Notions de probabilités discrètes finies

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1 Notions de probabilités discrètes finies 1) Définitions... 2 Une expérience est dite aléatoire discrète finie si :...2 Événement...2 Réunion d événements :...2 Intersection d événements...2 Événements contraires...2 2) Théorème fondamental des probabilités... 2 Événements équiprobables...2 Théorème...2 3) Calculs de probabilités... 3 Réunion d événements :...3 Événements contraires...3 4) Les tableaux à double entrée ) Les arbres ) robabilités conditionnelles... 4 Définition...4 :...4 Contre exemple...4 Méthode de calcul...4 Tableau à double entrée...4 Tirage avec ou sans remise...5 1

2 1) Définitions Une expérience est dite aléatoire discrète finie si : on peut déterminer le nombre des résultats qui peuvent se réaliser (chaque résultat est appelée événement élémentaire) on sait qu au moins un des événements élémentaires se réalisera on est incapable de prévoir quel événement élémentaire se réalisera s Le lancer d une pièce de monnaie est une expérience aléatoire discrète finie Il y a deux événements possibles : pile ou face. Il n y a aucun moyen de prévoir de quel côté tombera la pièce. Jouer au LOTO est une expérience aléatoire finie Il y a environs de résultats possibles Il y aura une combinaison gagnante ersonne n a encore trouvé le moyen de prévoir la combinaison gagnante. Lancer une flèche sur une cible est une expérience aléatoire continue Il y a une infinité de cas possibles L étude des expériences aléatoires continues n est pas au programme du bac STG Événement Un événement est un ensemble de résultats d une expérience aléatoire. C est donc un ensemble d événements élémentaires. On jette un dé : l événement A est défini par : «le n sorti est pair» A = {2 ; 4 ; 6} les trois résultats sont tous équiprobables (ils ont tous la même chance de se réaliser) On lance quatre pièces de monnaies : l événement A est défini par : «une seule des pièces tombe sur ILE» A = {(p ; f ; f ; f) ; (f ; p ; f ; f) ; (f ; f ; p ; f) ;(f ; f ; f ; p)}. Les quatre résultats sont tous équiprobables Réunion d événements : Soient A et B deux événements L événement E = A B s appelle réunion des événements A et B. E est formé des tous les événements élémentaires qui appartiennent à A, B ou les deux. A = {1 ; 2 ; 3 ; 4}, et B={ 2 ; 4 ; 6} alors A B = {1 ; 2 ; 4 ; 6} Intersection d événements Soient A et B deux événements L événement E = A B s appelle intersection des événements A et B. E est formé des tous les événements élémentaires qui appartiennent à la fois à A et B. A = {1 ; 2 ; 3 ; 4}, et B={; 2 ; 4 ; 6} alors A B = { 2 ; 4 } Événements contraires L événement contraire de A n est réalisé que si A ne se réalise pas. On note A cet événement 2) Théorème fondamental des probabilités Événements équiprobables Deux événements sont dits équiprobables s ils ont la même chance de se réaliser. On lance une pièce de monnaie bien équilibrée : les événements «la pièce tombe sur pile» et «la pièce tombe sur face» sont équiprobables. On tire une carte d un jeu de 32 cartes : les événements «la carte tirée est un roi» et «la carte tirés est un cœur» ne sont pas équiprobables. Théorème Soit une expérience aléatoire ayant n résultats possibles, tous équiprobables (ensemble des cas possibles). Soit un événement A ayant p résultats possibles (ensemble des cas favorables) La probabilité de l événement A est : (A) = p nombre de cas favorables = n nombre de cas possibles Comme p n on a toujours 0 (A) 1 (A) =0 correspond à un événement impossible. A est l ensemble vide et on écrit A = (A) = 1 correspond à un événement certain. A est l ensemble des cas possibles 2

3 3) Calculs de probabilités Réunion d événements : Soit E = A B la réunion des événements A et B. Si A et B n ont aucun événement élémentaire commun, A et B sont dit disjoints ou incompatibles et dans ce cas (E) =( A) + (B) Dans le cas contraire A et B ne sont plus disjoints, ces deux événements sont compatibles. On a alors : (E) =(A) + (B) + (A B) Événements contraires On a toujours ( A) = 1 (A) : On jette un dé, soit A l événement «le nombre six apparaît.» L événement A est : «un nombre inférieur à six apparaît» Or (A) = 1 6 donc ( A) = = 5 6 4) Les tableaux à double entrée Dans une classe les 32 élèves on compte 30 élèves qui étudient au moins une des deux langues suivantes : anglais et espagnol 19 élèves étudient l anglais 18 élèves étudient l espagnol On choisi un élève au hasard, quelles sont les probabilités des événements suivants : 1) A : «l élève étudie l anglais» 2) B : «l élève étudie l espagnol» 3) C : «l élève étudie l anglais ou l espagnol» Appelons E l événement : «l élève étudie l espagnol» et E l événement : «l élève n étudie pas l espagnol» De même appelons A l événement : «l élève n étudie pas l anglais» Dans le tableau à double entrée suivant la premières colonne et la première ligne sont remplies avec les événements A, A, E et E uis on remplit les cases correspondantes avec les nombres 32, 20, 18 et 2 Ensuite on complète le tableau, la somme par ligne ou par colonne des nombres en rouge doit être égale au total correspondant en noir A A total E E total élèves étudient l espagnol = 14 élèves n étudient pas l espagnol 19 élèves étudient l anglais = 13 élèves n étudient pas l anglais 2 élèves n étudient aucune des deux langues 14 2 = 12 élèves n étudient pas l anglais 12 2 = 11 élèves n étudient que l espagnol = 7 élèves n étudient que l anglais Les élèves ont tous le même probabilité d être choisi, on a donc 32 événements élémentaires équiprobables 1) 19 élèves sur 32 étudient l anglais donc (A) = ) 18 élèves sur 32 étudient l espagnol donc (E) = = ) On a B = A E Or les événements A et B sont compatibles car il existe 7 élèves qui étudient les deux langues donc ( A E) = 7 32 (B) = (A E) = (A) + (E) ( A E) = = = On aurait pu aussi remarquer que le complémentaire de B est l événement B défini par :«l élève n étudie aucun de ces deux langues» Or il y a 2 élèves sur 32 qui n étudient aucune de ces deux langues. (B) = 1 ( B) = = =

