PROPORTIONNALITE. Quatre nombres a, b, c et d étant non nuls, on dit que

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1 PROPORTIONNALITE a) Définiion d une proporion a Quare nombres a, b, c e d éan non nuls, on di que c l une des condiions suivanes (équivalenes) es vérifiée : b d es une proporion lorsque Condiion 1 : Les rappors a c e b son égaux. ou encore a = kc e b = kd d Les lignes son proporionnelles, leur coefficien de proporionnalié es k. Condiion 2 : Les rappors b a e d son égaux. ou encore b = la e d = lc c Les colonnes son proporionnelles, leur coefficien de proporionnalié es l. Condiion 3 : ad = bc Les «produis en croix» son égaux. Exemples : x : 3 x x 5 b) Propriéé des proporions Si a b es une proporion, alors les ableaux a b a+b c d c d c+d e son aussi des ableaux de proporionnalié a c xa xc c) Parage proporionnel Soi à réparir une axe de 2000 en proporion des superficies de 3 errains qui son respecivemen de 550, 640 e 1200 m². On complèe le ableau de proporion suivan : d A b c 2000 On a : a + b + c = 0 d = = Le coefficien de proporionnalié des lignes es donc : = On en dédui a = 550 x ,25 b = 640 x ,56

2 e c = 1200 x ,18 d) Foncion linéaire e proporion Si f es la foncion linéaire x kx, pour ous les nombres a e b : a b f(a) f(b) es une proporion de coefficien k. f(x) es proporionnel à x. e) Foncion affine e proporion Si f es la foncion affine x kx + l, pour ous les nombres a, b, c e d : a-b c-d f(a)-f(b) f(c)-f(d) es une proporion de coefficien k. Les variaions de f(x) son proporionnelles à celles de x. POURCENTAGES INSTANTANES a) Définiion Le pourcenage insanané décri une proporion à un insan donné. A es une parie d un ensemble de référence E qui conien q E élémens (q E 0). A conien q A élémens. La par en pourcenage de A dans E es le nombre el que : = q A q E A représene alors % de E. Dans une classe de 25 élèves, 12 élèves praiquen l espagnol. Quelle es en pourcenage la par des élèves praiquan l espagnol? Réponse : La par en pourcenage des élèves hispaniques dans la classe es le nombre el que : es une proporion. = 12 = Conclusion : 48 % des élèves de la classe praiquen l espagnol. b) Coefficien muliplicaif On a q A = q E Prendre % d un nombre revien à muliplier ce nombre par On di que es le coefficien muliplicaif associé au pourcenage.

3 Le aux de féminisaion à l Assemblée naionale es d environ 13%. 577 dépués siègen à l Assemblée naionale. Combien y a--il de femmes dépués? Réponse : = 75,01 Il y a 75 femmes à l Assemblée Naionale. c) Pourcenage de pourcenage Sachan que la par en pourcenage de A dans E es % : q A = q E ' Sachan que la par en pourcenage de B dans A es % : q B = q A alors q B = q E ' La par en pourcenage de B dans E es T % avec : T = ' Prendre un pourcenage d un pourcenage d un nombre revien à muliplier ce nombre par le produi de ces pourcenages Dans un club de 300 membres il y a 40 % de filles. 50 % des filles son majeures, ainsi que 75% des garçons. a) Déerminer le pourcenage de filles majeures dans ce club A l aide des effecifs : = 120 : il y a 120 filles dans le club = 60 : il y a 60 filles majeures. Le pourcenage des filles majeures dans le club es donc égal à : = 0,2 Il y a 20 % de filles majeures dans le club. A l aide des pourcenages seulemen : = 60 donc 50 = Soi = 20 POURCENTAGES D EVOLUTION a) Définiion Soi une quanié mesurée à deux daes disinces : Daes 0 1 Valeur de la quanié q 0 q 1 Le pourcenage d évoluion enre les daes 0 e 1 es le nombre T défini par :

