RAPPORT UIT-R SA Moyens permettant de calculer les caractéristiques statistiques de visibilité des satellites en orbite basse

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1 Rap. UIT-R SA RAPPORT UIT-R SA.066 Moyen permettant de calculer le caractéritique tatitique de viibilité de atellite en orbite bae (006) TABLE DES MATIÈRES Page 1 Introduction... Pourcentage de temp et durée maximale pendant lequel un engin patial en orbite bae occupe une région définie....1 Equation de délimitation pour le pourcentage de temp pendant lequel l'engin patial e trouve dan une région définie Temp maximal pendant lequel un atellite rete itué à l'intérieur du faiceau d'une tation au ol Fonction de denité de probabilité de la poition d'un atellite en orbite bae ur la phère orbitale Fonction de denité de probabilité du brouillage caué en atellite ur orbite bae par de émiion de ytème du SF Fonction de denité de probabilité du brouillage caué aux ytème du SF par de émiion de atellite en orbite bae Méthode implifiée de calcul de caractéritique tatitique de viibilité Méthode implifiée pour de faiceaux d'antenne circulaire Méthode manuelle de calcul de tatitique de viibilité Comparaion de réultat numérique obtenu à l'aide de la méthode implifiée et de la méthode manuelle pour de faiceaux d'antenne circulaire. 1 5 Moyen pour calculer le coordonnée du point d'interection entre deux plan orbitaux Analye...

2 Rap. UIT-R SA Introduction Compte tenu de l'utiliation croiante par le ervice de recherche patiale (entre autre) de tation patiale en orbite circulaire bae, il faut élaborer de modèle de partage dynamique de fréquence permettant de traiter le brouillage que peut cauer la tation patiale comme une fonction variant en fonction du temp. Le préent rapport définit de outil analytique permettant de calculer le caractéritique tatitique de viibilité pour l'engin patial en orbite bae (voir la Note 1) tel qu'il et vu depui un point bien préci à la urface de la Terre. NOTE 1 Le préent rapport traite uniquement de orbite circulaire de atellite dont la période orbitale n'et pa un multiple pair de la période de rotation de la Terre. Le du préent rapport décrit le facteur qui ont une incidence ur le caractéritique tatitique de viibilité, préente une équation de délimitation pour la détermination du pourcentage de temp pendant lequel un atellite en orbite bae occupera de région précie de la phère orbitale viible depui une tation terrienne et contient de graphique récapitulatif donnant la durée maximale que pae un atellite en orbite bae dan certaine région de la phère orbitale en fonction de pluieur paramètre. Le 3 établit l'expreion de la fonction de denité de probabilité (fdp) d'un atellite itué à de emplacement particulier de la phère orbitale, illutre de quelle façon la fonction de denité de probabilité peut être utiliée pour calculer le caractéritique tatitique du brouillage caué aux atellite en orbite bae par de émiion de tation du ervice fixe (SF) et indique comment calculer la fonction de denité de probabilité du brouillage caué aux ytème du SF dan l'hypothèe où la puiance urfacique de émiion de atellite en orbite bae et conforme à un certain profil. Le 4 propoe une méthode implifiée de calcul de caractéritique tatitique de viibilité de tation terrienne ou de tation de Terre utiliant une antenne ayant un faiceau de ection tranverale circulaire et préente également une méthode manuelle de calcul de la viibilité qui et baée ur l'utiliation d'une feuille de calcul pour calculer le tatitique de viibilité de tation terrienne ou de tation de Terre utiliant une antenne avec un faiceau préentant une ection tranverale plu complexe. Enfin, le 5 donne un moyen de calculer le coordonnée dan l'epace inertiel de l'interection de deux plan orbitaux. Ce paragraphe et particulièrement utile pour prévoir la conjonction de atellite en orbite hélioynchrone dont le plan orbitaux ont décalé l'un par rapport à l'autre. Pourcentage de temp et durée maximale pendant lequel un engin patial en orbite bae occupe une région définie Même pour le plu imple de modèle de partage dynamique, il faut évaluer au moin ix paramètre particulier pour définir avec préciion le principale caractéritique tatitique dépendante du temp d'une tation patiale en orbite bae vue depui la urface de la Terre. Ce donnée tatitique ont: le plu long temp de paage d'une tation patiale à traver le lobe principal d'une antenne au ol (voir le 3); le pourcentage de temp, ur longue durée, que pae la tation patiale dan le différente zone de la phère orbitale, vue depui la tation au ol. La première caractéritique et importante, en ce en qu'elle permet de définir la durée la plu longue, an interruption, pendant laquelle le ytème récepteur au ol reçoit de la puiance de bruit de la tation patiale. Le econd enemble tatitique (aprè convolution avec le diagramme de rayonnement de antenne d'émiion et de réception et affaibliement dû à la ditance) peut être utilié pour établir le relation entre le brouillage et le bruit (I/N) en fonction du temp detinée au modèle de partage dynamique de fréquence. En un en, cette relation peut enuite être traitée elon une méthode imilaire à celle qui et appliquée au calcul du rapport intenité du ignal/temp à partir de tatitique relative à la propagation atmophérique. Toutefoi, on n'a plu

