Probabilités. EXTRAIT DU B.O. SPÉCIAL N 6 DU 28 AOÛT 2008 Connaissances Capacités Commentaires

Transcription

1 robabilités EXTAIT DU B.O. SÉCIAL N DU 8 AOÛT 008 Connaissances Capacités Commentaires. Organisation et gestion de données, fonctions.4 Notion de probabilité Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilité. [Thèmes de convergence] Calculer des probabilités dans des contextes familiers. La notion de probabilité est abordée à partir d expérimentations qui permettent d observer les fréquences des issues dans des situations familières (pièces de monnaie, dés, roues de loteries, urnes, etc.). La notion de probabilité est utilisée pour modéliser des situations simples de la vie courante. Les situations étudiées concernent les expériences aléatoires à une ou à deux épreuves. Note : les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle commun des connaissances et des compétences sont en italiques. Certains commentaires ou exemples d activités, liés à des connaissances et des capacités qui ne font pas partie du socle, sont écrits en italique dans la troisième colonne mais correspondent à des situations que doivent travailler tous les élèves car ces connaissances et ces capacités restent des objectifs d enseignement du programme. Ouverture Il y a une chance sur deux qu un petit carré soit peint en bleu et une chance sur deux qu il soit peint en rouge. Si un carré est peint en bleu, il y a une chance sur deux pour que le carré voisin soit peint en bleu aussi. De même, si un carré est peint en rouge, il y a une chance sur deux que le carré voisin soit peint en rouge. e prends un bon départ QCM B C B 4 A C B 7 C 8 a. p = 0,0 b. p = 0, c. p = 4 d. p = 9. Le nombre de cartes est ( + ), soit 9 cartes.. Un quart des cartes sont des piques, soit 74 cartes.. Il y a % de piques. 0. a. L aire de la roue est π (en m ), soit π m. b. Il y a trois secteurs rouges sur un total de douze secteurs, donc les secteurs rouges représentent, c est-à-dire, de la surface totale. L aire de l ensemble 4 π des secteurs rouges est donc égale à m. 4. a. Le périmètre de la roue est π (en m), soit π m. b. Les arcs de cercle délimités par les secteurs rouges représentent, c est-à-dire, du cercle. 4 Donc la longueur totale des arcs de cercle délimités par les secteurs rouges est de π m.. La proportion de la surface rouge par rapport à la surface totale de la roue est de 4. Activités Objectifs SC Découvrir la notion de probabilité. Déterminer la probabilité de l événement contraire dans des cas simples.. a. On a une chance sur deux d obtenir pile et une chance sur deux d obtenir face. b. La probabilité d obtenir pile est égale à.. a. Les cinq campeurs ont tous la même «chance» de tirer la plus courte paille. b. La probabilité de ne pas tirer la plus courte paille est égale à 4.. a. Sébastien aurait dû dire qu il tombe plus souvent sur une caisse qui n est pas la plus rapide. b. La probabilité que Sébastien se retrouve à la caisse la plus lente est de. Il en est de même pour la caisse la plus rapide et pour la troisième caisse. La probabilité que Sébastien se trouve à une caisse qui n est pas la plus rapide est de. Chapitre 0 robabilités Éditions Belin, 0.

2 Objectifs Aborder l interprétation fréquentiste de la probabilité. Déterminer une probabilité à l aide de considérations géométriques.. On trouve une fréquence proche de 0, pour l ensemble des lancers de la classe, ce qui n est pas obligatoirement le cas pour seulement 0 lancers.. a. La distance minimale est de cm. b. Chacune des zones est un carré de côté cm, l aire d une zone est donc de 9 cm et l aire totale est de 44 cm. c. L aire du damier est de 400 cm. Le rapport de l aire trouvée à la question précédente sur l aire du damier est , soit 9, ou encore 0,. Ce résultat est proche de la fréquence trouvée à la question c de la partie. d. La probabilité est 0, soit 0,4. 4 Objectif Découvrir les arbres de probabilité à deux étapes.. er tirage e tirage Issues B B B B B B ( ; ) ( ; B) ( ; B) ( ; ) ( ; B) ( ; B) ( ; ) ( ; B) ( ; B). our chaque tirage, toutes les issues ont la même chance de se produire.. DOCUMENT À HOTOCOIE (ANNEXE ) a. Il y a, au total, neuf issues pour cette expérience à deux épreuves. b. Il y a quatre issues correspondant au tirage d une boule verte puis d une boule bleue. c. On en déduit que : p( ; B) = p( ; ) = p( ; ) = p( ; B) = Le tirage de deux couleurs n est pas équiprobable. Objectif Découvrir les arbres de probabilité simples.. B Objectif Découvrir les arbres pondérés.. B B B. Les boules étant indiscernables au toucher, elles ont toutes la même chance d être tirées.. a. Il y a six issues. b. Deux issues correspondent au tirage d une boule verte. c. On en déduit que : p() = =. 4. p(b) = =. p() =.. Chaque couleur n a pas la même probabilité d être obtenue.. a. p() = p() =. b. p() = p(b) =. B Éditions Belin, 0.