4 T = q 1 - q 0 x soi T q 0 = q 1-1 q 0 En noan I la valeur iniiale e F la valeur finale de la quanié on a : T = F - I x I T es aussi appelé aux d évoluion. On souhaie comparer l évoluion du poids de deux enfans enre deux daes : Dae 31/12/ /12/2006 Poids du nourrisson (kg) né en Poids d un enfan (kg) âgé de 5 ans en Variaion absolue Variaion relaive Pourcenage d évoluion Nourrisson 9 3 = = x = Enfan = = 0,375 x = 37, Propriéé Une quanié don la valeur iniiale es I, es augmenée de T%. Elle devien F = I x (1 + T T ). Le coefficien muliplicaeur es 1 + Une quanié don la valeur iniiale es I, es diminuée de T%. Elle devien F = I x (1 - T T ). Le coefficien muliplicaeur es 1 - b) Evoluions successives Pour calculer direcemen le pourcenage global correspondan à des variaions successives on uilise les coefficiens muliplicaeurs. Augmenaions successives d un même aux Après n augmenaions successives du même aux %, La valeur d une grandeur es mulipliée par n 1 + Le aux global T es donné par la relaion : 1 + T = n 1 - Calculer le pourcenage global correspondan à 3 augmenaions successives du même aux de 3% On a 1 + T = = 1,03 3 = 1, = 1 + 9,2727 Le aux global d augmenaion es donc T = 9,2727 %

5 Diminuions successives d un même aux Après n diminuions successives du même aux %, La valeur d une grandeur es mulipliée par n 1 - Le aux global T es donné par la relaion : 1 - T = n 1 - Calculer le pourcenage global correspondan à 4 diminuions successives du même aux de 2%. On a 1 - T = = 0,98 4 = 0, = 1-7, Le aux global T de diminuion es environ 7,76 % Taux moyen Un prix augmene de T% sur deux ans. Le aux annuel % qui provoque la même augmenaion globale vérifie la relaion : = 1 + T On en dédui : 1 + = 1+ T Le aux es appelé aux moyen d augmenaion annuelle. Sur la période d un semesre, le prix d un leceur de DVD a baissé de 40% en passan de 300 à 180. Le aux moyen de baisse pour chacun des deux rimesres es el que : = 0,6 = 1-40 = 0,6 22,5 Le aux moyen de baisse sur chaque rimesre es d environ 22,5%. L esimaion du prix à la fin du 1 er rimesre es : ,5 = 232,5 CROISSANCES Suies arihméiques Une suie arihméique sui une croissance linéaire. Déerminaion récurrene : u n+1 = u n + r (r es la raison de la suie) Déerminaion explicie : u n = u 0 + n r ou u n = u 1 + (n-1) r Une suie géomérique sui une croissance exponenielle. Déerminaion récurrene : v n+1 = v n q (q es la raison de la suie) Déerminaion explicie : v n = v 0 q n ou u n = v 1 q n-1 Exemples avec un ableur

6 =B4+$B$2 =B4*$B$2 Variaion absolue : Variaion moyenne : V m = Variaion relaive : COURBES PLANES V a = valeur finale valeur iniiale f(b) f(a) b - a Vr = Va I = F - I I =A5*A5-A5+1 =B5 B4 =(B5 B4)/B4 Inerpolaion linéaire : x F(x) y = y Soi y 16 = 4 3 Soi y = = 24 QUARTILES ET DIAGRAMMES EN BOITE =(B5 B4)/(A5-A4) Le premier quarile, noé Q1, es la plus peie valeur de la variable elle que pour au moins 25% des individus, cee variable es inférieure ou égale à Q1. Le roisième quarile, noé Q3, es la plus peie valeur de la variable elle que pour au moins 75% des individus, cee variable es inférieure ou égale à Q3. La médiane, noée Med, es la valeur de la variable pour le ou les individus cenraux ( 50%) Ecar inerquarile = Q3 Q1 Diagramme en boîes :

7 paramères de valeur cenrale d une série numérique : Moyenne e médiane Paramères de dispersion d une série numérique Eendue : max min Ecar inerquariles : Q 3 Q 1 L écar ype PLAGES DE NORMALITE a) Loi normale La forme obenue es proche d une «courbe en cloche» ou «courbe de Gauss». b) Variance e écar ype Calcul de la variance : calculer la moyenne x de la série, calculer ous les écars enre les valeurs de la série e x, élever ces écars au carré e en faire la moyenne. Ecar ype : racine carrée de la variance