3 Rap. UIT-R SA dan le récepteur une variation du rapport ignal/bruit en fonction tatitique du temp, mai une variation du rapport ignal/bruit plu brouillage, en fonction tatitique du temp, fondée ur le paramètre du modèle applicable à une tation patiale en orbite bae. Le paramètre particulier qui déterminent le caractéritique tatitique de viibilité ur longue durée d'une tation patiale évoluant à bae altitude ur une orbite circulaire inclinée, vue depui un ytème de réception à la urface de la Terre, ont le uivant: altitude de la tation patiale, H (km); inclinaion de l'orbite décrite par la tation patiale, i (degré); latitude de la tation au ol, La (degré); pointage en azimut de l'antenne de la tation au ol par rapport au nord, Az (degré); pointage en ite de l'antenne de la tation au ol par rapport au plan horizontal de l'emplacement, El (degré); urface angulaire de la région illuminée, δa. Le dernier paramètre peut e prêter à pluieur interprétation phyique différente elon l'objet de l'analye. Par exemple, il peut 'agir oit de la urface angulaire du lobe principal de l'antenne de la tation au ol, oit d'une urface angulaire exprimée par une «ouverture» en azimut de δ Az (degré) et par une «hauteur» en ite de δel (degré)..1 Equation de délimitation pour le pourcentage de temp pendant lequel l'engin patial e trouve dan une région définie L'équation de délimitation ci-aprè peut être utiliée pour déterminer le pourcentage de temp pendant lequel un engin patial en orbite bae retera dan certaine région viible de la tation au ol pendant de longue période de temp: δλ 1 in( L + L) 1 in L T (%) = in in 100 π in in (1) i i où: L, L: limite de latitude de la région ur la phère orbitale (voir la Fig. 1) δλ : étendue longitudinale de la région ur la phère orbitale comprie entre le limite de longitude λ 1 et λ (voir la Fig. 1) i: inclinaion de l'orbite du atellite (tou le angle ont en radian).. Temp maximal pendant lequel un atellite rete itué à l'intérieur du faiceau d'une tation au ol On trouvera dan le préent paragraphe de donnée numérique, correpondant au ca le plu défavorable, ur un apect du partage de fréquence entre de atellite en orbite bae, inclinée. Le poibilité de partage dépendent du temp pendant lequel un atellite uceptible de créer de brouillage rete itué à l'intérieur de l'ouverture à 3 db du faiceau de l'antenne de réception d'une tation au ol. Ce paramètre et évalué pour pluieur valeur de l'altitude de l'orbite et pour deux valeur extrême de l'angle d'élévation de l'antenne de réception. Le réultat numérique obtenu repréentent une limite upérieure de la durée pendant laquelle un engin patial itué à une altitude donnée apparaîtra à l'intérieur du faiceau d'une tation au ol.

4 4 Rap. UIT-R SA.066 FIGURE 1 Le temp que pae un atellite dan le faiceau de l'antenne d'une tation au ol et fonction de l'ouverture de ce faiceau, de on angle d'élévation et de l'altitude du atellite. Le ca le plu défavorable, c'et-à-dire celui où le atellite rete le plu longtemp à l'intérieur du faiceau, e produit lorque la tation au ol e trouve à l'équateur, avec un angle d'élévation nul et que le atellite e déplace ver l'et ur une orbite d'inclinaion nulle. Le temp que le atellite pae dan le faiceau dépend de la vitee du atellite par rapport à celle du faiceau qui tourne avec la Terre et de la longueur de l'arc de l'orbite déterminé par le faiceau. La durée maximale pendant laquelle un engin patial peut demeurer dan le faiceau principal d'une antenne et indiquée dan le Fig. et 3, repectivement pour de angle d'élévation d'antenne de 0 et 90 et correpond à différente valeur de l'altitude orbitale et de l'ouverture du faiceau. 3 Fonction de denité de probabilité de la poition d'un atellite en orbite bae ur la phère orbitale La poition (c'et-à-dire la latitude et la longitude) d'un atellite gravitant ur la phère orbitale par rapport à un point fixe ur la Terre et fonction de deux paramètre indépendant: la poition du atellite dan on plan orbital et la longitude du point d'obervation ur la Terre relative au plan orbital. La géométrie utiliée pour cette analye et indiquée à la Fig. 4. On uppoe que le atellite décrit une orbite circulaire à une altitude, h, que l'inclinaion du plan de l'orbite et i et que le période de rotation du atellite et de la Terre ne ont pa liée directement. Le ytème de coordonnée indiqué à la Fig. 4 et un repère droit, géocentrique ayant comme plan x-y le plan de l'équateur, l'axe de x pointant une direction arbitraire de l'epace (habituellement le point vernal).