3 SC Objectif Découvrir la propriété relative au produit des probabilités sur un chemin d un arbre.. a. our chaque lancer, les issues sont équiprobables. b. DOCUMENT À HOTOCOIE (ANNEXE ) er lancer e lancer Issues ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) c. Chaque probabilité est égale à 4. d. our chaque branche, on effectue le calcul, ce qui donne bien 4.. a. DOCUMENT À HOTOCOIE (ANNEXE ) er tirage e tirage Issues ( ; ) B ( ; B) B ( ; ) ( ; B) b. p() p() = = 9 et p( ; ) = 9. p() p(b) = 4 = et p( ; B) = p() p() = = et p( ; ) = 9 9. p() p(b) = = et p( ; B) = Sur un arbre pondéré, la probabilité d une issue est égale au produit des probabilités indiquées sur les branches du chemin qui conduit à cette issue. Savoir-faire SC a. L événement A est composé de 4 issues. Il y a cartes, donc tirages possibles. Il s agit d une situation d équiprobabilité, d où : p(a) = 4 = 8. b. De même, il y a deux rois rouges, d où : p(b) = =. c. L événement C est l événement contraire de B, donc : p(c) = p(b) = p(b). D où : p(c) = =. d. L événement D correspond à l événement (A ou B) et les événements A et B sont incompatibles, donc : p(d) = p(a) + p(b). D où : p(d) = 8 + =. e. E est un événement impossible, donc : p(e) = 0. f. est un événement certain, donc : p() =. SC L événement A est composé de deux issues et il s agit d une situation d équiprobabilité, d où : p(a) = =. De même, l événement B est composé de trois issues, l événement C est composé de cinq issues et l événement D est composé de deux issues. D où : p(b) = = p(c) = p(d) = =. Il s agit d une situation d équiprobabilité. On en déduit les probabilités indiquées sur l arbre. er tirage e tirage Issues ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) On en déduit que : p(a) = = p(b) = + = p(c) = + = 4 SC On peut conjecturer que 0, est une valeur approchée de la probabilité d obtenir une somme égale à 9. (La valeur théorique est ) Exercices À l oral SC a. Il s agit d une expérience aléatoire dont les issues sont :, et. b. Il ne s agit pas d une expérience aléatoire. c. Il ne s agit pas d une expérience aléatoire. Chapitre 0 robabilités 7 Éditions Belin, 0.

