Chapitre I Les pourcentages. Exemples : Il y a 20 arbres dans le verger, donc 30% de poiriers. Combien y a-t-il de poiriers? =6 Il y a 6 poiriers.

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1 Chaptre I Les pourcentages Extrat du programme : - Expresson en pourcentage d une augmentaton ou d une basse. / coeff multplcateur - Augmentatons et basses successves - aratons d un pourcentage. - Pourcentages de pourcentages. - Addton et comparason de pourcentages I. Noton de pourcentage Défnton : S A est une parte de B, A vaut t% de B sgnfe que = Ans, prendre t% d une quantté revent à multpler celle-c par. Il y a 20 arbres dans le verger, donc 30% de porers. Comben y a-t-l de porers? =20 =6 Il y a 6 porers. C'est-à-dre =. Parm les 24 comédens d une troupe de théâtre, on compte 15 amateurs. Calculer le pourcentage d amateurs. = =62,5 Il y a 62,5% d amateurs. II. Pourcentage d augmentaton ou de dmnuton 1. Hausse ou basse unque Proprété : - Augmenter une quantté de t% revent à la multpler par 1+ - Dmnuer une quantté de t% revent à la multpler par 1 Démonstraton : (cas d une hausse) On veut augmenter une quantté x de t%, on dot donc ajouter à x, t% de x, on aura donc : +. On peut alors factorser par x : 1+ On a donc ben multpler la quantté de départ par 1+. Même chose pour la basse, avec une soustracton. Défnton : Ces nombres 1+ et 1 sont appelés coeffcents multplcateurs assocés au pourcentage t. - Augmenter une quantté de 19 % revent à prendre 119% de cette quantté Donc cela revent ben à la multpler par ( ) = = 1,19 - Dmnuer une quantté de 19 % revent à prendre 81 % de cette quantté Donc cela revent ben à la multpler par ( ) = = 0,81

2 2. Hausses ou basses successves Proprété : t et t désgnent deux nombres postfs ou négatfs. Fare évoluer une quantté de t% pus de t % équvaut à multpler sa valeur ntale par : 1+ s Démonstraton : Sot X 0 la valeur ntale, X 1 la valeur après l évoluton de t% et X 2 la valeur après l évoluton de t %. t X1 = X t ' t t ' X = X 1+ = X et t % t '% X 0 + X1 + X 2 t t ' X Le ltre de super sans plomb coûte 1,12. Il subt deux augmentatons successves de 5% et de 2%. Quel est son nouveau prx? 5 2 P = 1, = 1,12 1, 05 1, 02 1, Le nouveau prx est de 1,20 envron. 2. Les prx d un grand magasn dovent subr une augmentaton de 14% et une dmnuton de 11%. Est-l préférable pour le gérant d effectuer en premer l augmentaton de 14% et ensute la dmnuton de 11% ou d abord la dmnuton et ensute l augmentaton. 3. On veut dmnuer les mpôts de 30%. Pour cela, on effectue chaque année une basse de 5% durant 6 ans. Le contrbuable dot-l être satsfat et pourquo? Remarques : - L ordre dans lequel les hausses ou les basses sont applquées n a aucune nfluence sur le résultat fnal pusque les coeffcents multplcateurs sont multplés entre eux. - Applquer deux hausses ou deux basses successves ne revent pas à addtonner les deux pourcentages de hausses ou de basses entre eux. III. aratons en pourcentage Proprété : Soent un nombre réel (valeur ntale) et f un autre nombre réel (valeur fnale). f Le pourcentage de varaton t de à f est alors donné par : t = 100 f s appelle la varaton absolue f s appelle la varaton relatve

3 Démonstraton : On a =1+ donc = + d où = donc = C'est-à-dre 100= Le prx du ltre de gasol a augmenté de 0,9 à 1,04. On a,, ,5 sot une, hausse d envron 15,5%. I. Indces Proprété : x et y désgnent deux réels strctement postfs. 1. S on augmente x ou s on dmnue y, alors le rapport x y augmente. 2. S on dmnue x ou s on augment y, alors le rapport x y dmnue. Défnton : On appelle ndce smple de y 2 par rapport à y 1 le nombre I 2/1 = 100 y y Un ndce est donc toujours strctement postf. De plus, un ndce plus grand que 100 correspond à une hausse, tands qu un ndce plus pett que 100 correspond à une basse. 18 L ndce de y 2 =18 par rapport à y 1 =12 est I 2/1 = 100 = Proprété : Le pourcentage d évoluton de y 1 à y 2 est égal à ( I2 /1 100 )% L ndce du chffre d affares d une entreprse de 2005 par rapport à 2002est 106. Alors le taux d évoluton du chffre d affares de cette entreprse de 2002 à 2005 est de 6%. 2. L ndce du prx d un objet de 2005 par rapport à 2002 est 97. Alors le taux d évoluton du prx de l objet de 2002 à 2005 est de 3%. Proprété : Le pourcentage d évoluton entre deux valeurs est le pourcentage d évoluton de l ndce quelle que sot la base chose.

4 . Pourcentage d une parte, d un tout 1. Pourcentages de pourcentages Proprété : Prendre t 1 % de t 2 % d une quantté, c est prendre t1 t2 % de cette quantté ,5 % des femmes actves occupées à temps partel sont en sous-emplos 27,1% des femmes actves occupées sont à temps partel. 8,5 27,1 = 2,3 % des femmes actves sont en sous-emplos Comparason de pourcentages Proprété : On ne peut comparer des pourcentages, que lorsqu ls portent sur le même ensemble de référence. Lorsque c est le cas, les pourcentages sont rangés dans le même ordre que les données 50% de 4 = 2 25% de 40 = 10 50%>25% mas 2<10. On ne peut pas les comparer car les ensembles de références sont dfférents. 3. Addton de pourcentages Proprété : L addton de deux pourcentages n a de sens que lorsque ces deux pourcentages portent sur des partes d un même ensemble de référence, n ayant pas d éléments communs. Exemple 1 : Cas où l on peut ajouter les pourcentages Dans une classe les deux langues vvantes 1 sont l anglas et l allemand. 40% des élèves sont des garçons étudant l anglas en L1 et 21% des élèves sont des garçons étudant l allemand en L1. Quel est le pourcentage de garçons dans la classe? 40% des élèves sont des garçons étudant l anglas en L1 : ensemble de référence = les élèves de la classe 21% des élèves sont des garçons étudant l allemand en L1 : ensemble de référence = les élèves de la classe on ne peut pas étuder 2 L1 en même temps On peut donc addtonner les pourcentages : 40+21=21% des élèves de la classe sont des garçons. Exemple 2 : Cas où on ne peut pas ajouter les pourcentages.

5 20% des habtants d une vlles lsent «Info» et 15% lsent «Bonjour». S on met une annonce dans les deux journaux, sera-t-elle lu par 35% des habtants? 20% des habtants d une vlles lsent «Info» : ensemble de référence = habtants de la vlle 15% lsent «Bonjour» : ensemble de référence = habtants de la vlle On peut lre à la fos «Info» et «Bonjour» Il peut donc y avor des éléments en communs dans les deux ensembles, on ne peut donc pas ajouter les pourcentages.