4 5) Les arbres avec branches équiprobables On jette deux pièces de monnaie Calculer la probabilité pour que la 1 ère pièce tombe sur «pile» ou la seconde tombe sur «face». L arbre est formé de nœuds et de branches Il y a autant de niveaux que d objets tirés, donc ici deux niveaux. A chaque nœud on associe autant de branches que d événements équiprobables possibles. our chaque pièce il y a deux événements possibles : «pile» ou «face». Il a donc 4 cas possibles A est l événement «la 1 ère pièce tombe sur pile» B est l événement «la 2 ème e pièce tombe sur face» Et on veut calculer (A B) On a bien sûr (A) = (B) = 1 2 Les événements A et B sont compatibles, A B est l événement «la 1 ère pièce tombe sur pile et la 2 ème tombe sur face» (A B) = 1 4 noeud branche 1 ère pièce 2 ème pièce 1 er niveau 2 cas 2 ème niveau 2 2 = 4 cas ( A B) = = 3 4 On aura aussi bien pu remarquer en regardant l arbre qu il y a bien trois cas favorables équiprobables :,, 6) robabilités conditionnelles Définition Soient A et B deux événements. L'événement B est dépendant de A si sa probabilité de réalisation dépend de celle de A. Donc la probabilité de réalisation de l événement B n est pas la même si A est réalisé ou non. On dit que la probabilité de réalisation de l événement B est conditionnée par la réalisation de l événement A. : La probabilité qu'une personne soit atteinte d'une maladie n'est pas la même si elle a été vaccinée ou pas, ou alors le vaccin n'a aucune efficacité. On peut aussi écrire : Quelle est la probabilité pour qu'une personne soit malade sachant qu'elle a été vaccinée. Quelle est la probabilité pour qu'une personne vaccinée soit malade On choisit une personne parmi les vaccinées. Quelle est la probabilité pour qu'elle soit malade? On dit que l événement «être malade» dépend de l événement «être vacciné» Contre exemple On jette deux pièces de monnaie. La probabilité pour que la deuxième pièce tombe sur pile sera toujours 1 quelque soit le résultat de 2 la première pièce. Méthode de calcul Tableau à double entrée Reprenons l exemple des lycéens qui étudient l anglais et l espagnol. A A total E E total ) On choisit au hasard un élève qui étudie l espagnol quelle est la probabilité pour qu il étudie l anglais 2) On choisit au hasard un élève qui n étudie pas l espagnol quelle est la probabilité pour qu il étudie l anglais Réponse : 1) Il y a donc 7 élèves qui étudient l anglais parmi les 18 qui étudient l espagnol = ,39 2) Il y a donc 12 élèves qui étudient l anglais parmi les 14 qui n étudient pas l espagnol = = 6 7 0,86 4

5 «Etudier l anglais» et «étudier l espagnol» sont deux événements dépendants. On aura plus de chance de trouver un élève qui étudie l anglais parmi ceux qui n étudient pas d espagnol que parmi ceux qui étudient l espagnol. Tirage avec ou sans remise Une urne contient 5 boules rouges et 2 boules noires. On tire deux boules de cette urne. Calculer les des événements probabilités des événements suivantes : A : la 2 ème boule tirée est noire sachant que la 1 ère est rouge» B : la 2 ème boule tirée est noire sachant que la 1 ère est noire» 1) si le tirage se fait sans remise 2) si le tirage se fait avec remise Réponse : Le tirage se fait sans remise : On tire une boule que l on met de côté, il reste donc 6 boules dans l urne puis on tire une deuxième. Si la 1 ère boule tirée est rouge, parmi les 6 boules restantes on compte 2 boules noires donc (A) = 2 6 = 1 3 Si la 1 ère boule tirée est noires alors il ne reste plus qu une seule boule noire donc (B) = 1 6 Les deux événements sont donc dépendants Le tirage se fait avec remise : On tire une boule, on note sa couleur puis on la remet dans l urne, il y a donc toujours 7 boules dont 2 noires dans cette urne. Quelle que soit la couleur de la 1 ère boule, la probabilité que la 2 ème soit noire reste la même (A) =(B) = 2 7 Les deux événements sont donc indépendants 5