4 d. Il s agit d une expérience aléatoire dont les issues sont : «Allumer la lumière du miroir» et «Allumer l éclairage du plafond». e. Il s agit d une expérience aléatoire dont les issues sont : «Le joueur commence à servir» et «Le joueur commence à servir». SC a. A : «Le résultat est un nombre impair» ; B : «Le résultat est inférieur à» ; C : «Le résultat est supérieur à 7» ; D : «Le résultat est,, 4 ou». E : «Le résultat est,, 4, ou». : «Le résultat est,,, 4, ou». G : «Le résultat est,, 4 ou». b. L événement impossible est et l événement certain est C. c. Les événements incompatibles avec l événement E sont A, et G. 7 p(rouge) = 4 = p(vert) = p(jaune) = = 4 8 La probabilité de tirer un jeton rouge est 0,4, donc celle de tirer un jeton bleu est 0,. Il y a donc plus de jetons bleus. 9 p(a) = p(c) = 7 8 p(b) = = p(d) = = p(e) = 0 0 0, Gagné p( ; O) = 8 p( ; O) = 8 0, erdu p( ; ) = 8 p( ; ) = 8. e m entraîne. a. La carte tirée est, par exemple, l as de pique. b. La boule tirée est, par exemple, une boule noire. c. Le nombre obtenu est, par exemple,.. a. Les cartes tirées sont, par exemple, le roi de cœur et le 8 de carreau. b. Les deux boules tirées sont, par exemple, blanches. c. On obtient, par exemple, avec le dé rouge et «4» avec le dé bleu. a. A : «Les deux enfants ne sont pas tous les deux des garçons» ou : «Au moins un des deux enfants est une fille» ; b. B : «L enfant n est pas une fille de huit ans» ou : «L enfant est une fille de neuf ans ou un garçon» ; c. C : «Aucune des pièces n est tombée sur pile» ou : «Les deux pièces sont tombées sur face» ; d. D : «Le yaourt n est pas aux fruits rouges» ou : «Le yaourt est à la pêche». 4 a. A et B sont incompatibles. b. A et C sont incompatibles. c. A et D sont incompatibles. d. B et C ne sont pas incompatibles. e. B et D sont incompatibles. f. C et D ne sont pas incompatibles. SC La probabilité que le joueur gagne à la roulette française est 8 7. La probabilité que le joueur gagne à la roulette américaine est 8 8, soit 9 9. SC Le jeu comporte paires de cartes, soit un total de cartes. Après le tirage d une première carte, il reste cartes à retourner. Et parmi ces cartes, il ne reste plus qu une carte représentant des cerises. La probabilité pour que la seconde carte retournée soit l autre carte représentant des cerises est donc de. 7. DOCUMENT À HOTOCOIE (ANNEXE 4) O. p(a) = =. p(b) = 4 =. p(c) = =. D = C, donc : p(d) = p(c). D où : p(d) =. 8 SC Il y a une chance sur deux de tirer une bille rouge et il y a en tout dix billes, donc cinq billes sont rouges. Et donc il y a cinq billes vertes ou jaunes. Sachant qu il y a quatre fois plus de chances de tirer une bille jaune qu une bille verte, il y a quatre fois plus de billes jaunes que de billes vertes. On en déduit qu il y a quatre billes jaunes et une bille verte. D où la probabilité de tirer une bille jaune est de 4 0, c est-à-dire, et la probabilité de tirer une bille verte est de 0. 0 O O Éditions Belin, 0.

5 Thème de convergence 9 SC D après l arbre de probabilité ci-dessous, la probabilité que la personne ait été vaccinée une fois et une seule est : p = 0,7 0, + 0, 0,8 = 0,. 0,7 0, 0,8 0, 0,8 0, 0. a. Dans les cases B, C et D, on entre la formule : =ALEA.ENTE.BONES(0;). Et dans la case E, on entre la formule : =B+C+D. uis on étire la première ligne jusqu à la ligne 00. b. our dénombrer les jeux où l on a obtenu deux fois ACE, on entre dans la cellule G, la formule : =NB.SI(E:E00;). Et pour obtenir la fréquence, on entre dans la cellule H, la formule : =G/000.. our renouveler les 000 lancers, on appuie sur Maj+Ctrl+9 ou sur 9, selon le logiciel utilisé. On obtient une moyenne proche de 0,7.. D après l arbre ci-dessous, la probabilité cherchée est : p = 0, 0, 0, + 0, 0, 0, + 0, 0, 0, = 0,7. Cette probabilité est cohérente avec la simulation précédente. 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, e m entraîne au brevet. Les six résultats possibles à l issue d un tirage sont les lettres, O, U, S, E et T.. a. p() = 0. b. p(s) = 0. c. p(s) = 7 0 = 0.. armi les boules, 4 portent des voyelles et portent des consonnes. D où, la probabilité d obtenir une voyelle est de 4, c est-à-dire 0,4, et la probabilité 0 d obtenir une consonne est de, c est-à-dire 0,. 0 On peut donc affirmer que ulie se trompe.. La probabilité que Sophia monte sur un cheval est de 4 0, soit.. a. L : «Sophia ne monte pas sur un lion». p(l) = =. b. Les événements A et C sont incompatibles donc p(a ou C) = p(a) + p(c). D où : p(a ou C) = = 0. DOCUMENT À HOTOCOIE (ANNEXE ). Garçon ille Total Externe Demi-pensionnaire 9 0 Total 4. a. La probabilité pour que cet élève soit une fille est 4. b. La probabilité pour que cet élève soit externe est, soit. c. Si cet élève est demi-pensionnaire, la probabilité que ce soit un garçon est 9 0. approfondis 4 DOCUMENT À HOTOCOIE (ANNEXE ). Âge moins de au moins TOTAL Goûts 0 ans 0 ans aiment les mathématiques 8 4 n aiment pas les mathématiques 0 TOTAL 4 0. p(a) = 4 = = 0,4. 0 p(b) = 0 0. p(c) = 4 0. D est l événement contraire de «la personne a moins de 0 ans et aime les mathématiques». D où : p(d) = Chapitre 0 robabilités 9 Éditions Belin, 0.