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7 Rap. UIT-R SA Dan un ouci de implification, on uppoe que l'interection du plan orbital avec le plan de l'équateur n'et autre que l'axe de x. La latitude ϕ de la poition du atellite dan l'epace et donnée par: in ϕ = in θ in i () où θ et l'angle central que fait l'axe de x avec le vecteur poition du atellite. Si le atellite gravitent ur de orbite circulaire, alor θ et une fonction linéaire du temp t, oit θ = π t / τ, où τ repréente la période de l'orbite. L'équation () montre que la latitude du atellite et fonction de l'angle central θ et de l'inclinaion de l'orbite i. Si l'angle central du vecteur poition d'un atellite évoluant ur une orbite circulaire et échantillonné de façon aléatoire dan le temp, l'angle θ era alor uniformément ditribué ur l'intervalle 0-π radian, avec pour denité de probabilité p(θ ): 1 p ( θ ) = (3) π La fdp de la latitude du vecteur poition du atellite peut être déterminée grâce à une technique de tranformation imple iue de la théorie de probabilité. On peut montrer que, pour une variable aléatoire x de fdp p(x) à laquelle on fait ubir la tranformation y = g(x), la fdp p(y) de la variable aléatoire y et de la forme: où: dg( x) g ( x) = dx p( x1 ) p( xn) p( y) = (4) g ( x ) g ( x ) 1 et x 1,... x n ont le racine réelle de l'équation y = g(x). Si l'on applique la procédure décrite ci-deu aux équation () et (3), on obtient la fdp de la latitude du vecteur poition du atellite dan on plan orbital: n 1 coϕ p( ϕ ) = (5) π in i in ϕ L'équation (5) repréente la fonction qui erait obtenue dan le ca où la latitude du atellite erait échantillonnée de façon aléatoire un grand nombre de foi. Un examen de l'équation (5) révèle que l'expreion n'et définie que pour le valeur réelle de l'équation ϕ i comme on l'avait uppoé. On peut également montrer que: i i p( ϕ )dϕ = 1 (6)

8 8 Rap. UIT-R SA.066 là aui, comme prévu. Pour que le atellite, obervé depui un point de référence ur la urface de la Terre, apparaie à une longitude pécifique λ ur la phère orbitale, le plan orbital doit couper la phère orbitale à cette même longitude. La probabilité de cet événement et uniformément ditribuée ur π radian, c'et-à-dire: 1 p ( λ ) = (7) π Enfin, comme on a uppoé que la période du atellite et la rotation de la Terre n'étaient pa liée directement, la fdp de la poition du atellite et la probabilité combinée de ce deux événement indépendant qui 'exprime comme le produit de chaque fonction de denité de probabilité: 1 coϕ p( ϕ, λ ) = (8) π in i in ϕ La probabilité P( ϕ, λ) pour que le atellite occupe la région ur la phère orbitale délimitée par le latitude ϕ, ϕ + ϕ et longitude λ a pour expreion: Si l'on effectue l'intégration, on obtient: λ 1 coϕdλ dϕ P( ϕ, λ) = (9) π in i in o ϕ + ϕ ϕ ϕ λ P( ϕ, λ) = π in 1 in( ϕ + ϕ ) in in i 1 in ϕ in i (10) 3.1 Fonction de denité de probabilité du brouillage caué aux atellite en orbite bae par de émiion de ytème du SF La fdp du brouillage caué aux atellite en orbite bae par de émiion de ytème du SF et fonction de la géométrie et de la fdp de la poition du atellite. S'il et poible d'exprimer le brouillage au moyen d'une fonction variant avec le coordonnée (latitude et longitude relative) de la phère orbitale viible, oit I (ϕ, λ ), alor la fdp du brouillage caué au atellite ur orbite bae p(i ) et donnée par: P( I) di = p( ϕ, λ )dϕ dλ (11) où S indique que l'intégration doit être effectuée ur le egment de la urface de la phère orbitale pour laquelle le niveau de brouillage varie entre I et I + di. La fonction I (ϕ, λ ) et une fonction complexe dépendant d'un certain nombre de paramètre, à avoir la poition de la tation SF, la denité pectrale de puiance de l'émetteur, le caractéritique de directivité du gain de l'antenne d'émiion, l'azimut et l'angle d'élévation de l'antenne d'émiion, l'altitude et l'inclinaion de l'orbite du atellite, la ditance à laquelle e trouve le atellite, le gain de l'antenne de réception du atellite dan la direction du brouillage et la fréquence de fonctionnement. Le calcul de l'intégrale d'une fonction de cette complexité e plie plu facilement à de technique de réolution numérique.

9 Rap. UIT-R SA Le étape de cette procédure numérique ont: Etape 1: définir ϕ et λ comme de variable indépendante ur la urface de la phère orbitale viible. Etape : définir une matrice I (n) correpondant à la plage à l'examen (de la valeur maximale à la valeur minimale du brouillage (I (ϕ, λ )) où n repréente le nombre d'incrément déiré (par exemple, de incrément de 0,5 db) (cette matrice era utiliée pour mémorier la fdp différentielle). Etape 3: évaluer I (ϕ, λ ) pour de valeur pécifique de ϕ et λ (cette valeur ervira à déigner un élément pécifique n 0 dan la matrice I (n)). Etape 4: calculer p(ϕ, λ ) dϕ dλ et l'ajouter à la valeur mémoriée dan I (n 0 ). Etape 5: incrémenter ϕ et λ ur la urface de la phère orbitale viible. Etape 6: renouveler le étape 3 à 5. Remarquon que l'évaluation numérique de l'équation (11) revient à tranformer l'intégrale en omme. Le paramètre géométrique néceaire à l'évaluation de I (ϕ, λ ) ont obtenu en utiliant un repère de coordonnée géocentrique identique à celui préenté à la Fig. 4. La différence principale réide dan le fait que le repère de coordonnée tourne à la même vitee et dan la même direction que la Terre. Le plan x-y et le plan de l'équateur et l'axe de z l'axe de rotation de la Terre. La poition de la tation SF et uppoée, pour plu de implicité, appartenir au plan x-z. L'échelle du repère de coordonnée et normaliée au rayon de la Terre. Par conéquent, le ditance calculée dan ce repère de coordonnée doivent être multipliée par le rayon de la Terre (6378 km) i l'on veut obtenir la valeur correcte. Le compoante normaliée du vecteur poition P de la tation ont donnée par: coϕ in ϕ p P = 0 (1) p où ϕ p repréente la latitude de la tation SF. La direction dan laquelle pointe l'antenne d'émiion du SF et indiquée par un vecteur unitaire qui appartient au plan de l'horizontale locale et et déviée de la direction Nord par un angle d'azimut donné θ az. Le compoante du vecteur U A dan laquelle pointe l'antenne 'expriment comme uit: U coϕ r r A = coϕr in λr (13) in ϕ coλ r où ϕ r = in 1 ( coϕ coθ ) p az (14a) λ r 1 in ϕ p coθaz = co (14b) 1 co ϕ θ p co az

