons. Une boîte contient trois jetons et une autre un jeton. Une boîte contient deux jetons, deux boîtes contiennent un jeton chacune. Deux boîtes contiennent deux jetons chacune. Chaque jeton va dans une boîte différente. En fait, ces cas correspondent aux «décompositions en somme» du nombre4: On reprend les cinq possibilités de la question précédente, en discernant les jetons. Pour une description plus rapide on utilise la correspondance avec les décompositions en somme : Décomposition4. Une seule possibilité. Décomposition Quatre possibilités. Décomposition Il y a ( 4 2) 6 manières de le faire car il faut choisir les deux jetons qui «restent ensemble». Décomposition Il y a 6/2 3 manières de le faire. En effet, chaque choix de deux jetons qui restent ensemble implique automatiquement que les deux autres restent aussi ensemble et puisqu on ne distingue pas les boîtes, il faut diviser ( 4 2) par2. Décomposition Il n y a qu une seule manière de le faire. Au total le nombre de possibilités est : On reprend les cinq possibilités de la question 5, cette fois en discernant les boîtes. Décomposition 4. Pour choisir la boîte contenant tous les jetons il y a7possibilités. Décomposition 3+1. Pour choisir la boîte contenant trois jetons, puis celle contenant un jeton il y a possibilités. Décomposition Il y a7 ( 6 2) 105 possibilités. Décomposition2+2. Il y a ( 7 2) 21 possibilités. Décomposition Il y a ( 7 4) 35 possibilités. Au total le nombre de possibilités est :

4 Solution 5. P C(A) 1 12 < P(A) 1 9 < PB(A) 1 6. Solution 6. NotonsAl évènement : «Le dé choisi tombe sur6» etb : «Le dé choisi est pipé». Les hypothèses de l énoncé se traduisent par P(B) 30 3, PB(A) 1 et P (A) B 6 (puisque pour un dé normal, chaque face a la même probabilité 1 d apparaître). 6 On applique alors la formule de Bayes : P(B)P B(A) P A(B) P(B)P B(A)+P(B)P B (A) Solution Obtenir un 2 est moins probable qu obtenir un 3. La raison pour cela est qu on retrouve le 2 seulement avec le couple (1,1) (donc probabilité 1/36) tandis que le 3 avec (1, 2) et(2, 1) (donc probabilité 1/18). 2. Non. Supposons par l absurde que de tels dés existent. Donc P(X n) 1 11 pour tout n 2,12. Notons a k (resp.b k ) la probabilité du premier (resp. second) dé d obtenir le nombrek, pour k 1,6. PourX 2, X 12 et X 7 on trouve 1 a1b1 a6b6 11 a 1b 6 +a 2b 5 +a 3b 4 +a 4b 3 +a 5b 2 +a 6b 1. En particulier les nombresa 1, a 6,b 1 etb 6 sont strictement positifs. Maintenant on distingue deux cas : On aa 1 a 6. Donc 1 a6b6 +a2b5 +a3b4 +a4b3 +a5b2 +a6b1 11 Contradiction! a 6b 6 +a 6b 1 < a 6b On a a 1 > a 6. Comme a 1b 1 a 6b 6 cela implique b 1 < b 6. Or c est impossible (on a déjà vu au-dessus que a 1 < a 6 est impossible et les deux dés jouent des rôles analogues). Solution 8. Méthode 1 : On distribue trois cartes à chacun des quatre joueurs et on garde les vingt cartes restantes. Chaque jouer se distingue de l autre mais l ordre des cartes dans la main de chaque joueur n a pas d importance. Donc le cardinal de l univers Ω est le coefficient multinomial Ω 32! 3! 4 20!. Maintenant cherchons le nombre de distributions où chaque joueur reçoit un as. Dans ce cas les quatre as peuvent être distribués de 4! manières différentes. Les 28! 2! 4 20! ma- 28 cartes restantes peuvent être distribuées de nières différentes. Ainsi Donc A 28!4! 2! 4 20!. P(A) A Ω 28!4!3!4 32!2! 4 4! Méthode 2 : On tient compte de l ordre des cartes. Au total il y a 32! manières différentes de les ordonner, c est-à-dire Ω 32!. On convient que les trois premières cartes appartiennent au joueur 1, les quatrième à sixième cartes au joueur 2, etc. Maintenant cherchons le nombre de distributions où chaque joueur reçoit un as. L as de pique peut aller sur 12 emplacements, l as de trèfle sur 9 emplacements, l as de cœur sur 6 emplacements et enfin l as de carreau sur 3 emplacements. Les 28! cartes restantes peuvent être distribuées de 28! manières différentes sur les 28 emplacements restants. Ainsi A ! et par conséquence P(A) ! 32! (4 3) (3 3) (2 3) !

5 Solution 9. Notons n le nombre de billets achetés et p n la probabilité d avoir au moins un billet gagnant parmi eux. (En particulier p 0 0, p 999 p et (p n) n 0,1000 est une suite croissante.) Par l habituel passage au contraire on a ) 1 p n ( 998 n ( 1000 n ) 998! n!(998 n)! n!(1000 n)! 1000! (1000 n)(999 n) Ainsi on trouve que p n 1 2 (1000 n)(999 n) n n n n Ce trinôme est négatif entre ses deux racines qu on obtient par un calcul de discriminant : l une est proche de et l autre supérieure à1000. Donc il faut acheter au moins 293 billets. Solution En tenant compte de l ordre il y a 6 3 résultats possibles, toute ayant même probabilité. Parmi eux contiennent exactement un six. Donc la probabilité recherchée vaut Ä 5 ä 3, 2. La probabilité de n avoir aucun 6 vaut donc 6 celle d obtenir au moins un6vaut Ä ä Il y a résultats avec trois faces distinctes. On conclut que la probabilité d obtenir au moins deux faces identiques vaut : Solution a b ( 5 )( 10 2( 3) 15 )