6 4 DOCUMENT À HOTOCOIE (ANNEXE 7). Anglais Allemand Espagnol TOTAL Garçons illes 7 4 TOTAL a. La probabilité pour que ce soit un garçon est de 48 %, soit 0,48. b. La probabilité pour que ce soit un garçon ayant choisi l'allemand est de 4 %, soit 0,4. c. La probabilité pour que ce soit une fille ayant choisi l'espagnol est de 4 %, soit 0,4. 4. a. d = πx. b. c = 4x. c. La proportion de surface jaune dans un carré d est égale à, soit π. c 4. La probabilité pour que la miette tombe sur π du jaune est Les deux sommes les moins fréquentes sont et.. D après le graphique, pour un grand nombre de lancers, la somme 9 est beaucoup plus fréquente que la somme. La probabilité d obtenir 9 est donc supérieure à celle d obtenir.. a. our cette simulation, le nombre de lancers qui donne la somme 7 est 70. b. Le pourcentage correspondant est donc , soit 7 %. 4. DOCUMENT À HOTOCOIE (ANNEXE 8) 0 Somme des dés valeur er dé aleur e dé D après le tableau, il y manières d obtenir 7 sur un total de lancers différents. La probabilité d obtenir 7 est donc égale à 7, soit environ 0,94.. Les deux valeurs sont sensiblement différentes car le nombre de lancers n est pas suffisamment important. 4 SC artie. Dans les cellules A à L, on entre les titres des colonnes A à L : er pièce, e pièce, e pièce. Et dans la cellule M on entre le titre de la colonne M : Nombre de ile. Dans la cellule A, on entre la formule =ALEA.ENTE.BONES(0;) pour obtenir le nombre 0 ou le nombre. uis on étire la formule jusqu à la cellule L. Dans la cellule M, on entre la formule =SOMME(A:L) pour obtenir le nombre de obtenus.. On sélectionne en même temps les cellules A à M et on étire la sélection vers le bas jusqu à la ligne 00 pour simuler les 000 lancers des douze pièces.. Dans la cellule A004, on entre la formule =NB.SI(M:M00;) pour obtenir le nombre de fois qu apparaît le nombre entre les cellules M et M00. De même, dans la cellule B004, on entre la formule =NB.SI(M:M00;) pour obtenir le nombre de fois qu apparaît le nombre. Dans la cellule C004, on entre la formule =NB.SI(M:M00;) pour obtenir le nombre de fois qu apparaît le nombre. Dans la cellule L004, on entre la formule =NB.SI(M:M00;) pour obtenir le nombre de fois qu apparaît le nombre. Dans la cellule A00, on entre le titre «réquence du», dans la cellule B00, on entre le titre «réquence du», etc. uis, dans la cellule A007, on entre la formule =A004/000 pour obtenir la fréquence d apparition du nombre sur les 000 lancers. uis on étire la cellule A007 jusqu à la colonne L. Les fréquences obtenues ne sont pas proches de la valeur théorique de. La méthode ne permet pas une simulation correcte du tirage d un dé à douze faces non pipé. artie. Dans la cellule A, on entre la formule : =ALEA.ENTE.BONES(;). Dans la cellule B, on entre la formule : =ALEA.ENTE.BONES(0;). Dans la cellule C, on entre la formule : =A+*B.. On étire les trois cellules jusqu à la ligne Dans la cellule E, on entre la formule =NB.SI(C:C000;) pour obtenir le nombre de fois qu apparaît le nombre entre les cellules C et C000. De même, dans la cellule, on entre la formule : =NB.SI(C:C000;) pour obtenir le nombre de fois qu apparaît le nombre. Dans la cellule, on entre la formule : =NB.SI(C:C000;) pour obtenir le nombre de fois qu apparaît le nombre. Dans la cellule E, on entre la formule : =E/000 pour obtenir la fréquence d apparition du nombre sur les 000 lancers. uis on étire la cellule E jusqu à la colonne. Ces fréquences sont proches de la fréquence théorique de. Éditions Belin, 0.