10 10 Rap. UIT-R SA.066 Le valeur de ϕ et λ qui délimitent la urface viible de la phère orbitale peuvent être facilement déterminée. Le limite de ϕ ont donnée par: ϕ max = ϕ p + ϕ lim, ϕ max i inon ϕ max = i (15a) ϕ min = ϕ p ϕ lim, ϕ max i (15b) où: ϕ lim = β = co 1 (1/β) 1 + h / r e h: altitude du atellite r e : rayon de la Terre. Si ϕ min < i, alor le atellite ur orbite bae n'et pa viible depui la tation SF. Pour une valeur arbitraire de ϕ comprie entre le valeur limite ϕ min et ϕ max, le valeur limite de la longitude relative λ min et λ max ur le egment viible de la phère orbitale ont: λ max = λ min = co 1 coϕlim in ϕ p in ϕ coϕ p coϕ (16) Etant donné le valeur de ϕ et λ comprie entre le valeur limite établie ci-deu, la ditance qui épare la tation du atellite, aini que l'angle que fait la direction dan laquelle pointe l'antenne de la tation SF avec celle ver le atellite, et trè facilement obtenue par une analye vectorielle. Préciément, le vecteur R donnant la ditance qui épare la tation du atellite 'exprime par: R = S P (17) où P et le vecteur poition de la tation SF déterminé par l'équation (1), et S et le vecteur poition du point échantillon correpondant à l'emplacement du atellite ur la phère orbitale, tel que: coϕ in ϕ coλ S = β coϕ in λ (18) La ditance normaliée R et donnée par la racine carrée de la omme de carré de compoante du vecteur R vérifiant l'équation (17). L'angle hor axe qu'il fait avec le atellite et obtenu par produit calaire du vecteur pointant dan la direction de l'antenne U A (dont le compoante normaliée ont donnée par l'équation (13)) et le vecteur R. L'angle ϕ hor axe 'obtient par: ϕ R U R = co 1 A hor axe (19)

11 Rap. UIT-R SA La Recommandation UIT-R F.699 donne le diagramme de rayonnement de référence à utilier dan le ca d'une antenne émettrice d'une tation SF pour laquelle D / λ f < 100 et dan le ca d'antenne pour lequelle D / λ f > 100, où D repréente le diamètre de l'antenne et λ f la longueur d'onde correpondant à la fréquence de fonctionnement. Le diagramme de rayonnement de référence à utilier pour le ytème récepteur embarqué à bord du atellite en orbite bae era uppoé iotropique. Ce hypothèe faite: où: P T : hor axe πr ) f PT GT ( ϕ ) GRλ I( ϕ, λ ) = (0) (4 puiance d'émiion (ou denité pectrale de puiance) G T (ϕ hor axe) : gain de l'antenne d'émiion dan la direction du point échantillon de coordonnée (ϕ, λ ) G R : gain de l'antenne de réception au point échantillon dan la direction de la tation SF λ f : longueur d'onde correpondant à la fréquence de fonctionnement R : ditance (du même ordre de grandeur que λ f ) éparant la tation SF du point échantillon (oit R r e ). Si l'on utilie la procédure décrite précédemment dan ce paragraphe, la fdp du brouillage caué à un atellite en orbite bae par de émiion d'une tation SF et obtenue à partir de équation (11) et (0). Un ca type a été évalué de manière à illutrer le réultat que l'on peut obtenir avec la procédure analytique décrite ci-deu. On y a uppoé que: la tation SF et ituée à 38 de latitude Nord; le gain de l'antenne et de 50 dbi; l'angle d'azimut de l'antenne et de 90 ; la fréquence de fonctionnement et de 050 MHz; la denité pectrale de puiance de l'émetteur à l'entrée de l'antenne et de 0 db(w/1 khz); le atellite décrit une orbite circulaire à une altitude de 800 km; l'inclinaion du plan orbital et de 90 ; le atellite utilie une antenne de réception iotrope avec un gain de 0 dbi. Le réultat de l'analye ont indiqué à la Fig. 5. La courbe en trait plein repréente la fdp du brouillage reçu par un atellite en orbite bae. La courbe en tireté donne la probabilité cumulée pour que le brouillage dépae une valeur pécifique. La courbe en trait plein indique par exemple que la fdp d'un brouillage de l'ordre de 150 db(w/1 khz) et d'environ De même, la courbe en tireté montre que la probabilité pour que le brouillage excède 170 db(w/1 khz) et d'environ 1 10, oit 1%.