8 débis mensuels de l Héraul e de la Somme J F M A M J J A S O N D moyenne Débi Ecar avec la moyenne Ecar au carré ,7 (39-41)² + (38-41)² + (79-41)² +. + (85-41)² V = 12 Ici la variance V es environ : 648,7. L écar-ype s = V es environ : 25,47 m 3 /s débis de la Somme à parir du ableau des effecifs. débi (xi) Moyenne effecif (ni) ni xi écar avec la moyenne au carré ,83 Dans ce cas, pour calculer la variance on uilise la formule : 2x(38-41)² + 3x(39-41)² x(46-41)² V = = ,83 L écar ype correspondan es s = V 2,42 m 3 /s c) Ecar-ype e loi normale Pour oues les séries gaussiennes, la répariion es proche de la suivane : Inervalle de cenre µ [ µ -σ ; µ +σ ] [ µ -2σ ; µ +2σ ] [ µ -3σ ; µ +3σ ] Fréquence à 0,1 % près 68,3 % 95,4 % 99,7 % avec µ = moyenne e σ = écar ype c) Inervalles de flucuaion plages de normalié : I 95% = [ µ -2σ ; µ +2σ ] a) repérage dans l espace COURBES DE NIVEAU Un poin M es repéré dans l espace par 3 coordonnées M(x ;y ;z) (z es appelée la côe) Sur une care opographique, z représene l aliude. b) courbes de niveau Sur un exrai d une care opographique, les courbes de niveau représenen des lignes sur lesquelles l aliude es la même. Sur ce exrai d une care opographique au 1 : e, les courbes de niveau représenen les aliudes de 10 m en 10 m.

9 DENOMBREMENTS ET TABLEAUX a) Diagrammes Dénombrer, c es répondre à la quesion «Combien y a--il d élémens»? Si A es une parie de E, alors la parie complémenaire de A conien ous les élémens de E qui ne son pas dans A. Elle es noée A. Diagramme de Venn. Diagramme de Carroll Le professeur de musique a fai une enquêe auprès de 150 élèves d un collège : 116 élèves déclaren aimer les variéés, 52 la musique classique e 40 aimen à la fois les variéés e la musique classique. 1) Combien d élèves n aimen que la musique classique? 2) Représener cee siuaion par un diagramme de Venn e un diagramme ce Carroll mean en évidence les ensembles V (variéés) e M (musique classique) e leurs paries complémenaires. 3) Combien d élèves n on pas donné leur avis? Soluion : 1) Le nombre d élèves qui n aimen que la musique classique s obien en reranchan 40 de 52 : = 12 2) Diagramme de Venn Diagramme de Carroll 3) Le nombre d élèves n ayan pas donné leur avis es : 150 ( ) = 22 b) Arbres de choix Un arbre es une représenaion graphique qui perme de dénombrer des choix d élémens pris dans un cerain ordre. Pour dénombrer ous les choix, il suffi de comper les branches au bou de l arbre. 1) On dispose des chiffres 1 ; 5 ; 7. On veu former des nombres de rois chiffres en uilisan chacun des ces chiffres une fois e une seule. On se demande combien on peu en obenir.

10 Pour cela, on peu imaginer un casier à rois cases, e on placera un chiffre par case en commençan par la première case c de gauche. c d U a) Combien de choix a--on pour placer le premier chiffre, c'es-à-dire le chiffre des cenaines. b) Dessiner un arbre de choix. Combien de nombres peu-on ainsi rouver? 2) On dispose mainenan des quare chiffres 1 ; 3 ; 5 ; 7. Combien peu-on former de nombres de quare chiffres. Soluion : 1) a) Le chiffre des cenaines peu êre soi 1, soi 5 ; soi 7 : il y a rois choix possibles. b) L arbre compore rois niveaux. Le premier niveau compore 3 branches, le deuxième deux branches pour chaque branche du premier niveau e le roisième niveau une branche pour chaque branche du deuxième niveau. A l arrivée, l arbre compore six branches. Il y a donc six nombres possibles. 2) Le nombre de branches de l arbre à l arrivée sera : = 24. Il y a donc 24 nombres possibles. c) Tableaux à double enrée Un ableau à double enrée perme de raier deux grandeurs de manière simulanée : une indiquée en ligne e l aure en colonne. Un nombre faisan inervenir ces deux grandeurs es inscri dans chaque case siuée à l inersecion d une ligne e d une colonne. Ce ableau perme de comper les cases vérifian une ceraine propriéé. Une boîe conien rois jeons de couleur : un bleu, un jaune e un rouge. Les jeons son indiscernables au oucher. 1) On ire un premier jeon, on noe sa couleur, on le reme dans le sac, puis on ire un second jeon. Chaque jeon bleu rappore bleu rappore 2 poins, chaque jeon jaune rappore 1 poin e chaque jeon rouge fai perdre 2 poins. a) Uiliser un ableau à double enrée pour déerminer les gains posiifs ou négaifs à chacun des neuf irages (un gain négaif es une pere) b) Quels son les résulas possibles à l issue d une parie?