7 4. Dans l arbre de probabilité ci-dessous, les probabilités correspondant au lancer de dé sont de et celles correspondant au lancer de la pièce sont de. Donc pour chaque résultat, la probabilité est égale à, c est-à-dire. La méthode utilisée permet donc de simuler le tirage d un dé à douze faces non pipé. Lancer du dé 4 Lancer de la pièce ésultat Argumenter et débattre 47. rai.. aux.. rai. 4. aux.. aux.. aux. 48 p() + p() + p() + p(4) + p() + p() =. Donc : 0,8 + p() =. Et donc : p() = 0,. 49 C = B, donc : p(c) = p(b). Et donc, l équation p(a) + p(c) = 0,8 devient : p(a) + p(b) = 0,8, soit : p(a) p(b) = 0,. p(a) + p(b) = 0,4 On obtient donc le système :. p(a) p(b) = 0, On obtient : p(a) = 0, et p(b) = 0,. De la relation p(c) = p(b), on obtient : p(c) = 0,7. 0 On note p la probabilité d apparition de la face. Les probabilités d apparition des faces,, 4, et sont respectivement p, p, 4p, p et p. On obtient donc : p + p + p + 4p + p + p =, soit : p =. D où les probabilités des faces,,, 4, et sont respectivement :,, 7, 4, et. 4 Math et ST Si Antoine ou alérie avaient un allèle «marron», alors ils auraient les yeux marron. Or aucun des deux n a les yeux marron. Donc aucun des deux n a d allèle «marron». Et donc leur enfant ne pourra pas avoir les yeux marron, c est-à-dire : p(m) = 0. alérie a les yeux bleus, donc elle possède deux allèles «bleus». Et donc la couleur des yeux de l enfant dépendra uniquement de l allèle qui sera transmis par Antoine («vert» ou «bleu»). On peut supposer qu Antoine a une chance sur deux d avoir deux allèles «verts», et une chance sur deux d avoir un allèle «vert» et un allèle «bleu». D où l arbre de probabilité suivant : Allèles d Antoine B On en déduit que : p() = + = 4 p(b) = = 4 Couleur des yeux de l enfant Atelier découverte SC 0 = = = = = = = = = = = = + + On obtient six décompositions en somme de trois entiers pour 0 et pour 9 (sans tenir compte de l ordre). SC. Dans les cellules A à D, on entre les titres des colonnes A à D : er dé, e dé, e dé et Somme. Dans la cellule A, on entre la formule : =ALEA.ENTE.BONES(;). uis on étire la formule jusqu à la cellule C. Dans la cellule D, on entre la formule : =SOMME(A:C). On étire les cellules A à D jusqu à la ligne 00.. Dans les cellules à G, on entre les titres : Nombre de 0 et Nombre de 9. Dans la cellule, on entre la formule : =NB.SI(D:D00;0) et dans la cellule G, on entre la formule : =NB.SI(D:D00;9).. Dans les cellules I à, on entre les titres : réquence du 0 et réquence du 9. Dans la cellule I, on entre la formule : =/000 et dans la cellule, on entre la formule : =G/000. On obtient des fréquences proches des probabilités obtenues par Galilée. Chapitre 0 robabilités Éditions Belin, 0.

8 SC. «4» ; «4» ; «4» ; «4» ; «4» ; «4».. La probabilité de réaliser chacune des manières d obtenir «4» avec trois dés non truqués est : =.. La probabilité d obtenir le tirage le plus fort est donc :, soit. 4 SC. On devrait obtenir «chemins», soit «chemins». Il y a donc lancers différents (en distinguant les trois dés).. a. Il y a 7 manières d obtenir une somme égale à 0 : 0 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = b. On déduit des questions précédentes que la probabilité d obtenir une somme égale à 0 est 7.. a. Il y a manières d obtenir une somme égale à 9 : 9 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = + + b. On déduit des questions précédentes que la probabilité d obtenir une somme égale à 9 est. Éditions Belin, 0.