12 1 Rap. UIT-R SA Fonction de denité de probabilité du brouillage caué aux ytème du SF par de émiion de atellite en orbite bae La méthode utiliée pour calculer la fdp du brouillage caué à de tation SF par de émiion de atellite en orbite bae et un développement mineur de la méthode décrite dan le paragraphe précédent. Dan ce ca préci, le brouillage incident au niveau de la tation SF et uppoé être en accord avec le valeur de puiance urfacique déterminée en fonction de l'angle d'élévation de la tation SF. Le étape de la procédure décrite au 3 ont utiliée. Le calcul de I (ϕ, λ ) devient: f λ I ( ϕ, λ ) = ρ( δ) GT ( ϕhor axe) (1) 4π où ρ(δ) et la denité pectrale de puiance urfacique, δ l'angle d'élévation, le autre paramètre étant défini comme précédemment. L'équation (19) et utiliée pour calculer l'angle ϕ hor axe tandi que la denité pectrale de puiance urfacique et donnée par: 154 ρ( δ) = ,5( δ 5) 144 db(w /(m db(w /(m db(w /(m 4 khz)) 4 khz)) 4 khz)) pour pour pour 0 δ < 5 5 δ < 5 5 δ < 90 ()

13 Rap. UIT-R SA L'angle d'élévation et obtenu par produit calaire du vecteur R et du vecteur poition P de la tation SF. Compte tenu du fait que co (90 δ) = in δ, il 'enuit que: 1 [ R P] δ = in (3) R Un exemple a été évalué dan ce ca de brouillage. On a uppoé que: la tation SF et ituée à 38 de latitude Nord; le gain de l'antenne de réception et de 35 dbi; l'angle d'azimut de l'antenne et de 90 ; la fréquence de fonctionnement et de 50 MHz; la denité pectrale de puiance urfacique incidente au niveau de la tation SF et donnée par l'équation (); le atellite décrit une orbite circulaire à une altitude de 800 km; et l'angle d'inclinaion du plan orbital et de 90. Le réultat de l'analye ont indiqué à la Fig. 6. La courbe en trait plein repréente la probabilité cumulée pour que le brouillage dépae une valeur particulière. La Figure montre que la probabilité pour que le brouillage excède 167 db(w/4 khz) et de l'ordre de

14 14 Rap. UIT-R SA Méthode implifiée de calcul de caractéritique tatitique de viibilité La méthode exacte permettant de calculer le caractéritique tatitique de viibilité d'un atellite en orbite circulaire dont la période orbitale n'et pa proportionnelle à la période de rotation de la Terre peut être déterminée à l'aide de l'équation (8). Cette équation, qui donne la fonction de denité de probabilité (fdp) d'un atellite occupant un emplacement à une latitude ϕ et une longitude λ donnée ur la phère orbitale, et répétée ou forme de l'équation (4) ci-deou: 1 coϕ P( ϕ, λ ) = (4) π in i in ϕ où: P(ϕ, λ ): ϕ : et la fonction de denité de probabilité et la latitude géocentrique ur la phère orbitale conidérée λ : et la longitude géocentrique correpondante ur la phère orbitale conidérée i: et l'inclinaion du plan orbital par rapport au plan équatorial. La probabilité pour qu'un atellite e trouve dan une zone délimitée de la phère orbitale, par exemple, et oit «viible» dan l'ouverture de faiceau à 3 db d'une antenne de réception, et donnée par une intégrale urfacique: 1 coϕ P( ϕ, λ ) = dϕdλ π in i in ϕ (5) La olution générale de l'équation (5) pour une zone définie de façon arbitraire ur la phère orbitale et difficile. Toutefoi, dan le ca concret d'un faiceau d'antenne circulaire, certaine hypothèe conduient à une olution implifiée. Ce ca et examiné au 4.1. Pour un econd ca concret, lorque le faiceau d'antenne et circulaire ou d'une forme légèrement plu complexe, une méthode numérique et décrite au Méthode implifiée pour de faiceaux d'antenne circulaire Il et poible d'appliquer deux hypothèe implificatrice à l'équation (5) pour etimer avec préciion la probabilité pour qu'un atellite oit «viible». Le ca concret et celui d'une tation terrienne ou d'une tation de Terre qui utilie une antenne à gain relativement élevé dont le faiceau circulaire pointe en direction d'un angle d'élévation et d'un angle d'azimut fixe. La première hypothèe implificatrice concerne le dénominateur de la fonction à intégrer dan l'équation (5). Si la valeur du dénominateur varie peu ur l'enemble de valeur de latitude conidérée ur la phère orbitale, la implification uivante peut être faite: 1 1 P( ϕ, λ ) = co ϕdϕdλ π in i in Φ (6) où: 1/ in i in Φ repréente un facteur de pondération évalué pour Φ S à appliquer à l'intégrale urfacique. (Comme indiqué ultérieurement, Φ S et prie comme étant égale à la latitude du centre de la région conidérée.) La fonction à intégrer et conidérablement implifiée grâce à ce