11 c) Dresser un ableau indiquan le nombre de façons possibles d obenir chacun des résulas. 2) On ire un premier jeon, on noe sa couleur, puis on ire un second jeon sans remere le premier dans le sac. Quels son les résulas possibles dans ce cas? Soluion : 1) a) Il y a bien neuf cas possibles. b) -4 ;-1 ;0 ;2 ;3 ;4 c) Nombre de poins obenus Nombre d occurrences ) A l aide du premier ableau, on consae qu il ne rese que six cases. En effe, on supprime les choix (B-B), (J-J) e (R-R). Les seules valeurs possibles son -1 ; 0 e 3. d) Tableaux d effecifs Enquêe sur l alimenaion auprès de 534 lycéens. QUESTION : les organismes généiquemen modifiés (OGM) vous inquièen-ils? filles garçons ensemble je ne connais pas pluô oui pluô non sans réponse ensemble Ce ableau es un ableau croisé d effecifs. Il «croise» deux caracères : le sexe e le niveau d inquiéude concernan les OGM. Les données brues son consiuées de 4 lignes e 2 colonnes. Effecifs marginaux On a compléé le ableau d effecifs par les marges c es-à-dire : une ligne donnan le oal des effecifs de chaque colonne,

12 une colonne donnan le oal des effecifs de chaque ligne. Les marges donnen la répariion de la populaion selon un caracère seulemen. Tableau de fréquences On divise l effecif inscri dans chaque case par l effecif oal. On obien ainsi le ableau des fréquences, exprimées ici en pourcenages. Par exemple, les lycéennes qui son pluô inquièes par les OGM représenen 29 % de la populaion inerrogée. filles garçons ensemble je ne connais pas 20 % 13 % 33 % pluô oui 29 % 14 % 43 % pluô non 10 % 13 % 23 % sans réponse 0 % 1 % 1 % ensemble 59 % 41 % % Fréquences marginales Dans les marges de ce ableau, on a obenu les fréquences marginales en divisan les effecifs marginaux par l effecif oal. On remarque que les fréquences marginales son égales à la somme des fréquences de la ligne ou de la colonne correspondane. La somme des fréquences d une même marge es égale à %. Fréquences condiionnelles Chaque caracère perme de parager la populaion globale en sous-populaions (ex : les garçons). Dans chacune des sous-populaions on s inéresse à la répariion de l aure caracère. Tableau des fréquences condiionnelles en ligne On divise l effecif de chaque case par l effecif oal de sa ligne. On obien ainsi les fréquences condiionnelles par rappor aux effecifs marginaux de chaque ligne. Par exemple, il y a 33 % de garçons parmi ceux qui déclaren êre pluô inquiéés par les OGM. filles garçons ensemble je ne connais pas 61 % 39 % % pluô oui 67 % 33 % % pluô non 43 % 57 % % sans réponse 20 % 80 % % Ensemble 59 % 41 % % Tableau des fréquences condiionnelles en colonne On divise l effecif de chaque case par l effecif oal de sa colonne. Par exemple, 17 % des filles ne son pas inquiéées par les OGM. C es la fréquence condiionnelle de cee réponse parmi la populaion des filles.

13 filles garçons ensemble je ne connais pas 34 % 31 % 33 % pluô oui 49 % 35 % 43 % pluô non 17 % 32 % 23 % sans réponse 0 % 2 % 1 % ensemble % 41 % % Comparaison d un caracère enre deux sous-populaions La comparaison de deux lignes ou de deux colonnes d un ableau de fréquences condiionnelles, perme de savoir si un caracère es répari de façon semblable dans deux populaions. Dans l exemple, on peu irer du graphique les deux informaions suivanes : le niveau de connaissance sur les OGM es praiquemen le même chez les filles e chez les garçons les filles son plus réicenes à leur uilisaion.