15 Rap. UIT-R SA hypothèe étant donné qu'elle devient implement la zone circoncrite A S ur une phère unitaire et la probabilité et ramenée à: 1 AS P( ϕ, λ ) = (7) π in i in Φ Le problème géométrique de bae à réoudre conite à déterminer A S, zone d'interection entre un cône (faiceau circulaire de l'antenne) et une phère (phère orbitale). La econde érie d'hypothèe facilite le calcul. Lorque la dimenion angulaire du cône et uffiamment petite, le problème et ramené à l'interection d'un cône et d'un plan perpendiculaire à la phère au centre de l'interection. On ait bien que l'interection aboutit à une ellipe, qui, pour une phère unitaire, englobe une zone donnée par: A S = πθ a θ b (8) où: θ a : et le demi grand axe de l'ellipe θ b : et le demi petit axe de l'ellipe, le deux angle étant meuré en radian. La zone A S peut être déterminée à l'aide de la Fig. 7. Cette Figure montre une tation terrienne/de Terre en un point P ur l'axe de x d'un ytème de coordonnée en troi dimenion. L'axe de viée de l'antenne de la tation pointe en direction de P dan le plan x-y à l'angle d'élévation δ 0. R et la ditance entre la tation et P. L'angle géocentrique entre le vecteur poition de la tation P et P et θ 0. Le grand axe de l'ellipe et itué dan le plan x-y et le petit axe de l'ellipe et itué dan un plan perpendiculaire au plan x-y. Le grand axe de l'ellipe peut être déterminé à l'aide d'une relation imple entre l'angle d'élévation et l'angle central: coδ θ = co 1 δ (9) β où: θ: et l'angle central δ: et l'angle d'élévation β = 1 + h/r e h: et l'altitude du atellite conidéré r e : et le rayon de la Terre. A partir de l'équation (9), on peut facilement montrer que θ a, demi grand axe de l'ellipe ur la phère unitaire et: 1 1 co( δ0 ϕ3 / ) 1 co( δ0 + ϕ3 / ) θa = co co + ϕ3 (30) β β où: ϕ 3 et l'ouverture de faiceau de l'antenne conidérée (habituellement ouverture de faiceau à 3 (db)) et le autre paramètre ont tel que défini précédemment.

16 16 Rap. UIT-R SA.066 FIGURE 7 Géométrie pour déterminer le demi grand axe et le demi petit axe de l'ellipe réultant de l'interection entre le faiceau circulaire et la phère orbitale Dan la Fig. 7, on détermine le demi petit axe de l'ellipe tout d'abord en calculant l'arc S b, qui et itué dan le plan perpendiculaire au plan x-y. On détermine enuite l'angle central correpondant à l'arc S b. L'angle central et le demi petit axe de l'ellipe ur une phère unitaire. Aini: R r S e = β co δ 0 in δ 0 (31a) S r b e = R r S e ϕ 3 (31b) mai: S r b e = βθ (31c) b ϕ3 1 = β δ δ b co 0 in (31d) β θ 0

17 Rap. UIT-R SA La valeur de A S et déterminée à partir de équation (8), (30) et (31d). A noter que θ a, θ b et ϕ 3 doivent être exprimé en radian. A π = 4 ϕ3 co β β 1 co δ co 0 ( δ ϕ / ) co( δ + ϕ / ) 0 β 3 in δ 0 co 1 0 β 3 + ϕ3 (3) La latitude du point d'interection de l'axe de pointage de l'antenne de la tation terrienne/de Terre Φ S et déterminée de la façon uivante. La géométrie et illutrée à la Fig. 8. La tation conidérée et ituée dan le plan x d'un ytème de coordonnée géocentrique à une latitude de ϕ p. Le angle de pointage de l'antenne ont donné ou forme de l'angle d'azimut θ az, meuré dan le en de aiguille d'une montre depui le Nord et de l'angle d'élévation δ 0 par rapport au plan de l'horizon local. La Fig. 8 montre un triangle phérique oblique dont le côté a, b et c ont oppoé aux angle α, θ az et γ. Le paramètre du triangle phérique oblique ont lié aux paramètre phyique par la relation uivante: b = π/ Φ c = π/ ϕ P a = co 1 (β 1 co δ 0 ) δ 0 (33a) (33b) (33c) La latitude à laquelle l'axe de pointage de l'antenne coupe la phère unitaire et la longitude correpondante du point d'interection ont donnée par la loi de coinu pour le côté d'un triangle phérique oblique: in Φ S = in ϕ P co a + co ϕ P in a co θ az (34a) co a in ΦS in ϕp co α = (34b) coφ coϕ S P A noter que λ S et l'angle formé par le deux plan perpendiculaire au plan x-y qui contient le arc b et c. Avec cette obervation, on obtient λ S à partir de la loi de coinu, lorque Φ S = ϕ P = 0: λ S = α (35)

18 18 Rap. UIT-R SA.066 FIGURE 8 Géométrie pour déterminer la latitude et la longitude du point d'interection entre la tation terrienne, compte tenu de angle d'azimut et d'élévation, et l'altitude relative de l'orbite du atellite 4. Méthode manuelle de calcul de tatitique de viibilité L'équation (9) montre que la probabilité pour qu'un atellite occupe une petite région de la phère orbitale délimitée par la latitude ϕ ϕ /, ϕ + ϕ / et la longitude λ et donnée par 1 P( ϕ, λ) = π λ ϕ + ϕ / 0 ϕ ϕ / in coϕ i in ϕ dϕ dλ En outre, comme le montre l'équation (10), i l'on effectue l'intégration ur la zone, on obtient: P ( ϕ, λ) λ = π in 1 in ( ϕ + ϕ / ) in( ϕ ϕ / ) in i in La probabilité ur une zone étendue, et éventuellement plu complexe, pourrait être évaluée par la érie: P ( ϕ λ) 1 in i ( ϕ + ϕ / ) in( ϕ ϕ / ) (36) (37) λ j 1 in k 0 1 k 0, = in in (38) π in i in i j, k où: ϕ k correpond aux bande de latitude de hauteur ϕ 0 et d'étendue longitudinale λ j telle qu'elle ont comprie dan la zone ur la phère orbitale délimitée par l'interection entre le faiceau d'antenne conidéré et la phère orbitale. La meilleure façon pour expliquer la mie en œuvre de cette technique et d'utilier un exemple. La Fig. 9 montre le point d'interection typique entre le faiceau d'antenne circulaire d'une tation terrienne et la phère orbitale. Le paramètre pour cet exemple ont donné dan le Tableau 1. L'équation (38) et réolue à l'aide d'une feuille de calcul. Une grille carrée de cellule et

19 Rap. UIT-R SA contruite pour repréenter la longitude dan la direction x et la latitude dan la direction y ur la phère orbitale. La latitude et la longitude du centre de la grille correpondent à la latitude et la longitude du point d'interection entre l'axe de pointage de l'antenne et la phère orbitale. La Figure montre également la latitude et la longitude du vecteur poition du atellite lorque celui-ci et aligné ur l'axe de pointage de l'antenne. Aini, chacune de autre cellule de la grille repréente la latitude et la longitude poible du vecteur poition du atellite. Il rete à déterminer celle de cellule qui ont ituée dan la zone circoncrite dan le faiceau d'antenne de la tation terrienne conidéré ϕ 3. Pour ce faire on utilie le vecteur indiqué dan la Fig. 10. La Fig. 10 montre le vecteur poition de la tation terrienne ou de la tation de Terre P r, le vecteur poition du atellite S r en un endroit arbitraire, et le vecteur ditance R r S. Etant donné que le valeur de vecteur poition de la tation et du atellite ont oit connue oit uppoée, le vecteur ditance et déterminé comme uit: Le vecteur poition de la tation et du atellite ont donné par: r R S r r = S P (39) r P = coϕ 0 in γ P P (40a) coϕ r S = β coϕ in ϕ coλ in λ S S (40b) Pour déterminer i un emplacement particulier du atellite et itué dan une zone circoncrite par le faiceau d'antenne de la tation, il et eentiel d'utilier le produit calaire du vecteur ditance de l'axe de pointage et du vecteur ditance aocié au vecteur poition uppoé du atellite. L'écart angulaire entre ce deux vecteur et: 1 1 r r ϕ j, k = co r r RS 0 R j, k (41) R S0 R j, k où: ϕ j,k :et l'angle hor axe pour la j-ième valeur de λ et la k-ième value de ϕ; R r S 0 : et le vecteur ditance de l'axe de pointage et r : et le vecteur ditance pour la jième valeur de λ et la kième valeur de ϕ. R j, k Pour un faiceau d'antenne circulaire, i ϕ j,k ϕ 3 /, le atellite apparaîtra dan l'ouverture de faiceau conidérée. Si cette condition et remplie pour la cellule particulière, la valeur dan cette cellule et mie à 1 et i cette condition n'et pa remplie, la valeur et mie à 0. Aini pour chaque rangée de la grille compoée de cellule, il uffit de faire la omme de 1 dan une rangée et de multiplier ce nombre par le facteur donné dan l'équation (38). La omme de valeur aini obtenue pour chaque rangée, ur le 41 rangée de latitude, donne l'etimation de la probabilité pour qu'un atellite apparaie dan l'ouverture de faiceau pécifiée de l'antenne de la tation.

20 0 Rap. UIT-R SA.066 La taille du pa en latitude et celle du pa en longitude ont de paramètre qui ont entré manuellement dan la feuille de calcul. Le valeur ont choiie de façon à ce que la zone réultante (voir la Fig. 9) oit entièrement contenue dan la grille. En d'autre terme, le cellule aux latitude et longitude extrême contiennent toute de 0 et la zone réultante et uffiamment large pour garantir l'exactitude de la olution numérique. TABLEAU 1 Paramètre pri pour exemple et réultat Latitude de la tation terrienne = 40 Latitude du point d'interection (Φ S ) = Longitude de la tation terrienne =0 Longitude du point d'interection (λ S ) = 8.88 Angle d'azimut de l'antenne = 105 Taille du pa en latitude = 0.03 Angle d'élévation de l'antenne = Taille du pa en longitude = Altitude du atellite = 400 km Probabilité de «viibilité» = % Inclinaion du atellite = 51.6 Ouverture de faiceau conidérée = 7 FIGURE 9 Latitude et longitude du point d'interection entre un faiceau circulaire et la phère orbitale (voir le Tableau 1)

21 Rap. UIT-R SA FIGURE 10 Détermination de la latitude et de la longitude ur la phère orbitale qui ont circoncrite dan le faiceau de l'antenne de la tation terrienne conidéré 4.3 Comparaion de réultat numérique obtenu à l'aide de la méthode implifiée et de la méthode manuelle pour de faiceaux d'antenne circulaire Le Tableau donne le réultat repréentatif pour ix ca pri pour exemple. Dan chaque ca, on a uppoé que l'orbite du atellite conidéré était à 800 km d'altitude et inclinée de 8 o par rapport au plan équatorial. On a en outre uppoé que la période de l'orbite et la préceion de nœud ne correpondaient pa à la vitee de rotation de la Terre. Par conéquent, l'emplacement du atellite ur la phère orbitale et déterminé de façon aléatoire dan le cadre d'une érie d'eai. Comme le montre le Tableau, l'erreur entre le réultat obtenu à l'aide de deux méthode et inférieure à 0,4% pour le ix ca. TABLEAU Comparaion entre le réultat obtenu pour la probabilité de «viibilité» dan ix ca, avec la méthode de calcul implifiée et la méthode de calcul manuelle Emplacement de la tation Donnée relative à l'antenne Probabilité de viibilité Ca Latitude (degré) Longitude (degré) Angle d'azimut (degré) Angle d'élévation (degré) Ouverture de faiceau conidéré (degré) Méthode implifié (%) Méthode manuelle (%) Erreur relative (%) ,0 0, , , ,5 0,0153 0,0154 0, ,0 0, , , ,5 0, , , ,0 0,0014 0,0014 0, , 0, , ,198

22 Rap. UIT-R SA Moyen pour calculer le coordonnée du point d'interection entre deux plan orbitaux Le brouillage entre une tation terrienne et deux ou pluieur atellite, e produient ouvent au point du rapprochement maximal de deux atellite. Un ca particulièrement important et celui de atellite d'obervation de la Terre ur orbite hélioynchrone. Le orbite de ce atellite ont habituellement à la même altitude mai le plan orbitaux ont décalé. Si le atellite n'ont pa été échelonné dan leur plan orbitaux repectif, il riquent de e croier effectivement et de paer l'un devant l'autre. En pareil ca, une tation terrienne, qui pouruit un atellite peut «attraper» l'autre atellite et commencer à le uivre. Ce brouillage e traduit par une perte de donnée dan l'intervalle qui 'écoule entre la perte de verrouillage ur le atellite utile et la réacquiition ultérieure du atellite utile. La latitude et la longitude relative dan l'epace inertiel où cela e produira ont relativement facile à calculer. 5.1 Analye La géométrie du ytème de coordonnée inertielle et illutrée à la Fig. 11. Il y a deux plan orbitaux. Le premier qui et incliné de I 1 par rapport au plan x-y et décalé de λ 1 par rapport au econd. L'axe de x et itué dan le econd plan orbital, lequel et incliné de I par rapport au plan x-y. La latitude du point d'interection entre le deux plan et déignée par ϕ 0. Le trajet de chacun de atellite ur la phère orbitale unitaire ont repréenté par le arc a et b. La trigonométrie de phère montre qu'il exite une relation imple entre la latitude d'un emplacement ur une orbite circulaire inclinée et l'angle central. Par exemple, pour le plan N o 1: et pour le plan N o Au point d'interection, ϕ 1 = ϕ. Par conéquent, in ϕ 1 = in bin I1 (4a) in ϕ = in a in I (4b) in b in I1 = in a in I (43) En outre, d'aprè la loi de inu pour le triangle phérique oblique: in λ in γ 1 in a = in I 1 in b = in(180 I ) (44) Egalement, d'aprè la loi de coinu pour le angle: L'équation (45a) peut être réolue pour γ: co γ = co I λ (45a) 1 co(180 I) + in I1 in(180 I) co 1 γ = co (co I 1 co I + in I1 in I co λ1) (45b) 1

23 Rap. UIT-R SA FIGURE 11 Géométrie pour déterminer la latitude et la longitude du point d'interection entre deux plan Par conéquent, la latitude du point d'interection et donnée par: ϕ 1 in λ 1 = in in I 1 in (46) in γ 0 I La longitude du point d'interection et obtenue de la manière uivante. A partir de l'équation (44), l'angle central a et donné par: En outre, 1 in λ 1 a = in in I1 (47a) in γ 1 ( tan a I ) λ0 = tan co (47b) Le Tableau 3 donne pluieur exemple de valeur de la latitude et de la longitude du point d'interection de plan orbitaux dan un ytème de coordonnée inertielle. Par commodité, l'acenion droite du nœud acendant pour le atellite N o et uppoée être l'axe de x. On notera que la latitude et la longitude de plan d'interection ont la latitude et la longitude du point où le atellite e croieront i l'altitude de orbite du atellite et la même.

24 4 Rap. UIT-R SA.066 Ca TABLEAU 3 Exemple du point d'interection de plan orbitaux décalé Acenion droite au nœud acentant (degré) Satellite. N o 1 Satellite N o Point d'interection Inclinaion (degré) Acenion droite au nœud acentant (degré) Inclinaion (degré) Latitude (degré) Longitude (degré) , 0 96,0 65,104 13, , 0 98, 81,79 87, , 0 98, 81,769 85, , 0 98, 81,730 8, , 0 98, 81,675 80,0

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